CHUYEN DE
NHI THUC NEWTON
A TOM TAT GIAO KHOA VA PHUONG PHAP GIAI TOAN DINH NGHIA — Nhị thức Newton là khai triên tơng lũy thừa cĩ dạng: ara RT RT NR tebe , iM to z“ xà | & j— NO eee” n! Số hạng thứ k+1 là Lo = " ~ bk, C 7= kín oR? , thường được gọi là số hạng tổng quát ¬ ` 7 Tính chất )C =ˆ_ < <n) iC +> =< Sn)
PHUONG PHAP GIAI TOAN
I Dung dinh nghia va tinh chat chung minh hoac rut gon dang thire
Trang 2Ví dụ 3 Rút gọn tổng:
ums SY ONG _ a PA _~ Ƒ_— 4 Tcä]1 a AAS 1 AAS 0
5 — UV í ZUVUí UV í ⁄4ƯUU UV í UV: TT ZUVUí Z2VUVUI TK + + C C1 ` Ap dụng cơng thức ta cĩ: ^aA^ 3 ONT I (307 — Kì] 2007! 2006! C — ky — , _ = 20U/.— ¬ _— k! 2007 —k ! (2096 — k)!11 k! 2006 —k ! kt! 2026 — k Ì \ / \ } \ } _— k a _— — 2007 ng Với V =0, l 2 ., 2006 Suy ra: ae { ao TT T1 _„¬nnà“ \ wn nw fe ‘ 2006 5 — \ Z2UUVU + Z2UUVU + + 4U\Q1 + T 4U\Q1 / — \ 1] Vay S = 2007.22 | II Khai triên nhị thức Newton 1 Dạng khai triên
Dâu hiệu nhận biệt:
Các hệ sơ đứng trước tơ hợp và lũy thừa là 1 hoặc 1 và — 1 xen kẽ nhau
° ° of 1 v nN
1) Khai trién (a + b| hoặc la — b] 11) Cộng hoặc trừ hai vê của 2 khai triên trên
Ví dụ 4 Tính tơng 5 — ow, cĩ - oun + - oun cĩ - oun + + - cu cĩ 2 Ta cĩ khai triên: ~xAAam —n — —— ~T^—~^ ¬ SORA SORE n^^7 2007 (1 — ee oot _ + oe 2007 " Vậy S— —] r F Ä _ — _ j—ấ ~ — — Z3 4 ANA ANS 2006 Vi du ` Rut gon tong 5 — UUVƯ iI + UV Í + ZVV i + + UUVƯ í + 3 2007 ° Ta co các khai triên: I+ 3 =7” +1 +." + +" +3 Cấp TỪ ~^~^ ATO OO a^^^~x2007 (1 — , ae oF _ TT —, 3 C5007 Cong (1) và (2) ta được:
f “Y ~^~ oy oy atm A A ~ AMOS ~ ANS AAMT 92007
2Ơ TT Luv i TT ⁄UUi TT TT Zul J ma 2 °
Vays=2 vợ — ]
r , A anne wt ¬ 8 8 ARRON 2007 D007 Vi du 6 Rut gon tong 5 = vou vou, em, OE 2 Cơng” -
Ta cĩ các khai triên:
(3 TT ⁄Z SỐ 3 ZVUVU i TT ⁄UUí Z2uVU iI + ⁄4UVƯUi 2 C0;
12007 _ AO “Y _ ~ PAA es ~OrAaAr _~Ị« _ _ ~ OAS a NG _ AMT 2007
Trang 32 ZUUí( + ' " + - own + + 4í } — " 1 5 61 Vay S = ———_ Ay 2 2 Dạng đạo hàm 2.1 Đạo hàm cấp 1
Dâu hiệu nhận biệt: _—
Cac hệ sơ đứng trước tơ hợp và lũy thừa tăng dân từ I đên n (hoặc giảm từ n đên 1) (khơng kê dâu)
Hai khai triển thường dùng:
—
1+, = + „+, + +, + +" / 11 11 11 11 (1)
- đ„
7 11 11 i ` ,
i) Dao ham 2 về của (1) hoặc (2) | |
1) Cộng hoặc trừ (1) và (2) sau khi đã đạo hàm rơi thay sơ thích hợp + + ¬" Cx (2) 41L Ví dụ 7 Tính tổng S= “_ 2830.2 Cá Giải Ta cĩ khai triên: 30 a 4 aa can an an 30 ũ + }ỷ — UV + VU + DU + + OU + Cox (1) Đạo hàm 2 về của (1) ta được: 4 — _ na ao PA an fe \ 29 C + DU TT TT DU TT wu — \ + x | (2) Thay x =— 2 vao (2) ta duoc: 3 ¬ A — cơ ¬ aA Lan fe \ 29 C " VU + VU " + VU " vu — \ 7 2 | Vay 5 = —30 Vi dy 8 Rut gon ting S= + HH 29.2 Cá Giải Ta cĩ khai triên: 80 ca = cĩ ca can can ^^ 30 (1 + 7 — xJUJ + vu + vu + + vu + C1 x (1) Đạo hàm 2 về của (1) ta được: | “Sa an ae aa an oe \ 29 C + xJ\/ TT TT OU + OU — \ + x | (2)
Thay x = 2 và x = — 2 lân lượt vào (2) ta được:
Trang 4Ta cĩ khai triên:
_ \2007 ^ Anas 7 Anan a ^aar _aAaa
[x + — Cụ, X + 4UUí + LUV I + 4UUí + Cơng; (1)
Nhân 2 về (1) với x ta được:
/ _ \ 2007 ^ Anne _ Anas của ^aaa Lanna a ^aam
x \ x } — © ou x + LUV i + Luv i T + LUV i T ZUUí x (2)
Dao ham 2 vé cua (2) ta duoc:
2 Anne a Rt anne 1 ~a —~2 eaar ~ anne 2007
2008C x TT ⁄4U( LUV TT ⁄4U( TT C5007 So 2006 = "+ Iƒ @) Thay x = l1 vào (3) ta được: 20080, FT ET + 27777 + TT = 2008208 Cách khúc: Ta cĩ khai triên:
„ \200/ a NAAT —~ sa ~s anar mune 2007
[x + — C ous + 4UUí + LUV I + 4UUí + C5007 (1)
Dao ham 2 vé cua (1) ta duoc:
^ AAAA AAAr Ca Aan anne nant 2006
2007 va, x TT LUV ⁄4UU(i TT TT LUV I TT Conor — \ TT 1) (2)
Trang 5(1 + - — 41L + 41L + 11 TT TT 41L T Cx" (1) Dao ham 2 vé cua (1) ta duoc: aoa -n_] a‘ “F7 ann C+®” +7” + + 7, = +x) (2) Thay x = 1 vao (1) va (2) ta duoc: Cụ v4 222 +7, +7,=? (3) C +“ + “+ + — }" + T =n2'' (4) Nhân @): với 2 rơi cộng với (4) ta được: - 2C +“ + “+ + + + + = ,rn)2Ẻ) S= mm _= 320 Vậy n = 6 2.2 Đạo hàm cấp 2 Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tơ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dân từ 1.2 đến (n—1).n hoặc tăng (giảm) dân từ 1’
Trang 6Ta cĩ khai triên:
2007 TA = ca A Cannan anaaa ¬aa”_ 92007
(1 + 7 — LUV i + LUV + LUV i + + LUV i + Cour “ (1)
Đạo hàm 2 về của (1) ta được:
, ¬ ca a ` 2006
Cu, + “%UUi + 4uvu i + + ZUV iI — \ + x | (2)
Nhân x vào 2 về của (2) ta được:
Cu X TP cv TT +” v +2007C „x7
¬¬ fo 2006
= +x) (3)
Đạo hàm 2 về của (3) ta được:
Pag, Fae Fy RE aor ee — go xc) 2008 (4)
Thay x = 1 vào đăng thức (4) ta được
Cag, Fa Bg EI = 3007200329
Vậy S = 2007.2008.2”°
3 Dạng tích phần Dâu hiệu nhận biệt:
Trang 8II Tìm số hạng trong khai triển nhị thức Newton 1 Dạng tìm sơ hạng thứ k
Số hạng thứ k trong khai triển (a + b)" là Ca ` ®bŠ 1, Ví dụ 16 Tìm sơ hạng thứ 21 trong khai triển (2 — 3x)” Số hạng thứ 21 là C 2 (—?:} =2.3 C x” 2 Dạng tìm số hạng chứa x" ¡) Số hạng tơng quát trong khai triển (a +b)" 14 C a ~ b = M(k) x'9 (a, b chứa x) 1) Giải phương trình f(k) = => kạ, sơ hạng cân tìm là C, a — b*° và hệ số của số hạng chứa x” la M(ko) ( \i8 Ví dụ 17 Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển | ˆ + *-| \ ) Giai k Ậ , 24 eR ĩ Vì (^ ¬ Sơ hạng tơng quát trong khai tiên |—+_ | = + 4x là \ ) ¬ 19_ 1 1 C 2 x 4X =U,2J _ x "^^ Số hạng khơng chứa x ứng với 18 — ˆ` =ˆ^«@ ` =9 Vậy số hạng cân tìm là Cc 29, z ` A ⁄ 37 - 2 20 VÍ dụ 18 Tìm sơ hạng chứa x” trong khai triên [x — xy) A A z ° tA 2 20 ` Sơ hạng tơng quát trong khai triên [x — xy | la: 7 4T cự ¬ / a\7 =~ an k C(x ) (—ay, = Tl) X y : Số hạng chứa x”” ứng với 40—` = "" ©@' =3 Vậy số hạng cân tìm là —< = —1140x ‘y® | 10 Ví dụ 19 Tim s6 hang chita x’ trong khai trién {1 + + x’ Giai Ấ 2 „ wn f a \10 r 10.0 ca k
So hang tong quat trong khai trién 1 FoF =] | | laC x 1+x)*
Suy ra số hạng chứa x° ứng với 2< <3
+ Với k= 2: C x(l + 0 = ~ ` +” +x ) nên số hạng chứa xỶ là 2C, x”
Trang 9Cách khúc: Ta cĩ khai triển của H + + ~ =| | ! |" la: a + )+ + )+ + + Số hạng chứa xỶ chỉ cĩ trong C` x (1+ x)” và C` x (1+ x}Ỷ + C x (1+ " = ~ Ộ “+ + ` => 2C x”, +C x(1+ " =— Ộ “+7 + + ` =C x’, Vậy sơ hạng cân tìm là 2C x T _= 210x 3 Dạng tìm số hạng hữu tỉ ¡) Số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)" là Ca -'b` = ‘a 84% (a 6 là hữu tì Men ii) Giai hé phuong trinh 4 P ~ N << (Sk “EN Lq Số hạng cân tìm là on a b*e, 10 Ví dụ 20 Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển |— + “5 | Co ) ( \° ¬ mê ~) c1I+? 3| go s sẽ SO hang tong quát trong khai trién | = + | = | | là- C2 93 Co ) 2 f ? ` \ } Sơ hạng hữu tỉ trong khai triên thỏa điêu kiện: k ZEN, {k=0 — N < << = k — — Ik = lien kee 3 ` £ ~ oq L 1 + Với k= 0: sơ hạng hữu ti la — CY, = — 32 32 : , 1 2625 + Với k = 6: sơ hạng hữu tỉ là apo = > 1 2625
Vay so hang can tim la so và -
4 Dạng tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Newton Xét khai triển (a + bx)” cĩ sơ hạng tơng quát là Cia ~b xX,
Datu = a _<_- < n ta cĩ day hệ số là {u, }
f
Trang 10Bước Ï: giải bât phương trình - > ] ta tìm được kọ và suy rau > > >u Ụ TU Uy ¥ 792 ® A ` uU: ` ` Bước 2: giải bât phương trình - < 1 ta tìm được kị và suyrau >> >uụạ tư 4 1 — Bước 3: sơ hạng lớn nhât của dãy là max ha , Uy } Ly 1 Chủ ÿ: Đê đơn giản trong tính tốn ta cĩ thê làm gọn như sau: eo ® A "1 > 11: +] 7 7 1 — — T_ k Giai hệ bât phương trình ` => kạ Suy ra hệ sơ lớn nhât là Ca b°® Uo oc Uy 4
Vi dụ 21 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 0, 2x)
Trang 11Vay hệ số lớn nhét a 1c, 3 9° = 120 3
5 Dang tim hé so chira x‘ trong tong n so hang dau tién cua cấp số nhân (tham khảo) Tơng n sơ hạng đâu tiên của câp sơ nhân với cơng bội q khac 1 là: 1 Nn 5, — 4L + a + + 11 — uy : ° l—q
Xéttong S(x) = +° } ` + 4+ ,„ + +, +ux/ `° như là tổng củan số hạng đầu tiên
của cấp số nhân với u = “ + bx)”'! và cơng bội q = “ + bx) Áp dụng cơng thức ta được: fs ˆ wit HA: ` § , ` | — VDA +1 S(x) = “+ ` ˆ — 2 ro _ 1 Ua) 1— ~ + bx) bx ˆ 2 A , ` 1 ^ 79 4 A — A ° A r ` Suy ra hệ số của sơ hạng chứa x trong S(x) là b nhân với hệ sơ của sơ hạng chứa x 'Ì trong khai triển (1 + ` | = + Ux) +1 Vi dụ 23 Tìm hệ số của số hạng chứa x' trong khai trién và rút gọn tổng sau: ‘ A h A Sx)= + + + + + + +, TRE] Giải Tơng S(x) cĩ 15 —- 4 + 1 = 12 sơ hạng nên ta cĩ: 15 an lus „1= “+ ` _ +) - +x#Ÿ 5x) = + lI—_ +x) - = X A LR 2 A r 44 A LR 2 A , 5
Trang 12Suy ra hệ SỐ của số hạng, chứa x“ của S(x) bang tong he sơ số hạng chứa x va x’ cua f(x), bang tong 2 lan hệ số sơ hạng chứa x’ va 3 lân hệ sơ số hạng chứa x” của F(x)
Tổng F(x) cĩ 100 số hạng nên ta cĩ:
1— ~ +x) X
Suy ra hệ số sơ hạng chứa x” và x” của F(x) lân lượt là Cĩ và Cĩ
Vậy hệ sơ cân tìm là 2C” + ˆ^” = 12582075 Nhận xét: Băng cách tính trực tiêp hệ sơ của từng sơ hạng trong tơng ta suy ra đăng thức: o s ~¬— - ¬ ¬ —/ =~ 2C)+ 22+ 2+ +2”) + LUU = LUL +3Củn Vi dụ 25” Tìm hệ số của sơ hạng chứa x trong khai triển va rit gon tong sau: S&)= + + 77+, + +) + + + Ta co Sx)= 2+ +) + + ia Dat a T7 + + " ` r v2 _ 3 _ n _ n Pœ)= “+ )+ + + + + + + + TK = ”ˆ `= ' `+xf(x) và P (x) = f()
Trang 141 1 1 1 27)S—= + -E + + -E a+aa„ trong đĩ: ) v9 3 100 101 1° 5 (x- = + + + + a NO, của 1_ 1_ 1 1 28)S— ^ˆƠ + 3 + 5 ¬ 2005 + 2c C200 2007
Tìm sơ hạng trong các khai triên sau 29) Sơ hạng thứ 13 trong khai triển (3 — x)” 30) Số hạng thứ 18 trong khai triển (2— xì? / 12 31) Số hạng khơng chứa x trong khai triển |x + ¬ ) \ ( 12 32) Sơ hạng khơng chứa x trong khai triển xxx l5 | \ ) ( \21 33) Số hạng chứa a, b và cĩ sơ mũ băng nhau trong khai trién | sj | \ ) Tìm hệ sơ của sơ hạng trong các khai triên sau <x or 34) Hệ sơ của số hạng chứa x4 trong khai triển XP
35) Hệ sơ của số hạng chứa x” trong khai triển 36) Hệ sơ của số hạng chứa x” trong khai triển 37) Hệ sơ của số hạng chứa x” trong khai triển —_ No ^¬ q \LO 1+ + 74°) x — 4 2) 1+ 48x )’° ° o
Trang 15
A pane 7 a” manne 9 2007 {”
44) Rút gon tong 5 — \ oVUV i ; TT \ aU ; + + \ UV í ; TT \ C5007
Trang 16uw + + + rT + uw + +4 _ 3n A Ta sa _ Oo 4 9) (1 + / — 11 TT 11 TT 211 + 211 + + “11 T Cấn (1) _ 3n — — Ta A sa ca 4 2 (1 " / a “11 cĩ 11 + 11 cĩ “11 TT 7 “11 T Con (2)
Cơng (1) và (2) ta được 2` =ˆ + FOR),
10) Trừ 2 khai triển (1+1) ”, (1—1}” ta được S = 22-1, 1)(1+3) + — 7 serra a), 12(+1⁄ +q-DJ "` W — mm — oe , i a + oo + C007 \2007 cm ` + 13)(2+1)/ -(2-1J #2 —„= OS T: 280 ¬ Tàn Tan 30 14) (1 + 7 a VU + VU + + vu + VU + + C39 eae eae Ta 4 eae — 80 _ Tà Tan CỬ 30 g8 =ˆ=| I+ - + — C30 15 a ovU ag a 80 2 › 3q ¬ 3 ^ ^ a a an 16) (1 + } — “ou + " + " + " + + Cx (1) Dao ham 2 vé cua (1) ta duoc: 30.14 = 4M FO + 30073" (2) Thay x =— 2 vao 2 vé cua (2) ta duoc: Oa = 17)S=1 18) S— n.2“".,
19) Khai triển, đạo hàm và thay x = 1 của (3 + x)” suy ra S = n.4"-1, 20) Khai triển, đạo hàm và thay x = I của (2 + 3x)” suy ra S = 3n.511,
21) Khai triển, đạo hàm 2 lân và thay x = 1 của (1 + x)” suy ra S = íz — 1)n.2", 22) Tương tự 21) S = 2:(2z — ])
23) Khai triển, đạo hàm 2 lân và thay x = 1 của (x + 1)” suy ra S = {+ — I)n.2" 3,
Trang 17( — 2y” | xl x2 n về „100 x 101 ! => — a, + + ; + +h ; + Aian > 101 | 0 1 LỢ 2 IU 3 Ụ 100 101 0 2` =1 1 1 1 1 2 =1 => = + + + + + Aig: Way 5 = 101 2 3 100 101 101 22005 28) Khai triển (1 + x)”“”, tích phân từ - 1 đến, S = a 29)C 3 x” 30) —C, 2 x” 31), =924 | | — — — 32) Số hạng tơng quát của | | ! laC x x =C x | | \ ) \ )
Suy ra số hạng khơng chta x tng voikthoal—- =" =" =5 Vay số hạng khơng chứa x là C.„ = 792 ( yr of 8 _ Ỷ 7 2k 33) Số hạng tổng quát của | jÏ—= + „ s | =| +a ee lac, a be 2" 3, \ ) \ k 7 Ok 2 2 Suyra?—~ J =—, + 3 S =9 Vậy sơ hạng cân tìm là C_ a b2, 55 34) 3 35) 495 | rot "1 3) | || | =” c— `+ +7 ,- `+ 7” —- ` + + Cÿ Suy ra hệ số của số hạng chứa x” chỉ cĩ trong 2 số hạng C x (1 — x}” và C x (1— x) +Cx (1- +Cx(I- Vậy hệ sơ cân tìm là CC + 37) (1+ + "4 Thực hiện phép nhân phân phối ta suy ra hệ sơ của sơ hạng chứa x “ mss —- , ^ vy ^ A # 8 ` 4
+ + C xf | nên cĩ hệ sơ chứa x" là CC
Trang 18+—C 2x(— x)? cĩ hệ sơ của sơ hạng chứa x” là —C 2°, Vậy hệ sơ cân tìm là —2“' ^ —“* 2= —38400 LU LU 39) (Tuong tu) 1695 - 40) Áp dụng cơng thức câp sơ nhân cho tơng 48 sơ hạng ta cĩ: l= + ` +) -= + 1— +x) X S(x) = +
Suy ra hé sơ của số hạng chứa x” là hệ số của sơ hạng chứa xf của (+ x)
Vậy hệ sơ cân tìm là C,, = 249900