DE THI HS GIOI LOP 8

ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2009- 2010 Bài 1: Phân tích các đa thưc sau thành nhân tử: a) (x-y) 3 +(y-z) 3 +(z-x) 3 b) x(y 2 -z 2 )+y(z 2 -x 2 )+z(x 2 -y 2 ) Giải a) (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 =(x - y + y - z)[(x - y) 2 -(x - y)(y - z) + (y - z) 2 ] + (z - x) 3 =(x - z)[(x - y) 2 - (x - y)(y - z) + (y - z) 2 - (z - x) 2 ] =(x - z)[(x - y)(x - y - y + z) + (y - z + z - x)(y - z - z + x)] =(x - z)(x - y)(x - 2y + z - y + 2z - x) =3(x - z)(x - y)(z - y) b) x(y 2 - z 2 ) + y(z 2 - x 2 ) + z(x 2 - y 2 ) = x(y 2 - x 2 + x 2 - z 2 ) + y(z 2 - x 2 ) + z(x 2 - y 2 ) = x(y 2 - x 2 ) + x(x 2 - z 2 ) + y(z 2 - x 2 ) + z(x 2 - y 2 ) = (x 2 - y 2 )(z - x) + (x 2 - z 2 )(x - y) =(x - y)(z - x)(x + y - x - z) =(x - y)(z - x)(y - z) Bài 2: So sánh các cặp số sau: 1. A= 1999. 2001 và B= 2000 2 2. C=3 n+1 +4.2 n-1 -81.3 n-3 -8.2 n-2 +1 và D = (2 n +1) 2 +(2 n -1) 2 -2(4 n +1) ( Với n nguyên dương.) Giải 1. A=1999.2001=(2000-1) (2000+1)=2000 2 -1<2000 2 ⇒ A<B 2. C=3 n+1 + 2 2 . 2 n-1 - 3 4 . 3 n-3 - 2 3 . 2 n-2 +1 C=3 n+1 + 2 n+1 - 3 n+1 - 2 n+1 + 1 = 1 D=(2 n ) 2 +2.2 n + 1 +(2 n ) 2 - 2.2 n + 1 - 2.(2 2 ) n - 2 =2 2n + 2 n+1 + 1 + 2 2n - 2 n+1 + 1 -2.2 2n - 2 = 2.2 2 n - 2.2 2n = 0 ⇒ C > D Bài 3: Cho x 2 =a 2 +b 2 +ab và a+b=c. Chứng minh rằng: 2x 4 =a 4 +b 4 +c 4 Giải Ta có: x 2 =a 2 +b 2 +ab ⇒ x 4 =a 4 +b 4 +a 2 b 2 +2a 2 b 2 +2a 3 b+2ab 3 x 4 =a 4 +b 4 +a 2 b 2 +2ab(a 2 +b 2 +ab) =a 4 +b 4 +a 2 b 2 +2abx 2 (1) Mà c=a+b ⇒ c 2 =a 2 +2ab+b 2 ⇒ c 2 =x 2 +ab ⇒ c 4 =x 4 +2abx 2 +a 2 b 2 (2) Từ (1) và (2) ⇒ 2x 4 =x 4 +a 4 +b 4 +2abx 2 +a 2 b 2 ⇒ 2x 4 =a 4 +b 4 +c 4 (đpcm). Bài 4: Cho x, y là 2 số khác nhau thoả mản x 2 +y = y 2 +x Tính giá trị của biểu thức sau: A = 1 22 − ++ xy xyyx Giải Ta có: x 2 +y = y 2 +x ⇔ x 2 -y 2 +y-x = 0 ⇔ (x-y)[(x+y)-1] = 0 Vì x ≠ y nên x+y-1 = 0 ⇔ x+y = 1 Từ đó ta có: A = 1 22 − −+ xy xyyx = 1 )( 2 − −+ xy xyyx = 1 1 − − xy xy = -1 Vậy A= -1 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 1. A = x 2 +5y 2 - 2xy+4y+3 2. B = (x 2 -2x) (x 2 -2x+2) Giải 1. A= x 2 - 2xy + y 2 + 4y 2 + 4y + 1 + 2 = (x-y) 2 + (2y+1) 2 + 2 Vì (x-y) 2 ≥ 0, (2y+1) 2 ≥ 0 với mọi x, y ⇒ A ≥ 2. Đẳng thức xảy ra x-y =0 x = y ⇔ 2y+1=0 ⇔ y= 2 1− Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 ⇔ x = y = 2 1− 2. B = (x 2 -2x)(x 2 -2x + 2) Đặt t = x 2 - 2x ⇒ B = t(t +2) = (t+1) 2 -1 ≥ -1 Đẳng thức xảy ra ⇔ t+1 =0 ⇔ x 2 -2x +1 = 0 ⇔ (x-1) 2 = 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -1 ⇔ x = 1 Bài 6: Cho hình bình ABCD. Một đường thẳng l cắt AB ở E, cắt AD ở F và cắt đường chéo AC ở G. Chứng minh rằng: AE AB + FA AD = GA AC . Giải Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Kẻ BM//EF và DN //EF với M,N trên AC Xét tam giác ABM có EG // BM nên AE AB = GA AM (1) Xét tam giác ADN có FG // DN nên AF AD = GA AN (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có AE AB + FA AD = GA ANAM + (3) Mặt khác: ∆ ABM= ∆ CDN(g.c.g) Suy ra AN =NC (4) . Thay (4) vào (3) ta được: AE AB + FA AD = GA ANNC + = AG AC (đpcm) F G O E B C A D M N . ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2009- 2010 Bài 1: Phân tích các đa thưc sau thành nhân tử: a) (x-y) 3 +(y-z) 3 +(z-x) 3 . - z) Bài 2: So sánh các cặp số sau: 1. A= 1999. 2001 và B= 2000 2 2. C=3 n+1 +4.2 n-1 -81 .3 n-3 -8. 2 n-2 +1 và D = (2 n +1) 2 +(2 n -1) 2 -2(4 n +1) ( Với n nguyên dương.) Giải 1. A=1999.2001=(2000-1)