Chường 4- Lý thuyết môđun

CHƯƠNG 4. MÔĐUN NỘI XẠ VÀ XẠ ẢNH 1. M-xạ ảnh và M-nội xạ 1.1. Các định nghĩa và tính chất. Cho U R là một môđun. Nói chung các hàm tử Hom R (U, −) và Hom R (−, U) là không khớp. Ví dụ dễ dàng thấy rằng cả Hom ZZ (ZZ 2 , −) và Hom ZZ (−, ZZ 2 ) không khớp khi ta cho dãy khớp ngắn 0 −→ ZZ −→ ZZ −→ ZZ 2 −→ 0. Tuy nhiên trong một vài trường hợp đặc biệt các hàm tử Hom R (U, −) và Hom R (−, U) khớp. Ta sẽ xét đến chúng như sau: ĐỊNH NGHĨA 1.1. Cho U R là một môđun. Nếu M R là một môđun, thì U được gọi là xạ ảnh theo M (hay U là M-xạ ảnh) trong trường hợp với mọi toàn cấu g : M R −→ N R và mỗi đồng cấu ν : U R −→ N R tồn tại một R-đồng cấu ¯ν : U −→ M sao cho giản đồ sau giao hoán U M N 0 ❄ ν ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ✠ ¯ν ✲ g ✲ Đối ngẫu ta có: ĐỊNH NGHĨA 1.2. Cho U R là một môđun. Nếu M R là một môđun, thì U được gọi là nội xạ theo M (hay U là M-nội xạ) trong trường hợp với mọi đơn cấu f : K R −→ M R và mỗi đồng cấu ν : K R −→ U R tồn tại một R-đồng cấu ¯ν : M −→ U sao cho giản đồ sau giao hoán U 0 K M ✲ ✻ ν ✲ f ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ■ ¯ν Mệnh đề sau khẳng định tính khớp của Hom R (U, −) và Hom R (−, U). MỆNH ĐỀ 1.3. Cho U và M là các R-môđun phải. Lúc đó các điều kiện sau là tương đương. (a) U là M-xạ ảnh. (b) Mọi dãy khớp ngắn trong Mod-R với M nằm ở giữa 0 −→ K f −→ M g −→ N −→ 0, 1 thì dãy sau cũng khớp 0 −→ Hom R (U, K) f ∗ −→ Hom R (U, M) g ∗ −→ Hom R (U, N) −→ 0, (c) Với mỗi môđun con K R ≤ M R , mỗi R-đồng cấu h : U −→ M/K, tồn tại ¯ h : U −→ M sao cho η K ¯ν = ν trong đó η K là toàn cấu tự nhiên từ M vào M/K. Đối ngẫu với Mệnh đề IV. 1.3, ta có: MỆNH ĐỀ 1.4. Cho U và M là các R-môđun phải. Lúc đó các điều kiện sau là tương đương. (a) U là M-nội xạ. (b) Mọi dãy khớp ngắn trong Mod-R với M nằm ở giữa 0 −→ K f −→ M g −→ N −→ 0, thì dãy sau cũng khớp 0 −→ Hom R (N, U) g ∗ −→ Hom R (M, U) f ∗ −→ Hom R (K, U) −→ 0, (c) Với mỗi môđun con K R ≤ M R , mỗi R-đồng cấu h : K −→ U, đều có thể mở rộng đến một đồng cấu ¯ h : M −→ U. CHÚ Ý 1.5. a) Môđun P R được gọi là xạ ảnh nếu nó là M-xạ ảnh với mọi M ∈ Mod−R. (a) Môđun Q R được gọi là nội xạ nếu nó là M-nội xạ với mọi M ∈ Mod − R. HỆ QUẢ 1.6. (a) môđun P R là xạ ảnh khi và chỉ khi hàm tử hiệp biến cọng tính Hom R (P, −) là khớp trong Mod-R. (b) môđun Q R là nội xạ khi và chỉ khi hàm tủ phản biến cọng tính Hom R (−, Q) là khớp trong Mod-R. 2. môđun xạ ảnh và nội xạ. Từ Định nghĩa IV.1.1, IV.1.2, chú ý IV.1.5, ta khai tr iển chi tiết ra như sau: ĐỊNH NGHĨA 2.1. Cho P R là một môđun. Lúc đó P được gọi là xạ ảnh trong trường hợp với mọi toàn cấu β : B −→ C và mỗi đồng cấu ψ : P −→ C tồn tại một đồng cấu λ : P −→ B sao cho ψ = βλ, nghĩa là, giản đồ sau giao hoán P B C 0 ❄ ψ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ✠ λ ✲ β ✲ ĐỊNH NGHĨA 2.2. Cho Q R là một môđun. Lúc đó Q được gọi là nội xạ trong trường hợp với mọi đơn cấu f : K R −→ M R , với mọi K R , M R và mỗi đồng cấu ν : K R −→ U R tồn tại 2 một R-đồng cấu ¯ν : M −→ U sao cho ¯νf = ν, nghĩa là, giản đồ sau giao hoán U 0 K M ✲ ✻ ν ✲ f ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ■ ¯ν Ta có các mệnh đề đặc trưng các môđun nội xạ và xạ ảnh như sau. MỆNH ĐỀ 2.3. Cho P là R-môđun phải. L úc đó các điều kiện sau là tương đương. (a) P là xạ ảnh. (b) Với mỗi toàn cấu ϕ : B −→ P là chẻ ra, nghĩa là ker ϕ là hạng tử trực tiếp của B. (b) Mọi toàn cấu β : B −→ C thì ánh xạ Hom R (1 P , β) : Hom R (P, B) −→ Hom R (P, C) là một toàn cấu. Đối ngẫu ta có: MỆNH ĐỀ 2.4. Cho Q là R-môđun phải. Lúc đó các điều kiện sau là tương đương. (a) Q là nội xạ. (b) Với mỗi đơn cấu ϕ : Q −→ B là chẻ ra, nghĩa là im ϕ là hạng tử trực tiếp của B. (c) Mọi đơn cấu α : A −→ B thì ánh xạ Hom R (α, 1 Q ) : Hom R (B, Q) −→ Hom R (A, Q) là một toàn cấu. (d) Tiêu chuẩn Baer: Mỗi iđêan phải U ≤ R R và mỗi đồng cấu ρ : U −→ Q tồn tại đồng cấu τ : R R −→ Q sao cho ρ = τ ν, trong đó ν là phép nhúng U vào R. HỆ QUẢ 2.5. Ta có các tính chất sau: (1) Q nội xạ, Q  A =⇒ A nội xạ. (2) P xạ ảnh, P  C =⇒ C xạ ảnh. ĐỊNH LÍ 2.6. Ta có: (1) Cho Q = i∈I  Q i . Lúc đó Q nội xạ ⇐⇒ Q i nội xạ ∀i ∈ I. (2) Cho P = i∈I  P i . Lúc đó P xạ ảnh ⇐⇒ P i xạ ảnh ∀i ∈ I. ĐỊNH LÍ 2.7. Về mối quan hệ giữa môđun xạ ảnh và môđun tự do. P xạ ảnh ⇐⇒ P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun tự do nào đó. 3 CHỨNG MINH. (⇐). Do môđun tự do là xạ ảnh và IV.2.6.(2). (=⇒). Cho P là xạ ảnh và ψ : F −→ P là một toàn cấu từ môđun tự do F vào P (tồn tại do mọi môđun đều là ảnh toàn cấu cuả một môđun tự do). Do P xạ ảnh, ψ chẽ ra. Vậy F = Ker(ψ) ⊕ F 0 . Từ đó F 0  P. Đối với ZZ-môđun, ta có:  ĐỊNH LÍ 2.8. Đối với ZZ-môđun thì hai khái niệm xạ ảnh và tự do là như nhau. ĐỊNH NGHĨA 2.9. Nhóm aben A được gọi là chia được nếu ∀z ∈ ZZ[z = 0 =⇒ Az = A]. Các tính chất cơ bản của nhóm chia được là: 1) Ảnh toàn cấu của nhóm chia được là nhóm chia được. 2) Nhóm thương của nhóm chia được là nhóm chia được 3) Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của nhóm chia được là nhóm chia được 4) Mỗi nhóm aben đẳng cấu với nhóm con của nhóm aben chia được nào đó. ĐỊNH LÍ 2.10. Nhóm aben A chia được là ZZ-môđun nội xạ. CHỨNG MINH. Lấy ϕ : D ZZ −→ B ZZ là đơn cấu, trong đó D ZZ là nhóm chia được. Ta chứng minh rằng Imϕ là hạng tử trực tiếp của B ZZ . Theo tính chất (1) Imϕ là nhóm chia được, vì vậy không mất tính tổng quát ta có thể giả sử D ZZ là nhóm con của B ZZ và ϕ = ι là phép nhúng. Đặt Γ = {U|U ≤ B và D ∩ U = 0}. Lúc đó Γ = ∅ vì lấy U = 0 thì 0 ∈ Γ. Ngoài ra rõ ràng hợp của tập các phần tử sắp thứ tự toàn phần các phần tử trong Γ cũng thuộc Γ. Do vậy theo Bổ đề Zorn, có phần tử cực đại trong Γ, mà ta sẽ kí hiệu là U. Có thể nói rằng U là B-phần bù của D. Lúc đó, D + U = D ⊕ U ≤ B. Ta chứng minh rằng B = D ⊕ U. Thật vậy, với b ∈ B, xét iđêan z 0 ZZ z 0 ZZ = {z ∈ ZZ|bz ∈ D + U}. Ta có z 0 ZZ = 0 vì nếu không thì đối với môđun con H sinh ra bởi phần tử b, ta có H ∩ (D + U) = 0 =⇒ (H + U) ∩ D = 0, trái với cách chọn U. Giả sử bz 0 = d + u. Do D chia được nên tồn tại d 0 sao cho d 0 z 0 = d. Từ đó suy ra (b − d 0 )z 0 = u. Vậy z 0 ZZ = {z ∈ ZZ|(b − d 0 )z ∈ D + U}. Ta lại chứng minh rằng D∩(U +(b−d 0 )ZZ) = 0. Thật vậy, giả sử d 1 = u 1 +(b−d 0 )z 1 ∈ D ∩ U + (b − d 0 )ZZ thì (b − d 0 )z 1 = d 1 − u 1 ∈ D + U suy ra z 1 = z 0 t, t ∈ ZZ(z 1 ∈ z 0 ZZ). Từ đó, (b − d 0 )z 0 t = ut = d 1 − u 1 . Vậy 0 = d 1 − (u 1 + ut). Nghĩa là d 1 = 0. Do tính cực đại của U suy ra (b − d 0 )ZZ ≤ U. Suy ra b − d 0 ∈ U hay b ∈ D + U. Vậy B = D ⊕ U. 4  Chiều ngược lại cũng đúng HỆ QUẢ 2.11. ZZ-môđun nội xạ ⇐⇒ ZZ-môđun chia được. Sau đây ta chứng minh một kết qủa chính của phần này là: ĐỊNH LÍ 2.12. Mỗi môđun là môđun con của một môđun nội xạ nào đó. Để chứng minh Định lý này ta cần các Bổ đề sau: BỔ ĐỀ 2.13. Nếu D là ZZ-môđun chia được (nội xạ), thì (Hom ZZ (R, D)) R nội xạ. CHỨNG MINH. Cho α : A −→ B là R-đơn cấu tuỳ ý và ϕ : A −→ Hom ZZ (R, D) là R-đồng cấu tuỳ ý. Lấy σ : Hom ZZ (R, D) −→ D f −→ f(1) là ZZ-đồng cấu. Xét giản đồ sau: 0 A B Hom ZZ (R, D) τ D ✲ ❄ ϕ ✲ α     ✠ κ ❄ σ Khi xét α, ϕ như là các ZZ-đồng cấu thì do D là ZZ-nội xạ nên tồn tại ZZ-đồng cấu τ : B −→ D sao cho σ ϕ = τα . Xác định κ : B −→ Hom ZZ (R, D) b −→ κ(b)(r) = τ (br), b ∈ B, r ∈ R. Chứng minh κ(b) ∈ Hom ZZ (R, D) (rõ). Ngoài ra κ(br 1 )(r) = τ(br 1 r) = κ(b)(r 1 r) = (κ(b)r 1 )(r) suy ra κ(br 1 ) = κ(b)r 1 hay κ là R-đồng cấu và κα (a)(r) = τ (α(a)r) = τ(α (ar)) = τα (ar) = σ ϕ (ar) = ϕ (ar)(1) = (ϕ(a)r)(1) = ϕ(a)(r). Suy ra κα = ϕ.  MỆNH ĐỀ 2.14. Đối với mỗi môđun tồn tại đơn cấu vào môđun nội xạ. CHỨNG MINH. Cho M R . Theo tính chất (4) ở trên, tồn tại ZZ-đồng cấu µ : M −→ D, trong đó D là nhóm aben chia được. Theo IV.2.13, Hom ZZ (R, D) R là R-nội xạ. Xác định ρ : M −→ Hom ZZ (R, D) 5 m −→ ρ (m) : R −→ D. r −→ ρ (m)(r) = µ (mr) trong đó ρ là R-đồng cấu. Do µ là đơn cấu suy ra ρ cũng là đơn cấu.  HỆ QUẢ 2.15. Q R nội xạ ⇐⇒ Q R đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun dạng Hom ZZ (R, D) R , trong đó D là nhóm aben chia được. CHỨNG MINH. (=⇒) Theo IV.2.14. (⇐) Theo IV.2.6 và IV.2.13.  MỆNH ĐỀ 2.16. Cho ρ : M R −→ N R là đơn cấu. Khi đó tìm được môđun N  thoả điều kiện: *) M ≤ N  . *) có đẳng cấu τ : N  −→ N sao cho ρ = τι, trong đó ι là phép nhúng M vào N  . CHỨNG MINH. Cho D là tập tuỳ ý có lực lượng bằng N \ ρ(M), ngoài ra D ∩ M = ∅ và β : D −→ N \ ρ (M) là song ánh nào đó. Xét tập N  = M ∪ D và giả sử τ : N  −→ N là một song ánh xác định như sau: τ(m) = ρ (m), m ∈ M. τ(d) = β (d), d ∈ D. Ta biến N  thành R-môđun chứa M R , còn τ đồng cấu R-môđun mhờ định nghĩa: x + y = τ −1 (τ(x) + τ(y)), x, y ∈ N  xr = τ −1 (τ(x)r), r ∈ R. Suy ra điều phải chứng minh.  Chứng minh Định lý IV.2.12. Rõ ràng, vì lúc đó ta có N   N  (Hom ZZ (R, D)) R là nội xạ. 3. Bao nội xạ và bao xạ ảnh của một môđun. 3.1. Môđun con cốt yếu và đối cốt yếu. Một môđun con K của M là một hạng tử trực tiếp của M nếu và chỉ nếu tồn tại một môđun con K  của M sao cho K ∩ K  = 0 và K + K  = M nghĩa là, nếu và chỉ nếu K là bù trong dàn các môđun con của M. Với một môđun con K tuỳ ý thì với nó ta luôn luôn tìm được một môđun con thoả mãn ít nhất một trong hai điều kiện trên, đó là K ∩ 0 = 0 và K + M = M. 6 Dựa trên tính chất đó ta định nghĩa các loại môđun con mà nó trở thành công cụ rất hữu ích cho công việc của chúng ta. ĐỊNH NGHĨA 3.1. (1) Một môđun con K của M là cốt yếu (lớn) trong M, kí hiệu: K ≤ e M, trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M, K ∩ L = 0 suy ra L = 0. (2) Đối ngẫu, một môđun con K của M gọi là đối cốt yếu (nhỏ) trong M, kí hiệu: K << M, trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M, K + L = M suy ra L = M. Ví dụ: Trong ZZ, chỉ có 0 là iđêan đối cốt yếu trong ZZ. Tuy nhiên mọi iđêan khác không trong ZZ đều là cốt yếu, vì cho hai iđêan khác không tuỳ ý aZZ, bZZ thì 0 = ab ∈ aZZ ∩ bZZ. ĐỊNH NGHĨA 3.2. (1) Đơn cấu f : K −→ M được gọi là cốt yếu Imf ≤ e M. (2) Toàn cấu g : M −→ N được gọi là đối cốt yếu nếu Kerf << M. MỆNH ĐỀ 3.3. Các mệnh đề sau là tương đương đối với môđun con K của M: (a) K ≤ e M, (b) Đồng cấu nhúng i : K −→ M là đơn cấu cốt yếu, (c) Với mọi môđun N và mọi h ∈ Hom(M, N) (Kerh) ∩ K = 0 suy ra Kerh = 0. CHỨNG MINH. (a) ⇔ (b), (a) ⇒ (c) do định nghĩa. (c) ⇒ (a). Cho L ≤ M và K ∩ L = 0. Đặt p L : M −→ M/L là toàn cấu tự nhiên. Lúc đó (Kerp L ) ∩ K = 0. Theo (c), L = Kerp L = 0.  Theo kết quả về đồng cấu thì nếu f, h là đồng cấu, fh đơn cấu thì h là đơn cấu. Mặt khác HỆ QUẢ 3.4. Một đơn cấu f : L −→ M là cốt yếu nếu và chỉ nếu với mọi đồng cấu h nếu hf là đơn cấu thì h là đơn cấu. CHỨNG MINH. Đặt K = Imf. Lúc đó có một đẳng cấu ν : K −→ L sao cho f ν = 1 K . Do đó hf đơn cấu ⇔ h1 K đơn cấu ⇔ (Kerh) ∩ K = 0.  Đối ngẫu với 3.3 và 3.4 ta có MỆNH ĐỀ 3.5. Các mệnh đề sau là tương đương đối với môđun con K của M: (a) K << M, (b) Đồng cấu tự nhiên p K : M −→ M/K là toàn cấu đối cốt yếu, (c) Với mọi môđun N và mọi h ∈ Hom(N, M) (Imh) + K = M suy ra Imh = M. HỆ QUẢ 3.6. Một toàn cấu g : M −→ N là đối cốt yếu nếu và chỉ nếu với mọi đồng cấu h nếu gh là toàn cấu thì h là toàn cấu. 7 Sau đây là các tính chất của môđun con cốt yếu và đối cốt yếu. MỆNH ĐỀ 3.7. Cho M R và K ≤ N ≤ M, H ≤ M. Lúc đó (1) K ≤ e M ⇐⇒ K ≤ e N và N ≤ e M. (2) H ∩ K ≤ e M ⇐⇒ H ≤ e M và K ≤ e M. CHỨNG MINH. (1). Cho K ≤ e M và giả sử 0 = L ≤ M thì L ∩ K = 0. Đặc biệt điều này đúng với L ≤ N, do vậy K ≤ e N. Ngoài ra K ≤ N nên L ∩ N = 0 thì N ≤ e M. Đảo lại, nếu K ≤ e N, N ≤ e M và L ≤ M, thì L ∩ K = 0 =⇒ L ∩ K ∩ N = 0 =⇒ L ∩ N = 0 =⇒ L = 0. (2) Chiều (=⇒) suy ra ngay từ (1). Ngược lại, cho H ≤ e M và K ≤ e M. Nếu L ≤ M với L ∩ H ∩ K = 0, thì Ł ∩ H = 0 do K ≤ e M. Từ đó L = 0 vì H ≤ e M.  Đối ngẫu của 3.7 ta có: MỆNH ĐỀ 3.8. Cho M R và K ≤ N ≤ M, H ≤ M. Lúc đó (1) N << M ⇐⇒ K << M và N/K << M/K. (2) H + K << M ⇐⇒ H << M và K << M. BỔ ĐỀ 3.9. Nếu K << M và f : M −→ N là một đồng cấu thì f(K) << N. Đặc biệt, nếu K << M ≤ N thì K << N. CHỨNG MINH. Cho L ≤ N và giả sử L+ f(K) = N. Với m ∈ M, f(m) = f (k) +l suy ra f(m − k) = l =⇒ m − k ∈ f −1 (L) suy ra m ∈ K + f −1 (L). Vậy M = K + f −1 (L). Từ đó f −1 (L) = M hay f(M) = ff −1 (L) = L ∩imf = L∩f(M) suy ra f(K) ≤ f(M) ≤ L. Vậy L = f (K) + L = N.  BỔ ĐỀ 3.10. Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu với mỗi 0 = x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 = xr ∈ K. CHỨNG MINH. (=⇒). Nếu K ≤ e M và 0 = x ∈ M thì xR ∩ K = 0. (⇐). Nếu điều kiện đó đúng và 0 = x ∈ L ≤ M, thì tồn tại r ∈ R sao cho 0 = xr ∈ K ∩ L.  Từ đó ta có MỆNH ĐỀ 3.11. Cho K 1 ≤ M 1 ≤ M, K 2 ≤ M 2 ≤ M và M = M 1 ⊕ M 2 , thì (1) K 1 ⊕ K 2 << M 1 ⊕ M 2 ⇐⇒ K 1 << M 1 và K 2 << M 2 . (2) K 1 ⊕ K 2 ≤ e M 1 ⊕ M 2 ⇐⇒ K 1 ≤ e M 1 và K 2 ≤ e M 2 . 8 CHỨNG MINH. (1). Cho p i : M −→ M i là các phép chiếu. Lúc đó K i = p i (K i ). Với 3.11 ta có ngay chiều (=⇒). (⇐). Cho K i << M i ≤ M(i = 1, 2), theo 3.11 và đối ngẫu của 3.9.2 (3.10.2), K 1 ⊕K 2 = K 1 + K 2 << M. (2). Giả sử K 1 ≤ e M 1 , nghĩa là K 1 ∩ L 1 = 0, với 0 = L 1 ≤ M 1 (nào đó). Lúc đó ta có: (K 1 + K 2 ) ∩ L 1 = 0. (∗) Thật vậy, cho k 1 ∈ K 1 , k 2 ∈ K 2 và l 1 ∈ L 1 với k 1 +k 2 = l 1 , thì k 2 = l 1 −k 1 ∈ M 1 ∩M 2 = 0. Từ đó k 1 = l 1 ∈ K 1 ∩ L 1 = 0. Từ (*), ta suy ra ngay L 1 = 0 (mâu thuẩn). (⇐). Giả sử K i ≤ e M i và 0 = x i ∈ M i (i = 1, 2). Do 3.12 tồn tại r 1 ∈ R sao cho 0 = r 1 x 1 ∈ K 1 . Nếu r 1 x 2 ∈ K 2 thì 0 = r 1 x 1 + r 1 + x 2 ∈ K 1 ⊕ K 2 . Nếu r 1 x 2 ∈ K 2 thì do 3.12, tồn tại r 2 ∈ R sao cho 0 = r 2 r 1 x 2 ∈ K 2 và 0 = r 2 r 1 x 1 + r 2 r 1 x 2 ∈ K 1 ⊕ K 2 . Vậy K 1 ⊕ K 2 ≤ e M 1 ⊕ M 2 .  Cho N là một môđun con của M. Nếu N  ≤ M là cực đại với tính chất N ∩ N  = 0 thì ta nói N  là một M-phần bù của N. Dùng bổ đề Zorn ta có thể thấy nếu N ≤ M, thì tập {K ≤ M|K ∩ N = 0} chứa một phần tử cực đại N  . Phần tử này có tính chất: MỆNH ĐỀ 3.12. Mọi môđun con N ≤ M có một M-phần bù. Hơn nữa, nếu N  là một M-phần bù của N, thì (1) N ⊕ N  ≤ e M. (2) (N ⊕ N  )/N  ≤ e M/N  . CHỨNG MINH. (1). Nếu 0 = L ≤ M và (N ⊕N  )∩L = 0. Cho n ∈ N ∩(N  +L), nghĩa là cho n ∈ N, n  ∈ N  , l ∈ L và n = n  + l suy ra n − n  = l =⇒ n − n  ∈ (N + N  ) ∩ L = 0 =⇒ l = 0. Suy ra n = n  ∈ N ∩ N  = 0 hay n = 0. Vậy N ∩ (N  + L) = 0, trái với tính cực đại của N  . (2). Giả sử rằng N  ≤ L với L ∩ (N + N  ) ≤ N  , thì theo luật môđ ula (L ∩ N) ⊕ N  = L ∩ (N + N  ) ≤ N  . Vì vậy, L ∩ N = 0. Do tính cực đại của N  , L = N.  3.2. Bao nội xạ và bao xạ ảnh của một môđun. ĐỊNH NGHĨA 3.13. Cho M R . a) Đơn cấu µ : M −→ Q được gọi là bao nội xạ đối với M nếu Q là môđun nội xạ còn µ là đơn cấu cốt yếu. 9 b) Toàn cấu ψ : P −→ M được gọi là bao xạ ảnh đối với M nếu P là môđun xạ ảnh còn ψ là toàn cấu đối cốt yếu. Về mặt kí hiệu đôi khi ta chỉ viết I(M), E(M) để chỉ bao nội xạ của môđun M và P (M) để chỉ bao xạ ảnh của M. VÍ DỤ 3.14. 1) ZZ ZZ ι −→ IQ ZZ là bao nội xạ đối với ZZ ZZ vì ι là đơn cấu còn IQ ZZ là nội xạ (chia được), ngoài ra ZZ ZZ ≤ e IQ ZZ (do ∀ q ∈ IQ, q = 0, q = p/r, ∃r ∈ ZZ sao cho r = 0, rq = p ∈ ZZ). 2) Không phải mọi môđun đều có bao xạ ảnh, ví dụ ZZ 2 không có bao xạ ảnh. Dĩ nhiên có thể thấy r 2 : ZZ −→ ZZ 2 là toàn cấu tự nhiên, nhưng Kerr 2 = 2ZZ <<ZZ, vì 2ZZ + 3ZZ = ZZ nhưng 2ZZ = ZZ. Sau này ta sẽ chứng minh R có J(R) = 0 thì mọi môđun không xạ ảnh không có bao xạ ảnh. Tính duy nhất của bao nội xạ và bao xạ ảnh. MỆNH ĐỀ 3.15. Cho M R . a) Giả sử M có bao xạ ảnh p : P −→ M. Nếu Q là xạ ảnh và q : Q −→ M là toàn cấu thì Q có phân tích Q = P  ⊕ P ” sao cho (1) P   P. (2) P ” ≤ Kerq. (3) (q| P  ) : P  −→ M là một bao xạ ảnh đối với M. Ngoài ra nếu f : M 1 −→ M 2 là đẳng cấu và nếu p 1 : P 1 −→ M 1 và p 2 : P 2 −→ M 2 là bao xạ ảnh, thì tồn tại một đẳng cấu ¯ f : P 1 −→ P 2 sao cho p 2 ¯ f = fp 1 . Ta thể hiện qua sơ đồ sau: p 1 P 1 P 2 M 1 M 2 ❄ ✲ ¯ f ❄ p 2 ✲ f 10 [...]... −1 (Kerq) ta có Ker(q|P ) = g(Kerp) là một môđun con đối cốt yếu của g(P ) = P Vậy (3) đúng ¯ ¯ Chứng minh Mệnh đề cuối Ta đặt p = p2 , q = f p1 và f = h Thế thì p2 f = f p1 Ta có ¯ ¯ ¯ f = h là toàn cấu, Kerf = Kerp1 là hạng tử trực tiếp của P1 và f là một đẳng cấu Bây giờ ta sẽ chứng minh sự tồn tại của bao nội xạ của một môđun bất kỳ MỆNH ĐỀ 3.16 Mọi môđun có một bao nội xạ Nó duy nhất sai khác... đồ sau những đồng cấu của các R -môđun X h A f c g E B E C trong đó X là xạ ảnh, gh = 0 và dòng là khớp Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu k : X −→ A sao cho f k = h BÀI TẬP 2 Xét biểu đồ sau những đồng cấu của các R -môđun A f g E B E C h c X trong đó X là nội xạ, hf = 0 và dòng là khớp Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu k : C −→ X sao cho kg = h BÀI TẬP 3 Cho XR là môđun xạ ảnh và dãy khớp ngắn f... minh rằng dãy sau cũng khớp id ⊗f id ⊗g X X 0 −→ X ⊗ A −→ X ⊗ B −→ X ⊗ C −→ 0 BÀI TẬP 4 Chứng minh rằng một môđun X là xạ ảnh nếu và chỉ nếu, với mọi đồng cấu f : X −→ B và mọi toàn cấu g : A −→ B với A là nội xạ, tồn tại một đồng cấu h : X −→ A sao cho gh = f BÀI TẬP 5 Chứng minh rằng một môđun X là nội xạ nếu và chỉ nếu, với mọi đồng cấu f : A −→ X và mọi đơn cấu g : A −→ B với B là xạ ảnh, tồn . 2.11. ZZ -môđun nội xạ ⇐⇒ ZZ -môđun chia được. Sau đây ta chứng minh một kết qủa chính của phần này là: ĐỊNH LÍ 2.12. Mỗi môđun là môđun con của một môđun nội xạ nào đó. Để chứng minh Định lý này. là một toàn cấu từ môđun tự do F vào P (tồn tại do mọi môđun đều là ảnh toàn cấu cuả một môđun tự do). Do P xạ ảnh, ψ chẽ ra. Vậy F = Ker(ψ) ⊕ F 0 . Từ đó F 0  P. Đối với ZZ -môđun, ta có:  ĐỊNH. I. ĐỊNH LÍ 2.7. Về mối quan hệ giữa môđun xạ ảnh và môđun tự do. P xạ ảnh ⇐⇒ P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun tự do nào đó. 3 CHỨNG MINH. (⇐). Do môđun tự do là xạ ảnh và IV.2.6.(2). (=⇒).