THI HS GIỎI TOÁN THPT

SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2009 - 2010 Môn thi : Toán - 12 THPT Ngày thi: 24/03/2010 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: (4 điểm): Cho hàm số 3 3 1 y x x = − + − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) kẻ từ điểm ( 2;1) M − Bài 2: ( 6 điểm) 1. Giải phương trình: 2 2 2 sin 4 1 2 2 cos x x x x sin cos π   − +     =   −     2. Giải hệ phương trình: [ ] 2 3 log 4( ) x y x y x y x y x y +  + + = +   − = −   3. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 ( 4)(6 ) 2 x x x x m + − + − ≥ nghiệm đúng với mọi [ ] 4;6 x ∈ − Bài 3: ( 3 điểm) 1. Tính tích phân: 2 9 2 0 dx I cos x π = ∫ 2. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 2 và chữ số 4? Bài 4: ( 5 điểm) 1. Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D có cạ nh b ằ ng a . Trên các c ạ nh BC và ' DD l ầ n l ượ t l ấ y các đ i ể m M và N sao cho (0 ) BM DN x x a = = ≤ ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng ' MN AC ⊥ và tìm x để MN có độ dài bé nh ấ t. 2. Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ tr ụ c to ạ độ Oxy , cho đườ ng tròn (C): 2 2 ( 1) ( 2) 9 x y − + + = và đườ ng th ẳ ng: 3 4 0 x y m − + = . Tìm m để trên đườ ng th ẳ ng đ ã cho có duy nh ấ t m ộ t đ i ể m P mà t ừ đ ó có th ể k ẻ đượ c hai ti ế p tuy ế n PA và PB t ớ i (C) ( , A B là các ti ế p đ i ể m) sao cho PA PB ⊥ . 3. Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz , cho đ i ể m (1;2;3) M . Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ( ) α đ i qua đ i ể m M và c ắ t ba tia , , Ox Oy Oz l ầ n l ượ t t ạ i ba đ i ể m , , A B C sao cho th ể tích t ứ di ệ n OABC nh ỏ nh ấ t. Bài 5: ( 2 đ i ể m) Cho tam giác ABC không tù. Ch ứ ng minh r ằ ng: 10 3 tan tan tan tan tan tan 2 2 2 2 2 2 9 A B C A B C + + + ≥ D ấ u đẳ ng th ứ c x ả y ra khi nào? . SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2009 - 2010 Môn thi : Toán - 12 THPT Ngày thi: 24/03/2010 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1:. 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau, trong đó nhất thi t phải có chữ số 2 và chữ số 4? Bài 4: ( 5 điểm) 1. Cho hình lập phương . ' ' '