Luyện Thi HKI Bobadep Đề 4:(Luyện HKI) Câu I: (3 đ) a) Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số y = 3x 2 x 1 , đồ thò (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân tại O Giải + TXĐ : D = R\{1} + Tiệm cận: vì x (1) lim 3x 2 x 1 = + ; x (1) lim 3x 2 x 1 = => x =1 là tiệm cận đứng vì x lim 3x 2 x 1 = x lim 2 3 x 1 1 x =3 => y =3 là tiệm cận ngang + Đạo hàm : y / = 2 1 (x 1) < 0 , x D Hàm số nghòch biến trên (∞;1) ; (1;+∞ ) + Bảng biến thiên : x ∞ 1 +∞ y’ y 3 +∞ ∞ 3 + Đồ thò : Đồ thò cắt trục Oy tại M(0;2) Nhận I(1;3) làm tâm đối xứng b)Vì tiếp tuyến cắt Ox,Oy lần lượt tại hai điểm A, B và tam giác OAB cân tại O => tiếp tuyến song song với các đường thẳng y= x => Hệ số góc của tiếp tuyến k=1 Trường hợp 1: k= 1 . Phương trình 2 1 (x 1) =1 ( vô nghiệm) Trường hợp 2: k=1 . Phương trình 2 1 (x 1) =1 <=> (x1) 2 =1 <=> x 2 x 0 Tại M 1 (0; 2) có pt tiếp tuyến là : y= (x0)+2 <=> y=x+2 (thỏa) Tại M 2 (2; 4) có pt tiếp tuyến là : y= (x2)+4 <=> y=x+6 (thỏa) Câu II: (3 đ) Giải các phương trình : a) log 2 x +log 3 x +log 2 x.log 3 x =0 x= 1 y=3 x y 2 O 2 4 Luyện Thi HKI Bobadep Đk : x> 0 Nếu x =1 thay vào pt thỏa mãn => x=1 là một nghiệm Nếu x≠ 1 . Pt viết lại : x 1 log 2 + x 1 log 3 + x x 1 log 2.log 3 =0 <=> x log 3 + x log 2 +1 =0 <=> x log 6 =1 <=> x=6 1 = 1 6 Vậy Pt ban đầu có 2 nghiệm là x=1 ; x= 1 6 b) x = 5 (x 3) log 2 Đk : x > 0 Đặt log 5 (x+3) =t => x+3 =5 t Theo đề bài : x=2 t Suy ra phương trình theo t là : 2 t +3 =5 t <=> t 2 5 +3. t 1 5 =1 (*) C 1 : + Ta thấy t=1 là nghiệm của pt (*) + Nếu t >1 thì t 2 5 < 2 5 3. t 1 5 <3. 1 5 => t 2 5 +3. t 1 5 < 1 . Phương trình (*) vô nghiệm + Nếu t < 1 thì t 2 5 > 2 5 3. t 1 5 >3. 1 5 => t 2 5 +3. t 1 5 > 1 . Phương trình (*) vô nghiệm Vậy t=1 là nghiệm duy nhất của pt hay x=2 là nghiệm pt ban đầu c) log 2 (x 2 4x5)=log 2 (2x1) +2.log 4 (132x) Luyện Thi HKI Bobadep Đk : 2 x 4x 5 0 2x 1 0 13 2x 0 <=> x 1 x 5 1 x 2 13 x 2 <=> 5 <x < 13 2 Pt : log 2 (x 2 4x5)=log 2 (2x1) +log 2 (132x) <=>log 2 (x 2 4x5)=log 2 (2x1)(132x) <=> x 2 4x5 =4x 2 +28x 13 <=> 5x 2 32x +8 =0 <=> x= 16 216 5 (loại) x= 16 216 5 Vậy pt có nghiệm x= 16 216 5 Câu III:(1đ) a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y =4sin 3 x 2sin 2 x 8sinx b) Tìm m để phương trình cos2x sin3x = m + 5sinx có nghiệm Đăt t= sinx , t [1;1] Hàm số : g(t) = 4t 3 2t 2 8t Đạo hàm : g'(t) = 12t 2 4t 8 g'(t)= 0 <=> 12t 2 4t8 =0 <=> t= 1 t= 2 3 Khi đó : g(1) = 6 ; g(1) =2 ; g( 2 3 )= 88 27 Vậy : Maxy = [ 1;1] Max g(t) = 88 27 khi t= 2 3 <=> sinx = 2 3 Miny = [ 1;1] Min g(t) =6 khi t=1 <=> sinx =1 b) phương trình cos2x sin3x = m + 5sinx <=> 12sin 2 x (3sinx4sin 3 x) 5sinx =m <=> 4sin 3 x 2sin 2 x 8sinx =m1 (*) Theo câu a) ta có : 6≤4sin 3 x 2sin 2 x 8sinx ≤ 88 27 ĐK pt (*) có nghiệm là : 6 ≤ m 1 ≤ 88 27 <=> 5 ≤ m ≤ 115 27 Câu IV: (3 đ) Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), ABC vuông tại B; SA = a 5 ; AB =a; BC= a 3 . Gọi E, F là hình chiếu của A lên các cạnh SB, SC . Luyện Thi HKI Bobadep a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông b) Tính thể tích V S.ABC =? c) Chứng minh A,B,C,E,F nằm trên một mặt cầu (T) . Tính diện tích mặt cầu (T) và thể tích khối cầu (T) Giải : a) Các mặt bên là các tam giác vuông : Ta có : SA AB, SA AC => SAB,SAC là các tam giác vuông BC AB , BC SA => BC SB hay SBC vuông tại B b) Thể tích hình chóp : + Diện tích đáy S đáy = 1 2 AB.AC= 2 a 3 2 + Thể tích hình chóp : V S.ABC = 1 3 SA.S đáy = 1 3 a 5 . 2 a 3 2 = 3 a 15 6 c) A,B,C,E,F nằm trên một mặt cầu (T) + Gọi I là trung điểm AC Vì tam giác ABC vuông tại B => IA=IB=IC + AFC vuông tại F => IF=IA=IC Theo cm trên : BC (SAB) ; AE (SAB) Suy ra : BC AE Giả thiết SB AE => (SBC) AE , EC (SBC) => AE EC hay tam giác AEC vuông tại E => IE=IA=IC Vậy IA=IE=IF=IC=IB => A,B,C,E,F nằm trên một mặt cầu (T) Bán kính R = IA = 1 2 AC= 1 2 2 2 AB BC = 1 2 .2a=a + Diện tích mặt cầu : S m/cầu = 4R 2 =4a 2 + Thể tích khối cầu : V K/cầu = 4 3 R 3 = 4 3 a 3 a 5 S A C a B I a 3 F E * . duy nhất của pt hay x=2 là nghiệm pt ban đầu c) log 2 (x 2 4x5)=log 2 (2x1) +2.log 4 (132x) Luyện Thi HKI Bobadep Đk : 2 x 4x 5 0 2x 1 0 13 2x 0 <=> x 1. M 2 (2; 4) có pt tiếp tuyến là : y= (x2) +4 <=> y=x+6 (thỏa) Câu II: (3 đ) Giải các phương trình : a) log 2 x +log 3 x +log 2 x.log 3 x =0 x= 1 y=3 x y 2 O 2 4 Luyện Thi HKI. <=> 5 <x < 13 2 Pt : log 2 (x 2 4x5)=log 2 (2x1) +log 2 (132x) <=>log 2 (x 2 4x5)=log 2 (2x1)(132x) <=> x 2 4x5 =4x 2 +28x 13 <=> 5x 2 32x +8 =0 <=>