PGD&ĐT DUYÊN HẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRƯỜNG THCS HIỆP THẠNH MÔN THI: TOÁN 8 THỜI GIAN 120 PHÚT Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 3 + 4a 2 -29a +24 Bài 2: (4 điểm) a) Tìm GTNN của biểu thức A = x 2 + x + 1 b) Chứng minh rằng P = 5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1 chia hết cho 59 với mọi n ∈ N Bài 3: (4 điểm) Cho ,a b là các số dương. Chứng minh rằng: 3 3 3 1 1 4 ) ) 2 2 a A a b a b a b a b b B = + ≥ + + + = ≥ ÷ Bài 4: (6 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. a) Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao? b) Xác định vị trí của các điểm E, F, G, H để tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất. Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC và một điểm O bất kỳ nằm trong tam giác. Các đường thẳng AO, BO, CO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P. Chứng minh: OM ON OP AM BN CP + + không đổi. …………………….HẾT…………………… HƯỚNG HẪN CHẤM – BIỂU ĐIỂM Câu Nội dung Biểu điểm Bài 1 Ta có: a 3 + 4a 2 -29a +24 = a 3 – a 2 +5a 2 – 5a – 24a + 24 = a 2 (a – 1) + 5a(a – 1) + 24(a – 1) = (a – 1)(a 2 + 5a – 24) = (a – 1)[a 2 – 3a + 8a – 24] = (a – 1)[a(a – 3) + 8(a – 3)] = (a – 1)(a – 3)(a + 8) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 Bài 2 2 2 2 1 3 ) 1 4 4 1 3 3 2 4 4 a x x x x x + + = + + + ÷ = + + ≥ ÷ Dấu “=” xảy ra khi x = - 1 2 Vậy GTNN của biểu thức A = 3 4 khi x = - 1 2 b)Ta có P = 5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1 = 5 n .5 2 + 26.5 n +8 2n .8 = (25.5 n + 34.5 n ) + (8 2n .8 – 8.5 n ) = 59.5 n + 8(64 n .5 n ) = 59.5 n + 8(64-5)(64 n-1 + 64 n-2 .5 + …+5 n-1 ) = 59.5 n + 8.59(64 n-1 + 64 n-2 .5 + …+5 n-1 ) = 59[5 n +8(64 n-1 + 64 n-2 .5 + …+5 n-1 )]Chia hết cho 59 Vậy P = 5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1 chia hết cho 59 với mọi n ∈ N 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 Bài 3 a)Với a > 0, b > 0 2 2 2 2 0 a b 2ab a b 2ab 4ab 4ab a b 4 ab a b 1 1 4 a b a b ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ ≥ + ⇔ ≥ + ⇔ + ≥ + 2 2 Ta coù: (a - b) (a + b) (ĐPCM) b)Với a > 0, b > 0=> a + b > 0 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 3 2 0 3 0 a b a b a b a b a b a ab b a b a ab b a ab b a ab b a ab b a b + + ≥ ÷ + + + ⇔ − + ≥ ÷ ÷ ÷ + ⇔ − + ≥ ÷ ⇔ − + ≥ + + ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ Vậy 3 3 3 2 2 a b a b B + + = ≥ ÷ 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 4 a) Ta có: ( )AHE BEF CFG DGH c g c∆ = ∆ = ∆ = ∆ − − HE EF FG GH⇒ = = = (cạnh tương ứng)(1) Mặt khác: · · · 0 180AEH HEF FEB+ + = Mà · · · · 0 90AEH AHE BEF BFE+ = + = · 0 0 0 180 90 90HEF⇒ = − = (2) Từ (1) và (2) suy ra từ giác EFGH là hình vuông. b) Gọi O là giao điểm của AC và EG Ta xét à AOEv COG∆ ∆ · · ( ) ( ) · · ( ) OGC OEA slt AE GC gt EAO GCO slt = = = Suy ta AOE COG∆ = ∆ (g-c-g) ;OA OC OE OG⇒ = = Hình vẽ chính xác đạt 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 Vậy O là tâm 2 hình vuông ABCD và EFGH Từ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất khi E, F, G, H là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi cạnh của hình vuông EFGH là a Chu vi hình vuông EFGH là 4a Chu vi hình vuông EFGH nhỏ nhất khi a nhỏ nhất. Ta có 2 2 a OE = a nhỏ nhất khi OE nhỏ nhất Vậy E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC, G là trung điểm của Cd, H là trung điểm của DA. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 Bài 5 Kẻ AH vuông với BC, OK vuông với BC Xét hai tam giác MAH và MOK Do OK // AH Nên 1 . 2 1 . 2 OBC ABC OK BC S OK OM AH AM S AH BC = = = (1) Tương tự: (2) (3) OAC ABC OAB ABC S ON BN S S OP CP S = = Công vế với vế (1),(2),(3) ta được 1 OBC OAC OAB ABC ABC ABC S S S OM ON OP AM BN CP S S S + + + + = = = Hình vẽ chính xác đạt 0.5 1 0.5 0.5 0.5 0.5 Vậy OM ON OP AM BN CP + + không đổi. 0.5 * Lưu ý: Học sinh lảm cách khác đúng vẫn đạt trọn số điểm. . 26.5 n + 8 2n+1 = 5 n .5 2 + 26.5 n +8 2n .8 = (25.5 n + 34.5 n ) + (8 2n .8 – 8. 5 n ) = 59.5 n + 8( 64 n .5 n ) = 59.5 n + 8( 64-5)(64 n-1 + 64 n-2 .5 + …+5 n-1 ) = 59.5 n + 8. 59(64 n-1 . 1) + 24(a – 1) = (a – 1)(a 2 + 5a – 24) = (a – 1)[a 2 – 3a + 8a – 24] = (a – 1)[a(a – 3) + 8( a – 3)] = (a – 1)(a – 3)(a + 8) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 Bài 2 2 2 2 1 3 ) 1 4 4 1 3 3 2 4. PGD&ĐT DUYÊN HẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRƯỜNG THCS HIỆP THẠNH MÔN THI: TOÁN 8 THỜI GIAN 120 PHÚT Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành