Tài liệu ôn tập học kì I - 12

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH ÔN THI KỲ I NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: Toán 12 Tổng số tiết: 26 (tiết) STT NỘI DUNG SỐ TIẾT GHI CHÚ 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3 3 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trùng phương 3 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất 3 4 Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1 đoạn 3 5 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 6 Sử dụng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình 3 7 Thể tích khối lăng trụ 3 8 Thể tích khối chóp 3 9 Kiểm tra 2 HIỆU TRƯỞNG TTCM Người xây dựng Nguyễn Hùng Cường PHẦN I: GIẢI TÍCH Bài 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3 Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12 1 1. Kiến thức cơ bản Các bước khảo sát hàm số bậc 3, trùng phương 1. Tập xác định. 2. Sự biến thiên a. Chiều biến thiên  Tìm y’, giải phương trình y’=0 => sự biến thiên b. Cực trị.  (x CĐ ; y CĐ ) ; (x CT ; y CT ) c. Giới hạn lim x y →−∞ ; lim x y →+∞ d. Bảng biến thiên. 3. Đồ thị. - Tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục. - Giá trị đặc biệt ( Tìm thêm 1 số điểm mà đồ thị hàm số đi qua). - Các dạng đồ thị của hàm số bậc 3 HS bậc 3 0a > 0a < y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt y’ = 0 có nghiệm kép y’ = 0 vô nghiệm - Một số chú ý khi khảo sát hàm số bậc ba : 1. TXD: R Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12 2 2. 0 lim ; 0 lim x x a y a y →±∞ →±∞ > ⇒ = ±∞ < ⇒ = ∞m 3. a > 0 : CĐ - CT; a < 0: CT - CĐ (Không có cực trị nếu y’> 0 hoặc y’< 0 ∀ x ∈ R) 2. Bài tập vận dụng Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2 6 9y x x x= − + Bài giải: 1. TXĐ: D = R 2. Sự biến thiên a.Chiều biến thiên 2 2 1 ' 3 12 9, ' 0 3 12 9 0 3 x y x x y x x x =  = − + = ⇔ − + = ⇔  =  Trên khoảng ( ) ;1−∞ và ( ) 3;+∞ , ' 0y > nên hàm số đồng biến Trên khoảng ( ) 1;3 , ' 0y < nên hàm số nghịch biến b. Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y CĐ = y(1)= 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, y CT = y(3)= 0 c. Giới hạn ( ) ( ) 3 2 3 2 lim lim 6 9 lim lim 6 9 x x x x y x x x y x x x →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ = − + = −∞ = − + = +∞ d. Bảng biến thiên 3. Đồ thị Giao với trục Oy tại điểm (0;0) Giao với trục Ox tại điểm (0;0), (3;0) Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 y x 3x 2= − + − Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12 3 O x y Giải: 1. Tập xác định: D = R 2. Sự biến thiên a. Chiều biến thiên y ′ = -3x 2 +3 = -3(x 2 -1) Trên khoảng ( 1;1)− , y’>0 nên hàm số đồng biến. Trên khoảng ( ; 1)−∞ − và (1; )+∞ , y’<0 nên hàm số nghịch biến b. Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=1 => y CĐ = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 => y CT = -4 c. Giới hạn 3 3 ( 3 2) lim ( 3 2) x x Lim x x x x →+∞ →−∞ − + − = +∞ − + − = −∞ d. Lập bảng biến thiên. x −∞ -1 1 + ∞ y / + 0 - 0 + y + ∞ 0 -4 - ∞ 3. Đồ thị Giao với Ox tại A(1;0) và B(-2;0) Giao với Oy tại C(0;-2) 3. Bài tập về nhà Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12 4 = −  ′ = ⇔  =  1 0 1 x y x 3 2 3 2 3 2 3 1 . 3 1 . 2 4 3 . 3 5 1 . 3 a y x x x b y x x x c y x x x d y x x =− + − = − + = − + + =− − e. 3 2 3y x x= − + f. 3 2 2 3 1y x x= + − g. 3 3 1y x x= − + 4. Hướng dẫn giải: - Sử dụng sơ đồ khảo sát hàm số như các ví dụ - Chú ý tính đạo hàm và giải phương trình y’=0 - Chú ý kiểm tra so sách với các dạng đồ thị đã học Bài 2: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 1. Kiến thức cơ bản - Dạng đồ thị của hàm số 4 2 ( 0)y ax bx c a = + + ≠ HS trùng phương 0a > 0a < y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt y’ = 0 có một nghiệm 2. Bài tập vận dụng Ví dụ 1: Cho hàm số y = 4 2 -x + 2x + 3 (C) Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12 5 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô (C) Giải 1. Tập xác định: D = ¡ 2. Sự biến thiên: +) Chiều biến thiên: ( ) 3 2 y’ 4x 4x 4x x 1= − + = − − y ’ > 0 với mọi ( ; 1) (0;1)x∈ −∞ − ∪ , suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-  ; -1) và ( 0 ; 1) y ’ < 0 với mọi ( 1;0) (1; )x∈ − ∪ +∞ , suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( - 1 ; 0) và ( 1 ; +) +) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại hai điểm x = - 1 và x =1; y CĐ = 4 Hàm số đạt cực tiêu tại điểm x = 0 ; y CT = 3 +) Giới hạn: ®- ¥ ¥ x lim y = - ®+¥ ¥ x lim y = - +) Bảng biến thiên: x -  -1 0 1 + y ’ + 0 - 0 + 0 - y 4 4 -  3 -  3. Đồ thị (C ) : Cắt Oy tại điểm (0; 3), cắt Ox tại 2 điểm ( - 3 ; 0) và ( 3 ; 0) Nhận Oy là trục đối xứng VD 2: Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 4 2 8 10y x x= − + Giải: Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12 6 0 y’ 0 1 1 x x x =   = ⇔ = −   =  0 1 1 -x^4 +2*x^2+3 3 4 1. Tập xác định: D = ¡ 2. Sự biến thiên: a. Chiều biến thiên: y’ = 4x 3 -16x = 2 4 ( 4)x x − y’ = 0  y ’ > 0 với mọi ( 2;0) (2; )x∈ − ∪ +∞ , suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( -2 ; 0) và ( 2 ; +) y ’ < 0 với mọi ( ; 2) (0;2)x∈ −∞ − ∪ , suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( -; -2) và ( 0 ; 2). b. Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 ,y CĐ = 10 Hàm số đạt cực tiêu tại điểm x = 2± ; y CT = -6 c. Giới hạn: ®- ¥ ¥ x lim y = + ; ®+¥ ¥ x lim y = + Hàm số khơng có tiệm cận d. Bảng biến thiên: x -  -2 0 2 + y ’ - 0 + 0 - 0 + y + 10 + -6 -6 3. Đồ thị (C ) : Đồ thị (C) cắt trục Oy tại điểm (0; 10), cắt trục Ox tại 4 điểm ( 4 6;0) ± − ) và ( 4 6;0) ± + Đồ thị (C) nhận trục Oy là trục đối xứng 3. Bài tập về nhà Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ơn tập học kì I – Tốn 12 7 = − + = + − = − + = − + − = − − + = 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 Bài 1: Khảo sát vẽ đồ thò các hàm số sau: 1). 2 2 2). 2 1 3). 2 1 4). 2 1 5). 4 2 6). y x – 2x y x x y x x y x x y x x y x x 0 2 2 x x x =   = −   =  Bài 2: Cho hàm số y = mx 4 +(m 2 -9)x 2 + 10 (C m ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1. 2) Viết Phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với đường thẳng y =19. 4. Hướng dẫn giải - Khảo sát theo sơ đồ khảo sát hàm số - Thay giá trị m=1 rồi khảo sát hàm số - Tìm hoành độ giao điểm bằng cách giải phương trình biến x khi thay y =19, rồi viết phương trình tiếp tuyến tại 1 diểm Bài 3 : HÀM SỐ BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT 1. Kiến thức cơ bản Hàm phân thức ( 0, 0) ax b y c ad bc cx d + = ≠ − ≠ + +) Tập xác định: \ d D R c   = −     +) Đạo hàm : ' 2 ( ) ad bc y cx d − = + (Lưu ý : dấu y ’ phụ thuộc vào dấu của ad - bc) +) Hàm số không có cực trị +) Giới hạn, tiệm cận: lim lim x x a y y c →−∞ →+∞ = = ; suy ra y = a/c là tiệm cận ngang Nếu y ’ >0 trên D: ( ) ( ) lim ; lim d d x x c c y y + − → − → − = −∞ = +∞ ; suy ra x = -d/c là tiệm cận đứng Nếu y ’ <0 trên D: ( ) ( ) lim ; lim d d x x c c y y + − → − → − = +∞ = −∞ ; suy ra x = -d/c là tiệm cận đứng +) Bảng biến thiên: TH1: y ’ > 0 trên D Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12 8 x −∞ d c − +∞ y ’ + + y +∞ a/c a/c −∞ TH2: y ’ < 0 trên D x −∞ d c − +∞ y ’ - - y a/c +∞ −∞ a/c - Dạng đồ thị của hàm số ( 0, 0) ax b y c ad bc cx d + = ≠ − ≠ + 2. Kiến thức bổ trợ a) Nếu dạy học sinh tính y’ theo công thức : ' 2 ( ) ad bc y cx d − = + Giáo viên hướng dẫn học sinh xác định hệ số a,b,c,d VD : 1) 3 2 1 x y x − = + a= 1, b =-3, c = 2 , d = 1=> ' 2 1.1 ( 3).2 (2 1) y x − − = + = ' 2 7 (2 1) y x = + Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12 9 2) 1 2 2 x y x − = + a= -2, b =1, c = 1 , d = 2=> ' 2 ( 2).2 1.1 ( 2) y x − − = + = ' 2 5 ( 2) y x − = + Học sinh tự làm xác định hệ số a,b,c,d 1) 3 2 1 x y x − = − 2) 4 2 3 x y x + = + 3. Bài tập vận dụng Ví dụ 1: Cho hàm số 2 1 1 x y x + = + , đồ thị (C) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Giải 1.Tập xác định: D = { } \ 1-¡ 2. Sự biến thiên: a. Chiều biến thiên: y’ = 2 2 2( 1) (2 1) 1 0, ( 1) ( 1) x x x D x x + − + = > ∈ + + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1)−∞ − và ( 1; )− +∞ b. Cực trị: Hàm số không có cực trị. c. Giới hạn: lim 2 x y ®- ¥ ®+¥ = x lim y = , suy ra đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang 1 1 + - ®- ®- ¥ ¥ x x lim y = - ; lim y = + , suy ra đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng. d. Bảng biến thiên: x −∞ 1 − +∞ y ’ + + y +∞ 2 2 −∞ Đồ thị: Cho x = 0 thì y = 1, suy ra đồ thị (C) cắt trục Oy tại điểm (0;1) Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12 10 O I [...]... của đồ thị là giao i m của hai đường tiệm cận: I( -d/c ; a/c) - B i 3: Để (d) cắt (C) t i 2 i m phân biệt thì phương trình 2 x +1 = − x + m ph i có 2 nghiệm phân biệt x −1 12 Nguyễn Hùng Cường T i liệu ơn tập học kì I – Tốn 12 - B i 5: Thay tọa độ i m A vào hàm số (Cm) để tìm m - B i 6 làm tương tự b i 3 B i 4 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN 1: Kiến thức cơ bản : •... Cho hàm số y=-x3+3x-2 Viết phương trình tiếp tuyến t i i m cực đ i của hàm số Gi i : Viết phương trình tiếp tuyến t i i m cực đ i i m cực đ i (1;0) PTTT có dạng: y=y’(x0)(x-x0) + y0 Ta có: y’(1) = 0 Vậy phương trình tiếp tuyến là y=0 B i 3: Cho hàm số y = -x 4 + 2x 2 + 3 (C) Viết phương trình tiếp tuyến v i đồ thị (C) t i i m cực tiểu của (C) Gi i: Tìm cực tiểu ta được: i m cực tiểu (0;3) Ta có:... Cường 24 T i liệu ơn tập học kì I – Tốn 12 4 Hướng dẫn gi i - Đọc kĩ đề b i - Vẽ chính xác hình - Tìm diện tích mặt đáy (Sử dụng các cơng thức tính diện tích đa giác) - Tính chiều cao (chú ý đến các đường vng góc, định lí Pitago, định lí sin, định lí cơ sin) B i 8: THỂ TÍCH KH I CHĨP 1 Kiến thức cơ bản Cơng thức tính thể tích của kh i chóp Trong đó: B: diện tích đáy h: chiều cao V= 1 B.h 3 2 B i tập vận... trụ: thể tích kh i lăng trụ Trong đó: B: diện tích đáy Nguyễn Hùng Cường V = B.h 20 T i liệu ơn tập học kì I – Tốn 12 h: chiều cao 2 Kiến thức bổ trợ * Diện tích đa giác • Hình vng cạnh a có diện tích • Hình chữ nhật có cạnh a,b có diện tích • Tam giác vng có hai cạnh góc vng a,b có diện tích • Tam giác thường biết cạnh đáy và chiều cao a a a a b a hA b b hA a a • Hình thoi biết hai đường chéo a,b... GTLN và GTNN B i 5: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 Kiến thức cơ bản : Viết phương trình tiếp tuyến v i đồ thị (C):y = f(x) t i i m M 0 (x 0 ; y 0 ) ∈ (C) y (C): y=f(x) y0 M 0 ∆ x x0 Nguyễn Hùng Cường 14 T i liệu ơn tập học kì I – Tốn 12 Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến v i (C) t i M(x0;y0) có dạng: y - y0 = k ( x - x0 ) Trong đó : x0 : hồnh độ tiếp i m y0: tung độ tiếp i m và y0=f(x0)... ^ IA ¢ · A) Suy ra góc giữa (ABC ) và (ACC ¢ ¢ là A ¢ = 45o IH  A ¢ = IH tan45o = IH = 1MB = a 3 H 2 4  Vậy, thể tích lăng trụ là: 1 1 a 3 a 3 3 3 a (đvdt) V = B h = BM AC A ¢ = × H ×× a = 2 2 2 2 8 B I GI I CHI TIẾT ĐÈ 2 Câu I :  y = - x4 + 4x2 - 3  Tập xác định: D = ¡  Đạo hàm: y¢= - 4x3 + 8x Nguyễn Hùng Cường 35 T i liệu ơn tập học kì I – Tốn 12  Cho éx = 0 4 y¢= 0 Û - 4x3 + 8x = 0 Û 4x (-. .. ĐB trên (- ¥ ;- 2),(0; 2) NB trên (- 2;0),( 2; +¥ )  Hàm số đạt cực đ i yCĐ = 1 t i xCD = ± 2 , đạt cực tiểu yCT = –3 t i xCT = 0 lim  Gi i hạn: x - ¥ y = - ¥  Bảng biến thiên x – y¢ ; - + y lim y = - ¥ x®+¥ 2 0 1 – –  Giao i m v i trục hồnh: cho 0 0 + 2 + 0 1 –3 – – é2 =1 é = ±1 x x y = 0 Û - x + 4x - 3 = 0 Û ê 2 Û ê ê ê x x ê =3 ê =± 3 ë ë Giao i m v i trục tung: cho x = 0 Þ y = - 3 4 2... Hùng Cường 11 T i liệu ơn tập học kì I – Tốn 12 b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) t i i m M0(x0;f(x0) có dạng: y − y0 = f ' ( x0 )( x − x0 ) Ta có x0 = 0, y0 = 2, f’(x0) = f’(0) = -1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=-x+2 4 B i tập về nhà B i 1: Cho hàm số y = 3x − 2 x −1 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (c) của hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến v i đồ thị (c) t i i m có tung... cực trị c Gi i hạn: lim y = lim y =- 1 , suy ra đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang x - ¥ x®+¥ lim y = +¥ ; lim y = - , suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng + - Ví dụ 2: Cho hàm số y = x®1 x®1 d Bảng biến thiên: −∞ x y’ +∞ 1 - +∞ -1 y −∞ -1 Đồ thị: y Cho x = 0 thì y = -2 , suy ra đồ thị (C) cắt trục Oy t i i m (0 ;-2 ) Cho y = 0 thì x = 2, suy ra đồ thị (C) cắt trục Ox t i i m (2;0) x O I Nguyễn... Câu I (5,0 i m): Cho hàm số: y = - x3 + 6x2 - 9x + 4 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) t i giao i m của (C ) v i trục hồnh 3) Tìm m để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt: x3 - 6x2 + 9x - 4 + m = 0 Câu II (2 i m) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y= 3 - 2x x +1 ;4] trên đoạn [1 Câu III (3 i m): BC Cho . biệt. Nguyễn Hùng Cường T i liệu ôn tập học kì I – Toán 12 12 - B i 5: Thay tọa độ i m A vào hàm số (C m ) để tìm m - B i 6 làm tương tự b i 3 B i 4 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA. số y = 4 2 -x + 2x + 3 (C) Nguyễn Hùng Cường T i liệu ôn tập học kì I – Toán 12 5 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô (C) Gi i 1. Tập xác định: D = ¡ 2. Sự biến thiên: +) Chiều biến thiên: ( ) 3. đạt cực đ i t i hai i m x = - 1 và x =1; y CĐ = 4 Hàm số đạt cực tiêu t i i m x = 0 ; y CT = 3 +) Gi i hạn: - ¥ ¥ x lim y = - ®+¥ ¥ x lim y = - +) Bảng biến thiên: x -  -1 0 1 + y ’