Bất phương trình chứa tham số

241 VẤN ĐỀ 9 Đònh m để bất phương trình có nghiệm trên R, vô nghiệm trên R, có nghiệm hoặc vô nghiệm trên một tập con của R. 242 Vấn đề 9 Đònh m để bất phương trình có nghiệm trên R, vô nghiệm trên R, có nghiệm hoặc vô nghiệm trên một tập con của R. A. VÀI VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI Các bạn có thể tìm hiểu một vài ví dụ cơ bản sau : VD1 : Tìm m sao cho f(x) = x 2 ≥ m, ∀x ∈ R (1) Giải (1) thỏa khi m ≤ minf(x), ∀x ∈ R ⇔ m ≤ 0 VD2 : Tìm m để x 2 – 2x + 2 – m ≥ 0, ∀x ∈ R (2) Giải Cách 1 : (2) thỏa khi ⎩ ⎨ ⎧ ≤∆ >= 0' 01a ⇔ 1 – 3 + m ≤ 0 ⇔ m ≤ 2 Cách 2 : (x – 1) 2 + 2 – m ≥ 0 ⇔ (x – 1) 2 ≥ m – 2 (*) bất phương trình (*) kuôn đúng, ∀x ∈ R ⇔ m – 2 ≤ min(x – 1) 2 , x ∈ R ⇔ m – 2 ≤ 0 ⇔ m ≤ 2 VD3 : Tìm m để |x – 1| + |x – 2| - m + 1 ≥ 0 , ∀x ∈ R Giải Đặt f(x) = |x – 1| + |x – 2| ⇔ |x – 1| + |x – 2| ≥ m – 1 243 Yêu cầu đề bài xảy ra khi m – 1 ≤ minf(x), x ∈ R ⇔ m – 1 ≤ 1 ⇔ m ≤ 2 VD4: Cho f(x) = x 2 + 2(m + 1)x + m + 7 Đònh m để bất phương trình f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [0 ; 1] Giải ∆’ = (m + 1) 2 – m – 7 = m 2 + 2m + 1 – m – 7 = m 2 + m – 6 + ∆’ < 0 ⇔ m 2 + m – 6 < 0 ⇔ -3 < m < 2 Lúc này f(x) > 0 ; ∀x ∈ R nên hiển nhiên f(x) > 0 ; ∀x ∈ [0 ; 1] Kết luận : -3 < m < 2 (nhận) + ∆ = 0 ⇔ ⎡ =− = − + = − ≥ ⎢ ∀∈ > ∀∈ ⎢ ⎢ ==++=+≥∀∈ ⎢ >∀∈ ⎢ ⎣ 22 22 3: ( ) 4 4 ( 2) 0 ,nên ( ) 0; [0;1] 2: ( ) 6 9 ( 3) 0; () 0; [0;1] mfxxxx xR fx x mfxxx x xR nên f x x Kết luận : m = - 3 hay m = 2 (nhận) (b) + ∆ > 0 ⇔ <− ⎡ ⎢ > ⎣ 3 2 m m x 0 1 x 1 x 2 0 1 f(x) + 0 - 0 + Dựa vào bảng xét dấu, xảy ra khi 0 < 1 ≤ x 1 < x 2 ∪ x 1 < x 2 ≤ 0 < 1 hay ≤< ⎡ ⎢ <≤ ⎣ 12 12 1 (1) 0 (2) xx xx (1) ⇔ ⎧ ⎪ ≥ ⎪ <− ∨ > ⎨ ⎪ ⎪ > ⎩ 1. (1) 0 32 1 2 f mm S ⇔ + ++ +≥ ⎧ ⎪ <− ∨ > ⎨ ⎪ −−−> ⎩ 12 2 7 0 32 11 0 mm mm m 244 ⇔ − ⎧ ≥ ⎪ ⎪ <− ∨ > ⎨ ⎪ <− ⎪ ⎩ 10 3 32 2 m mm m . Vậy : − 10 3 ≤ m < -3 (c) (2) ⇔ ≥ ⎧ ⎪ <− ∨ > ⎨ ⎪ −−< ⎩ 1(0) 0 32 10 f mm m ⇔ ≥− ⎧ ⎪ < −∨ > ⎨ ⎪ >− ⎩ 7 32 1 m mm m Vậy : m > 2 (d) Hợp (a), (b), (c), (d) ⇔ m ≥ − 10 3 Bài tập tương tự – Bạn đọc tự giải . Tìm m sao cho x 2 – 2x + 3 – m ≥ 0 a) ∀x ∈ (0 , +∞) Đáp số : m ≤ 2 b) ∀x ∈ [2 ; 5] . Hướng dẫn : m – 2 ≤ minf(x) , x ∈ [2 , 5] ⇔ m ≤ 3 Để tiến xa hơn một chút ……… các em sẽ theo dõi thêm các bài tập sau Bài 1 –x 2 + 2mx + |x – m| - 1 < 0 (1) Tìm m để bất phương trình (1) luôn nghiệm đúng với ∀x ∈ R Giải (1) ⇔ x 2 – 2mx - |x – m| + 1 > 0 ⇔ x 2 – 2mx + m 2 – m 2 - |x – m| + 1 > 0 ⇔ (x – m) 2 - |x – m| - m 2 + 1 > 0 ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >+−− ≥−= (2) 01mTT 0|mx|T 22 Để bất phương trình (1) luôn đúng với ∀x ∈ R thì bất phương trình (2) luôn đúng ∀T ≥ 0 245 Xét f(T) = T 2 – T > m 2 – 1 , T ≥ 0 (*) mà T 0 2 1 +∞ f(T) 0 - 4 1 +∞ (*) thỏa khi m 2 – 1 < minf(T) , khi T ≥ 0 ⇔ m α - 1 < - 4 1 ⇔ m 2 < 4 3 ⇔ 2 3 m 2 3 <<− Kết luận : khi 2 3 m 2 3 <<− thì (1) luôn đúng ∀x ∈ R Bài 2 Tìm m để bpt sau : 22 f(x) x (m 2)x m 1 0=−+ ++> nghiệm đúng với x1 ∀ > Giải Ta có : a = 1 và 2 3m 4m∆=− + có dấu phụ thuộc vào a và ∆ nên ta xét các trường hợp sau : 1) Xét 4 3 0m0m∆< ⇔ < ∨ > Lúc này f(x) 0, x R >∀∈. Mà (1; ) R + ∞⊂ Nên : f(x) 0, x 1 >∀> Kết luận : Nhận đáp số 4 3 m0m .(a)<∨ > 2) Xét 4 3 0m0m∆= ⇔ = ∨ = • m0: = b 12 2a xx 1==− = Lập bảng xét dấu : Nhìn vào bảng xét dấu cho ta f(x) 0, x 1 >∀> Vậy m = 0 nhận (b 1 ) • 4 3 m:= 5 12 3 xx== Lập Bảng xét dấu : Vì 0 5 x(1;) 3 ∃=∈+∞ có 5 f( ) 0 0 3 = > Kết luận : 4 m 3 = không nhận. (b2) 3) Xét 4 00m : 3 ∆> ⇔ < < Lưu ý bảng xét dấu cho : 246 Để f(x) 0, x 1 >∀>thì 12 xx1 < ≤ f(1) 0 4 0m 3 S 1 2 ⎧ ⎪ ≥ ⎪ ⎪ ⇔<< ⎨ ⎪ ⎪ < ⎪ ⎩ Hợp (a), (b 1 ), (b 2 ), (c) cho ta kết luận m.(c) ⇔ ∈∅ Kết luận : 4 m0m 3 ≤∨ > Bài 3 Cho hàm số : 43 2 yx 4x mx=+ + 1. Với m = 4, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số. Chứng tỏ rằng đồ thò có trục đối xứng. 2. Tìm tất cả các giá trò của m sao cho đồ thò của hàm số có trục đối xứng. 3. Xác đònh m sao cho 43 2 x4xmx0khix1 + +≥ ≥ Giải 1. Khảo sát, vẽ đồ thò (C) : Hàm số 432 yx 4x 4x=+ + . Miền xác đònh : R 32 2 y' 4x 12x 8x 4x(x 3x 2)=+ += ++ x0(y0) y' 0 x 1 (y 1) x2(y0) == ⎡ ⎢ =⇔ =− = ⎢ ⎢ =− = ⎣ 22 y '' 12x 24x 8 4(3x 6x 2)=++= ++ 2 y'' 0 3x 6x 2 0=⇔ + += 1 2 33 x1,6x 3 33 x0,4x 3 ⎡ −− =≈= ⎢ ⎢ ⇔ ⎢ −+ =≈−= ⎢ ⎣ x - ∞ x 1 x 2 +∞ y’’ + 0 - 0 + (C) lõm | lồi | lõm uốn uốn Bảng biến thiên : 247 x - ∞ -2 -1 0 +∞ y’’ - 0 + 0 - 0 + (C) + ∞ 1 +∞ (max) 0 0 (min) (min) Đồ thò : x1 y9 x3 y9 += ⇒ = +=− ⇒ = Bây giờ ta chứng minh (C) có trục đối xứng. Coi điểm I (- 1, 0 ). Dời hệ trục Oxy bằng phép tònh tiến thành hệ trục IXY. Công thức đổi trục là : xX1 yY = − ⎧ ⎨ = ⎩ Như vậy, đối với hệ trục IXY, đồ thò (C) trên đây có phương trình là : 432 Y (X1) 4(X1) 4(X1)=−+−+− 22 Y(X1)(X1) 4(X1)1 ⎡ ⎤ ⇔ =− −+ −+ ⎣ ⎦ 222242 (X 1) (X 1) (X 1) X 2 X 1 F(X )=− += −= − += Rõ ràng Y = F(X) là hàm số chẵn. Vậy (C) nhận trục tung IY làm trục đối xứng. Nói cách khác, (C) có trục đối xứng là đường thẳng x = - 1 trong hệ trục Oxy. 248 2. Đònh m để m (C ) : 43 2 yx 4x mx=+ + có trục đối xứng : Dễ thấy rằng lim x →±∞ y, = +∞ nên m (C ) chỉ có trục đối xứng thẳng đứng. Coi điểm I(a, 0). Dời hệ trục Oxy về đến hệ trục IXY bằng phép tònh tiến. Công thức đổi trục là xXa yY = + ⎧ ⎨ = ⎩ Như vậy, đối với hệ trục IXY, đồ thò m (C ) có phương trình là : 432 222 2 432 2 Y (Xa) 4(Xa) m(Xa) (X 2aX a ) X 2(a 2)X a 4a m X 4(a 1)X (6a 12a m)X =+ + ++ + ⎡⎤ =++ +++++ ⎣⎦ =++ + ++ 32 432 (4a 12a 2am)X (a 4a a m) F(X)++ + +++ = Để m (C ) nhận đường thẳng x = a trong hệ trục Oxy làm trục đối xứng, thì m (C ) phải nhận trục IY trong hệ trục IXY làm trục đối xứng, điều kiện cần và đủ là Y = F(X) là hàm chẵn. 32 4(a 1) 0 a1 m4 4a 12a 2am 0 += ⎧ = − ⎧ ⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ = ++= ⎪⎩ ⎩ Vậy chỉ với m = 4 thì m (C ) mới có trục đối xứng là đường thẳng x1=− trong hệ trục Oxy (ta tìm được lại kết quả câu 1). 3. Đònh m sao cho : 43 2 x4xmx0khix1 + +≥ ≥ Để ý rằng 43 222 x4xmx x(x4xm)++ = ++. Do đó, [ ) x1; : ∀ ∈∞ 43 2 2 x4xmx0 x4xm0 ++ ≥⇔++≥ Xét [ ) 2 yf(x)x 4xm,x 1; ==++∈∞ ; [ ) y' f '(x) 2x 4 0 x 1; = =+>∀∈∞ Vậy [ ) Min x1; ∈ ∞ yf(1)5m==+ [ ) y0,x 1; ≥∀∈ ∞ [ ) Min x1, ⇔ ∈ ∞ 5m 0 ⇔ +≥ m5 ⇔ ≥− Vậy khi m5≥− thì 43 2 x4xmx0khix1 + +≥ ≥. Chú ý : Cách khác : Để f(x) [ ) 0, x 1;≥∀∈ ∞điều kiện là : 249 '0∆≤ hay 12 '0 '0 xx1 ∆> ⎧ ⇔ ∆≤ ⎨ <≤ ⎩ hay '0 f(1) 0 S 1 2 ⎧ ⎪ ∆> ⎪ ≥ ⎨ ⎪ ⎪ < ⎩ m4haym 5 m 5 ⇔≥ ≥−⇔ ≥− Bài 4 Cho hàm số x y 1x = + 1. Dùng đònh nghóa của đạo hàm, hãy tính giá trò đạo hàm y'tại điểm x = 0. 2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số. 3. Tìm số a lớn nhất sao cho với mọi giá trò x ta đều có : 2 x ax x 1x ≥+ + Giải 1. Tính đạo hàm của y tại x = 0 Đặt x yf(x) . 1x == + Miền xác đònh : R f(0) = 0 Ta có, theo đònh nghóa : lim f(x) f(0) y'(0) f '(0) x0 x0 − == → − lim 1 1 x0 1x = = → + 2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thò : Ta viết : x , 1x yf(x) x , 1x nếu x 0 nếu x < 0 ⎡ ≥ ⎢ + == ⎢ ⎢ ⎢ ⎣− lim x →+∞ y = 1. Vậy đồ thò có tiệm cận ngang cho nhánh vô tận bên phải là 1 (D ) : y = 1 250 lim x →−∞ y = - 1. Vậy đồ thò có tiệm cận ngang cho nhánh vô tận bên trái là 2 (D ): y = - 1 Kết hợp với kết quả câu 1/, đạo hàm là : 2 1 , (1 x ) y' 1, , 2 nếu x > 0 nếu x = 0 1 nếu x < 0 (1-x) ⎡ ⎢ + ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ (theo câu 1) Bảng biến thiên : x - ∞ 0 +∞ y’ + 1 + y 1 -1 Đồ thò : x = 1 11 y ;x1 y 22 ⇒= =− ⇒ =− Hàm số có đạo hàm tại x = 0 nên liên tục tại x = 0 và hệ số góc của tiếp tuyến cho đồ thò tại x = 0 là y'(0) 1= 3. Tìm số a lớn nhất : Xét bất đẳng thức : 2 x ax x (1) 1x ≥+ + Nếu x = 0 thì (1) thỏa và là đẳng thức, aR. ∀ ∈ Nếu x > 0 (1) 2 2 xx ax x 1x 1x − ⇔≤−= ++ 1 a1 1x ⇔ ≤< − Kết hợp với trường hợp x = 0, ta viết : a1,x0 (2) ≤ −∀≥ Nếu x < 0 : [...]... theo tham số m : Xét phương trình : x2 − x + 2 là phần x −1 cos 2 − (m + 1) cos x + m + 2 = 0 (4) Đặt X = cos x, x ∈ [ 0; π] Rõ ràng : x ∈ [ 0; π] − > X ∈ [1;1] Mặt khác : Mỗi X ∈ [ −1;1] tương ứng với 1 nghiệm x ∈ [ 0; π] (4) ⇔ X 2 − (m + 1)X + m + 2 = 0 ⇔ X 2 − X + 2 = (X − 1)m (5) Dễ thấy X = 1 không là nghiệm của (5), do đó : (4) ⇔ X2 − X + 2 = m với X ∈ [ −1;1] X −1 (6) Đây chính là phương trình. .. -3m > m ⇔ ………… b) 2 x + 1 > x + m ĐS: m < 1 Bài 4 Đònh m để bất phương trình : x3 + x2 + 2x + m2 + 5m ≥ 0 (1) có tập nghiệm là [ 1 ,+∞) Hưóng dẫn : Với f(x) = x3 + x2 + 2x 1 +∞ X f’ + f 4 257 Do f không có max , (1) có tập nghiệm là [ 1 ,+∞) khi –m2 – 5m ≤ minf ⇔ m2 + 5m + 4 ≥ 0 ⇔ m ≤ -4 hay m ≥ -1 Bài 5 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x + 1 = m x 2 + 1 Hướng dẫn : ⇔ x +1 x2 +1 =m Bài... ⎩a ≤ 50 Vậy để thỏa đầu bài phải có : ⎨ C BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1 2 x 2 − mx + 1 3 Tìm m sao cho ≤ 2 đúng với mọi x ≤ 3 x − x +1 2 1 4 Đáp số : ≤ m ≤ 2 3 Bài 2 Tìm m sao cho : x2 + 4y2 + 2x + my + 3 > 0 với mọi x, y Đáp số : −4 2 < m < 4 2 Bài 3 Đònh m để bất phương trình sau có nghiệm : x + x + 3m < m a) Hướng dẫn Giải : x – x - 3m> m x − x + 3m ( ( ) ) x − x + 3m ⇔ -3 > ( ) x − x + 3m (m >0 , vì nếu... x ≥ ax 2 + x, ∀x ∈ R ⇔ a ≤ −1 ∀x ∈ R 1+ x Vậy giá trò a lớn nhất là a = - 1 Bài 5 Cho hàm số y = x + 1 − x 2 − m Tìm m để hàm số không nhận giá trò dương tại mọi điểm x thuộc miền xác đònh của hàm số Giải Miền xác đònh của hàm số là tập nghiệm BPT 1− x2 ≥ 0 ⇔ x2 ≤ 1 ⇔ x ≤1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 Vậy miền xác đònh của hàm số là X = [ −1;1] ∀x ∈ (−1;1) : y ' = 1 − y’ = 0 ⇔ 1 − x 2 = x ⎧x ≥ 0 ⎪ ⇔⎨ 2 2 ⎪1 − x = x... Dùng phương pháp khoảng, ta có : x y’’ (C) 1 0 | | | + 2 2 0 2 −m (max) 1 | | | Max + Rõ ràng y = 2 −m x∈X y không nhận giá trò dương trên miền xác đònh ⇔ Max y≤0 ⇔ x∈X 2 −m ≤ 0 ⇔ m ≥ 2 251 Bài 6 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số y = x2 − x + 2 x −1 2 Xác đònh tập hợp tất cả các điểm N(x,y) có tọa độ thỏa mãn điều kiện : y ≥ x2 − x + 2 x −1 3 Biện luận theo m số nghiệm x ∈ [ 0; π] của phương. .. nghiệm x ∈ [ 0; π] * m > 1 − 2 2 : (6) vô nghiệm, do đó (4) vô nghiệm Bài 7 Cho hàm số y = m2 x 2 + 1 x 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số ứng với m = 1 2 Tìm những điểm trên đường thẳng y = 1, sao cho không thể có giá trò nào của m để đồ thò của hàm số đi qua 3 Tìm những điểm cố đònh mà đồ thò của hàm số đi qua, với mọi m 4 Xác đònh a để x 2 − ax + 1 > 0 với mọi x > 0 Giải 1 Khảo sát... một đáp số (1) Khi x ≠ 0 (*) ⇔ x 2 m 2 = x − 1 vô nghiệm m ⇔ x – 1 < 0 ⇔ x < 1 (bao gồm cả x = 0) (2) (1) và (2) Cho ta kết luận : Các điểm M(x, 1) với x < 1 trên đường thẳng y = 1 là những điểm không có đồ thò nào của họ đi qua 3 Tìm điểm cố đònh của họ (Cm ) N(x, y) là điểm cố đònh của ho (Cm ) ï ⇔y= m2 x 2 + 1 có vô số nghiệm m (x ≠ 0) x ⎧ x = 0 (không nhận) ⇔ x 2 m 2 + 1 − xy = 0 có vô số nghiệm... ⎪Min ⎜ ⎟>a ⎪ ⎪ >a ⎜ 2 ⎟ ⇔⎨ ⇔⎨ x ⇔⎨ ⇔ 2>a ⎝ ⎠ ⎪x > 0 ⎪x > 0 ⎪ ⎩ ⎩ ⎩x > 0 255 (Do đồ thò câu 1) Đáp số : a < 2 Cách khác : Đặt f (x) = x 2 − ax + 1 ⎧ ⎪a 2 − 4 ≥ 0 ⎪ ⎧∆ ≥ 0 ⇔ a 2 − 4 < 0 hay ⎨f (0) > 0 f (x) > 0, ∀x > 0 ⇔ ∆ < 0 hay ⎨ ⎩ x1 ≤ x 2 < 0 ⎪S ⎪ 0 i) f (x) = (m + 2)x 2 − 2(m + 3)x + 3 − m < 0, ∀x . Đònh m để bất phương trình có nghiệm trên R, vô nghiệm trên R, có nghiệm hoặc vô nghiệm trên một tập con của R. 242 Vấn đề 9 Đònh m để bất phương trình có nghiệm trên. - m 2 + 1 > 0 ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >+−− ≥−= (2) 01mTT 0|mx|T 22 Để bất phương trình (1) luôn đúng với ∀x ∈ R thì bất phương trình (2) luôn đúng ∀T ≥ 0 245 Xét f(T) = T 2 – T > m 2 . đúng với mọi x. Đáp số : 14 m 23 ≤≤ Bài 2. Tìm m sao cho : x 2 + 4y 2 + 2x + my + 3 > 0 với mọi x, y. Đáp số : 42 m 42−<< Bài 3 Đònh m để bất phương trình sau có nghiệm :