NHỊ THỨC NIU-TƠN

NHỊ THỨC NIU-TƠN I. Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn VD1.Tìm hệ số của x 10 trong khai triển nhị thức ( ) 2 n x+ , biết rằng ( ) 0 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 . 1 2048 n n n n n n n n n n n C C C C C − − − − + − + + − = VD2. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức ( ) ( ) 5 10 2 1 2 1 3P x x x x= − + + VD3. Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 7 4 1 n x x   +  ÷   , biết rằng 1 2 20 2 1 2 1 2 1 . 2 1 n n n n C C C + + + + + + = − VD4. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức ( ) 8 2 1 1P x x   = + −   VD5. Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn 7 3 4 1 , 0P x x x   = + >  ÷   VD6. Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Niu-tơn 5 3 1 n x x   +  ÷   , biết rằng ( ) 1 4 3 7 3 n n n n C C n + + + − = + VD7. Với n là số nguyên dương, gọi 3 3n a − là hệ số của 3 3n x − trong khai triển thành đa thức của ( ) ( ) 2 1 2 n n x x+ + . Tìm n để 3 3 26 n a n − = . VD8. Tìm số nguyên dương n sao cho 0 1 2 2 3 3 2 2 2 . 2 243 n n n n n n n C C C C C+ + + + + = VD9. Cho khai triển nhị thức 1 1 1 1 0 1 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 n n n x x x x x n n n n x x x n n n n C C C C − − − − − − − − − − −         + = + + +  ÷  ÷  ÷  ÷               + +  ÷  ÷  ÷       1. Biết rằng trong khai triển đó 3 1 5 n n C C= và số hạng thứ tư bằng 20n. 2. Tìm n và x. VD10. Cho đa thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 20 1 2 1 3 1 . 20 1P x x x x x= + + + + + + + + Tìm hệ số của số hạng chứa x 15 trong khai triển thành đa thức của P(x). VD11. Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức ( ) 2 1 n x + bằng 1024. Hãy tìm hệ số của số hạng chứa x 12 trong khai triển trên. VD12. Gọi a 1 , a 2 , …, a 11 là hệ số trong khai triển sau: ( ) ( ) 10 11 10 9 1 2 10 11 1 2 .x x x a x a x a x a+ + = + + + + + Tìm hệ số a 5 . VD13. Khai triển đa thức ( ) ( ) 12 1 2P x x= + thành dạng ( ) 2 12 0 1 2 12 .P x a a x a x a x= + + + + Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số a 0 , a 1 , a 2 , …, a 12 . VD14. Xét khai triển ( ) 9 2 9 0 1 2 9 3 2 .x a a x a x a x+ = + + + + Tìm { } 0 1 2 9 max , , , .,a a a a VD15. Cho khai triển: ( ) 0 1 1 2 . n n n x a a x a x+ = + + + , trong đó n ∗ ∈ ¥ và các hệ số 0 1 , , ., n a a a thỏa mãn hệ thức 1 0 . 4096 2 2 n n a a a + + + = . Tìm số lớn nhất trong các số 0 1 , , ., n a a a . VD16. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn: ( ) 18 5 1 2 0x x x   + >  ÷   . II. Các bài toán chứng minh hệ thức tổ hợp bằng sử dụng nhị thức Niu-tơn VD1. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng 2 3 0 1 2 2 1 2 1 2 1 . 2 3 2 n n n n n n C C C C − − − + + + + VD2. Tìm số nguyên dương n sao cho ( ) 1 2 2 3 3 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2 3.2 4.2 . 2 1 2 2005 n n n n n n n C C C C n C + + + + + − + − + + + = VD3.Cho n là số nguyên dương, chứng minh 2 1 3 5 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 . 2 4 6 2 2 1 n n n n n n C C C C n n − − + + + + = + VD4. Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng: 1. 1 1 3 1 1 1 2 1 1 . 2 3 1 1 n n n n n C C C n n + − + + + + = + + 2. ( ) ( ) 0 2 1 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 . 2 1 1 2 3 1 1 n n n n n n n n C C C C n n + −   − + + + = + −   + + VD5. 1. Tính tích phân ( ) 1 2 0 1 n I x x dx= − ∫ 2. Chứng minh rằng ( ) 0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 . 2 4 6 8 2 2 2 2 n n n n n n n C C C C C n n − − + − + + = + + VD6. 1. Tính tích phân ( ) 1 2 3 0 1 n I x x dx= + ∫ 2. Chứng minh rằng 1 0 1 2 1 1 1 1 2 1 . 3 6 9 3 3 3 3 n n n n n n C C C C n n + − + + + + = + + VD7. Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng: 1. ( ) 1 2 3 1 1 2 3 . 1 .2 n n n n n n n n C C C n C nC n − − + + + + − + = 2. ( ) ( ) 2 3 2 2.1. 3.2. . 1 . 1 .2 n n n n n C C n nC n n − + + + − = − 3. ( ) ( ) 2 3 4 1 2 3 . 1 2 2 1 n n n n n n C C C n C n − + + + + − = − + VD8. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, ta có: 0 2 4 2 1 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 . . n n n n n n n n n C C C C C C C − + + + + = + + + VD9. 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển 10 10 (1 x) (x 1)+ + . 2. Từ đó suy ra giá trị của tổng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 10 10 10 10 .S C C C= + + + VD10. 1. Rút gọn tổng 0 10 1 9 2 8 9 1 10 0 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 C C C C C C . C C C CS = + + + + + 2. Rút gọn tổng ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 2006 2007 2007 2007 2007 2007 C C . C CS = + + + + . NHỊ THỨC NIU-TƠN I. Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn VD1.Tìm hệ số của x 10 trong khai triển nhị thức ( ) 2 n x+. khai triển thành đa thức của biểu thức ( ) 8 2 1 1P x x   = + −   VD5. Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn 7 3 4 1 , 0P