Ôn tập thi tốt nghiệp Đại học Toán rời rạc và Phân tích thiết kế hệ thống

Ôn tập thi tốt nghiệp Đại học Toán rời rạc và Phân tích thiết kế hệ thống. Của Viện Đại Học mở Hà Nội ngành Tin học ứng dụng. Bài tập có lời giải chi tiết từng phần, dễ hiểu. Giúp Sinh viên tự ôn thi đạt kết quả cao.

1 Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem Bài 1: Cho A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} . Hỏi có thể lập được bao nhiêu con số hàng trăm trong các trường hợp sau đây: 1) Các chữ số tạo thành 1 dãy tăng; tạo thành 1 dãy giảm? 2) Các chữ số không lặp; các chữ số có thể lặp? Giải: 1) Mỗi con số hàng trăm có các chữ số tạo thành 1 dãy tăng tương ứng với 1 tổ hợp chập 3 của 9 chữ số nguyên dương (không lấy số 0). Vậy ta có:    = ! ! (  ) ! = ! !! = .. .. =   =84 con số Mỗi con số hàng trăm tạo thành 1 dãy giảm tương ứng với 1 tổ hợp chập 3 của 10 phần tử. Vậy ta có:    = ! ! (  ) ! = ! !! = .. .. =   =120 con số 2) Số các con số hàng trăm có các chữ số không lặp là: S 1 =   -   =10.9.8-9.8=720-72=648 con số Số các con số hàng trăm có các chữ số có thể lặp là : S 2 =   -   =10  -10  =1000-100=900 con số Bài 2: Có bao nhiêu cách chia bộ bài 52 quân cho 4 người: a) Mọi người đều có số quân bằng nhau? b) Một người 10 quân, một người 12 quân , một người 14 quân và một người 16 quân? Giải: a) Chia bộ bài 52 quân thành 4 phần, mỗi phần 13 quân, ta có: C 52 (13,13,13,13)= ! !(!)  = cách Sau đó chia 4 phần cho 4 người, ta có: S 1 =C 52 (13,13,13,13). 4!= ! (!)  =cách b) Chia bộ bài thành 4 phần tương ứng với các số quân 10, 12, 14, 16 C 52 (10,12,14,16)= ! !!!! cách Sau đó chia 4 phần cho 4 người có: S 2 =C 52 (10,12,14,16). 4!= !! !!!! =cách Bài 3: 1) Có bao nhiêu cách chia 7 quyển vở như nhau cho 5 em bé sao cho em nào cũng được nhận vở? 2) Có bao nhiêu cách gọi 5 sinh viên để trả lời 7 câu hỏi thi khác nhau sao cho sinh viên nào cũng được gọi để trả lời câu hỏi? Giải: 1) Chia cho mỗi em bé 1 quyển vở, còn lại 2 quyển chia tùy ý. Số cách chia là: S 1 =   =   =    = . . =15 cách 2) Chia 7 câu hỏi thi thành 5 nhóm, mỗi nhóm có ít nhất 1 câu hỏi, số cách chia là : S 1 =C 7 (1,1,1,1,3)+C 7 (1,1,1,2,2)= ! !! + ! !!!! = .. .. + .. ..! = 35 + 105=140 cách 2 Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem Sau đó giao cho mỗi sinh viên trả lời 1 nhóm câu hỏi, ta có: S 2 = 140*5!=140*120=16.800 cách Bài 4. Phương trình x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 8 có bao nhiêu nghiệm nếu : 1) x i ≥ 0 và nguyên, ( i=1, 2 , 3 ,4) 2) x i nguyên và x 1 ≥1, x 2 ≥1, x 3 ≥1, x 4 ≥2 Giải: 1) Số nghiệm nguyên không âm là :    =    = .. .. =165 2) Đặt x i = t i +1 với i= 1, 2 ,3 và x 4 = t 4 +2 thì sẽ có phương trình : t 1 + t 2 +t 3 + t 4 =3 ; t i ≥0 và nguyên , (i=1, 2, 3, 4) suy ra số nghiệm là :    =   = .. .. =20 Bài 5 . Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 gia đình, mỗi gia đình có 3 người sao cho những người trong mỗi gia đình thì ngồi gần nhau trong các trường hợp dưới đây: a) Các ghế có ghi số và xếp thành một dãy ngang? b) Các ghế có ghi số và xếp quanh một bàn tròn? Giải: a) Chia 12 ghế thành 4 lô, mỗi lô 3 ghế, sau đó chia cho mỗi gia đình 1 lô. Vậy số cách xếp chỗ là: S 1 =4!.(3!) 4 = 31104 cách b)Xếp chỗ cho 1 gia đình nào đó, có 12 cách xếp (vì có 12 ghế) . Còn lại 9 ghế coi như một dãy thẳng xếp chỗ cho 3 gia đình còn lại. Vậy số cách xếp chỗ là: S 2 =12.3!(3!) 4 =93312 cách Bài 6: Nhóm A có 7 sinh viên, nhóm B có 6 SV, nhóm C có 5 SV 1) Có bao nhiêu cách chọn ra 4 SV thuộc 2 nhóm A và B; B và C ; C và A? 2) Có bao nhiêu cách chọn ra 4 SV thuộc cả 3 nhóm? Giải: 1) Ký hiệu S(A, B) là số cách chọn ra 4 SV từ 2 nhóm A và B ta có: S(A, B) =    - (   +    ) = 715 - (35+15) =665 S(B, C) =    - (   +    ) = 330 - (15 +5) = 310 S(C, A) =    - (   +   ) = 495 - (5+35) = 455 2) S(A,B,C)=    -[S(A,B)+ S(B,C) + S(C,A)] - (   +   +    ) = 3060 - (665 + 310 + 455) - (35 + 15 +5) = 1575 Bài 7: Có bao nhiêu cách xếp 10 nam và 10 nữ nếu: 1) Xếp thành 2 hàng dọc, mỗi hàng 10 người và trên mỗi hàng ngang đều có 1 nam và 1 nữ? 2) Xếp thành 4 hàng dọc mỗi hàng có 5 người, trên mỗi hàng ngang đều có 2 nam và 2 nữ? Giải: 1) Xếp thành 2 hàng dọc, một hàng 10 nam, một hàng 10 nữ. Hoán vị dọc mỗi hàng, sau đó hoán vị ngang mỗi hàng thì sẽ có: 3 Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem S 1 = (10!) 2 .(2!) 10 cách 2) Xếp thành 4 hàng dọc, 2 hàng 5 nam, 2 hàng 5 nữ, sau đó hoán vị dọc và hoán vị ngang thì sẽ có: S 2 =(5!) 4 .(4!) 5 cách Bài 8: Có 5 bộ quần áo TDTT đánh số từ 1 đến 5. Huấn luyện viên phát cho 5 cầu thủ mỗi người 1 quần và 1 áo. Hỏi có bao nhiêu cách phát khác nhau trong các trường hợp sau: 1) Cả 5 cầu thủ đều nhận được quần và áo có số khác nhau? 2) Có đúng 2 cầu thủ nhận được quần và áo có số như nhau? Giải: Ký hiệu D n là số sách bỏ n thư vào n phong bì sao cho không có thư nào đúng địa chỉ, ta có phương trình truy hồi sau: D n = (n-1)(D n-1 + D n-2 ) với D 1 =0 ; D 2 =1 Ta suy ra : D 3 = 2(1+0) = 2 ; D 4 =3(2+1) = 9; D 5 = 4(9+2)=44 Số này gọi là số mất thứ tự 1) Xếp 5 quần và 5 áo sao cho các số của quần và áo đều khác nhau, sau đó phát cho mỗi cầu thủ 1 bộ. Số cách phát sẽ là: S 1 = D 5* 5! =44*120= 5.280 cách 2) Chọn ra 2 bộ quần áo để xếp đúng bộ, còn lại 3 bộ xếp quần và áo có số khác nhau; sau đó phát cho mỗi người một bộ. Số cách phát sẽ là: S 2 =    .D 3 .5!=10.2.120=2400 cách. Bài 9: Cho 20 đường thẳng trên cùng một mặt phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng được tạo thành trong các trường hợp sau đây: 1) Có 5 đường thẳng song song với nhau? 2) Có 5 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm? Giải: Nếu 20 đường thẳng có vị trí tổng quát thì số phần mặt phẳng do chúng tạo nên: S 20 = 1+ ()  =211 phần mặt phẳng 1) . 5 đường thẳng có vị trí tổng quát tạo ra : S 5 = 1+ ()  = 16 phần mặt phẳng Trong khi đó 5 đường thẳng song song chỉ tạo ra 6 phần mặt phẳng , nghĩa là số mặt phẳng phải bớt đi là 16-6=10. Vậy số mặt phẳng cần tìm là : S 1 =211-10=201 phần mặt phẳng 2) 5 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm chỉ tạo ra 10 phần mặt phẳng nên số phần mặt phẳng phải bớt đi là 16-10=6 Vậy số mặt phẳng cần tìm: S 2 =211-6=205 phần mặt phẳng Bài 10: Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 7 nam và 3 nữ thành một hàng ngang sao cho: 1) Cả 3 nữ ngồi gần nhau. 2) Có đúng 2 nữ ngồi gần nhau. 3) Cả 3 nữ không ngồi gần nhau. Giải: 4 Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem 1) Xếp chỗ cho 7 nam, 3 nữ sao cho 3 nữ ngồi gần nhau. Coi 3 nữ như một đối tượng, cùng với 7 nam vậy có 8! hoán vị. Sau đó 3 nữ hoán vị chỗ với nhau. Vậy số cách xếp chỗ là: S 1 =8!3!= 241.920 cách 2) Chọn ra 2 trong 3 nữ để xếp gần nhau , có    = 3 cách. Xếp 2 nữ đã chọn với 7 nam có: 3*8!*2!= 241.920 cách. Ứng với mỗi cách xếp chỗ cho 7 nam , 2 nữ gần nhau (coi như 1 đối tượng) thì có 9 vị trí có thể xếp 1 nữ còn lại, nhưng phải loại trừ 2 vị trí gần với 2 nữ đã xếp, nên ta có: S 2 = 241.920 *(9-2)=1.693.440 cách 3) Hoán vị 7 nam có 7! = 5.040 cách. Có 8 chỗ có thể chọn để xếp chỗ cho 3 nữ: Vậy ta có số cách sắp xếp chỗ là : S 3 = 7!   =5040*(8.7.6)=1.693.440 cách Bài 11: Có 4 đề thi khác nhau được phát cho 10 sinh viên dự thi, mỗi sinh viên một đề sao cho 2 sinh viên ngồi gần nhau thì nhận được 2 đề khác nhau. 1) Có bao nhiêu cách phát đề nếu 10 sinh viên ngồi thành 1 dãy ngang? 2) Các sinh viên ngồi thành 2 dãy ngang cách biệt, mỗi dãy 5 người? 3) Giải bài toán trên nếu 10 sinh viên ngồi quanh 1 bàn tròn? Gỉai: 1) Sinh viên đầu tiên có 4 cách phát đề thi, các sinh viên còn lại có 3 cách phát Do đó ta có: S 1 = 4.3 9 = 78.732 cách 2) Mỗi dãy 5 sinh viên, có 2 dãy. Vậy số cách phát đề thi là: S 2 =(4.3 4 )*(4.3 4 )=324*324=104.976 cách 3) Ký hiệu    là số cách phát 4 đề thi cho n sinh viên ngồi quanh 1 bàn tròn, thỏa mãn điều kiện của bài toán. Ta áp dụng công thức truy hồi sau:    =4.3 n-1 -    với    =4.3.2 Thay n=10, ta có:    =4.3 9 – 4.3 8 + 4.3 7 – 4.3 6 + 4.3 5 – 4.3 4 + 4.3 3 – 4.3.2 Vì 4.3.2=4.3.(3-1) = 4.3 2 -4.3 nên ta có:    =4.3 9 – 4.3 8 + 4.3 7 – 4.3 6 + 4.3 5 – 4.3 4 + 4.3 3 – 4.3 2 + 4.3 = 4.3(1-3+3 2 -3 3 +3 4 -3 5 +3 6 -3 7 +3 8 ) =4.3. ()  () = 4.3.     = 3 10 +3=59.049+3=59.052 cách Bài 12: Có 5 câu hỏi thi khác nhau, mỗi câu hỏi thi được in thành 2 phiếu. Giáo viên phát cho 5 sinh viên dự thi mỗi sinh viên 2 phiếu. Hỏi có bao nhiêu trường hợp mà: 5 Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem 1) Tất cả 5 sinh viên đều được 2 câu hỏi khác nhau? 2) Có đúng 3 sinh viên nhận được 2 câu hỏi khác nhau? Giải Bài toán này liên quan đến số mất thứ tự. Nếu ký hiệu (i,j) (với i≠j) là số bức thư i bỏ vào phòng bì j thì (i,j) và (j,i) là 2 đối tượng khác nhau. Còn trong bài này nếu coi (i,j) là cặp phiếu thi đề i ghép với phiếu thi của đề j thì (i,j)≡ (j,i) nghĩa là 2 đối tượng này hoàn toàn giống nhau. 1) 5 sinh viên nhận được 2 phiếu thi khác nhau. Số mất thứ tự : D 5 =44 được chia làm 2 loại như sau: Loại 1: Có 2 cặp phiếu thi như nhau và 3 cặp phiếu thi khác nhau. Ví dụ (1,2) , (2,1) , (3,4) , (4,5) , (5,3) ((1,2)≡ (2,1)) Số cách ghép loại này là:    .1.1=10 cách Số cách phát loại này cho 5 sinh viên là: r 1 = 10.P(1,1,1,2)=10. ! ! = 600 cách Loại 2: là số cách ghép còn lại của D 5 , đó là: 44-    .D 2 .D 3 = 44-10.1.2= 24 cách ghép Nhưng do (i,j) ≡(j,i) nên thực chất chỉ có 24/2= 12 cách ghép khác nhau: Số cách phát loại này cho sinh viên là: r 2 = 12.P 5 = 12*5!= 1440 cách Suy ra : S 1 =r 1 +r 2 = 600+1440 = 2040 cách 2) 3 sinh viên nhận được 2 phiếu thi khác nhau Chọn 3 đề trong 5 đề có:    =10 cách chọn 6 phiếu thi từ 3 đề này chỉ tạo ra 1 bộ 3 cặp đề thi khác nhau. Thí dụ: (3,4) (4,5) (5,3); 2 sinh viên còn lại nhận 2 phiếu thi giống nhau Vậy cách phát phiếu cần tìm là: S 2 = 10*5! = 1200 cách Bài 13: Cho hình cầu tâm O bán kính R. Vẽ n đường tròn lớn (có tâm O và bán kính R như hình cầu) ; trong đó không có 3 đường tròn nào cùng đi qua 1 điểm. Ký hiệu T n là số phần mặt cầu tạo nên bởi n đường tròn đó. 1. Lập và giải phương trình truy hồi để tìm công thức T n . Tính T 10 ? 6 Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem 2. Tính T 10 trong trường hợp có 3 đường tròn cùng đi qua 1 điểm? 3. Tính T 10 trong trường hợp có 4 đường tròn cùng đi qua 1 điểm? Giải: 1. T n+1 = T n +2n T 1 =2 giải được T n =2+n(n-1) Nếu không có 3 đường tròn đi qua 1 điểm thì T 10 = 2+10.9=92 2. Vì 3 đường tròn đi qua 1 điểm chỉ tạo ra 6 phần mặt cầu, trong khi đó : T 3 = 2+3.2=8 nghĩa là bớt đi 2 phần mặt cầu S 2 = 92-2=90 phần mặt cầu 3. 4 đường tròn đi qua 1 điểm tạo ra 8 phần mặt cầu, trong khi đó: T 4 = 2+4.3= 14 phần mặt cầu Nghĩa là bớt đi 14-8=6 phần mặt cầu Vậy S 3 = 92-6=86 phần mặt cầu Bài 14: Cho n đường tròn trên cùng một mặt phẳng sao cho mọi cặp 2 đường tròn đều cắt nhau và không có 3 đường tròn nào cắt nhau tại 1 điểm. Ký hiệu T n là số phần mặt phẳng được tạo thành bởi n đường tròn đó. 1) Lập và giải phương trình truy hồi để tìm công thức của T n ? 2) Tìm T 10 trong đó có 1 bộ 3 đường tròn cắt nhau tại 1 điểm? Giải: 1) Vẽ thêm đường tròn thứ nhất (n+1), nó cắt đường tròn đã có tại 2n giao điểm . Các giao điểm này chia đường tròn vẽ thêm thành 2n cung, mỗi cung nằm trong một phần mặt phẳng đã có và tạo thêm được một phần mặt phẳng, do đó ta có: T n+1 =T n +2n với T 1 = 2; Giải được : T n = 2+ n(n-1) Thay n=10 ta có: T n = 2+10.9= 92 phần mặt cầu 2) Ba đường tròn đi qua 1 điểm tạo ra 7 phần mặt phẳng trong khi đó T 3 = 2+3.2=8 nên số phần mặt phẳng phải bớt đi là 1 đơn vị. Vậy S 2 = 92-1=91 phần mặt phẳng Bài 15: Một người vượt cầu thang có n bậc bằng cách lúc thì bước mỗi bước 1 bậc, lúc thì bước mỗi bước 2 bậc. Ký hiệu T n là số cách vượt n bậc cầu thang như thế 1) Lập và gỉai phương trình truy hồi để tìm công thức T n ? 2) Bằng phương pháp quy nạp chứng minh công thức : T 1 2 + T 2 2 + + T n 2 = T n .T (n+1) -1 (*) Giải: 1) T n =T n-1 + T n-2 ; T 1 =1, T 2 =2 Giải phương trình đặc trưng: r 2 -r-1 = 0 => r= ±√  Nghiệm tổng quát: T n = C 1  √    +C 2  √    T 1 =1 => C 1  √    +C 2  √    =1 7 Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem T 2 =2 => C 1  √    +C 2  √    =2 Giải được: C 1 =  √  √   C 2 =  √  √   Suy ra: T n =  √  √    -  √  √    2) Từ (*) Cho n=1, ta có: vế trái T 1 2 = 1; vế phải là : T 1 .T 2 -1 =1.2-1=1 Vậy VT=VP; nghĩa là công thức đã đúng với n=1 Ta còn phải CMR: T 1 2 +T 2 2 + +T n 2 + T n +1 2 = T n+1 .T n+2 -1 Theo giả thiết quy nạp . Ta có: VT= T n .T n+1 -1+T n+1 2 = T n+1 (T n +T n+1 )-1 =T n+1 .T n+2 -1 = VP (ĐPCM) Bài 16: Một người phải trả một món tiền n nghìn đồng bằng cách trả lần lượt từng tờ một trong 2 loại giấy bạc có mệnh giá 1 nghìn đồng và 2 nghìn đồng. Ký hiệu T n là số cách trả tiền như thế: 1) Lập và giải phương trình truy hồi đối với T n ? 2) Bằng phương pháp quy nạp CMR: T 1 .T 2 +T 2 .T 3 + + T 2n-1 .T 2n = (T 2n ) 2 -2 (*) Giải T n =T n-1 + T n-2 ; T 1 =1, T 2 =2 Giải phương trình đặc trưng: r 2 -r-1 = 0 => r= ±√  Nghiệm tổng quát: T n = C 1  √    +C 2  √    T 1 =1 => C 1  √    +C 2  √    =1 T 2 =2 => C 1  √    +C 2  √    =2 Giải được: C 1 =  √  √   C 2 =  √  √   Suy ra: T n =  √  √    -  √  √    1) Cho n=1: VT=T 1 .T 2 =1.2=2. VP= (T 2 ) 2 -2=2 2 -2=2 8 Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem  VT=VP Vậy công thức đúng với n=1 2) Giả sử đã có (*), ta chứng minh: T 1 .T 2 +T 2 .T 3 + + T 2n-1 .T 2n + T 2n .T 2n+1 + T 2n+1 .T 2n+2 = (T 2n+2 ) 2 -2 VT=(T 2n ) 2 -2+ T 2n .T 2n+1 + T 2n+1 .T 2n+2 = T 2n .( T 2n .T 2n+1 )+ T 2n+1 .T 2n+2 -2 = T 2n .T 2n+2 + T 2n+1 .T 2n+2 -2 = T 2n+2 .( T 2n .T 2n+1 )-2=(T 2n+2 ) 2 -2 = VP (ĐPCM) Bài 17: Cho G(x,v) là đồ thị vô hướng , đủ và có 9 đỉnh 1) Có bao nhiêu đồ thị con và đồ thị bộ phận? 2) Có bao nhiêu đồ thị con là đồ thị Euler? Giải 1) Số đồ thị con S 1 =    +    + +   =2 9 -(   +   )=512-2=510 Số cạnh của đồ thị: m=    =36, số đồ thị bộ phận là: S 1 =    +   + +    = 2 36 -   =2 36 -1 2) Số đồ thị con là đồ thị Euler, đó là các đồ thị con có số đỉnh là lẻ: S 2 =   +    +   = 2 8 -(   +    )= 256-10=246 Bài 18: Cho G(x,v) là đồ thị vô hướng, đủ và có 7 đỉnh 1) Có bao nhiêu cây bao trùm đi qua 2 đỉnh cố định cho trước? 2) Có bao nhiêu cây bao trùm có 1 đỉnh bậc 4 và 1 đỉnh bậc 3? Giải 1) Số cây bao trùm chứa cạnh [a,b] cho trước chia thành các trường hợp sau: - Có 5 đỉnh liên thuộc a; không có đỉnh nào liên thuộc b; tạo ra T 6 =6 4 =1296 cây - Có 4 đỉnh liên thuộc a; và có 1 đỉnh liên thuộc b; tạo ra :    .T 5 = 5.5 3 = 625 cây - Có 3 đỉnh liên thuộc a; có 2 liên thuộc b; tạo ra:    .T 4 .T 3 = 10.4 2 .3= 480 cây - Có 2 đỉnh liên thuộc a; có 3 liên thuộc b; tạo ra:    .T 3 .T 4 = 10.3.4 2 = 480 cây - Có 1đỉnh liên thuộc a; có 4 liên thuộc b; tạo ra:    .T 5 = 625 cây - Không có đỉnh liên thuộc a; có 5 liên thuộc b; tạo ra: T 6 =6 4 = 1296 cây .Vậy số cây cần tìm là: S 1 = 2(1296+625+480)=4802 2) Chọn 1 đỉnh trong 9 đỉnh để làm đỉnh bậc 6:    =7 cách Chọn 4 đỉnh trong 6 đỉnh còn lại để nối với đỉnh bậc 4:    = 15 cách Bây giờ chỉ còn lại 2 đỉnh. Muốn có 1 đỉnh bậc 3 theo yêu cầu của đề bài thì đỉnh bậc 3 đó phải là 1 trong 4 đỉnh ở bước 2, và cả 2 đỉnh còn lại này đều phải được nối với đỉnh bậc 3 đó. Do đó có:    =4 cách Vậy số cây bao trùm có 1 đỉnh bậc 4 và 1 đỉnh bậc 3: 9 Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem S 2 =7*15*4=420 cây Bài 1 : (Phần Bài toán tồn tại) Cho một hình tam giác đều có cạnh bằng 1, lấy 5 điểm bất kỳ trong tam giác đó . Chứng minh rằng có ít nhất 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1/2? Giải: Nối trung điểm của các cạnh ta được 4 tam giác đều , cạnh = 1/2 . Lấy 5 điểm trong tam giác lớn.Mỗi điểm phải phụ thuộc vào 1 tam giác con nào đó. Áp dụng định lý Đirichlet giản đơn (nhốt 5 con chim vào 4 chiếc lồng) sẽ có ít nhất 2 điểm thuộc vào một tam giác con nào đó, khi đó khoảng cách giữa chúng < ½ (ĐPCM) Bài 2: Cho 5 điểm có tọa độ nguyên trên một mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. 1) CMR từ các điểm trên có thể tìm được ít nhất 2 điểm mà trung điểm của chúng cũng là điểm có tọa độ nguyên? 2) CMR có ít nhất 3 tam giác có các đỉnh là các điểm trên có diện tích một số nguyên? Giải: Ký hiệu (x,y) là tọa độ của 1 điểm nào đó trên mặt phẳng. Một điểm có tọa độ nguyên có nghĩa là (x nguyên , y nguyên ) Số nguyên có thể là lẻ hoặc là chẵn.Vậy chúng có thể chia làm 4 nhóm như sau: Nhóm 1 (x lẻ , y lẻ ) , Nhóm 2 (x chẵn , y chẵn ), Nhóm 3 (x lẻ , y chẵn ), Nhóm 4 (x chẵn , y lẻ ) 1) Lấy 5 điểm từ 4 nhóm, áp dụng Định lý Đirichlet giản đơn (với n=4) sẽ có ít nhất 2 điểm thuộc vào cùng 1 nhóm. Giả sử 5 điểm đó là A, B, C, D, E và có 2 điểm A và B thuộc 3 nhóm. Khi đó x A lẻ , x B lẻ, y A chẵn, y B chẵn Gọi M là trung điểm của AB thì ta có: x M =   (x A + x B ) là một số nguyên y M =   (y A + y B ) là một số nguyên (Đó là điều phải chứng minh) 2) Ta chứng mính các tam giác ABC, ABD, ABE là các tam gíac có diện tích là số nguyên. Ta cần chứng minh S(ABC) là số nguyên , các tam giác khác chứng minh tương tự 10 Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem Từ hình vẽ trên ta có: S(ABC)= S(AMBC)= S(AMB) Trong đó S(AMB)=   MA.MB =   (y A - y B )( x B – x A ) là số nguyên vì (y A - y B), )( x B – x A ) là các số chẵn. Ta lại có S(AMBC) = S(MBC) + S(AMC) mà S(MBC) =   MB.h=   (x B - x A )(y C - y B ) là số nguyên vì ( x B – x A ) là số chẵn, (y C - y B ) là số nguyên S(AMC) =   MA.h’=   (y A - y B )(x C - x A ) là số nguyên vì ( y A – y B ) là số chẵn, (x C - x A ) là số nguyên Vậy S(AMBC) là số nguyên.(ĐPCM) Bài 3: Lấy một cách tùy ý 7 điểm trong một hình lục giác đều có cạnh bằng 1. CMR có ít nhất 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Giải: Nối các đỉnh của hình lục giác với tâm ta được 6 tam gíac đều có cạnh bằng 1. Theo định lý Đirichlet giản đơn: n=6. Lấy 7 điểm từ 6 tam giác thì có ít nhất 2 điểm thuộc 1 tam giác suy ra khoảng cách giữa chúng < 1 (ĐPCM). Bài 4: lấy 6 số bất kỳ trong các số nguyên dương nhỏ hơn 121 CMR trong các số đó luôn tìm được ít nhất 2 số x và y thỏa mãn điều kiện 0<| √  −√| <2 Giải: Chia các số nguyên dương <121 thành 5 nhóm: Nhóm 1 gồm các số {1, 2, , 8} Nhóm 2 gồm các số {9, 10, , 24} Nhóm 3 gồm các số {25, 26, , 48} Nhóm 4 gồm các số {49, 50, , 80} Nhóm 5 gồm các số {81, 82, , 120} Hai số bất kỳ thuộc 1 nhóm nào đó đều thỏa mãn điều kiện | √  −√| <2 Lấy 6 số từ 5 nhóm, theo định lý Đirichlet giản đơn (n=5) thì có ít nhất 2 số thuộc 1 nhóm (ĐPCM) [...]... System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN ĐẠI HỌC MỞ HÀ NỘI ĐỀ THI TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC MÔN: Phân tích và thi t kế hệ thống thông tin NGÀNH: Tin học ứng dụng Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao phát đề I II Mô tả hệ thống Nhà hàng Thanh Thủy chuyên kinh doanh về ăn uống và dịch vụ đám cưới Khi khách vào cửa hàng, nhân viên cửa hàng hướng dẫn cho khách tìm... viên tiếp bàn Tỷ lệ khuyến mại: Tổng thanh toán: NHẬP MỚI 33 LƯU SỬA XÓA IN THOÁT Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN ĐẠI HỌC MỞ HÀ NỘI ĐỀ THI TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC MÔN: TOÁN RỜI RẠC NGÀNH: TIN HỌC ỨNG DỤNG Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao phát đề Câu 1: Có 10 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ 1) Có bao nhiêu cách xếp... Tỷ lệ khuyến mãi: Tổng thanh toán: Yêu cầu: 1 Xác định danh sách các hồ sơ dữ liệu 2 Vẽ sơ đồ phân cấp chức năng cho hệ thống quản lý nhà hàng 3 Thi t kế cơ sở dữ liệu logic dựa vào hóa đơn 4 Vẽ mẫu giao diện nhập hóa đơn và mô tả hoạt động của giao diện (1 điểm) (2 điểm) (5 điểm) (2 điểm) Hết / Đề thi gồm 1 trang, thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 29 Discrete... xây dựng sơ đồ luồng dữ liệu hệ thống Bản chất khác biệt so với sơ đồ luồng dữ liệu nghiệp vụ? Câu 2: Ba phạm trù của hướng dẫn thi t kế giao diện (tương tác chung, hiển thị thông tin, vào dữ liệu) B PHẦN BÀI TẬP I Mô tả hệ thống Siêu thị thể thao SPORT Ba Đình kinh doanh nhiều loại hàng hóa, dụng cụ thể dục thể thao cho nhiều bộ môn khác nhau như bơi lội, bóng bàn, cầu lông, tennis, thể hình,… Bộ phận... ={(2,3),(6,8)} đồ thị G3(X,U3) như sau: S và Z mất liên thông, thuật toán kết thúc f( )= ∑ ( ) = 30+40+40+25+30+15=180 Bài 1: (Phần Đại số Logic) Cho hàm đại số logic F(x,y,z) =(x | y) →(y↓z) a) Lập bảng giá trị của hàm F(x,y,z) b) Tìm dạng tuyển chuẩn tắc và biến đổi nó về dạng chỉ có dấu tuyển và phủ định c) Thi t kế mạch logic thực hiện hàm F(x,y,z) với các cổng NOT, AND và OR Giải: a) Lập bảng giá trị của... dạng chỉ có dấu hội và phủ định Áp dụng định lý De Morgan và công thức phủ định, ta có: = ( ˅ ˅ ) ˄ ( ˅ ˅ ) ˄ ( ˅ ˅ ) ˄ ( ˅ ˅ ) = (x ˄ y ˄ z) ˄ (x ˄ y ˄ ) ˄ (x ˄ y ˄ z) ˄ (x ˄ y ˄ z) c) Thi t kế mạch logic: Bài 4: Cho hàm đại số logic F(x,y,z) =(x ˄ z) ˅ (y ⨁ z) 1) Lập bảng giá trị của hàm F(x,y,z) 2) Tìm dạng tuyển chuẩn tắc và biến đổi nó về dạng chỉ có dấu tuyển và phủ định 3) Thi t kế mạch logic thực... nhóm rời nhau và trong mỗi nhóm số lớn nhất bằng tổng các số còn lại của nhóm được hay không? Câu 4: Cho hàm đại số logic F(x,y,z) lấy giá trị 1 khi và chỉ khi có ít nhất 2 biến lấy giá trị 1 1) Lập bảng giá trị của hàm F(x,y,z) 2)Tìm dạng hội chuẩn tắc và biến đổi nó về dạng chỉ có dấu hội và phủ định 3 )Thi t kế mạch logic thực hiện hàm F(x,y,z) với các cổng NOT, AND và OR Câu 5: Áp dụng thuật toán. .. liệu hệ thống là liên quan tới máy tính, xác định máy tính làm cái gì và làm như thế nào Câu 2: Ba phạm trù của hướng dẫn thi t kế giao diện (tương tác chung, hiển thị thông tin, vào dữ liệu) 1 Tương tác chung: + Nhất quán + Giải thích các quy tắc + Cho thông tin phản hồi có nghĩa + Yêu cầu kiểm chứng mọi hành động phá hủy + Cho phép dễ dàng lần ngược nhiều hành động + Giảm thi u khối lượng thông tin... Hiện đầy đủ các thông báo lỗi và phải dễ hiểu + Dùng chữ hoa, chữ thường, thụt lề và gộp nhóm văn bản để trợ giúp cho việc dễ hiểu + Sử dụng cửa sổ (nếu có sẵn) để đóng khung các kiểu thông tin khác nhau + Sử dụng màu và đồ họa thích hợp + Sử dụng font chữ 3 Vào dữ liệu: + Tối thi u số hành động đưa vào mà người dùng thực hiện + Duy trì sự nhất quán giữa hiển thị thông tin và dữ liệu vào + Cho phép người... 1 cặp (11, 16) thỏa mãn điều kiện bài toán Nếu số 11 không phải là nữ thì cặp (1, 6) thỏa mãn điều kiện bài toán Nếu số 16 không phải là nữ thì có 2 cặp (1, 6) và (6, 11) thỏa mãn điều kiện bài toán Vậy luôn có ít nhất 2 nữ thỏa mãn yêu cầu đề toán đặt ra (ĐPCM) Bài 8: Xếp 12 quân cờ một cách tùy ý lên một bàn cờ vua có 8x8=64 ô vuông CMR luôn tìm được 4 hàng và 4 cột chứa tất cả 12 quân cờ nói trên