thể tích khối hình chóp

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 1 Phần I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học lớp 12, bài toán về tính thể tích của khối đa diện (đặc biệt là khối chóp) giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp trong những năm gần đây. Mặc dù vậy đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. Đối với học sinh giỏi, các em có thể làm tốt phần này. Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian. Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các bài toán về tính thể tích của khối chóp. Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn. Trước các lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “Phân loại giải bài tập về tính thể tích của khối chóp” nhằm cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính thể tích của khối chóp, một hệ thống bài tập đã được phân loại một cách tương đối tốt, qua đó giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán. Mặc dù vậy, vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên sự phân loại có thể chưa được triệt để và chỉ mang tính chất tương đối, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 2 Phần II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I. Cơ sở lí thuyết. Để tính thể tích của khối chóp ta có thể sử dụng một trong hai cách sau: 1. Tính trực tiếp dựa vào các định lí sau: Định lí 1. Cho khối chóp có đỉnh S và đáy là B. Kí hiệu V, S, h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của khối chóp. Khi đó 1 . 3 V S h = (1) Định lí 2 . Thể tích V của khối tứ diện ABCD được cho bởi công thức sau: 1 , . 6 V AB AC AD   =      (2) 2. Tính gián tiếp. a) Phương pháp trượt đỉnh, dãn đáy Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách thay đỉnh và mở rộng đáy, ta quy việc tính thể tích của khối chóp đã cho về việc tính thể tích của những khối chóp đặc biệt. Ta thường sử dụng những kết quả sau: Kết quả 1 . Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) và M, N ∈ ∆ thì ( ;( )) ( ;( )) M P N P d d = Kết quả 2 . Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N không trùng với I) thì ( ;( )) ( ;( )) M P N P d MI d NI = Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì ( ;( )) ( ;( )) 1 2 M P N P d d= nếu I là trung điểm của MN thì ( ;( )) ( ;( )) M P N P d d = Kết quả 3 . Cho tam giác ABC và điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = kMC (k > 0). Khi đó ABM ACM S kS = hay 1 ABM ABC k S S k = + Đặc biệt, nếu M là trung điểm của BC thì 2 ABM ABC S S = b) Phương pháp phân chia và lắp ghép khối đa diện . Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H 1 ) và (H 2 ) thì 1 2 H H H V V V = + hay 1 2 H H H V V V = − c) Phương pháp dùng công thức về tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác. Bài toán. Cho hình chóp tam giác S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy A’, B’, C’ không trùng với điểm S. Khi đó ta có công thức sau . ' ' ' . ' ' ' . . S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC = Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 3 II. Bài tập áp dụng 1. Phương pháp tính trực tiếp Cơ sở của phương pháp này là công thức 1 . 3 V S h = Phương pháp này thích hợp khi ta có thể dễ dàng tính được diện tích đáy S và chiều cao h của khối chóp. Một trong những dấu hiệu của nó là ta có thể xác định được chân đường vuông góc hạ từ đỉnh. Sau đây là một số ví dụ minh họa. Bài 1 . Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 3 a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’. Phân tích . Khối chóp A’.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và chiều cao là A’H (H là trung điểm của BC) nên bài này chúng ta áp dụng trực tiếp công thức. Lời giải . Gọi H là trung điểm của BC. Giả thiết suy ra A’H ⊥ (ABC) Ta có '. 1 ' . 3 A ABC ABC V A H S = 2 1 3 . 2 2 ABC a S AB AC= = Tam giác ABC vuông tại A suy ra 2 2 1 1 2 2 AH BC AB AC a = = + = Tam giác AHA’ vuông tại H suy ra 2 2 ' AA' 3 A H AH a = − = . Vậy 2 3 '. 1 1 3 . ' . . 3 3 3 2 2 A ABC ABC a a V S A H a = = = Bài 2 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; 2 , AB AD a CD a = = = ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. Phân tích . Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, theo giả thiết SI ⊥ (ABCD) nên SI là chiều cao của hình chóp. Lời giải . Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và cắt nhau theo giao tuyến SI suy ra SI ⊥ (ABCD). Bởi vậy . 1 . 3 S ABCD ABCD V S SI = Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 4 I D C B S A K 2 ( ) 3 2 ABCD AB DC AD S a + = = . Để tính SI ta sử dụng giả thiết góc giữa (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Cách 1 . Gọi K là hình chiếu của I trên BC, suy ra CB IK ⊥ . Kết hợp với CB SI ⊥ ta được CB SK ⊥ . Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc   0 60 SKI SKI ⇒ = Ta có 2 3 , 5 2 IBC ABCD ABI DCI a S S S S BC a = − − = = . Mặt khác 1 2 3 5 . 2 5 IBC IBC S a S BC IK IK BC = ⇒ = = . Tam giác SIK vuông tại I suy ra 0 3 15 tan60 5 SI IK a = = . Vậy 2 3 . 1 3 15 3 15 3 . 3 5 5 S ABCD V a a a = = Cách 2. Phương pháp tọa độ. Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O ≡ I, D(a ; 0 ; 0), C(a ; a ; 0), S(0 ; 0 ; h) suy ra B(-a ; 2a ; 0), A(-a ; 0 ; 0). Từ giả thiết góc giữa (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 ta tính được h. Bài 3 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = 2 a . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. a) Chứng minh SC ⊥ (AHK). b) Tính thể tích khối chóp OAHK. Phân tích. SC ⊥ (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác định được theo phương SC, hơn nữa, tam giác AHK cân nên ta tính được diện tích của nó. Lời giải . a) AH ⊥ SB, AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB)) ⇒ AH ⊥ SC Tương tự AK ⊥ SC. Vậy SC ⊥ (AHK) b) Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC ⇒ OJ ⊥ (AHK). Do đó 1 . 3 OAHK AHK V S OJ = SA = AC = 2 a ⇒ ∆SAC cân tại A ⇒ I là trung điểm của SC. O C A D B S H K Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 5 Vậy 1 1 1 .2 2 4 4 2 a OJ IC SC a = = = = . , SAD SAB AK AH SK SH ∆ = ∆ ⇒ = = Suy ra / / SK SH HK BD SD SB = ⇒ . AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên 2 2 2 2 3 3 3 HK SG a HK BD BD SO = = ⇒ = = . Tam giác AHK cân tai A, G là trung điểm của HK nên AG ⊥ HK và 2 2 1 1 2 . .2 3 3 2 3 3 a AG AI SC a= = = = 2 1 1 2 2 2 2 2 . . . 2 2 3 3 9 AHK a a a S AG HK= = = 2 3 1 1 2 2 2 . . . 3 3 9 2 27 OAHK AHK a a a V S OJ= = = Cách 2 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (OHK) bằng khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBD). Tứ diện ASBD vuông tại A nên 2 2 2 2 2 1 1 1 1 5 10 2 5 a h h AS AB AD a = + + = ⇒ = Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng 2 3 1 1 10 2 2 5 1 2 . . . 2 2 6 3 9 3 27 a a a a S OG HK V Sh= = = ⇒ = = Cách 3 . Giải bằng phương pháp tọa độ như sau: Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O ≡ A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; 2 a ). Tính SH, SK suy ra tọa độ của H 2 2 0; ; 3 3 a a       , K 2 2 ;0; 3 3 a a       , O ; ;0 2 2 a a       Áp dụng công thức 1 , . 6 V AH AK AO   =      Bài 4 Cho Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0 . Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF. Phân tích. Dễ thấy BD ⊥ (SAC), EF // BD ⇒ EF ⊥ (SAC). Mặt khác tam giác SAC cân và có một góc bằng 60 0 nên SAC đều, do đó tính được diện tích ∆SAM. Lời giải . Cách 1 . Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I là giao điểm của AM và SO. Dễ thấy EF đi qua I và EF // BD và ( ) SO ABCD ⊥ . BD ⊥ AC, BD ⊥ SO ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ EF ⊥ (SAC). Ta có OA là hình chiếu của SA trên (ABCD) nên góc giữa SA và Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 6 (ABCD) là góc  SAO . Tam giác SAC cân tại S và có  0 60 SAO = nên tam giác SAC đều cạnh 2 a suy ra 2. 3 1 2 , 2 2 2 a a AM SM SC = = = và AM ⊥ SC. Do tính đối xứng nên 3 . 1 2 1 6 2 2. . . . . . . 3 3 2 18 S AEMF EAMS AMS a V V S EI AM SM EI = = = = Cách 2 . EF ⊥ (SAC) ⇒ EF ⊥ AM. Lại có SC ⊥ BD ⇒ SC ⊥ EF, do đó SC ⊥ (AEMF). EF // BD ⇒ 2 2 2 2 3 3 3 EF SI a EF BD BD SO = = ⇒ = = (I là trọng tâm tam giác SAC) Tứ giác AEMF có AM ⊥ EF nên 2 1 3 . 2 3 AEMF a S AM EF = = . Vậy thể tích V của hình chóp S.AEMF là 2 3 1 1 3 2 6 . . . 3 3 3 2 18 AEMF a a a V S SM = = = Cách 3. Phương pháp tọa độ. Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O là tâm của hình vuông ABCD, B 2 ;0;0 2 a       , C 2 0; ;0 2 a       , S 6 0;0; 2 a       Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có độ dài cạnh SA bằng x, tất cả các cạnh còn lại đều có độ dài bằng 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo x và tìm x để thể tích đó lớn nhất. Phân tích. Chân đường vuông góc hạ từ S xuống (ABCD) thuộc AC nên ta xác định được đường cao. OA OC OS = = nên tam giác SAC vuông tại S, do vậy tính được SH, AC và diện tích của ABCD. Lời giải . Gọi H là hình chiếu của S trên mp(ABCD). Do SB = SC = SD nên HB = HC = HD suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tam giác BCD cân tại C nên H thuộc CO, O là giao của AC và BD. CBD ABD SBD ∆ = ∆ = ∆ OC OA OS SAC ⇒ = = ⇒ ∆ vuông tại S 2 1 AC x ⇒ = + . 2 2 2 1 1 1 1 x SH SH SA SC x 2 = + ⇒ = + ABCD là hình thoi 2 2 2 1 3 2 AC BD OB AB AO x ⇒ ⊥ ⇒ = − = − F E I M D C A B S O Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 7 2 2 2 1 1 1 . 1. 3 3 2 2 6 ABCD S AC BD x x V x x = = + − ⇒ = − áp dụng BĐT Côsi ta có 2 2 2 1 1 3 1 3 . 6 6 2 4 x x V x x + − = − ≤ = Đẳng thức xảy ra 6 2 x ⇔ = . Vậy V lớn nhất khi 6 2 x = Bài 6 Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Lấy một điểm S thuộc mặt cầu, xét ba điểm A, B, C thuộc mặt cầu sao cho SA = SB = SC và    ASB BSC CSA α = = = ( 0 0 0 90 α < < ). Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo R và α Phân tích. Từ giả thiết suy ra S.ABC là hình chóp đều, bởi vậy tính được . S ABC V theo α và SA = a. Giả sử SO cắt (S) tại S’, khi đó tâm I của tam giác ABC thuộc SS’ và tam giác SAS’ vuông tại A nên tính được a Theo R và α . Lời giải . Theo giả thiết S.ABC là hình chóp đều Gọi I là trọng tâm ABC ∆ thì I cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC ∆ và ( ) SI ABC ⊥ Do OA OB OC = = nên O SI ∈ . Giả sử SI cắt lại mặt cầu tại S ’ thì SS ’ = 2R Đặt SA = SB = SC = a. ' SAS ∆ vuông tại A nên SA 2 = SI.SS ’ 2 2 ' 2 SA a SI SS R ⇒ = = Trong tam giác SAB ta có 2 2 2 2 . .cos AB SA SB SA SB α = + − 2 2 2 2 (1 cos ) 4 sin 2 .sin 2 2 a a AB a α α α = − = ⇒ = 2 4 0 2 2 2 2 2 1 1 3 . .sin 60 3sin 3sin . sin 2 2 3 2 2 6 2 ABC a a S AB AC a V a R R α α α ∆ = = ⇒ = = Để tính a theo R và α , ta chú ý rằng 2 3 AI AJ = , J là trung điểm BC 3 2 3sin 3sin 2 2 3 2 AB AJ a AI a α α = = ⇒ = . Tam giác SAI vuông tại I nên 2 2 2 SA SI AI = + 4 2 2 2 2 2 4 4 sin 2 1 sin 4 3 2 3 2 a a a a R R α α ⇒ = + ⇒ = − Vậy 3 2 2 2 3 2 8 3 4 8 3 3 sin (1 sin ) sin 3 2 3 2 27 2 V R R α α α = − = S A C O B J S’ I O A B C D S H Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 8 Bài 7 . Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA đều tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC. Phân tích. Từ giả thiết tính được diện tích ∆ABC. Các mặt bên hợp với đáy góc 60 0 nên chân đường vuông góc hạ từ S xuống mp(ABC) trùng với tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC, bởi vậy tính được đường cao. Lời giải . Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC); E, F, I lần lượt là hình chiếu của H trên AB, BC, CA. Khi đó SH ⊥ (ABC) AB ⊥ SH, AB ⊥ HE ⇒ AB ⊥ SE ⇒  0 60 SEH = . Tương tự   0 60 SFH SIH = = . Các tam giác vuông SHE, SHF, SHI bằng nhau suy ra HE = HF = HI = r (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC). Kí hiệu p, S lần lượt là nửa chu vi và diện tích của tam giác ABC, khi đó p = 9a, S = 2 6 6 a (theo công thức hêrông). Mặt khác 2 6 3 S a S pr r P = ⇒ = = . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHE ta có 0 tan60 2 2 SH r a = = . Vậy 2 3 1 1 . .6 6 .2 2 8 3 3 3 SABC V S SH a a a = = = Bài 8 . Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 , tam giác ABC vuông tại C và  0 60 BAC = . Hình chiếu của điểm B’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Phân tích . Gọi G là trọng tâm ∆ABC thì B’G ⊥ (ABC), A’B’ // (ABC) nên ( ';( )) ( ';( )) ' A ABC B ABC d d B G = = . Từ đó tính được B’G và diện tích ∆ABC. Lời giải . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó B’G ⊥ (ABC), góc giữa BB’ và mặt phẳng (ABC) là góc  ' B BG  0 ' 60 B BG ⇒ = . Ta có A’B’ // (ABC) ( ';( )) ( ';( )) ' A ABC B ABC d d B G = = . A C B H S E F I a A' C' G M B A C B' Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 9 Vậy ' 1 . ' 3 A ABC ABC V S B G = . Tam giác BB’G có 0 '.cos60 2 a BG BB = = , 0 3 ' '.sin60 2 a B G BB= = . Ta có 3 3 2 4 a BM BG= = . Tam giác ABC vuông tại C và có góc  0 60 BAC = nên nếu đặt AB = 2x thì AC = x ⇒ MC = 2 x , BC = 3 x . Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông BCM ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 9 3 1 3 9 3 3 . 16 4 4 2 2 32 ABC a x a x a BM BC MC x x S CB CA= + ⇔ = + ⇔ = ⇒ = = = Vậy 2 3 ' 1 9 3 3 9 . . 3 32 2 64 A ABC a a a V = = *Nhận xét. Ở bài toán trên ta đã thay đỉnh A’ bằng đỉnh B’ mà thể tích không thay đổi, trong khi với đỉnh B’ ta dễ dàng xác định được chân đường vuông góc. Việc làm này nhiều khi rất thuận lợi và đó chính là nội dung của phương pháp 2 sau đây 2. Phương pháp trượt đỉnh, dãn đáy Cơ sở của phương pháp này là bằng cách thay đỉnh và mở rộng đáy, ta quy việc tính thể tích của khối chóp đã cho về việc tính thể tích của những khối chóp đặc biệt. Bài 9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = 2 a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP. Phân tích. Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC là dễ dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính thể tích của khối tứ diện AMNP về việc tính thể tích của các khối chóp nói trên. Trong các mặt của khối tứ diện AMNP ta thấy tam giác AMN có thể mở rộng thành tam giác SAB, khoảng cách từ P đến (AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C đến (SAB). Lời giải . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO ⊥ (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên 1 1 2 4 AMN ANS ABS S S S = = ( ;( )) ( ;( )) / /( ) P AMN C AMN PC AMN d d ⇒ = . Vậy . ( ;( )) ( ;( )) 1 1 1 . . . 3 3 4 P AMN AMN P AMN ABS C AMN V S d S d= = P N M O B D C A S Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 10 . . 1 1 1 1 . . 4 4 4 3 C ABS S ABC ABC V V S SO = = = ; 2 2 2 1 6 , 2 2 ABC a S a SO SA AO= = − = . Vậy 3 2 1 1 6 6 . . 12 2 2 48 AMNP a a V a= = Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB = a, AD = 2a, góc  0 30 ABC = ; SA = 3a và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và SD, O là giao điểm của AC và BD. Tính thể tích khối tứ diện OAMN. Phân tích. Khối tứ diện OAMN có mặt AOM có thể mở rộng thành tam giác SAC, khoảng cách từ N đến (AOM) có thể thay bằng một nửa khoảng cách từ D đến (SAC). Lời giải . Ta có ( ;( )) 1 . . 3 OAMN OAM N OAM V S d= . O, M lần lượt là trung điểm của AC và SC nên 1 1 2 4 OAM CAM SAC S S S = = , đường thẳng DN cắt (OAM) tại S và N là trung điểm của SD nên ( ;( )) ( ;( )) ( ;( )) 1 1 2 2 N OAM D OAM D SAC d d d= = . Vậy 3 0 ( ;( )) . 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . . .sin30 . 3 4 4 4 3 12 2 8 OAMN SAC D SAC S ACD ACD a V S d V S SA DA DC SA = = = = = Bài 11 Cho tứ diện ABCD có , ; AB a CD b = = góc ( , ) AB CD α = , khoảng cách giữa AB và CD bằng d . Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo , , a b d và α . Phân tích. Nếu dựng hbh BCDE thì tam giác ABE hoàn toàn xác định và BCD BDE S S = nên . ABCD ABDE D ABE V V V = = Lời giải . Dựng hình bình hành BCDE suy ra / / BE CD và BE CD b = = , góc giữa AB và CD bằng hoặc bù với góc   sin sin ABE ABE α ⇒ = . BCD BDE S S = ⇒ b b a C E D B A O N M C A D B S [...]... tạp hoặc chưa tính thể tích ngay được thì ta có thể phân chia khối chóp thành những khối chóp đơn giản hơn mà việc tính thể tích của những khối chóp được phân chia là khả quan hoặc ta có thể coi khối chóp đã cho là phần bù của một khối chóp khác Bài 15 Cho khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có thể tích V Tính thể tích khối tứ diện ACB ' D ' theo V A' D' B' Phân tích Việc tính trực tiếp thể tích của tứ diện... chỗ: khi đã biết thể tích của khối chóp S.ABC và các tỉ số nói trên thì ta sẽ tính được thể tích của khối chóp S.A’B’C’ (đôi khi việc tính trực tiếp thể tích của khối chóp S.A’B’C’ gặp nhiều khó khăn) Ta sẽ minh họa điều này bằng một số ví dụ sau Bài 17 Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC, CAD, DAB đều bằng 600 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c Phân tích Nếu a = b =... phẳng (SBC) Bài 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng 2a Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của nó nhỏ nhất Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó Bài 4 Cho khối chóp tứ giác đều có... tỉ số thể tích ta có VA BCD AB AC AD bc bc a 3 2 abc 2 = = ⇒ VA.BCD = 2 = 12 VA BC ' D ' AB AC ' AD ' a 2 a 12 D’ C’ C Bài 18 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM Phân tích Ta dễ dàng tính được thể tích của khối chóp. .. hệ thống về bài toán tính thể tích của khối chóp, từ đó có kĩ năng giải thành thạo các bài toán thuộc chủ đề này và hơn thế có thể sử dụng thể tích như một công cụ để tính khoảng cách, chứng minh đẳng thức và một số vấn đề khác 2 Giải quyết một cách tương đối triệt để bài toán về tính thể tích của khối chóp 3 Thông qua việc vẽ hình, tính toán, tìm con đường tối ưu để tính thể tích, tạo cho các em khả... Bài 21 Cho hình chóp O.ABCD có ABCD là hình bình hành, AC cắt BD tại I, P là trung điểm của OI Xét các mặt phẳng chứa AP, mặt phẳng đó cắt OB, OC, OD lần lượt tại M, K, N Gọi V1 và V lần lượt là thể tích của các khối chóp O.AMKN và O.ABCD Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tỷ số V1 V Phân tích Do đáy ABCD là hình bình hành và yêu cầu bài toán là tính tỉ số thể tích nên ta phân chia khối chóp O.AMKN... b C A3 3 Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mp(SAB) vuông góc với mp đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN S Phân tích Tam giác ABS vuông tại S nên ta tính được SH Diện tích tứ giác BMDN có thể tính gián tiếp qua diện tích của hình vuông ABCD Lời giải... tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c Phân tích Nếu a = b = c thì tứ diện ABCD là hình chóp đều đỉnh A nên ta tính được thể tích của nó Nếu a, b và c không đồng thời bằng nhau thì ta lấy C’ và D’ trên các tia AC, AD sao cho AC’ = AD’ = a để được hình chóp đều Tiếp theo ta dùng công thức tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp A.BCD A Lời giải Không giảm tổng quát, giả sử a nhỏ nhất Trên các tia AC,... nhọn) a) Tính thể tích V của khối tứ diện OABC theo α , β , γ , a, b, c b) Giả sử A, B, C di động sao cho a + b + c = 3k (k là hằng số dương) Tìm giá trị nhỏ nhất của V Bài 7 Cho khối lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của B ' C ' và C ' D ' Mặt phẳng (AMN) chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích của hai khối đa diện đó Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD... Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB = a, AD = 2a; SA vuông góc với đáy và SA = a 3 Gọi B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC, SD a) Chứng minh rằng A, B’, C’, D’ đồng phẳng b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ C' D' B' D C 2a O Phân tích Do AB ', AC ', AD ' cùng vuông A a B góc với SC nên chúng đồng phẳng Để làm câu b) ta lưu ý rằng công thức tỉ số của hai khối chóp . góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. Phân tích . Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, theo giả thiết SI ⊥ (ABCD) nên SI là chiều cao của hình chóp 90 α < < ). Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo R và α Phân tích. Từ giả thiết suy ra S.ABC là hình chóp đều, bởi vậy tính được . S ABC V theo α và SA = a. Giả sử SO cắt (S) tại S’,. đó tâm I của tam giác ABC thuộc SS’ và tam giác SAS’ vuông tại A nên tính được a Theo R và α . Lời giải . Theo giả thiết S.ABC là hình chóp đều Gọi I là trọng tâm ABC ∆ thì I cũng là tâm