de thi hs gioi toan HN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HÀ NỘI NĂM HỌC 1999-2000 Bài 1: Tìm tất cả các số chẵn có ba chữ số mà khi chia mỗi số đó cho ta được thương là số có 3 chữ số Bài 2: Tính giá trị biểu thúc: Bài 3: Tổng độ dài hai cạnh hình chữ nhật gấp lần hiệu độ dài hai cạnh đó. Tính chu vi hình chữ nhật , biết diện tích của nó là 600 Bài 4: cho là các số tự nhiên khác và hãy giải thích tại sao Giải Bài 1: gọi hai số đó là A và B( 99<A,B<1000) ta có A=B.9 vì A<1000 nên B.9 <1000 B<111,111 . vậy B sẽ là 100,101,102, .,111 do đó A sẽ nhận những giá trị là 900,909, .,999 Bài 2. a) b) Ta không cần biết số đằng trước là gì vì số nào nhân với cũng bằng bài 3 gọi chiều dài là a và chiều rộng là b ta có a+b=(a-b). 5 a+b=a.5-b.5 b.6 = a.4 b.1,5=a mà diệntích là 600 m^2 nên b.1,5.b=600 b.b=400 vậy b=20 và a=20.1,5 = 30 làm nốt nhé Gọi chiều dài là , chiều rộng là Ta có: suy ra suy ra suy ra mà suy ra suy ra Vậy TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-NĂM HỌC 2006-2007 MÔN :TOÁN VÒNG 1 Thời gian:120 phút (không kể thời gian giao đề ) Bài 1: Cho Tính giá trị biểu thức : Bài 2: Giải hệ phương trình: Bài 3: Cho là các số thực thỏa mãn đồng thời : và Hỏi có thể nhận là bao nhiêu ? Vì sao? Bài 4: Tìm các số nguyên thỏa mãn phương trình: Bài 5: Cho tam giác nhọn có là các đường cao Gọi là trực tâm của tam giác lần lượt là trung điểm của a) Tứ giác là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh: Các đường chéo của tứ giác giao nhau tại trung điểm I của (với là tâm đường tròn đi qua ) c) Cho Tính bán kính của đường tròn Giải Bài 1 Xét đề bài , ta xét TH( x,y có vai trò như nhau đối với đề bài ) <=> Nếu(x-y)(y+x)>1. => => ( vô lý) Nếu => => vô lý Từ các nhận xét trên ta có thể rút ra trường hợp + + và ngược lại -Nếu x=y thì x=y=0 -Nếu x=-y thì x=y=0 -Nếu x^2=y^2+1 => vô lý => Tính giá trị biểu thức : (1)<=> <=> Tương tự Từ (2) và(3) => => Bài 2: Cộng(1) với(2) theo vế ta được Lấy (2) trừ(1) theo vế ta dược Ta có hệ <=> mà ta có hệ<=> <=> Đến đây dễ dàng tìm ra nghiệm Hệ pt có nghiệm Bài 3: từ => Bài 4:Ta dễ thấy (do các số hạng còn lại đều chia hết cho 3) mà mỗi số hạng đều không âm => .Xét trường hợp thì rõ ràng y=0=>x ko nguyên(vô lý).Vậy z=0 => chỉ có 1 trường hợp thỏa là: từ đó suy ra các nghiệm: Bài 5 a/ Áp dụng tính chất trung tuyến ứng với cạch huyền bằng nửa cạnh huyền ta dc: Dễ thấy vuông cân tại vuông cân tại vuông cân là hình thoi là hình vuông b/ Gọi là điểm đối xứng với qua Ta có vuông cân tại là trung trực của Tương tự Tứ giác là hình bình hành là trực tâm Vậy giao điểm đường chéo hình vuông cũng là trung điểm c/ Vẽ đường kính hay Tương tự là hình bình hành là trung điểm ( do là trung điểm ) là đường trung bình Đặt Đề thi học sinh giỏi THCS Bungary KỲ THI MUA ĐÔNG NĂM 1995 LỚP 8 NHÓM I (Trích cuốn "Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Bungary" tác giả Nguyễn Sinh Nguyên) Bài toán 1 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có " 7 là ước số của nếu và chỉ nếu 7 là ước số của ". Bài toán 2 : Cho ABCDE là một ngũ giác lồi và gọi M,P,N,Q lần lượt là trung điểm các đoạn AB,BC, CD , DE , nếu K và L lần lượt là các trung điểm của các đoạn MN và PQ và đoạn AE có độ dài a , tìm độ dài đoạn KL . Bài toán 3 : Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bằng màu đen hoặc màu trắng . Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông với cạnh huyền độ dài băng 2 và một góc nhọn , mà các đỉnh của nó được tô bởi cùng một màu . Đề thi học sinh giỏi THCS Bungary KỲ THI MUA ĐÔNG NĂM 1995 LỚP 8 NHÓM II (Trích cuốn "Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Bungary" tác giả Nguyễn Sinh Nguyên) Bài toán 1 : Cho và cắt BC và AC lần lượt trại D và E . Chứng minh rằng tứ giác DEMN nội tiếp trong một đường tròn nếu và chỉ nếu tồn tại một đường tròn nội tiếp trong tứ giác CMGN . Bài toán 3 : Cho ba mươi điểm trong mặt phẳng . Một số trong các điểm ấy được nối bởi các đoạn thẳng như hình 1 ( xem hình vẽ ) . Các điểm được đánh số bởi các số nguyên dương phân việt Nếu a là một đoạn và p và q là các số , tương ứng với các đầu mút của chúng , ta ký hiệu Đề thi học sinh giỏi THCS Bungary KỲ THI MUA ĐÔNG NĂM 1995 LỚP 9 (Trích cuốn "Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Bungary" tác giả Nguyễn Sinh Nguyên) Bài toán 1 : Cho m là một số thực sao cho các nghiệm của phương trình là các số thực a.Tìm mọi số thức m sao cho b.Chứng minh rằng Bài toán 2 : Cho điểm D nằm trong tam giác nhọn ABC. Ba đường tròn trong các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC , ABD BCD và CAD có ban kính bằng nhau . Chứng minh rằng đường tròn thứ tư cũng có bán kính bằng bán kính ba đường tròn kia Bài toán 3 : Cho A là tập hợp có 8 phần tử .Tìm số lớn nhất các tập hợp con 3 phần tử của A sao cho giao của bất kỳ hai tập hợp nào trong số các tập hợp con ấy không phải là tập hợp có hai phần tử . Đề thi học sinh giỏi THCS Bungary KỲ THI MUA XUÂN NĂM 1995 LỚP 8 (Trích cuốn "Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Bungary" tác giả Nguyễn Sinh Nguyên) Bài toán 1 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm : Bài toán 2 : Cho M là trung điểm cạnh BC của hình bình hành ABCD , N là giao điểm của AM và BD , còn P là giao điểm của AD và CN . Chứng minh rằng : a. AP=AD b. CP=BD nếu và chỉ nếu AB=AC Bài toán 3 : Một đa giác lồi n cạnh , n > 4 , sao cho không có bốn điểm nào cùng nằm trên một đường thẳng và không cùng nằm trên 1 đường tròn. a.Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn qua ba đỉnh của đa giác mà nó không chưa các đỉnh còn lại ở bên rtong đường tròn đó b.Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn qua ba đỉnh liên tiếp của đa giác và chứa các đỉnh còn lại ở bên trong đường tròn đó . Đề thi học sinh giỏi THCS Bungary KỲ THI MUA XUÂN NĂM 1995 LỚP 9 (Trích cuốn "Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Bungary" tác giả Nguyễn Sinh Nguyên) Bài toán 1 : Cho M là một điểm bất kỳ trên cạnh AB = 1 của tam giác đều ABC , Các điểm P và Q là hình chiếu của M trên AC và BC , còn và là hình chiếu của P và Q trên AB . a.Chứng minh rằng b.Tìm vị trí của điểm M sao cho đoạn PQ có độ dài ngắn nhất Bài toán 2 : Cho hàm số bậc hai . Gọi S là diện tích tam giác có đỉnh là giao điểm của parabol y=f(x) với trục x và đỉnh của parabol ấy . Tìm tất cả các số hữu tỷ p sao cho S là số nguyên Bài toán 3 : Cho n là số nguyên dương và X là một tập hợp gồm n phần tử . Chứng minh rằng : a.Số tất cả các tập con của X bằng b.Tồn tại tập con của X sao cho từng đôi có phần tử chung c.Không tồn tại tập con của X mà từng đôi có phần tử chung . bình Đặt Đề thi học sinh giỏi THCS Bungary KỲ THI MUA ĐÔNG NĂM 1995 LỚP 8 NHÓM I (Trích cuốn "Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Bungary". một màu . Đề thi học sinh giỏi THCS Bungary KỲ THI MUA ĐÔNG NĂM 1995 LỚP 8 NHÓM II (Trích cuốn "Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Bungary"