BÀI TẬP (full): GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? a) Nếu a âm thì ít nhất một trong các số cos a , sin a phải âm b) Nếu a dương thì sin 2 1 cos= -a a c) Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi các số thực sau trùng sau: 7 13 71 ; ; và 4 4 4 4 p p p p - d) Ba số sau bằng nhau: 2 0 0 cos 45 ;sin cos và sin210 3 3 æ ö p p ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø e) Hai số sau khác nhau: 11 5 sin và sin 1505 6 6 æ ö p p ÷ ç + p ÷ ç ÷ ç è ø g) Các điểm của đường tròn lượng giác lần lượt xác định bởi các số 2 2 0; ; ; ; và 3 3 3 3 p p p p - -p là các đỉnh liên tiếp của một lúc giác đều GIẢI: a) Sai, vì giả sử 7 4 p =-a thì cả cos a và sin a đều dương b) Sai, chẳng hạn 7 4 p =a thì sin a < 0 c) Sai, trên đường tròn lượng giác các điểm biểu diễn số 7 71 ; và 4 4 4 - -p p p trùng nhau 7 71 vì 2 và 18 4 4 4 4 æ ö - -pp pp ÷ ç = - = -p p ÷ ç ÷ ç è ø nhưng không trùng điểm biểu diễn số 13 3 4 4 p p = +p d) Đúng, vì * 2 0 1 1 1 cos 45 ;*sin cos sin . sin 2 3 3 3 2 6 2 æ ö æ ö p p p p ÷ ÷ ç ç = = = = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø * 0 0 0 1 sin 210 sin(180 30 ) sin 6 2 æ ö p ÷ ç - =- + = - =- ÷ ç ÷ ç è ø e) Sai, vì: 11 1 *sin sin 2 sin 6 6 6 2 ổ ử ổ ử p p p ữ ữ ỗ ỗ = - + = - =-p ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ * 5 1 sin 1505 sin 1506 sin 6 6 6 2 ổ ử ổ ử ổ ử p p p ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ + = - + = - =-p p ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ g) ỳng Tỡm Cỏc im ca ng trũn lng giỏc xỏc nh bi s a trong mi trng hp sau: a) 2 cos 1 sin= -a a b) 2 sin sin=a a c) 2 1 cos tan cos - a =a a GII a) 2 cos 1 sin= -a a khi v ch khi cos 0a , khi ú M nm na ng trũn lng giỏc bờn phi trc tung (bao gm c trc tung) b) 2 sin sin=a a khi v ch khi sin 0a , khi ú M nm na ng trũn lng giỏc phớa trờn trc honh (bao gm c trc honh) c) 2 1 cos tan cos - a a a khi v ch khi sin 0 cos 0 ỡ a ù ù ớ ù a ạ ù ợ , khi ú M nm na ng trũn lng giỏc phớa trờn trc honh (bao gm c trc honh), nhng M khụng nm trờn trc tung Xỏc nh du ca cỏc s sau: a) 0 0 0 17 sin156 ;cos( 80 );tan v tan556 8 ổ ử p ữ ỗ - - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ b) 3 sin ;cos , 4 2 ổ ử ổ ử p p ữ ữ ỗ ỗ + -a a ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ bit rng 0 2 p < <a GII a) * 0 0 0 0 0 sin156 .Do 0 156 180 , nờn sin156 0< < > * 0 0 0 0 0 cos( 80 ).Do 90 80 90 , nờn cos( 80 ) 0- - < - < - > * 17 17 tan tan 2 tan 0 tan 0 8 8 8 8 ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử p p p p ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ - = - - = - < - <p p ị ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ * 0 0 0 0 tan556 tan(360 196 ) tan196= + = M 0 0 0 0 180 196 2710 nờn tan556 0< < > b)* 3 sin .Do 0 nên , nên sin 0 4 2 4 4 4 4 æ ö æ ö p p p p p p ÷ ÷ ç ç + < < < + < + >a a a a ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø * 3 cos 8 æ ö p ÷ ç -a ÷ ç ÷ ç è ø . Đặt 3 x 8 p = -a 3 Do 0 nên x 2 8 8 -p p p < < < <a . Vậy, 3 cos 0 8 æ ö p ÷ ç - >a ÷ ç ÷ ç è ø * tan . Do 0 0 nên tan 0 2 2 2 2 2 æ ö æ ö p p p p p ÷ ÷ ç ç - < < - < - < - <a a Û a a ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Tính các giá trị lượng giác của các góc sau: a) (2k 1) ; 3 p - + + p b) k p c) k 2 p + p d) k (k ) 4 p + pÎ ¢ GIẢI a) Ta có: 2 (2k 1) k2 (k ) 3 3 p p - + + = +p pÎ ¢ Vậy: * 2 2 3 2 2 1 sin k2 sin ;cos k2 cos 3 3 2 3 3 2 æ ö æ ö p p p p ÷ ÷ ç ç + = = + = =-p p ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø * 2 2 2 2 3 tan k2 tan 3;cot k2 cot 3 3 3 3 3 æ ö æ ö -p p p p ÷ ÷ ç ç + = =- + = =p p ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø b) * sin(k ) 0=p * k cos(k ) ( 1)= -p * tan(k ) 0=p * cot(k ) :p không xác định (k )Î ¢ c) Với k Î ¢ , ta có: (Xét k chẵn và k lẻ) * k sin k ( 1) 2 æ ö p ÷ ç + = -p ÷ ç ÷ ç è ø * cos k 0 2 æ ö p ÷ ç + =p ÷ ç ÷ ç è ø * tan k : 2 æ ö p ÷ ç + p ÷ ç ÷ ç è ø không xác định * cot k 0 (k ) 2 æ ö p ÷ ç + =p Î ÷ ç ÷ ç è ø ¢ d) Với k Î ¢ , ta có: (Xét k chẳn và lẻ) * k 2 sin k ( 1) . 4 2 æ ö p ÷ ç + = -p ÷ ç ÷ ç è ø * k 2 cos k ( 1) . 4 2 æ ö p ÷ ç + = -p ÷ ç ÷ ç è ø * tan k tan 1 4 4 æ ö p p ÷ ç + = =p ÷ ç ÷ ç è ø * cot k cot 1(k ) 4 4 æ ö p p ÷ ç + = =p Î ÷ ç ÷ ç è ø ¢ Tính các giá trị lượng giác của góc a trong mỗi trường hợp sau: a) 1 cos ,sin 0; 4 = <a a b) 1 3 sin ; ; 3 2 2 p p =- < <a a c) 1 tan , 0 2 = - < <a p a GIẢI a) 1 cos ,sin 0 4 = <a a + 2 1 15 15 sin 1 cos 1 16 16 4 - =- - =- - =- =a a + sin 15 4 tan . 15 cos 4 1 -a = = =-a a + cos 1 4 15 cot . sin 4 15 15 -a = = =a a - b) 1 3 sin ; 3 2 2 p p =- < <a a 3 Do nên cos 0 2 2 p p < < <a a + 2 1 8 2 2 cos 1 sin 1 9 9 3 - =- - =- - =- =a a + sin 2 tan cos 4 a = =a a + 1 cot 2 2 tan = =a a c) 1 tan ; 0 2 = - < <a p a Vì 0 nên sin 0 cos 0- < < < <p a a Þa Ta có 2 2 1 1 tan cos = + a a (công thức) Nên 2 1 2 5 cos 5 1 tan - - = =a + a * 5 sin cos .tan 5 - = =a a a * 1 cot 2 tan = =a a 19. Đơn giản các biểu thức a) 4 2 2 sin sin cos+a a a b) 2 1 cos 1 1 cos sin - a - + a a (giả sử sin 0a ¹ ) c) 2 2 2 2 1 sin cos cos cos - aa - a a (giả sử cos 0a ¹ ) GIẢI: a) Ta có: 4 2 2 sin sin cos+a a a ( ) 2 2 2 2 sin sin cos sin |sin |= + = =aa a a a b) 2 2 1 cos 1 sin cos - a - a a (giả sử sin 0 và cos 0a ¹ a ¹ ) = ( ) ( ) 2 1 cos 1 1 cos 1 0 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos - -a a = - = - = + - + +a a a a - a c) 2 2 2 2 1 sin cos cos cos - aa - a a (giả sử cos 0a ¹ ) = 2 2 2 2 2 2 1 sin cos sin cos cos cos - -aa aa - a a ( ) 2 2 2 2 2 2 cos 1 sin sin cos tan cos cos 2 -a a a = + - =a a a a Cách khác: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin cos 1 1 cos sin cos 1 tan cos cos cos - aa - = - - = - =a a a a a a a LUYỆN TẬP 20. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau: 0 0 0 0 5 11 10 17 225 , 225 ,750 , 510 , ; , , 3 6 3 3 p p p p - - - - GIẢI * Vì 0 0 0 225 45 180 nên= + 0 0 2 sin 225 sin45 2 - =- = 0 0 2 cos225 cos45 2 - =- = 0 0 tan 225 tan 45 1= = 0 0 1 cot 225 1 tan 225 = = * Vì 0 0 0 225 45 180 nên- =- - ( ) ( ) 0 0 2 sin 225 sin 45 2 - =- - = ( ) ( ) 0 0 2 cos 225 cos 45 2 - - =- - = ( ) 0 0 tan 225 tan 45 1- =- =- ( ) 0 cot 225 1- =- * Vì 0 0 0 750 30 720 nên= + ( ) 0 0 1 sin 750 sin30 2 = = ( ) 0 0 3 cos 750 cos30 2 = = ( ) 0 0 3 tan 750 tan30 3 = = ( ) 0 cot 750 3= * Vì 0 0 0 510 360 150 nên- =- - 0 0 1 sin( 150 ) sin30 2 - =- =- ( ) 0 0 3 cos 150 cos30 2 - =- =- ( ) 0 0 3 tan 150 tan30 3 - = = ( ) 0 cot 150 3- = * Vì 5 2 nên 3 3 p p =- + p 5 3 sin sin 3 3 2 æ ö p p ÷ ç =- =-p ÷ ç ÷ ç è ø 5 1 cos cos 3 3 2 æ ö æ ö p p ÷ ÷ ç ç = + - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 5 tan tan 3 3 3 æ ö æ ö p p ÷ ÷ ç ç = - =- ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 5 3 cot 3 3 æ ö p ÷ ç =- ÷ ç ÷ ç è ø * Vì 11 2 nên 6 6 p p =- + 11 1 sin sin 6 6 2 æ ö æ ö p p ÷ ÷ ç ç = - =- ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 11 3 cos cos 6 6 2 æ ö æ ö p p ÷ ÷ ç ç = - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 11 3 tan tan 6 6 3 æ ö æ ö -p p ÷ ÷ ç ç = - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 11 cot 3 6 æ ö p ÷ ç =- ÷ ç ÷ ç è ø * Vì 10 3 nên 3 3 - pp =- - p 10 3 sin sin 3 3 2 æ ö æ ö - -p p ÷ ÷ ç ç =- = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 10 1 cos cos 3 3 2 æ ö æ ö - -p p ÷ ÷ ç ç =- = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 10 tan tan 3 3 3 æ ö æ ö - -p p ÷ ÷ ç ç = =- ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 10 3 cot 3 3 æ ö - p ÷ ç =- ÷ ç ÷ ç è ø * Vì 17 6 nên 3 3 p p - = - p 17 3 sin sin 3 3 2 æ ö - pp ÷ ç = = ÷ ç ÷ ç è ø 17 1 cos cos 3 3 2 æ ö - pp ÷ ç = = ÷ ç ÷ ç è ø 17 tan tan 3 3 3 æ ö - pp ÷ ç = = ÷ ç ÷ ç è ø 17 3 cot 3 3 æ ö - p ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø 21. Xét góc lượng giác (OA, OM) = a , trong đó M là điểm không nằm trên các trục tọa độ Ox, Oy. Hãy lập bảng dấu của sin a , cos a , tan a , theo vị trí của M thuộc các góc phần tư I, II, III, IV trong hệ tọa độ Oxy. Hỏi M ở trong góc phần tư nào thì: a) của sin a , cos a cùng dấu? b) sin a , tan a khác dấu? GIẢI M thuộc góc phần tư thứ sin a cos a tan a I + + + II + - - III - - + IV - + - a) Khi M thuộc góc phần tư thứ I và thứ III thì sina và cosa cùng dấu b) Khi M thuộc góc phần tư thứ II và III thì sina và tana khác dấu 22. Chứng minh các đẳng thứ sau: a) 4 4 4 cos sin 2cos 1- = -a a a b) 4 2 4 2 1 1 cot sin sin - = -a a a (nếu sin 0a ¹ ) c) 2 2 2 1 sin 1 2tan 1 sin + a = + a - a (nếu sin 1±¹ ) GIẢI: a) Chứng minh: 4 4 4 cos sin 2cos 1- = -a a a Ta có: ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 2 cos sin cos sin cos sin 2cos 1- = + - = -a a a a a a a b) Chứng minh: 4 2 4 2 1 1 cot sin sin - = -a a a (nếu sin 0a ¹ ) Ta có: 4 2 2 2 2 1 1 cot (1 cot )(1 cot ) (1 cot ) sin - = + - = -a a a a a 2 2 2 4 2 4 2 4 1 cos 1 1 sin 2 1 sin sin sin sin sin sin -a a = - = - = - a a a a a a (đpcm) c) Chứng minh: 2 2 2 1 sin 1 2tan 1 sin + a = + a - a (nếu sin 1±¹ ) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin cos cos cos + +a aa = = + - aaaa 2 2 2 1 tan tan 1 2tan= + + = +a a a (đpcm) 23. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc a : a) 4 2 4 2 sin 4cos cos 4sin+ + +a a a a b) ( ) ( ) 6 6 4 4 2 sin cos 3 cos sin+ - +a a a a c) 2 cot 1 tan 1 cot 1 -a + - -a a (nếu tan 1a ¹ ) GIẢI: a) 4 2 4 2 sin 4cos cos 4sin+ + +a a a Ta có: * ( ) ( ) 2 4 2 4 2 2 2 sin 4cos sin 4 1 sin sin 4sin 4+ = + - = - +a a a a a a ( ) 2 2 2 2 sin 2 sin (vì sin 1) (1)= - = -a aa£ * ( ) 4 2 4 2 4 2 cos 4sin cos 4 1 cos cos 4 4cos+ = + - = + -a a a a a a ( ) 2 2 2 2 cos 2 cos (vì cos 1) (2)= - = -a aa£ Từ (1), (2) ta có: 4 2 4 2 sin 4cos cos 4sin+ + +a a a a ( ) 2 2 2 2 2 sin 2 cos 4 sin cos 4 1 3= - + - = - + = - =a a a a Vậy biểu thức không phụ thuộc a b) ( ) ( ) 6 6 4 4 2 sin cos 3 cos sin+ - +a a a a ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 3 cos sin é ù é ù = + - +a a a a ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 3sin cos 3 cos sin 2sin cos é ù é ù = + - - + -a a aa a a aa ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û 2 2 2 2 2 6sin cos 3 6sin cos 1= - - + =-aa a c) 2 cot 1 tan 1 cot 1 -a + - -a a (nếu tan 1a ¹ ) 1 1 2 tan 1 tan 1 1 tan + a = + -a - a 2 1 tan 2 1 tan 1 tan 1 tan 1 1 tan tan 1 tan 1 + - - -a a a = + = = =- - - - -a a a a Vậy biểu thức không phụ thuộc a 3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦ CÁC GÓC (CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT 24. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? a) Khi a đổi dấu (tức thay a bởi - a ) thì cos a và sin a đổi dấu tan a không đổi dấu b) Với mọi a , sin2 a = 2sin a c) Với mọi a , ( ) ( ) sin cos cos sin 0 2 2 æ ö æ ö p p ÷ ÷ ç ç - - + + - + - =a a p a a p ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø d) Nếu ( ) cos 5 5 cos 0 thì 5 cos - a - a = =-a ¹ a a e) 2 2 3 cos cos 1 8 8 p p + = g) 2 sin cos 10 5 p p = GIẢI: a) Sai, vì khi a đổi dấu thì sin a và tan a đổi dấu, còn cos a thì không đổi dấu b) Sai, vì giả sử 2 p =a thì khi đó 2sin a = 2 còn sin2 a = 0 c) Đúng, vì: * sin cos ; 2 æ ö p ÷ ç - =-a a ÷ ç ÷ ç è ø * ( ) cos cos+ =-a p a nên ( ) ( ) sin cos cos cos 0 2 æ ö p ÷ ç - - + = - - - =a a p a a ÷ ç ÷ ç è ø Tương tự: ( ) cos sin sin sin 0 2 æ ö p ÷ ç - - - = - =a a p a a Þ ÷ ç ÷ ç è ø đpcm d) Sai, vì giả sử ( ) ( ) cos 5 cos 5 thì 1 cos cos - -a p = = =a p a p e) Đúng, vì: 3 cos cos sin 8 2 8 8 æ ö æ ö p p p p ÷ ÷ ç ç = - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø nên 2 2 2 2 3 cos cos cos sin 1 8 8 8 8 p p p p + = + = . a ï =a í ï =a ï î 39. Sử dụng 0 0 0 75 45 30= + , hãy ntinhs các giá trị lượng giác của góc 0 75 . Sử dụng 0 0 0 15 45 30= - , hãy tính các giá trị lượng giác góc 0 15 (đối chiếu với kết quả bài tập 29) GIẢI 0. diện tích của tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy ra sin 2 2sin 2 cos=a a a c) Chứng minh 1 1 sin 2 2,cos 2 2 8 2 8 2 p p = - = + rồi tính các giá trị lượng giác của các góc 3 5 và 8. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? a) Nếu a âm thì ít