Các bài toán tọa độ

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt http://www.toanthpt.net Bài 1: Cho a là một hằng số, t là tham số thực . Coi 3 điểm A( t + a , 0 ) , B( 0 , a – t ) và C sao cho OC OA OB = + = += + = + uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur 1. Viết phương trình tập hợp những điểm C 2. Viết phương trình đường thẳng ( ) ∆ ∆∆ ∆ qua C và vuông góc AB 3. CM ( ) ∆ ∆∆ ∆ đi qua 1 điểm cố đònh Bài giải: 1.Từ OC OA OB = + uuur uuur uuur thoả x t a C x y 2a 0 y a t = +  = ⇒ + − =  = −  Vậy tập hợp những điểm C là (d) : x + y – 2a = 0 2.Gọi M(x 0 ,y 0 ) ( ) ∈ ∆ thoả CM AB CM.AB 0 ⊥ ⇔ = uuuur uuur (t a)x (t a)y 4at 0 ⇔ + + − − = ( ) ∆ 3. x 2a ( ) : (x y 4a)t ax ay 0 y 2a =  ∆ + − + − = ⇔  =  Vậy ( ) ∆ qua điểm cố đònh I(2a,2a) Bài 2: Cho phương trình 2 ( ) : x. cos 2 y.sin2 2 cos 0 ∆ θ + θ − θ = ∆ θ + θ − θ =∆ θ + θ − θ = ∆ θ + θ − θ = 1. Tính khoảng cách M(m, θ θθ θ ) đến ( ) ∆ ∆∆ ∆ 2. Chứng tỏ rằng có 1 điểm M trên trục Ox mà khoảng cách đến ( ) ∆ ∆∆ ∆ độc lập θ θθ θ Bài giải: 1. 2 2 2 2 M, m.cos2 sin 2 2 cos d m.cos2 sin 2 2 cos cos 2 sin 2       ∆ θ+ θ θ− θ = = θ+ θ θ− θ θ+ θ 2 M, d (m 1)cos2 sin 2 1       ∆ = − θ + θ θ− M, : d       ∆ ∀θ độc lập θ m 1 0 M(1,0) 0 − =  ⇔ ⇒  θ =  Vậy có 1 điểm M(1,0) ∈ Ox thoả M, d 1     ∆ = Bài 3: Trong hệ trục Oxy cho A(a,0);B(0, b) . Lấy M(a t,0);N(0, b t) t + + ∈ + + ∈+ + ∈ + + ∈    1. Viết phương trình trung trực của MN 2. Chứng tỏ rằng đường trung trực này đi qua 1 điểm cố đònh khi t thay đổi Bài giải: 1. a t b t I , 2 2 + +       Gọi H(x,y) ( ) ∈ ∆ là đường trung trực của MN thoả HI MN HI.MN 0 ⊥ ⇔ = uur uuuur 2 2 a b (a t)x (b t)y at bt 0 2 2 ⇔ + − + − + − + = 2 2 b a (x y a b)t ax by 0 (*) 2 − ⇔ − − + + − + = (*) ngiệm đúng 2 2 x y a b 0 a b b a J , b a 2 2 ax by 0 2 − − + =  − −    ⇔ ⇒  −   − + =     Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt http://www.toanthpt.net Bài 4: Cho 2 điểm A(a,0);B(0, b) . Đường trung trực ( ) ∆ ∆∆ ∆ của đoạn AB cắt các đường phân giác của góc thứ nhất và của góc thứ hai lần lượt tại P và Q 1. Viết phương trình ( ) ∆ ∆∆ ∆ và tính toạ độ P,Q 2. CM APBQ là một hình vuông 3. Giả sử a,b thay đổi sao cho a + b = k ( k = const ) . Chứng tỏ rằng 1 trong 2 điểm P, Q cố đònh . Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB Bài giải: 1.Gọi I là trung điểm Ab thoả a b I , 2 2       M(x,y) ∈ trung trực ( ) ∆ 2 2 a b IM AB IM.AB 0 ax by 0 2   − ⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ − − =     uuur uuur Vì P là giao điểm của đường phân giác của góc thứ nhất : y = x nên 2 2 y x a b a b P P , a b ax by 0 2 2 2 =  + +    ⇒   −    − − =         Q là giao điểm của đường phân giác của góc thứ hai a b b a Q , 2 2 − −   ⇒     2. 2 2 2 2 2 2 AB PQ AB a b APBQ AB PQ PQ a b = = + ⇒ ⇒  ⊥ = +  là hình vuông 3. a + b = k k k P , 2 2   ⇒     là điểm cố đònh 1 1 1 a x 2 I b k y x 2 2  =     = = −   Vậy k I ( ) : x y 0 2 ∈ ∆ + − = Vậy quỹ tích của I là đường thẳng có phương trình : 2x + 2y – k = 0 Bài 5: 1. Cho 2 điểm A( 3cost , 0 ) ; B( 0 , 2sint ).Tìm tập hợp các điểm M(x,y) sao cho: 2AM 5MB 0 + = + =+ = + = uuur uuur r uuur uuur ruuur uuur r uuur uuur r khi t thay đổi 2. Lập phương trình quỹ tích tâm của đường tròn tiếp xúc trục Ox và đi qua A(1,2) Bài giải: 1.Gọi (L) là tập hợp phải tìm M(x,y) và x 2 cos t 2AM 5MB 0 M 10 y sin t 3 = −   + = ⇒  =   uuuur uuur r 2 2 x y 1(Elip) 100 4 9 ⇒ + = 2.Gọi (L) là quỹ tích tâm đường tròn tiếp xúc Ox và qua A(1,2) I(x 0 ,y 0 ) (L) ∈ ⇔ I là tâm đường tròn qua A và tiếp xúc Ox tại M 2 2 IM Ox tại M x y 2x 4y 5 0 IM=IA ⊥  ⇔ ⇒ + − − + =   Bài 6: Cho ABC ∆ ∆∆ ∆ có đỉnh A(2,2) Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt http://www.toanthpt.net 1. Lập phương trình các cạnh tam giác , biết 9x 3y 4 0 ; x y 2 0 − − = + − = − − = + − =− − = + − = − − = + − = là đường cao kẻ từ B và C 2. Lập phương trình đường thẳng qua A và tạo với AC một góc 4 π ππ π Bài giải: { } { } AC AC AC 1.AC BH A(2,2) AC : x 3y 8 0 AB CH A AB : x y 0 AC CH C : C( 1,3) 4 BC :7x 5y 0 2 2 3 AB BH B : B , 3 3 1 2.AC : x 3y 8 0 k 3 gt : (AC,d) k tan(AC,d) 1 4 k k 1 1 k k 2 1 k.k 2 x 2y C 0 Mà đườ 2x y C 0 ⊥ ⇒ ∈ + − = ⊥ ⇒ ∈ − =  ∩ = −  ⇒ + − =    ∩ =       + − = ⇒ = − π = ± + π ⇒ = ± − ⇒ = ± ⇒ = ∨ = − + − + =  ⇒  + + =  C = 2 ng thẳng qua A C = -6 x 2y 2 0 2x y 6 0  ⇒   ⇒ − + = ∨ + − = Bài 7: Cho P(3,0) và 1 2 ( ) : 2x y 2 0 ; ( ) : x y 3 0 ∆ − − = ∆ + + = ∆ − − = ∆ + + =∆ − − = ∆ + + = ∆ − − = ∆ + + = .Gọi (d) là đường thẳng đi qua P và cắt 1 2 ( ),( ) ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ lần lượt tại A,B . Viết ohương trình (d) biết PA = PB Bài giải: (d) : y = k (x – 3) , { } { } 1 2 A B 2 3k (d) ( ) A x 2 k 3k 3 (d) ( ) B x k 1 − ∩ ∆ = ⇒ = − − ∩ ∆ = ⇒ = + PA = PB P B A 2x x x k 8 (d) : y 8x 24 ⇒ = + ⇒ = ⇒ = − Bài 8: Cho hình vuông có đỉnh A(-4,5) và 1 đường chéo trên : 7x – y + 8 = 0. Lập phương trình các cạnh và đường chéo của hình vuông Bài giải: BD : 7x – y + 8 = 0 ; A AC BD AC : x 7y 31 0 ∈ ⊥ ⇒ + − = 1 9 I AC BD I , C(3,4) 2 2   = ∩ ⇒ − ⇒     Gọi ( ) ∆ qua A và hợp với AC một góc 45 0 có hệ số góc k AC AC AC k k 1 k và tan(AC, ) 1 1 7 1 k.k 3 4 k k 3x 4y 32 0 4x 3y 24 0 4 3 − = − ∆ = ± ⇔ = ± + ⇒ = ∨ = − ⇒ − + = ∨ + − = Vậy phương trình qua C : 3x 4y 32 0 4x 3y 24 0 − + = ∨ + − = Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt http://www.toanthpt.net Bài 9: Lập phương trình các cạnh ABC ∆ ∆∆ ∆ nếu B(2,-1) , đường cao và phân giác ngoài qua A và C lần lượt là: 3x 4y 27 0 ; x 2y 5 0 − + = + − = − + = + − =− + = + − = − + = + − = Bài giải: AH : 3x – 4y + 27 = 0 ; phân giác CC’: x + 2y – 5 = 0 B BC AH BC : 4x 3y 5 0 ∈ ⊥ ⇒ + − = { } BC CC' C C( 1,3);( ) AC : qua C thỏa y k(x 1) 3 ∩ = ⇒ − ∆ ≡ = + + 4 BC : 4x 3y 5 0 ; k 3 1 CC' : x 2y 5 0 ; k 2  + − = = −     + − = = −   (CA,CC’) = (CC’,CB) tan(CA,CC') tan(CC',CB) ⇔ = 2 1 2 2 1 2 k k k k k 0 ( ) : y 3 1 k .k 1 k .k − − ⇔ = ⇔ = ⇒ ∆ = + + { } CA AH A : A( 5,3) AB: 4x 7y 1 0 ∩ = − ⇒ + − = Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC ∆ ∆∆ ∆ có đỉnh C(-2,-4) và trọnh tâm G(0,4) 1. Giả sử M(2,0) là trung điểm của cạnh BC . Xác đònh tọa đôï các đỉnh A,B 2. Giả sử M di động trên đường thẳng (d): x + y – 2 = 0 , tìm quỹ tích điểm B . Xác đònh M để độ dài cạnh AB là ngắn nhất Bài giải: 1.Vì M là trung điểm cạnh BC nên : B M C B B M x x 2x y y 2y + =   + =  MA 3MG = uuuur uuuur mà A A 3MG ( 6,12) A( 4,12) MG ( 2,4); MA (x 2,y )  = − ⇒ −  = −  = −   uuuur uuuur uuuur 2.M( x 0 ,y 0 ) (d) ∈ 0 0 y 2 x ⇒ = − 0 0 B C B C x 2x x y 2y y = −   = −  B B x y 10 ⇔ + = Vậy quỹ tích điểm B là đường thẳng ( ) ∆ : x + y – 10 = 0 Vì MA 3MG = uuuur uuuur nên A(-2x 0 , 8+2x 0 ) 2 0 1 AB 32 x 2 2 min AB 2 4   ⇒ = + + ≥ =     0 1 1 9 x M , 4 4 4   ⇔ = − ⇒ −     Bài 11: Cho 3 điểm A(2,4) ; B(3,1) ; C(1,4) và ( ) ∆ ∆∆ ∆ x – y – 1 = 0 1. Tìm M ( ) ∈ ∆ ∈ ∆∈ ∆ ∈ ∆ sao cho AM + MB nhỏ nhất 2. Tìm N ( ) ∈ ∆ ∈ ∆∈ ∆ ∈ ∆ sao cho AN + CN nhỏ nhất Bài giải: 1. 1 2 A A B B x y 1 x y 1 3 2 2 t 0 t 2 2 2 2 − − − − = = − < < = = ⇒ A,B nằm cùng phía đối với ( ) ∆ và AB (1, 3) = − uuur Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt http://www.toanthpt.net ⇒ AM + BM ≥ AB = 10 (1) (1) xảy ra M ( ) M nằm trong A,B ∈ ∆  ⇔   M ( ) AM cùng hướng AB ∈ ∆   ⇔    uuuur uuur ( ) M M M M y x 1 1 5 M , min AM BM 10 3x y 2 0 4 4 = −    ⇔ ⇒ − − + =    + + =    2. ( ') ∆ qua A và vuông góc ( ) ∆ thỏa ( ') : x y 6 0 I ' ∆ + − =   = ∆ ∩∆  7 5 I , 2 2   ⇒     I trung điểm AA’ ⇒ A’(5,1) AN + CN = A’N + CN ≥ CA’ = 5 (2) (2) xảy ra N ( ) CN cùng hướng CA' ∈ ∆   ⇔    uuur uuuur 23 16 N , min(AN CN) 5 7 7   ⇔ + =     Bài 12: 1.Lập phương trình đường thẳng qua A(2,1) và tạo 2x + 3y + 4 = 0 một góc 45 0 2. Cho P(2,5) , Q(5,1) . Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3 Bài giải: 1.(d) : 2x + 3y + 4 = 0 ; k d = 2 3 − ( ) ∆ qua A thỏa y = k (x – 2 ) + 1 ( ,d) ∆ = 45 0 1 tan( ,d) 1 k k 5 5 ⇔ ∆ = ± ⇔ = ∨ = − x 5y 3 0 5x y 11 0 ⇒ − + = ∨ + − = 2. ( ) ∆ qua P thỏa y = k (x – 2 ) + 5 Q, 7 d 3 k ( ) : 7x 24y 134 0 24     ∆ = ⇔ = − ⇔ ∆ + − = ( ) ∆ qua P thỏa ( ') : x 2 ∆ = Q, ' d 3 x 2 0     ∆ = ⇒ − = thỏa ycbt . − = Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC ∆ ∆∆ ∆ có đỉnh C(-2,-4) và trọnh tâm G(0,4) 1. Giả sử M(2,0) là trung điểm của cạnh BC . Xác đònh tọa đôï các đỉnh A,B 2. Giả sử M di động trên. http://www.toanthpt.net Bài 9: Lập phương trình các cạnh ABC ∆ ∆∆ ∆ nếu B(2,-1) , đường cao và phân giác ngoài qua A và C lần lượt là: 3x 4y 27 0 ; x 2y 5 0 − + = + − = − + = + − =− + = + − = − + = + − = Bài. M(m, θ θθ θ ) đến ( ) ∆ ∆∆ ∆ 2. Chứng tỏ rằng có 1 điểm M trên trục Ox mà khoảng cách đến ( ) ∆ ∆∆ ∆ độc lập θ θθ θ Bài giải: 1. 2 2 2 2 M, m.cos2 sin 2 2 cos d m.cos2 sin 2 2 cos cos 2 sin