Chương 1- Lý thuyết môđun

Nhóm aben M, + là một song môđun R-bên phải S-bên trái ký hiệuSMR nếu a M là R-môđun phải và M là S-môđun trái.. 3 Vành R có thể được xem như là môđun phải trái trên chính nó.. Ta có một

CHƯƠNG 1

MÔĐUN VÀ ĐỒNG CẤU

Trong toàn bộ bài giảng này, ta qui ước vành R có đơn vị khác không và được kí hiệu

là 1

1 Định nghĩa môđun 1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản.

ĐỊNH NGHĨA1.1 Cho R là vành Một R-môđun phải M là:

(1) nhóm cộng aben M cùng với

(2) ánh xạ M × R −→ M

(m, r) 7−→ mr được gọi là phép nhân môđun, thoả các điều kiện sau:

(i) qui tắc kết hợp : (mr1)r2 = m(r1r2)

(ii) qui tắc phân phối: (m1+ m2)r = m1r + m2r

m(r1+ r2) = mr1+ mr2 (iii) qui tắc unita: m1 = m

trong đó m, m1, m2 là các phần tử tuỳ ý của M , r1, r2 ∈ R

Lúc đó R được gọi là vành cơ sở Nếu M là một R-môđun phải ta thường kí hiệu M =

MR Tương tự ta cũng định nghĩa R-môđun trái

Cho R, S là hai vành Nhóm aben (M, +) là một song môđun R-bên phải S-bên trái (ký

hiệuSMR) nếu

(a) M là R-môđun phải và M là S-môđun trái

(b) Ta phải có

(sx)r = s(xr), (r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M )

Từ định nghĩa ta suy ra ngay các kết quả sau:

MỆNH ĐỀ1.2 Cho MR Lúc đó ta có:

0Mr = 0M, m0R = 0M, −(mr) = (−m)r = m(−r)

với mọi m ∈ M, r ∈ R.

VÍ DỤ1.3

(1) Không gian vectơ chính là một môđun trên một trường R

(2) Mọi nhóm aben cộng đều có thể xem như là một môđun Ngược lại, mọi ZZ-môđun đều thu được từ nhóm aben cộng

(3) Vành R có thể được xem như là môđun phải (trái) trên chính nó Nhờ trường hợp này người ta có thể nghiên cứu nhiều tính chất của vành thông qua môđun trên vành đó

(4) Xét R là vành giao hoán có đơn vị Lúc đó vành R[x] các đa thức ẩn x lấy hệ tử trong R Xét R[x] với phép cộng thông thường cùng với phép nhân môđun xác định như sau:

r(a0+ a1x + + anxn) = ra0+ ra1x + + ranxn với mọi r ∈ R, mọi a0, a1, , an∈ R Lúc đó có thể dễ dàng kiểm chứng được R[x]

là một R-môđun

(5) Giả sử R = IR là trường các số thực, M là tập hợp các véctơ thông thường có gốc tại một điểm O của không gian thông thường Ta định nghĩa tổng của hai véctơ bằng quy tắc hình bình hành, và tích của một véctơ −→x gốc O với một số thực r là véctơ

vị tự của −→x trong phép vị tự tâm O tỉ số r Ta dễ dàng chứng minh được M cùng với phép cộng và phép nhân ở trên là một R-môđun

(6) Cho R là một vành, MRlà một môđun và X 6= ∅ bất kì Gọi N là tập tất cả các ánh

xạ f : X −→ M Ta định nghĩa tổng của f, g ∈ N là ánh xạ

f + g : X −→ M

x 7−→ f (x) + g(x)

và tích của một phần tử f ∈ N với một phần tử r ∈ R là ánh xạ

f r : X −→ M

x 7−→ f (x)r Khi đó N cùng với hai phép toán trên là R-môđun phải

Ta sẽ sử dụng nhiều đến Bổ đề sau trong nhiều chứng minh của lý thuyết vành và môđun

Bổ đề sau tương đương với Tiên đề chọn

BỔ ĐỀ 1.4 (Bổ đề Zorn) Giả sử A là tập sắp thứ tự Nếu mỗi tập con sắp thứ tự toàn

phần cuả A đều có cận trên trong A, thì A có phần tử cực đại.

2 Môđun con và môđun thương 2.1 Môđun con.

ĐỊNH NGHĨA 2.1 Cho M là R-môđun phải Tập con A của M được gọi là môđun con của M (kí hiệu A ≤ M hay AR≤ MR), nếu A là R-môđun phải với phép toán cộng và nhân môđun hạn chế trên A

Chú ý rằng kí hiệu A ≤ M để phân biệt với kí hiệu có tính tập hợp thuần tuý A ⊂ M Ngoài ra nếu ta viết

A < M có nghĩa là A là môđun con thực sự của M

A 6≤ M có nghĩa là A không là môđun con của M

Sau đây là đặc trưng của môđun con

ĐỊNH LÍ2.2 Giả sử M là một R-môđun phải Nếu A là tập con khác ∅ của M , thì các

điều kiện sau là tương đương:

i) A ≤ M

ii) A là nhóm con của nhóm cộng của môđun M và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A iii) với mọi a1, a2 ∈ A ta có a1+ a2 ∈ A, và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A.

CHỨNG MINH Theo định nghĩa của môđun con 

Ta có một nhận xét thú vị là: vì vành được xét như là R-môđun phải (trái), nên ta chú ý rằng iđêan phải (trái) của vành R chính là môđun con của RR(RR)

VÍ DỤ2.3

1) Mỗi môđun M đều có hai môđun con tầm thường là {0} (ta sẽ chỉ kí hiệu là 0) và

M , trong đó 0 là môđun chỉ có một phần tử là phần tử không của môđun M (2) Cho MRvà m0 ∈ M Lúc đó dùng Định lý 2.2 ta có thể thấy

m0R := {mor |r ∈ R}

là môđun con của M

(3) Cho M là không gian vectơ trên trường K Lúc đó các môđun con chính là các không gian vectơ con

2.2 Giao và tổng các môđun con.

BỔ ĐỀ2.4 Cho Γ là một tập nào đó các môđun con của M Khi đó

\ A∈Γ

A = {m ∈ M |∀A ∈ Γ[m ∈ A]}

là một môđun con của M

CHỨNG MINH Kiểm chứng dễ dàng nhờ Định lý 2.2 và chú ý khi Γ = ∅ thì

\ A∈∅

A = M



Từ Bổ đề 2.4 có thể suy ra ngay

HỆ QUẢ2.5 T

A∈Γ

A là môđun con lớn nhất trong M chứa trong tất cả A ∈ Γ.

BỔ ĐỀ2.6 Cho X là tập con của MR Khi đó

A =











{

n X j=1

xjrj|xj ∈ X, rj ∈ R và n ∈ IN }, nếu X 6= ∅

0, nếu X = ∅

là môđun con của M

CHỨNG MINH Khi X = ∅ thì dễ dàng có A ≤ M Nếu X 6= ∅, ta có

m X i=1 xiri,

n X j=1

x0jr0j ∈ A ⇒

m X i=1 xiri+

n X j=1

x0jrj0 ∈ A,

m X j=1 xjrj ∈ A, r ∈ R ⇒

n X j=1 xjrjr ∈ A

ĐỊNH NGHĨA2.7 Môđun A xác định nhờ Bổ đề 2.6 được gọi là môđun con cuả M sinh

ra bởi tập X và kí hiệu là |X)

ĐỊNH LÍ2.8 |X) là môđun con bé nhất của M chứa X và

|X) = \C

trong đó C ≤ M và X ⊂ C.

CHỨNG MINH Khi X = ∅ thì kết luận cuả Định lý là dễ dàng có, vì lúc đó |X) = 0 Nếu X 6= ∅ Cho C là môđun con của M tùy ý chứa X Nhờ tính chất cuả môđun con nên ta có ngay |X) ≤ C Ngoài ra do X là tập con cuả |X) nên |X) là môđun con bé nhất cuả M chứa X

Bây giờ giả sử D = T C trong đó C ≤ M và X ⊂ C Khi đó X là tập con cuả D Do

D ≤ M nên |X) ≤ D Mặt khác |X) có thể xem như là một trong các C, nên D ≤ |X) Ta

ĐỊNH NGHĨA2.9 Cho MR

(1) Tập con X cuả M được gọi là hệ sinh đối với M nếu |X) = M

(2) Môđun M (hay iđêan phải, trái) được gọi là hữu hạn sinh nếu đối với M tồn tại hệ sinh gồm hữu hạn phần tử

(3) Môđun M (hay iđêan phải, trái) được gọi là cyclic (iđêan phải chính, iđêan trái chính) nếu nó được sinh bởi một phần tử

(4) Tập con X cuả môđun M được gọi là độc lập nếu đối với mỗi tập con hữu hạn {x1, , xm} ⊂ X mà xi 6= xj với i 6= j (i, j = 1, , m) thì

m P i=1

xiri = 0, ri ∈ R kéo theo ri = 0 (i = 1, , m)

(5) Tập con X cuả môđun M được gọi là cơ sở đối với M nếu nó là hệ sinh đối với M

và độc lập

VÍ DỤ2.10

(1) Mỗi môđun M có một hệ sinh tầm thường chính là M

(2) Cho R là vành Khi đó {1} là cơ sở của RR(hayRR)

(3) Ta sẽ chứng minh rằng IQZ không có hệ sinh hữu hạn Trước hết, ta chứng minh kết quả sau:

tập hợp các phần tử còn lại vẫn là hệ sinh của IQZ

Nếu rút nhiều phần tử thì ta chứng minh bằng quy nạp

Vì X là hệ sinh nên x0/2 có thể biểu diễn thành một tổng hữu hạn như sau

x0

2 = x0z0+

X

x i 6=x 0

xizi, xi ∈ X, zi ∈ ZZ

Từ đó:

x0 = x02z0+ X

x i 6=x 0

xi2zi, xi ∈ X, zi ∈ ZZ

và

x0n = X

x i 6=x0

xi2zi,

trong đó n := 1 − 2z0 ∈ ZZ, n 6= 0 Giả sử bây giờ ta lại biểu diễn x0/n như trên thì:

x0

n = x0z

0

0+ X

x j 6=x 0

xjzj0, xj ∈ X, zj0 ∈ ZZ

Khi đó

x0 = x0nz00 + X

x j 6=x 0

xjnzj0 = X

x i 6=x 0

xi2ziz00 + X

x j 6=x 0

xjnzj0

x k 6=x 0

xkz”k, xk∈ X, z”k ∈ ZZ

nghĩa là phần tử x0 được biểu diễn qua tập X \ {x0} Do X là hệ sinh của IQZ nên

X \ {x0} cũng là hệ sinh của IQZ Từ đây, ta suy ra IQZ có hệ sinh vô hạn, vì nếu không, theo như kết quả trên, sau một số lần rút các phần tử ra khỏi hệ sinh, hệ sinh của IQZ sẽ là ∅, hay IQZ là 0 Vô lí

Chú ý rằng hợp của các môđun con nói chung không phải là môđun con (vì hợp của các nhóm con không phải là một nhóm con) Tuy nhiên dễ dàng suy ra được:

BỔ ĐỀ2.11 Giả sử Λ = {Ai|i ∈ I} là tập nào đó các môđun con Ai ≤ MR Khi đó:

|[

i∈I

Ai) =







{X i∈I 0

ai|ai ∈ Aivà I0 ⊂ I và I’ hữu hạn } nếu Λ 6= ∅

0, nếu Λ = ∅

i∈I

Ai) trùng với tập tất cả tổng hữu hạnP ai, ai ∈ Ai

CHỨNG MINH Rõ ràng



ĐỊNH NGHĨA 2.12 Nếu Λ = {Ai|i ∈ I} là tập tuỳ ý các môđun con nào đó Ai ≤ M , thì |S

i∈I

Ai) được gọi là tổng các môđun con {Ai, i ∈ I}, kí hiệuP

i∈I

Ai Chú ý là khi Λ =

{A1, , An} thì mỗi phần tử thuộc

n P i=1

Ai có thể viết được viết dưới dạng

n X i=1

ai, ai ∈ Ai

Ngoài ra kể cả trong trường hợp Λ là tập vô hạn thì sự biểu diễn ở trong Bổ đề 2.11 là không duy nhất, nghĩa là có thể có P

i∈I 0

ai = P i∈T 0

atnhưng ai có thể khác at

ĐỊNH NGHĨA2.13

(1) Môđun MRđược gọi là đơn nếu M 6= 0 và ∀A ≤ M [A = 0 hay A = M ], nghĩa là

M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con là 0 và M

(2) Vành R được gọi là đơn nếu R 6= 0 và ∀A ≤R RR[A = 0 hay A = R], nghĩa là

R 6= 0 và R chỉ có hai iđêan hai phía là 0 và R

(3) Môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực tiểu (minimal) của môđun M nếu như A 6= 0 và ∀B ≤ M [B < A ⇒ B = 0]

(4) Tương tự, môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực đại (maximal) của môđun

M nếu như A 6= M và ∀B ≤ M [A < B ⇒ B = M ]

BỔ ĐỀ2.14 MRđơn khi và chỉ khi M 6= 0 và ∀m(6= 0) ∈ M, M = mR.

CHỨNG MINH Cho MR đơn và m 6= 0 Lúc đó mR 6= 0 (rõ vì m.1 = m ∈ mR) Từ

đó mR = M Đảo lại, cho A 6= 0, A ≤ M và a ∈ A, a 6= 0 Ta có aR = M Từ đó

ĐỊNH LÍ2.15 Cho MR là R-môđun phải hữu hạn sinh khác không Lúc đó mọi môđun con thực sự của M đều chứa trong một môđun con cực đại Đặc biệt, M có một môđun con cực đại.

CHỨNG MINH Giả sử {m1, m2, , mn} là hệ sinh của M Nếu A < M , thì ta có tập

F= {B|A ≤ B < M } khác rỗng vì A ∈ F Nó lại được sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm Để áp dụng Bổ đề Zorn,

ta cần phải chứng minh rằng mỗi tập con Γ (⊂ F, Γ 6= ∅) sắp thứ tự toàn phần có cận trên trong Γ Đặt

C = [ B∈Γ B

Khi đó A ≤ C Giả sử C = M Khi đó m1, m2, , mn ∈ C Vậy tồn tại B ∈ Γ để

m1, m2, , mn ∈ B Do đó B = M Mâu thuẩn với tính chất B ∈ Γ Vậy C ∈ F Áp dụng

Bổ đề Zorn, trong F tồn tại phần tử cực đại D nào đó Ta chứng minh rằng D là môđun cực đại trong MR Giả sử D ≤ L < MR Khi đó L ∈ F Theo tính chất cực đại của D trong F, ta

có D = L

2.3 Môđun thương.

Cho MRvà N ≤ MR Vì N là nhóm con của nhóm cọng aben M nên nhóm thương của

nó M/N là một nhóm aben hoàn toàn xác định (theo phần lý thuyết nhóm) Các phần tử của

nó là các lớp ghép x + N của N trong M và phép toán cọng trong M/N là

(x + N ) + (y + N ) = x + y + N

Ta còn phải đi xác định phép nhân môđun để M/N trở thành R-môdun phải

ĐỊNH LÍ2.16 Cho MRvà N ≤ M

(i) Qui tắc M/N × R −→ M/N, (m + N, r) 7−→ (m + N ).r = mr + N

là phép nhân môđun.

(ii) Nhóm aben M/N cùng với phép nhân môđun này trở thành một R-môđun phải.

CHỨNG MINH (i) Ta chứng minh qui tắc đó là một ánh xạ Thật vậy, cho x + N =

x0+ N ⇒ x − x0 ∈ N ⇒ (x − x0)r ∈ N ⇒ xr − x0r ∈ N ⇒ xr + N = x0r + N

ĐỊNH NGHĨA 2.17 M/N xác định như trong Định lý 2.16 được gọi là môđun thương của môđun M trên môđun con N của nó

NHẬN XÉT 2.18 Khi cho I là iđêan phải của R thì lúc đó R/I chỉ trở thành một R-môđun phải Nhưng khi cho I là iđêan hai phía thì R/I vừa là R-R-môđun phải và trái, vừa là R/I-môđun phải và trái

3 Đồng cấu môđun 3.1 Đồng cấu môđun.

ĐỊNH NGHĨA3.1 Cho A và B là hai R-môđun phải Đồng cấu α từ A vào B đó là ánh

xạ α : A −→ B thoả

∀a1, a2 ∈ A ∀r ∈ R, α(a1+ a2) = α(a1) + α(a2) và α(a1r1) = α(a1)r1

Lúc đó ta viết α : AR−→ BR

Từ định nghĩa dễ dàng ta có:

MỆNH ĐỀ3.2 Ánh xạ α : A −→ B là đồng cấu nếu và chỉ nếu

∀a1, a2 ∈ A ∀r1, r2 ∈ R, α(a1r1+ a2r2) = α(a1)r1+ α(a2)r2

Từ Mệnh đề trên ta có nếu f : M −→ N là R-đồng cấu thì f (0) = 0, f (x − y) =

f (x) − f (y) với mọi x, y ∈ M

ĐỊNH NGHĨA 3.3 Đồng cấu α : AR −→ BR được gọi là đơn cấu nếu nó là đơn ánh, được gọi là toàn cấu nếu nó là toàn ánh, và được gọi là đẳng cấu nếu α là song ánh, nghĩa là

nó là toàn cấu và đơn cấu

VÍ DỤ3.4

(1) Đồng cấu không từ ARvào BRđó là 0 : a → 0 ∈ B

(2) Phép nhúng môđun con A vào BRđó là

i : A −→ B

a 7−→ a

(3) Cho ARthì ta có tự đồng cấu đồng nhất kí hiệu

(idA)1A: A −→ A

a 7−→ a

(4) Cho MR Lúc đó ta có các R-đồng cấu sau:

Nếu cố định r ∈ R, ta kí hiệu

hr : M −→ M

m 7−→ mr, còn nếu cố định m ∈ M , ta có

fm : R −→ M

r 7−→ mr

(5) Cho MR Xét

p : M −→ M/N

x 7−→ x + N

là một toàn cấu và được gọi là toàn cấu chính tắc từ M lên M/N.

(6) Giả sử I = (α, β) là khoảng mở của IR, M là tập các hàm số I −→ IR và N là tập các hàm khả vi trên I Bởi Ví dụ 1.3, M là IR-môđun Ta có thể kiểm tra được N là IR-môđun con của M Ta xét ánh xạ sau:

φ : N −→ M

f 7−→ f0 với f0 là đạo hàm của f Khi đó φ là R-đồng cấu

MỆNH ĐỀ3.5

(1) Nếu f : LR −→ MRvà g : MR −→ NRlà các R-đồng cấu môđun, thì hợp thành

gf của chúng cũng là đồng cấu R-môđun.

(2) Nếu f, g đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) thì gf cũng vậy.

(3) Ánh xạ ngược f−1 của một đẳng cấu cũng là một đẳng cấu.

CHỨNG MINH (1) gf (xα + yβ) = g(f (xα + yβ)) = g(f (x)α + f (y)β) = g(f (x))α + g(f (y))β = (gf )(xα) + (gf )(yβ) với mọi x, y ∈ L, α, β ∈ R

(2) Rõ ràng

(3) Ta chứng minh f−1 : MR −→ LRlà một R-đồng cấu Với mọi u, v ∈ M, α, β ∈ R thì

uα + vβ = f f−1(u)α + f f−1(v)β = f (f−1(u)α + f−1(v)β) suy ra

f−1(uα + vβ) = f−1(u)α + f−1(v)β



Từ Mệnh đề 3.5 suy ra ngay:

HỆ QUẢ 3.6 Quan hệ LR đẳng cấu với MR là quan hệ tương đương trong lớp các

R-môđun phải.

Bổ đề sau cho ta thấy tính bảo toàn cấu trúc của các đồng cấu:

BỔ ĐỀ3.7 Cho α : AR−→ BR Lúc đó:

(1) U ≤ A ⇒ α(U ) ≤ B

(2) V ≤ B ⇒ α−1(V ) ≤ A

CHỨNG MINH (1) Cho v1, v2 ∈ α(U ), Lúc đó, tồn tại u1, u2 ∈ U sao cho α =

v1, α(u2) = v2 Lấy r1, r2 ∈ R Ta có α(u1)r1 + α(u2)r2 = α(u1r1 + u2r2) ∈ α(U ) Suy ra u1r1+ u2r2 ∈ U Vậy α(U ) ≤ B

(2) Giả sử a1, a2 ∈ α−1(V ) Khi đó α(a1), α(a2) ∈ V và lấy r2, r2 ∈ R thì α(a1r1 + a2r2) = α(a1)r1+ α(a2)r2 Suy ra a1r1+ a2r2 ∈ α−1(V ) Vậy α−1(V ) ≤ A 

ĐỊNH NGHĨA 3.8 Theo Bổ đề 3.7, α−1(0) là môđun con của AR Ta gọi là nhân của đồng cấu α Kí hiệu Ker(α) Chú ý rằng nó cũng là nhân của đồng cấu nhóm nên α đơn cấu

⇔ Ker(α) = 0

Cho MRvà NRta kí hiệu: HomR(M, N ) = { đồng cấu α : MR−→ NR}

MỆNH ĐỀ3.9 Cho MR, NR Lúc đó HomR(M, N ) là một nhóm aben với phép toán

(f, g) 7−→ f + g

xác định bởi

(f + g)(x) = f (x) + g(x), x ∈ M

Cho MRvà NR HomR(M, N ) chưa chắc đã là R-môđun Có thể định nghĩa như trong đại số tuyến tính là

f a : M −→ N, x 7−→ f (x)a(x ∈ M ) Nhưng tính chất R-tuyến tính không thực hiện được ngoại trừ a ∈ CentR = {x ∈ R| xr = rx, ∀r ∈ R} Ngoài ra ta không có

(f a)(xb) = f (xb)a = f (x)ba và

(f a)(x)b = (f (x)a)b = (f (x))(ab) không bằng nhau Tuy nhiên nếu M =SMRlà song môđun thì với mỗi s ∈ S hàm thu được bởi phép nhân cho s rồi tiếp tục lấy f ∈ HomR(M, N )

f s : x 7−→ f (sx), (x ∈ M )

là một R-đồng cấu, nghĩa là f s ∈ HomR(M, N ) Thật vậy, rõ ràng nó cọng tính và

(f s)(xr) = f (s(xr)) = f ((sx)r) = f (sx)r = (f s(x)r

Mặt khác HomR(SMR, NR) là một S-môđun phải với phép nhân

(f, s) 7−→ f s (f s)(x) = f (sx) Vậy từ tác động trái của S trên M ta có tác động phải của S trên HomR(M, N ) Mặt khác nếu N =TNRthì ta có HomR(MR,T NR) là một T -môđun trái với phép nhân

(tf )(x) = tf (x), (x ∈ M )

Ở đây tác động trái của T trên N cảm sinh tác động trái của T trên HomR(M, N ) Chú

ý rằng nếu s ∈ S, t ∈ T thì

(t(f s))(x) = t(f s)(x) = tf (sx) = (tf )(sx) = ((tf )(s))(x) Vậy:

MỆNH ĐỀ3.10 Cho M , N là hai nhóm aben, R, S, T là các vành Lúc đó cấu trúc

(1)SMR,TNRcảm sinhT(HomR(M, N ))S bởi

(f s)(x) = f (sx), (tf )(x) = tf (x)

(sf )(x) = f (xs), (f t)(x) = f (x)t

Vậy: *) phép toán mà R tác động trên M và N không chuyển được đến HomR(M, N )

*) phía thành lập phép toán đối với HomR(M, N ) thay đổi so với M khi chuyển, còn so với N thì không

MỆNH ĐỀ3.11 Cho MR Lúc đó ta có đẳng cấu R-môđun phải

ρ : M −→ HomR(R, M ) ρ(x)(a) = xa (x ∈ M, a ∈ R)

ĐỊNH NGHĨA3.12 R-môđun trái HomR(A, R) được gọi là môđun đối ngẫu của ARvà

kí hiệu là A∗ Lúc đó R-môđun đối ngẫu củaRA∗ được gọi là song đối ngẫu của AR và kí hiệu là A∗∗ Vậy

RA∗ = HomR(A, R)

A∗∗R = HomR(RHomR(AR, RR),RR)

3.2 Các định lý đồng cấu và đẳng cấu.

Như trong trường hợp nhóm và bằng phương pháp tương tự, ta chứng minh được các định

lý sau:

ĐỊNH LÍ 3.13 (Định lý về đồng cấu) Mỗi đồng cấu môđun α : AR −→ BR đều có thể

cấu xác định bởi

α0 : A/Ker(α) 3 a + Ker(α) 7−→ α(a) ∈ B

HỆ QUẢ3.14 Cho α : AR−→ BRlà đồng cấu R-môđun Lúc đó :

A/Ker(α) ' Im(α)

Từ Hệ quả 3.14 ta suy ra hai định lý quan trọng sau:

ĐỊNH LÍ3.15 ( Định lý thứ nhất về đẳng cấu) Nếu B ≤ ARvà C ≤ AR, thì

(B + C)/C ' B/B ∩ C