sáng tạo toán học

THÂN VĂN CƯƠNG (Bản thảo) Gv THPT Tân Yên 2 - Bắc Giang MỘT SỐ VẤN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM 51 GD-05 89/176-05 Mã số : 8I092M5 Lời nói đầu Sau khi một loạt cuốn sách về phương pháp giải toán được bạn đọc đón nhận []-[], những cuốn sách này liên tục được tái bản và nhiều bạn đọc khen hơn là chê. Điều đó động viên tôi thực hiện biên tập cuốn sách này, đúng như tên của cuốn sách là tuyển tập các phương pháp và các chuyên đề giải toán chứ không phải tuyển tập các bài toán hay. Ta đã biết rất nhiều phương pháp hay đã được tôi biên tập trong các cuốn []-[], sau một thời gian tìm hiểu kĩ hơn nữa thì tôi thấy các phương pháp này giải được rất nhiều dạng bài toán khác nhau, trong tay tôi đã có rất nhiều tài liệu mà những cuốn sách trước không có được. Tôi biên tập cuốn sách này để củng cố các phương pháp giải toán mà các cuốn sách trước đã thể hiện và đưa thêm một số phương pháp khác, cách nhìn khác về việc giải toán. Đọc tài liệu này các bạn sẽ thấy tuy là phương pháp giải toán khác nhau nhưng nó có một tư tưởng thống nhất là suy luận có lí. Số bài tập hay dùng các phương pháp giải khác nhau là vô cùng nhiều, nên tất cả những bài toán trong các cuốn trước đây tôi không đưa vào đây. Tôi cố gắng chọn những bài toán hay, mới vào tuyển tập này. Nếu có những bài toán trùng với các tập sách trước thì sẽ có một cách giải hoàn toàn mới, bạn đọc có thể so sánh với những cách giải cũ. Cuốn sách được chia làm hai phần lớn : Phần I. Các phương pháp giải toán. 1. Phương pháp chứng minh bằng phản chứng. 2. Phương pháp dùng ví dụ, phản ví dụ và xây dựng lời giải. 3. Phương pháp nguyên lí Đirichle 4. Phương pháp quy nạp toán học 5. Phương pháp dùng đại lượng bất biến 6. Phương pháp dùng đại lượng cực biên 7. Phương pháp tô màu 8. Các phương pháp khác Phần II. Những chuyên đề cơ bản 1. Tổ hợp rời rạc 2. Lí thuyết số 4 Lời nói đầu 3. Bất đẳng thức 4. Dãy số 5. Đa thức 6. Phương trình hàm 7. Hình học 8. Thuật toán và trò chơi Mỗi phần trên đều được triển khai từ dễ đến khó và một lôgic có lí cao. Các bài tập và ví dụ được giải cẩn thận và dễ hiểu nhất. Bạn đọc có thể tìm thấy những lời giải khác hay hơn, ngắn hơn nhưng nhằm mục đích mô tả phương pháp giải toán nên ở đây có thể dài hơn. Phần cuối của mỗi chương là lời giải ngay các bài tập trong chương đó, đánh số các ví dụ, bài tập là lần lượt cùng nhau cho đến hết chương. Cuốn sách dành cho học sinh phổ thông yêu toán, học sinh khá giỏi môn toán, các thầy cô giáo, sinh viên đại học ngành toán, ngành tin học và những người yêu thích toán học phổ thông. Trong biên soạn không thể tránh khỏi sai sót và nhầm lẫn mong bạn đọc cho ý kiến. Mọi góp ý gửi về địa chỉ : Ban biên tập sách Toán, Nhà xuất bản Giáo dục, 187 b Giảng Võ, Hà Nội. Tác giả cảm ơn ban biên tập Toán - Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội đã hết sức giúp đỡ để cuốn sách được in ra. Hà Nội, ngày 2 tháng 11 năm 2006 Nguyễn Hữu Điển Những kí hiệu Trong cuốn sách này ta dùng những kí hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây : N tập hợp số tự nhiên N ∗ tập hợp số tự nhiên khác 0 Z tập hợp số nguyên Q tập hợp số hữu tỉ R tập hợp số thực C tập hợp số phức ≡ dấu đồng dư ∞ dương vô cùng (tương đương với +∞) −∞ âm vô cùng ∅ tập hợp rỗng C k m tổ hợp chập k của m phần tử . . . phép chia hết  . . . không chia hết UCLN ước số chung lớn nhất BCNN bội số chung nhỏ nhất deg bậc của đa thức IMO International Mathematics Olympiad APMO Asian Pacific Mathematics Olympiad Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Những kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. Phương trình vô tỷ Th.s Thân Văn Cương 7 1.1. Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1. Phương pháp lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. Phương pháp lũy thừa dạng  f(x) +  g(x) =  h(x) . . . . 9 1.1.3. Phương pháp trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung . . . 10 1.1.4. Phương pháp lũy thừa dạng 3  f(x) ± 3  g(x) = 3  h(x) . . . 12 1.1.5. Phương pháp biến đổi phương trình về dạng tích . . . . . . . 13 1.1.6. Phương pháp đặt ẩn phụ dạng m.f(x) + n  f(x) + p = 0 . . 15 1.1.7. Phương pháp đặt ẩn phụ dạng  f(x) ±  g(x) ± (  f(x) ±  g(x)) 2 + h(x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.8. Phương pháp đặt ẩn phụ để chuyển một phương trình về hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.9. Phương pháp đánh giá hai vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.10. Một số dạng phương trình vô tỷ dành cho HSG . . . . . . . . 18 1.1.11. Phương trình, bất phương trình vô tỷ có chứa tham số . . . . 31 1.1.12. Giải phương trình bằng sử dụng tính chất của hàm số . . . . 34 1.1.13. Hệ phương trình vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Chương 1 Phương trình vô tỷ Th.s Thân Văn Cương 1.1. Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ . . . . . . . 7 1.1. Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ 1.1.1. Phương pháp lũy thừa Nội dung phương pháp : Giải phương trình dạng n  f(x) = g(x) Ví dụ 1.1. Giải phương trình sau. √ 2x + 1 = 3x + 1 Lời giải. Ta thấy VT luôn không âm , do đó nếu VP âm thì phương trình vô nghiệm nên ta chỉ cần giải phương trình khi 3x + 1  0 ⇐⇒ x ≥ − 1 3 . Khi đó bình phương hai vế và giải ta thu được nghiệm của phương trình là x = 0, x = − 4 9 Chú ý. Với bài tập này chúng ta còn có thể giải bằng cách đặt t = √ 2x + 1 Ví dụ 1.2. Giải bất phương trình sau. √ 2x 2 − 6x + 1 −x + 2 < 0 Lời giải. Bất phương trình tương đương √ 2x 2 − 6x + 1 < x − 2(1). Điều kiện : x > 2, với điều kiện này, bình phương hai vế và giải ta được nghiệm của phương trình là 3+ √ 7 2 ≤ x < 3. Chú ý Cách giải bất phương trình dạng  f(x) < g(x) ⇔      f(x) ≥ 0 g(x) > 0 f(x) < g 2 (x) 8 Phương trình vô tỷ Th.s Thân Văn Cương Ví dụ 1.3. Giải bất phương trình sau. √ 2(x 2 −16) √ x−3 + √ x − 3 > 7−x √ x−3 Lời giải. Điều kiện : x ≥ 4 Bất phương trình tương đương  2(x 2 − 16)+x−3 > 7 ⇔  2(x 2 − 16) > 10−2x(1) Để giải (1) ta chia làm hai trường hợp TH1  x ≥ 4 10 − 2x < 0 ⇔ x > 5. TH2  2(x 2 − 16) > (10 −2x) 2 10 − 2x ≥ 0 ⇔  4 ≥ x ≥ 5 x 2 − 20x + 66 < 0 ⇔ 10 − √ 34 ≤ x ≤ 5. Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là x > 10 − √ 34 Chú ýDạng tổng quát của bất phương trình loại này là  f(x) ≥ g(x). Để giải bất phương trình loại này ta chia làm hai trường hợp sau : TH1  f(x) ≥ 0 g(x) < 0 TH2  g(x) ≥ 0 f(x) ≥ g 2 (x) Ví dụ 1.4. Giải phương trình sau.  2x + √ 6x 2 + 1 = x + 1 Lời giải. Điều kiện x ≥ −1. Bình phương hai vế (2 lần) ta được nghiệm x = 0, x = 2 Ví dụ 1.5. Giải phương trình sau.  x(x − 1) +  x(x + 2) = 2 √ x 2 Lời giải. Điều kiện : x ≥ 1 hoặc x ≤ −2 hoặc x = 0 Phương trình ⇔ 2x 2 + x + 2  x 2 (x − 1)(x + 2) = 4x 2 ⇔ 2  x 2 (x − 1)(x + 2) = x(2x −1) ⇔ 4x 2 (x 2 + x −2) = x 2 (2x −1) 2 (Do điều kiện) ⇔ x 2 (8x − 9) = 0. Từ đó ta tìm được nghiệm là x = 0, x = 9 8 . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình. 1.1. Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ 9 Chú ý Bài toán này còn được giải bằng cách xét từng điều kiện của phương trình và dựa vào kiến thức √ A.B =  √ A. √ B ⇔ A ≥ 0, B ≥ 0 √ −A. √ −B ⇔ A ≤ 0, B ≤ 0  1.6. Giải các phương trình sau. 1/ √ x 2 − 4x + 6 = x + 4. 2/ √ x 2 − 2x + 4 = √ 2 − x 3/ √ 3x 2 − 9x + 1 = x −2 4/ √ x 2 − 3x + 2 −3 −x = 0 5/ √ 3x 2 − 9x + 1 =| x −2 | . 1.1.2. Phương pháp lũy thừa dạng  f(x) +  g(x) =  h(x) Nội dung phương pháp Các bước để giải bài toán dạng này là + Đặt điều kiện + Bình phương hai vế của phương trình + Đưa phương trình về dạng  f(x) = g(x) Ví dụ 1.7. Giải phương trình : √ x + 4 − √ 1 − x = √ 1 − 2x Lời giải. Điều kiện : −4 ≤ x ≤ 1 2 Phương trình tương đương với √ x + 4 = √ 1 − x + √ 1 − 2x ⇔ x + 4 = 1 −2x + 2  (1 − 2x)(1 − x) + 1 −x ⇔ 2x + 1 =  (1 − 2x)(1 − x) Giải phương trình trên ta tìm được nghiệm x = 0 Ví dụ 1.8. Giải phương trình sau  x 3 +1 x+3 + √ x + 1 = √ x 2 − x + 1 + √ x + 3 Lời giải. Điều kiện : x ≥ −1 Từ phương trình này ta nhận thấy,không thể bình phương hai vế được, hoặc ta cũng không thể chuyển vế của hai phương trình này được. Nhưng ta lại có nhận xét 10 Phương trình vô tỷ Th.s Thân Văn Cương  x 3 +1 x+3 . √ x + 3 = √ x 2 − x + 1. √ x + 1. Từ nhận xét trên ta có lời giải sau Từ phương trình ta có  x 3 +1 x+3 − √ x + 3 = √ x 2 − x + 1 − √ x + 1 Bình phương hai vế ta được : x 3 +1 x+3 = x 2 − x − 1 ⇔ x 2 − 2x − 2 = 0 Từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình là : x = 1 ± √ 3 * Qua lời giải trên ta có nhận xét + Nếu phương trình  f(x)+  g(x) =  h(x)+  k(x) mà có f(x).h(x) = k(x).g(x) thì ta biến đổi thành phương trình  f(x) −  h(x) =  k(x) −  g(x) + Bình phương hai vế rồi giải  1.9. Giải các phương trình sau 1/ √ x + 3 − √ 7 − x = √ 2x − 8 2/ √ 5x − 1 − √ 3x − 2 − √ x − 1 = 0 3/ √ x − 1 − √ x − 2 = √ x − 3 4/ √ x + 2 − √ 3 − x = √ 5 − 2x 5/ √ x 2 + 3x + 2 + √ x 2 + 6x + 5 = √ 2x 2 + 9x + 7 6/ √ 3x 2 + 6x + 16 + √ x 2 + 2x = 2 √ x 2 + 2x + 4 7/ √ x 2 + 9 − √ x 2 − 7 = 2 1.1.3. Phương pháp trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung Nội dung của phương pháp này đó là từ một số phương trình vô tỷ ta có thể nhẩm được nghiệm x 0 . Như vậy phương trình đó luôn có thể đưa được về dạng (x −x 0 ).A(x) = 0. Khi đó ngoài nghiệm x = x 0 , ta giải phương trình A(x) = 0 hoặc chứng minh phương trình này vô nghiệm. Ta xét các ví dụ sau. Ví dụ 1.10. Giải phương trình sau √ 3x 2 − 5x + 1 − √ x 2 − 2 =  3(x 2 − x − 1) − √ x 2 − 3x + 4 Lời giải. Ta nhận thấy từ phương trình có : (3x 2 − 5x + 1) −3(x 2 − x − 1) = −2(x −2) và (x 2 − 2) − (x 2 − 3x + 4) = 3(x −2) Khi đó ta có thể trục căn thức hai vế ta được −2x+4 √ 3x 2 −5x+1+ √ 3(x 2 −x+1) = 3x−6 √ x 2 −2+ √ x 2 −3x+4 Ta dễ dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. ( ) [...]... Một phương trình rất phức tạp sẽ được giải một cách nhanh chóng nếu biết áp dụng phương pháp này một cách hợp lý Với phương pháp này, các thầy cô cũng có thể sáng tạo ra nhiều phương trình vô tỷ hay và khó cho học sinh Để sáng tạo được một bài toán theo cách này, chúng ta thường bắt nguồn từ chính tích mà chúng ta muốn phương trình sau khi biến đổi thành Công việc còn lại của ta bây giờ là nhân biểu... được 2x2 − 5x + 2 ≡ 2(x2 − 4x − 5) + 3(x + 4) Đến đây thì ta có thể dễ dàng "xơi" được bài toán này Với cách này chúng ta có thể "sáng tạo" ra những phương trình vô tỷ đẹp Sau đây chúng ta cùng nghiên cứu một phương pháp khác để giải phương trình vô tỷ Đó là phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Nội dung của bài toán là sau khi ta đặt ẩn phụ thì ẩn ban đầu vẫn tồn tại, khi đó ta sẽ biểu thị ẩn mới theo... 120   (u + w)(v + w) = 5 Với cách giải như trên ta có thể giải các phương trình sau √ √ √ √ √ √ 1 x2 = 2 − x2 5 − x2 + 5 − x2 10 − x2 + 10 − x2 2 − x2 (Chúng ta có thể sáng tạo ra những phương trình khác dựa vào cách sáng tạo trên) 26 Phương trình vô tỷ .Th.s Thân Văn Cương Ví dụ 1.47 Giải phương trình sau √ √ √ √ 2x2 − 1 + x2 − 3x − 2 = 2x2 + 2x + 3 + x2 − x + 2 Lời giải  √ a = 2x2 − 1  ... + 3 − (x + 1)t + 2(x − 1) = 0 Ta được phương trình : t2 − (x + 1)t + 2(x − 1) = 0 Ta được hai nghiệm là t = 2 và t = x − 1 Từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình Với bài toán này ta cũng có thể "sáng tác" cho mình những bài toán hay, chẳng hạn từ phương trình đơn giản sau √ √ √ √ ( 1 − x − 2 1 + x)( 1 − x − 2 1 + x) = 0 sau khi khai triển ta được phương trình sau Ví dụ 1.41 Giải phương trình sau... (3 x + 1 − 2)2 √ √ Từ đó ta tìm được các nghiệm t = 2 x + 1 và t = 2 − x + 1 Công việc tìm nghiệm còn lại không khó Dành cho những ai đọc ! ! ! 24 Phương trình vô tỷ .Th.s Thân Văn Cương Để "sáng tạo" những bài toán dạng này không khó, quan trọng ta cần phải nhóm sao cho hết các hệ số tự do, khi đó ta sẽ đạt được mục đích Xét ví dụ tiếp theo Ví dụ 1.42 Giải phương trình sau √ √ √ 2 2x + 4 + 4 2 − x... dạng a.A(x) + b.B(x) = c A(x).B(x)(*), Với dạng này việc quan trọng của chúng ta là tìm được mối quan hệ giữa A(x) và B(x) với phương trình ban đầu (bằng các phân tích đẳng thức ở trên) Để sáng tạo ra những bài toán dạng này ta có thể làm theo cách sau - Đầu tiên ta chọn hai biểu thức A(x) và B(x) một cách thích hợp - Tiếp đó ta thay vào phương trình dạng (*) - Việc cuối cùng ta chỉ cần chọn các hệ... x = 1, x = −1± 5 2 x=y * Từ bài toán trên ta có thể tổng quát hóa lên thành bài toán dạng √ (1) xn + b = a n ax − b Với phương trình (1), để giải nó ta có thể làm như sau : + Đặt điều kiện (nếu có) √ + Đặt y = n ax − b ⇒ y n = ax − b ⇒ y n + b = ax xn + b = ay + Từ đó phương trình trở thành y n + b = ax + Giải hệ trên ta tìm được nghiệm Với dạng này chúng ta có thể tự tạo cho mình những phương trình... yz = b   zx = c Sao cho abc = A Để giải hệ trên chúng ta chỉ việc nhân cả 3 vế của 3 phương trình trên ta được một phương trình x2 y 2 z 2 = A Việc giải còn lại đơn giản Từ ý tưởng trên ta có thể sáng tạo ra phương trình vô tỷ, chẳng hạn như Ví dụ 1.46 Giải phương trình sau √ √ √ √ √ √ x = 2 − x 3 − x + 3 − x 5 − x + 5 − x 2 − x Lời giải Điều kiện 0 ≤ x ≤ 2 :  √ u = 2 − x 2 − u2 = uv + vw + wu... trình 9x2 − 16t − 32 + 8x = 0 Công việc của ta bây giờ là phải tách 9x2 = 2α(4 − x2 ) + (9 + 2α)x2 − 8α làm sao cho ∆t có dạng chính phương Bây giờ chúng ta lại xuất phát từ các đẳng thức đã biết để sáng tạo ra những phương trình vô tỷ hay và đẹp mà cách giải của nó thì hoàn toàn đơn giản Xuất phát từ những đẳng thức đó ta có thể đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa phương trình... dụ sau Ví dụ 1.49 Giải phương trình sau √ √ √ 4 7−x+ 4x−3= 2 Gợi ý Với bài toán này ta chỉ việc đặt u = được hệ sau √ 4 7 − x ≥ 0 và v = √ 4 x + 3 ≥ 0 Ta √ u+v = 2 u4 + v 4 = 4 Bằng kiến thức về hệ phương trình đối xứng loại I ta dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình là x = 7 và x = 3 * Ta thấy rằng ví dụ trên thuộc bài toán tổng quát sau Tìm nghiệm của phương trình dạng n a + f (x) + n b − f (x) . dành cho học sinh phổ thông yêu toán, học sinh khá giỏi môn toán, các thầy cô giáo, sinh viên đại học ngành toán, ngành tin học và những người yêu thích toán học phổ thông. Trong biên soạn không. hợp lý. Với phương pháp này, các thầy cô cũng có thể sáng tạo ra nhiều phương trình vô tỷ hay và khó cho học sinh. Để sáng tạo được một bài toán theo cách này, chúng ta thường bắt nguồn từ chính tích. vô cùng nhiều, nên tất cả những bài toán trong các cuốn trước đây tôi không đưa vào đây. Tôi cố gắng chọn những bài toán hay, mới vào tuyển tập này. Nếu có những bài toán trùng với các tập sách trước