Chun đ phương trình b c hai Chun đ 3: Biên so n : Lê Kỳ H i Phương trình b c hai – ñ nh lý viet A KiÕn thức cần nhớ I.Định nghĩa : Phơng trình bậc hai ẩn phơng trình có dạng ax + bx + c = x ẩn; a, b, c số cho trớc gọi hệ số a II.Công thức nghiệm phơng trình bậc hai : Phơng trình bËc hai ax + bx + c = (a ≠ 0) ∆ = b − 4ac Nếu > phơng trình có hai nghiệm phân biÖt : x1 = −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a NÕu ∆ = phơng trình có nghiệm kép : x1 = x2 = b 2a Nếu < phơng trình vô nghiệm III.Công thức nghiệm thu gọn : Phơng trình bËc hai ax + bx + c = (a ≠ 0) vµ b = 2b ' ∆ ' = b '2 − ac NÕu ∆ ' > phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = −b '+ ∆ ' − b '− ∆ ' ; x2 = a a NÕu ∆ ' = phơng trình có nghiệm kép : x1 = x2 = −b ' a NÕu ∆ ' < phơng trình vô nghiệm IV.Hệ thức Vi-et vµ øng dơng : NÕu x1 ; x2 lµ hai nghiệm phơng trình ax + bx + c = (a ≠ 0) th× : Trang Chun đ phương trình b c hai Biên so n : Lê Kỳ H i b x1 + x2 = − a c x x = a Muèn t×m hai sè u vµ v, biÕt u + v = S, uv = P, ta giải phơng trình : x - Sx + P = (Điều kiện để cã u vµ v lµ S2 − 4P ≥ ) NÕu a + b + c = phơng trình ax + bx + c = (a ≠ 0) cã hai nghiÖm : x1 = 1; x2 = c a NÕu a - b + c = phơng trình ax + bx + c = (a ≠ 0) cã hai nghiÖm : x1 = −1; x2 = − c a V.Cách giải số dạng toán phơng trình bậc hai : Bài toán 1: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax + bx + c = (trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m) tháa m·n Cã hai nghiƯm ph©n biƯt a ≠ a ≠ ⇔ hc ' ∆ >0 ∆ > Cã mét nghiÖm hay nghiÖm kÐp a ≠ a ≠ a = ⇔ hc hc ' b ≠ ∆ = ∆ = V« nghiƯm a ≠ a ≠ ⇔ hc ' ∆ < ∆ < Cã Hai nghi m d u ∆' ≥ ∆ ≥ ⇔ hc c c P = a > P = > a Cã hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ P hc a b S = − a > ∆' ≥ c P = > a b S = − a > Cã hai nghiƯm ©m ∆ ≥ c ⇔ P = > hc a b S = − a < ∆' ≥ c P = > a b S = − a < Cã hai nghiƯm ®èi ∆ ≥ ⇔ S = Có hai nghiệm nghịch đảo ⇔ P = 10 Cã hai nghiÖm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lín h¬n a.c < ⇔ S < a.c < 11 Cã hai nghiƯm tr¸i dÊu nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ S > B Bµi tËp : Dạng : Giải phơng trình Bài Giải phơng trình sau : x = x − x = −2 x + x + = x + x = x − x = x + = x − = x + x + = 10 x + x + = 11 x + x + = 12 25 x − 20 x + = 13 x − x − = 14 x + − x − = 15 x − + x + = x+2 +3= x−5 2− x ( ) ( ) Dạng : Không giải phơng trình hÃy tính tổng, tích hai nghiệm, tính nghiệm lại biÕt tr−íc mét nghiƯm Trang Chun đ phương trình b c hai Biên so n : Lê Kỳ H i Bài Cho phơng trình x - 8x + 15 = , không giảI phơng trình hÃy tÝnh x1 + x2 x1.x2 ( x1 + x2 ) 1 + x1 x2 1 + x1 x2 3 x1 + x2 10 x1 − x2 − + x1 x2 11 13 1- x1 1- x2 + x1 x2 14 x1 + 2 16 x1 - x2 1 + x1 − x2 − 1 + x2 + x1 x2 17 x1 x2 + x2 x1 2 x1 + x2 x1 x2 + x2 x1 4 x1 + x2 12 x1 − x2 15 x1 + x2 + + x2 x1 8 18 x1 + x2 Bài Cho phơng trình x + x + = , cã hai nghiệm x1 , x2 , không giảI phơng trình hÃy tÝnh : A= x12 + +10 x1 x2 + x2 x1 x2 + x13 x2 Bài Cho phơng trình x - 2mx + = Cã mét nghiÖm 2, hÃy tìm m tính nghiệm lại Cho phơng trình x + x + q = , Cã mét nghiƯm b»ng 5, t×m q tính nghiệm lại Dạng : Tìm hai sè biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng Bµi T×m hai sè a, b biÕt Tỉng cđa chóng b»ng 27 vµ tÝch cđa chóng b»ng 180 Tỉng cđa chóng b»ng vµ tÝch cđa chóng b»ng -315 Tỉng cđa chóng b»ng vµ tÝch cđa chúng 50 Bài Tìm hai số u, v biÕt u + v = 32 vµ u.v = 231 u + v = −8 vµ u.v = −105 u − v = vµ u.v = 24 u + v = 85 vµ u.v = 18 Trang Chuyên ñ phương trình b c hai Biên so n : Lê Kỳ H i u + v = 25 vµ u.v = −12 u − v = 10 u.v = 24 Dạng : Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm Bài Lập phơng trình bậc hai biết x1 = vµ x2 = x1 = vµ x2 = −7 x1 = + vµ x2 = − x1 = 1 vµ x2 = 2+ 3 Bài Giả sử x1 , x2 hai nghiệm cửa phơng trình x x = Không giải phơng trình, hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm sau : −2 x1 vµ −2 x2 x1 vµ x2 x1 + 1 vµ x2 + x2 x1 x1 + x +1 vµ x2 x1 1 vµ x1 x2 1 vµ x2 + x1 + Bµi Gọi p, q hai nghiệm phơng trình x + x + = Không giảI phơng trình, hÃy lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm p q vµ q −1 p −1 Bµi Chøng minh r»ng nÕu a1 , a lµ hai nghiƯm cđa phơng trình x + px + = b1 , b2 hai nghiệm phơng trình x + qx + = th× : ( a1 − b1 )( a2 − b2 )( a1 + b1 )( a2 + b2 ) = ( q − p ) Bµi Chøng minh tích nghiệm phơng trình x + ax + = víi mét nghiƯm nµo phơng trình x + bx + = th× : 1 − − = ab a b 2 Bµi Cho phơng trình x + px + q = chøng minh r»ng nÕu p − 9q = , phơng trình có hai nghiệm nghiệm gấp đôi nghiệm Dạng 5: Tìm điều kiƯn cđa tham sè ®Ĩ tháa m·n vỊ sù cã nghiệm phơng trình bậc hai Bài Cho phơng tr×nh x − x + m − = , tìm m để phơng trình Trang Chun đ phương trình b c hai Biên so n : Lê Kỳ H i Cã hai nghiƯm ph©n biƯt Cã nghiƯm kÐp V« nghiƯm Cã hai nghiƯm tr¸i dÊu Cã hai nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n x12 + x2 = Bài Cho phơng trình x x − m + = , t×m m để phơng trình Có nghiệm Có hai nghiệm trái dấu Có hai nghiệm dơng Bài Cho phơng trình ( m 1) x 2mx + m − = Cã hai nghiệm x1 , x2 Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc giá trị m Bµi Gäi x1 , x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình ( m 1) x 2mx + m − = Chøng minh r»ng biÓu thøc A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 không phụ thuộc giá trị m Bài Cho phơng trình x ( m + ) x + ( m + ) = Tìm m để phơng tr×nh cã hai nghiƯm x1 , x2 tháa : x1 = x2 Khi tìm cụ thể hai nghiệm phơng trình Bài Cho phơng trình x − x + m = T×m m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 tháa mét c¸c hƯ thøc sau : 2 x1 + x2 = 50 x1 = x2 x1 + x2 = 26 x1 − x2 = D¹ng 6: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức nghiệm Bài Cho phơng trình x + ( 2m − 1) x − m = Gäi x1 , x2 lµ hai nghiƯm phơng trình, tìm m để : A = x12 + x2 x1 x2 có giá trị nhá nhÊt Trang Chun đ phương trình b c hai Biên so n : Lê Kỳ H i Bµi Cho phơng trình x mx + m − = , Gäi x1 , x2 lµ hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức : B = x1 x2 + x + x2 + ( x1 x2 + 1) Bài Cho phơng trình x 2(m 1) x − − m = Gäi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình, tìm giá trị m để x12 + x2 10 Bài Cho phơng trình x 2(m − 4) x + m − = Xác định m để phơng trình có hia nghiệm x1 , x2 tháa m·n : A = x1 + x2 x1 x2 , đạt giá trị lín nhÊt 2 B = x12 + x2 − x1 x2 , đạt giá trị nhỏ Dạng 7: Các toán tổng hợp Bài Cho phơng trình: x − ( m + 3) x + m2 + = Giải phơng trình với m = -1 m = Tìm m để phơng trình có nghiệm x = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mÃn điều kiện x1 = x2 Bài Cho phơng trình : ( m + 1) x + 4mx + 4m − = Giải phơng trình với m = -2 Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt Với giá trị m phơng trình đà cho vô nghiệm Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoà mÃn điều kiện x1 = x2 Bài Cho phơng trình: x − mx + 2m − = Giải phơng trình với m = - Tìm m để phơng trình có nghiệm kép Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Trang Chun đ phương trình b c hai Biên so n : Lê Kỳ H i T×m hƯ thøc hai nghiệm phơng trình không phụ thuộc vào m Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài Cho phơng trình: x ( m − 1) x + m − 3m = Giải phơng trình với m = - 2 Tìm m để phơng trình có nghiệm x = Tìm nghiệm lại Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 vµ x2 tháa m·n: x12 + x2 = Tìm giá trị nhỏ A = x12 + x2 Bài Cho phơng tr×nh: x − ( 2a − 1) x −4a − = Chøng minh r»ng ph−¬ng trình có nghiệm với giá trị a Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào a Tìm giá trị nhỏ nhật cđa biĨu thøc A = x12 + x2 Bài Cho phơng trình: x ( 2m − ) x + m −13 = Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt Tìm giá trị nhỏ biểu thøc A = x1 x2 − x12 − x2 Bài Cho phơng trình: ( m 1) x + 2mx + m +1 = Giải phơng trình với m = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 x2 tho¶ m·n: A = x12 x2 + x2 x1 Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài Cho phơng tr×nh: mx − ( m + 1) x + ( m − ) = (m tham số) Xác định m để nghiệm x1 ; x2 phơng trình thoả mÃn x1 + x2 = T×m mét hƯ thøc x1 ; x2 mà không phụ thuộc vào m Trang Chun đ phương trình b c hai Biên so n : Lê Kỳ H i Bµi Cho phơng trình mx ( m + 1) x + ( m − ) = Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? Xác định m để nghiệm x1 ; x2 phơng trình thoả mÃn: x1 + x2 = T×m mét hƯ thøc x1 ; x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 10 Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng tr×nh: x + ( m + 1) x + m + 4m + = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x1 x2 − x1 − x2 Bµi 11 Cho phơng trình x ( m + ) x + m + = (1) Giải phơng trình (1) m = - 3/2 Tìm giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu Gọi x1 , x2 nghiệm pt (1), tìm giá trị m để: x1 (1 x2 ) + x2 (1 − x1 ) = m2 Bài 12 Cho phơng trình x2 - 2mx + 2m - = Chứng tỏ phơng trình có nghiệm x1 , x2 với m Đặt A = ( x12 + x2 ) − x1 x2 a Chøng minh A = 8m − 18m + b T×m m cho A = 27 Tìm m cho phơng trình có nghiệm lần nghiệm Trang Chun đ phương trình b c hai Biên so n : Lờ K H i Bài 13 Cho phơng tr×nh x + mx + n − = (m, n lµ tham sè) Cho n = 0, chứng tỏ phơng trình có nghiệm với mäi m x1 − x2 = Tìm m n để nghiệm x1 , x2 phơng trình thỏa mÃn hệ: 2 x1 x2 = Bài 14 Cho phơng trình ( 2m − 1) x − 4mx + = Giải phơng trình với m = Giải phơng trình với m Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm m Bài 15 Cho phơng trình ( m 3) x − ( m + 1) x − 3m + = Chøng minh r»ng phơng trình có nghiệm với m Cho m = 5, không giải phơng trình hÃy tính giá trị cđa biĨu thøc: A = x12 + x2 vµ B = x13 + x23 Tìm tất giá trị m để phơng trình có nghiệm số nguyên Bài 16 Cho phơng trình x + ( m − 1) x − ( m + 1) = Giải phơng trình m = Tìm m để phơng trình cã mét nghiƯm nhá h¬n 1, mét nghiƯm lín h¬n Tìm m để phơng trình có hai nghiệm nhá h¬n Trang 10 Chun đ phương trình b c hai Biên so n : Lê Kỳ H i Bài 17 Cho phơng trình x ( m − 3) x − ( m − 1) = Chứng minh phơng trình có nghiệm với m Chứng minh phơng trình không thĨ cã nghiƯm b»ng - BiĨu thÞ x1 theo x2 Bài 18 Tìm m để phơng trình ( m − ) x − ( m − ) x + m − = cã Hai nghiÖm cïng dÊu Hai nghiÖm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn Đúng nghiệm dơng Có nghiệm không âm Bài 19 Cho phơng trình : x − 2mx + m − = Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn phơng trình Bài 20 Cho phơng trình x 2(m + 1)x + 2m + 10 = (víi m lµ tham sè) Giải biện luận số nghiệm phơng trình Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ; hÃy tìm hệ thức liên hệ x1; x2 mà không phụ thuộc vào m Tìm giá trị m để A = 10 x1 x2 + x12 + x2 đạt giá trị nhỏ Bài 21 Cho phơng trình (m − 1)x − 2mx + m + = với m tham số CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt m Trang 11 Chun đ phương trình b c hai Biên so n : Lờ K H i Xác định giá trị m dể phơng trình có tích hai nghiệm 5, từ hÃy tính tổng hai nghiêm phơng trình Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mÃn hÖ thøc: x1 x2 + + = x2 x1 n Bài 21 Giả sử phơng trình a.x + bx + c = cã nghiÖm phân biệt x1; x2 Đặt S n = x1n + x2 (n nguyên dơng) CMR a.S n + + bS n +1 + cS n = 5 1+ 1− áp dụng Tính giá trị : A= + Bài 22 Cho phơng trình : x − (2m − 3)x + m − 3m = CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mÃn < x1 < x2 < ============== H T =============== Trang 12 ... + x1 − x2 − 1 + x2 + x1 x2 17 x1 x2 + x2 x1 2 x1 + x2 x1 x2 + x2 x1 4 x1 + x2 12 x1 − x2 15 x1 + x2 + + x2 x1 8 18 x1 + x2 Bài Cho phơng trình x + x + = , cã hai nghiệm x1 , x2 , không... phơng trình x - 8x + 15 = , không giảI phơng trình hÃy tÝnh x1 + x2 x1.x2 ( x1 + x2 ) 1 + x1 x2 1 + x1 x2 3 x1 + x2 10 x1 − x2 − + x1 x2 11 13 1- x1 1- x2 + x1 x2 14 x1 + 2 16 x1 - x2 1... : ? ?2 x1 vµ ? ?2 x2 x1 vµ x2 x1 + 1 vµ x2 + x2 x1 x1 + x +1 vµ x2 x1 1 vµ x1 x2 1 vµ x2 + x1 + Bµi Gọi p, q hai nghiệm phơng trình x + x + = Không giảI phơng trình, hÃy lập phơng trình bậc