HSG lớp 9 THCS cấp tỉnh 1/3 HDC môn:Toán SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP ________________________________________________ KỲ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH NĂM 2009 _____________________________________________________________________________ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm có: 03 trang) Nội dung Câu 1 3 điểm 3 133610 0,5 2 15526 0,5 515 1313 2 3 3 x = 515 1313 = 2 1 13 0,25- 0,5- 05 Vậy P = (2 3 -4.2+1) 2009 0,25 = 1 2009 = 1 0,25 P = 1 0,25 Câu 2 4 điểm a) 1;2 xx 0,5 b) x 5 - 2 x 4 + 2 x 3 - 4 x 2 - 3 x +6 = x 4 ( x -2)+2 x 2 ( x -2)-3( x -2) 0,5 = ( x -2)( x 4 + 2 x 2 -3) 0,25 = ( x -2)[ ( x 2 +1) 2 -4] 0,5 = ( x -2)[ ( x 2 +3)( x 2 -1)] 0,25 = ( x -2) ( x 2 +3)( x -1) ( x + 1) 0,25 2 63422 2 2345 x x xxxxx A = 21 1132 2 xx xxxx 0,5 0,25 = ( x 2 +3)( x -1) 0,5 c) Vì x 2 +3> 0 ; để A= 0 thì x -1 =0 0,25 x = 1 (thỏa điều kiện) 0,25 Câu 3 5 điểm a) ĐKXĐ: x m ; x 1 0,25 Khi đó: 1 x 1x m x 2x (x +2)(x – 1) = (x + 1)(x – m) 0,25 x 2 + x – 2 = x 2 – mx + x – m mx = 2 – m m m2 x 0,25 Vậy phương trình trên có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: 2m 1m 0m mm2 02mm 0m 1 m m2 m m m2 0m 1x mx 0m 2 0,25 b) Hệ phương trình: (2) 12nny2x (1) 1n2ynx Từ (1) suy ra nx)1(n 2 1 y 0,25 HSG lớp 9 THCS cấp tỉnh 2/3 HDC môn:Toán Thay vào (2) ta được 12nnx)1(n 2 1 n2x 0,25 4x – n 2 .x = – n 2 + 3n – 2 (4 – n 2 ).x = – n 2 + 3n – 2 0,25 2 2 n 4 23nn x 0,25 Hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất khi: 4–n 2 0 n 2 0, 25 Khi đó: 2n 3 2 2n 12n y 2n 3 1 2n 1n x 0, 25 x, y nguyên khi: (n + 2) Ư(3) ={1 ; –1 ; 3 ;–3} 0,25 n {–1 ; –3 ; 1 ; –5} 0,25 c) ĐK : x ≥ 2009 ; y ≥ -2008 ; z ≥ 2 0,25 ) 2 1 220082009 zyxzyx 222008220092 zyxzyx 0,5 0121200812009 222 zyx 0,5 012 012008 012009 z y x 0,5 3 2007 2010 z y x (thỏa điều kiện) Vậy x = 2010 ; y = -2007 ; z = 3 0,25 Câu 4 5 điểm a) Đặt AB= x ; AC = y (x,y >0) ABC vuông tại A, ta có : AB.AC = AH. BC 0,25 x.y = a a 5. 5 12 = 12a 2 (1) 0,25 BC 2 = AB 2 + AC 2 25a 2 = x 2 +y 2 (2) 0,25 Từ (1) &(2) (x+y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 = 25a 2 + 24a 2 = 49a 2 0,5 (x-y) 2 = x 2 -2xy+y 2 = 25a 2 -24a 2 = a 2 0,5 Vậy ayx ayx 7 hoặc ayx ayx 7 0,5 Do đó ay ax 3 4 hoặc ay ax 4 3 Vậy hai cạnh góc vuông là 4a và 3a 0,25 b) S HIK = S ABC – S AKI – S BKH – S CHI 0,5 ABC CHI ABC BKH ABC AKI ABC HIK S S S S S S S S 1 0,5 Xét AKI và ABC có góc A chung nên AB AI AC AK ACAB AIAK S S ABC AKI . . . 0,5 HSG lớp 9 THCS cấp tỉnh 3/3 HDC môn:Toán AKC vuông tại K và AIB vuông tại I, ta có : Cos A = AC AK và cos A = AB AI Do đó A S S ABC AKI 2 cos 0,5 Tương tự : C S S B S S ABC CHI ABC BHK 22 cos;cos Vậy CBA S S ABC HIK 222 coscoscos1 0,5 I K H C B A Câu 5 3 đi ểm Đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2121 RRRRRR 0,25 Qua O kẻ HK O 1 A và O 2 B (với H O 1 A ; KO 2 B),khi đó H, O, K thẳng hàng . HOO 1 vuông có :OH 2 = OO 1 2 - HO 1 2 = (R 1 +R) 2 - (R 1 -R) 2 = 4R 1 R OH = 1 2 R R (1) 0,75 KOO 2 vuông có :OK 2 = OO 2 2 -KO 2 2 = (R 2 +R) 2 - (R 2 -R) 2 = 4R 2 R OK= 2 2 R R (2) 0,75 Từ (1) & (2) HK= 1 2 2 R R R R 0,25 Qua O 2 kẻ O 2 I O 1 A (với I O 1 A ) IO 2 O 1 vuông có :IO 2 = 2 2 1 2 1 O O IO = 21 2 RR 0,5 Mà IO 2 = HK 2121 RRRRRR 0,5 d O 2 O 1 I C K H B A o . HSG lớp 9 THCS cấp t nh 1/3 HDC môn :Toán SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP ________________________________________________ KỲ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP T NH NĂM 20 09 . 0,25 b) Hệ phương tr nh: (2) 12nny2x (1) 1n2ynx Từ (1) suy ra nx)1(n 2 1 y 0,25 HSG lớp 9 THCS cấp t nh 2/3 HDC môn :Toán Thay vào (2) ta được 12nnx)1(n 2 1 n2x. ABC có góc A chung nên AB AI AC AK ACAB AIAK S S ABC AKI . . . 0,5 HSG lớp 9 THCS cấp t nh 3/3 HDC môn :Toán AKC vuông tại K và AIB vuông tại I, ta có : Cos A = AC AK và cos A