DAP AN BDT cuc trị on val 10

on Danh Ti Chuyờn : Bt ng thc- Phn c bn - ễn thi vo lp 10 trang 1 A Lí thuyết 1) Định nghĩa bất đẳng thức. a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b, nếu a b < 0. a lớn hơn b, kí hiệu là a > b, nếu a b > 0. a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a b, nếu a - b 0. a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a b, nếu a - b 0. Ví dụ: D1: 75 76> vì (7 5) (7 6) 1 0 => VD2: 1311 3434 < vì 13 11 1 0 34 34 2 =< VD3: a 2 + 1 < a 2 + 2 vì (a 2 + 1) - (a 2 + 2) = -1 < 0 2) Các tính chất của BĐT. + Tính chất 1: a > b b < a. + Tính chất 2: a > b và b > c a > c (tính chất bắc cầu) + Tính chất 3: a > b a + c > b + c + Tính chất 4: a > b, c > d a + c > b + d a > b, c < d a - c > b - d + Tính chất 5: ac bc, nếu c > 0 ab ac bc, nếu c < 0 > > <=> < + Tính chất 6: a > b > 0, c > d > 0 ac > bd + Tính chất 7: a > b > 0 a n > b n với mọi n * N ; a > b a n > b n (n lẻ); ab> a n > b n (n chẵn) + Tính chất 8: a > b > 0 nn ab> với mọi n * N ; Hệ quả: a, b 0 => 22 ab ab a b <=> <=> + Tính chất 9: mn mn a1 v mn a a với m,nN* 0a1 v mn a a với m,nN* >>=>> << >=> < 3, Một số bất đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm: Với hai số không âm a , b ta có : ab ba + 2 ( ) 2 ab ab 2 + Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b b, Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki : Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by ) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) Dấu đẳng thức xảy ra <=> y b x a = c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : baba ++ Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab 0 B Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp chung : Cách 1 : Biến đổi BĐT cần chứng minh thành một BĐT tơng đơng mà ta đã biết là đúng Cách 2 : Biến đổi BĐT đúng đã biết thành BĐT cần chứng minh 1. Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa Phơng pháp chứng minh A > B : - Bớc 1: Xét hiệu A B - Bớc 2: Chứng minh A B > 0 - Lu ý : A 2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . - A 2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . AAA ; AA A0;A A A0= <=> = <=> Bi tập: *) Bài tập 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 ab ab 2 + Bài làm : (Bất đẳng thức Côsi) Xét hiệu 2 22 a b a 2ab b 4ab ab 24 +++ = 2 ab 0 2 = Vậy: 2 ab ab 2 + dấu = xảy ra khi a = b. Chú ý: Để chứng minh BĐT: Với hai số không âm a , b ta có : ab ba + 2 ta xuất phát từ BĐT 2 (a b) 0, luôn đúng với mọi a, b 0 *) Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số a, b, x, y ta có 2222 2 (a b )(x y ) (ax by)+++ (Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki) Bài làm : Xét hiệu 2222 2 (a b )(x y ) (ax by)+++ = a 2 x 2 + a 2 y 2 + b 2 x 2 + b 2 y 2 - a 2 x 2 - b 2 y 2 2byax = (ay bx) 2 0 Vậy: 2222 2 (a b )(x y ) (ax by)+++ dấu = xảy ra khi ay = bx hay ab xy = *) Bài tập 3: Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh rằng : 22222 abcdea(bcde)++++ +++ Bài làm : Xét hiệu 22222 (a b c d e ) a(b c d e) + +++ +++ = 222 2 22 2 2 aaaa ab b ac c ad d ae e 4444 + + + + + + + = 22 22 aaaa bcde0 2222 +++ Vậy: 22222 abcdea(bcde)++++ +++ dấu = xảy ra khi a bcde 2 == == *) Bài tập 4: Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) Bài làm : Ta xét hiệu : H = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2( x + y + z) on Danh Ti Chuyờn : Bt ng thc- Phn c bn - ễn thi vo lp 10 trang 3 = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x 2 - 2x + 1) + (y 2 - 2y + 1) + (z 2 - 2z + 1) = (x - 1) 2 + (y - 1) 2 + (z - 1) 2 Do (x - 1) 2 0 với mọi x (y - 1) 2 0 với mọi y (z - 1) 2 0 với mọi z => H 0 với mọi x, y, z Hay x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z . Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1. *) Bài tập 5: Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có : x 4 + y 4 xy 3 + x 3 y Bài làm : Xét hiệu : x 4 + y 4 ( xy 3 + x 3 y ) = ( x 4 xy 3 ) + ( y 4 x 3 y ) = x( x 3 y 3 ) + y( y 3 x 3 ) = ( x y )( x 3 y 3 ) = ( x y ) 2 ( x 2 + xy + y 2 ) = ( x y ) 2 ( ) 2 2 3 1 xy y 24 ++ 0 Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng . Dấu = xảy ra khi x = y . *) Bài tập 6: Cho các số dơng a , b thoả mãn điều kiện a + b = 1 Chứng minh rằng : ( 1 + 1 a )( 1 + 1 b ) 9 (1) Bài làm : Ta có ( a + 1 a .)( b + 1 b ) 9 ab + a + b + 1 9 ab ( vì a,b > 0 ) a + b + 1 8 ab 2 8 ab 1 4 ab ( vì a + b = 1 ) ( a + b ) 2 4 ab ( a b ) 2 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng, các phép biến đổi là tơng đơng. Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b *) Bài tập 7: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng : abab + >+ Hớng dẫn : Cách 1 : ( ) ( ) 22 abab ab ab a2abbab 2 ab 0 (BĐT đúng vì a, b > 0 ) + > + <=> + > + <=> + + > + <=> > Vậy abab+>+ Cách 2 : ( ) 2 ab ab a2abbab(vì 2ab0)+= + =+ +>+ > Cách 3 : Vì a > 0, b > 0 nên ab 1, 1 ab ab < < ++ , do đó aabb , ab ab ab ab >> ++++ Cộng vế với vế của hai BĐT cùng chiều => đpcm Cách 4 : Vì a > 0, b > 0 nên a0,b0>> Dựng tam giác ABC vuông tại A có AB = a,AC b= áp dụng Py ta go tính đợc BC = 22 AB AC+ ( ) ( ) 22 ab+ = ab+ áp dụng BĐT tam giác, ta có : AB + AC > BC Vậy abab+>+ b a C B A *) Bài tập 8: Cho a, b, c là các số không âm. Chứng minh rằng : 3 abc abc 3 ++ (BĐT Cô-si cho ba số không âm) Hớng dẫn : Cách 1 : Bài toán phụ : Chứng minh rằng ()() 22 333 2 1 x y z 3xyz ( x y z) (x y ) y z z x 2 ++ = ++ + + Hớng dẫn : Ta biến đổi từ VP để có VT Với x, y, z 0 => 333 x y z 3xyz++ 0 => 333 xyz xyz 3 ++ Đặt x = 333 a,y b,z c(a,b,c 0)== Ta có : 333 3 abc abc a b c abc 33 ++ ++ <=> Cách 2 : Bài toán phụ Cho x, y, z, t không âm . Chứng minh rằng 4 xyzt xyzt 4 +++ (BĐT Cô-si cho bốn số không âm) Thật vậy: 4 xyzt xy zt 11 ( xy zt ) xy zt xyzt 42222 +++ + + =++ = => 4 xyzt xyzt 4 +++ Do đó () 4 4 abc abc abc 3 abc abc 34 3 ++ +++ ++ ++ = on Danh Ti Chuyờn : Bt ng thc- Phn c bn - ễn thi vo lp 10 trang 5 Trờng hợp một trong ba số a, b, c bằng 0, bài toán đợc chứng minh Trờng hợp a, b, c đều khác 0 , ta có a + b + c > 0 Do đó: ( ) 4 abc abc abc 33 ++ ++ <=> 3 abc abc 3 + + *) Bài tập về nhà : Chứng minh bất đẳng thức : 2 22 22 + + baba Hớng dẫn : Xét hiệu : H = 2 22 22 + + baba = 4 )2()(2 2222 bababa +++ = 0)( 4 1 )222( 4 1 22222 =+ baabbaba . Với mọi a, b . Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . 2. Phơng pháp 2 : Dùng tính chất của bất đẳng thức *) Bài tập 1 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện x + y = 2. Chứng minh x 4 + y 4 2 Bài làm : - Ta có: (x 2 y 2 ) 2 0 (với mọi x, y) x 4 + y 4 2x 2 y 2 x 4 + y 4 + x 4 + y 4 x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 2(x 4 + y 4 ) (x 2 + y 2 ) 2 (1) dấu = xảy ra khi x = y hoặc x = - y. - Mặt khác, ta có: (x y) 2 0 (với mọi x, y) x 2 + y 2 2xy 2(x 2 + y 2 ) (x + y) 2 x 2 + y 2 2 (2) (vì x + y = 2) dấu = xảy ra khi x = y. - Từ (1) và (2) x 4 +y 4 2 dấu= xảy ra khi x = y = 1. *) Bài tập 2 : Chứng minh rằng 222 3 abc abc 4 + ++ Bài làm : Ta có: 2 2 11 a0aa 24 ++ 2 2 11 b0b b 24 ++ 2 2 11 c0c c 24 ++ Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta đợc: 222 111 abc abc 444 ++ +++ 222 3 abc abc 4 +++ dấu = xảy ra khi a = b = c = 1 2 . *) Bài tập 3 : Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Bài làm : Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b . Do c < 1 nên 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc . Do 0 < a, b, c, d <1 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) on Danh Ti Chuyờn : Bt ng thc- Phn c bn - ễn thi vo lp 10 trang 7 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . *) Bài tập 4 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng : 2a 3 + 2b 3 + 2c 3 < 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a Bài làm : Do 0 < a, b < 1 => a 3 < a 2 < a < 1 ; b 3 < b 2 < b < 1 ; ta có : (1 - a 2 )(1 - b) > 0 => 1 + a 2 b > a 2 + b => 1 + a 2 b > a 3 + b 3 hay a 3 + b 3 < 1 + a 2 b . Tơng tự : b 3 + c 3 < 1 + b 2 c ; c 3 + a 3 < 1 + c 2 a . => 2a 3 + 2b 3 + 2c 3 < 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a *) Bài tập 5 : Từ bất đẳng thức () 2 ab 0 , hãy chứng minh các bất đẳng thức sau : +) ( ) 2 22 ab ab 22 ++ +) () 2 ab 4ab+ +) ( ) 2 ab ab 2 + +) () 2 11 (a,b 0) 4ab ab > + +) 11 4 (a,b 0) abab + > + +) 22 ab 2(a b)(a,b0)+ + > (BĐT Bu-nhi-a-côp-xki) +) ab2ab(a,b0)+ > (BĐT cô-si) 3. Phơng pháp 3 : Dùng phép biến đổi tơng đơng - Quá trình chuyển từ một bất đẳng thức sang một bất đẳng thức tơng đơng gọi là một phép biến đổi tơng đơng . - Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng . - Khi có hai bất đẳng thức tơng đơng , nếu một bất đẳng thức đúng thì bất đẳng thức kia cũng đúng . Ta có sơ đồ : A > B A 1 > B 1 A 2 > B 2 A n > B n *) Bài tập 6 : Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 3 4 1 1 1 1 + + + ba Giải: Dùng phép biến đổi tơng đơng 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) 9 4ab + 8 1 4ab (a + b) 2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh . *) Bài tập 7 : Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4 Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) a 3 b 3 c 3 Giải: Từ : (a + b) 2 4ab , (a + b + c) 2 = [ ] cbacba )(4)( 2 +++ => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b) 2 c 16 abc => a + b abc Tơng tự : b + c abc c + a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a 3 b 3 c 3 *) Bài tập 8 : Chứng minh bất đẳng thức : 3 33 22 + + baba ; trong đó a > 0 ; b > 0 Giải : Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0 3 33 22 + + baba + + + 2 ).( 2 22 ba baba ba . 2 2 + ba a 2 - ab + b 2 2 2 + ba 4a 2 - 4ab + 4b 2 a 2 + 2ab + b 2 3a 2 - 6ab + 3b 2 = 3(a 2 - 2ab + b 2 ) 0 () 2 3a b 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra : 3 33 22 + + baba Dấu = xảy ra a = b *) Bài tập 9 : Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a 3 + b 3 + ab 2 1 Giải : Ta có : a 3 + b 3 + ab 2 1 <=> a 3 + b 3 + ab - 2 1 0 <=> (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) + ab - 2 1 0 <=> a 2 + b 2 - 2 1 0 . Vì a + b = 1 <=> 2a 2 + 2b 2 - 1 0 <=> 2a 2 + 2(1-a) 2 - 1 0 ( vì b = a -1 ) <=> 4a 2 - 4a + 1 0 <=> ( 2a - 1 ) 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a 3 + b 3 + ab 2 1 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 2 1 *) Bài tập 10 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức : a b a a b b Giải : on Danh Ti Chuyờn : Bt ng thc- Phn c bn - ễn thi vo lp 10 trang 9 Dùng phép biến đổi tơng đơng : a b a a b b ( )() baabbbaa ++ 0 [ ] 0)()()( 33 ++ baabba 0)())(( +++ baabbababa 0)2)(( ++ bababa 2 ( a b)( a b) 0+ Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra : a b a a b b *) Bài tập 11 : Cho các số dơng a , b thoả mãn điều kiện a + b = 1 Chứng minh rằng : ( 1 + 1 a )( 1 + 1 b ) 9 (1) Giải: Ta có ( a + 1 a .)( b + 1 b ) 9 ab + a + b + 1 9 ab ( vì a,b > 0 ) a + b + 1 8 ab 2 8 ab ( vì a + b = 1 ) ( a + b ) 2 4 ab ( a b ) 2 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tơng đơng vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức a = b. *) Bài tập 12 : Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3(m + 1) + m < 4(2 + m) b) b(b + a) ab c) a(a b) b(a b) d) 2 c1 c12 + *) Bài tập 13 : Cho các số dơng a, b, c có tích bằng 1. Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 *) Bài tập 14 : Chứng minh các bất đẳng thức: a) (x + y + z) 2 3(xy + yz + xz) b) c 2 c1 2 + *) Bài tập 15 : Cho a, b là hai số thoả mãn điều kiện a + b = 2. Chứng minh rằng a 4 + b 4 a 3 + b 3 . Hớng dẫn: Vì a + b = 2 nên a 4 + b 4 a 3 + b 3 ( ) 44 33 2(a b ) (a b) a b++ + 44 44 3 3 44 3 3 33 2 22 2(ab)ababba ababba (ab)(ab)0 b3b (a b) (a ) 0 (luôn đúng) 24 <=> + + + + <=> + + <=> <=> + + *) Bài tập 16 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện x + y = 1. Chứng minh: a) x 2 + y 2 1 2 b) b) 1 8 ≤ x 4 + y 4 [...]... đẳng thức (1) luôn đúng áp dụng bất đẳng thức trung gian a m bm a n bn > với a > b > 0 và m > n a m + bm an + bn Nên khi m =1996, n =1995 thì bất đẳng thức phải chứng minh luôn đúng a1996 b1996 a1995 b1995 > a1996 + b1996 a1995 + b1995 9 Phơng pháp 9: Dùng phép quy nạp toán học on Danh Ti Chuyờn : Bt ng thc- Phn c bn - ễn thi vo lp 10 trang 21 - Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng... giác của góc xOy Từ điểm M nằm trong góc xOz vẽ MH vuông góc với Ox ( H thuộc Ox ), vẽ MK vuông góc với Oy( K thuộc Oy ) Chứng minh: MH < MK Giải: Gọi A là giao điểm của MK với Oz Vẽ AB Ox ( B thuộc Ox ) Nối B với M Xét KOA vuông tại K và BOA vuông tại B có: OA là cạnh chung BOA = KOA (Oz là tia phân giác) on Danh Ti Chuyờn : Bt ng thc- Phn c bn - ễn thi vo lp 10 trang 17 Do đó KOA = BOA( cạnh... phần kiểm tra bài cũ) Tơng tự : p - b > 0 ; p - c > 0 áp dụng bài toán trên ta có: 1 1 4 4 + = p a p b ( p a ) + ( p b) c 1 1 4 Tơng tự : + p b p c a 1 1 4 + pa pc b on Danh Ti Chuyờn : Bt ng thc- Phn c bn - ễn thi vo lp 10 trang 15 => 2( 1 1 1 1 1 1 + + ) 4( + + ) => điều phải chứng minh pa pc pc a b c Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c a=b=c Khi đó tam giác ABC là tam giác đều... x 1,0 < y 1 x = y 3 4 x = y = 3 5 4 5 *) Bài tập 3 : Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 Chứng minh rằng : a, a + b + b + c + c + a 6 b, a + 1 + b + 1 + c + 1 < 3,5 on Danh Ti Chuyờn : Bt ng thc- Phn c bn - ễn thi vo lp 10 trang 11 Giải a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có : ( a + b 1 + => ( b + c 1 + a+b + c + a 1 b+c + ) c+a 2 ) ( (1 + 1 + 1) 2 a+b ) ( 2 + b+c ) ( 2... thức sau là sai : 2a(1 - b) > 1; 3b(1 - c) > 2; 8c(1 - d) > 1; 32d(1 - a) > 3 Giải: Giả sử ngợc lại cả bốn bất đẳng thức đều đúng Nhân từng về, ta có : Vì x, y, z > 0 => on Danh Ti Chuyờn : Bt ng thc- Phn c bn - ễn thi vo lp 10 trang 19 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 3 => [a(1 a )] [ b(1 b)] [c(1 c )] [d(1 d )] > 1 256 (1) Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a +1 a 1 1... c)2 a + 4b 4 (a + c) + 4a 4 (b + c) Cộng vế với vế ta đợc điều phải chứng minh *) Bài tập 8: Cho a, b , c > 0; A= (a + b) c Chứng minh rằng: + (a + c) b + (b + c) a > 4 on Danh Ti Chuyờn : Bt ng thc- Phn c bn - ễn thi vo lp 10 trang 13 Hớng dẫn: (a + b) (a + b) = c c (a + b) với a, b , c > 0 (a + b + c) c (a + b) có 2 (theo cô - si) 1 c (a + b ) a+b c (a + b ) 2 dấu "=" c = a + b a+b+c 2 (a... bất đẳng thức trên , ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau: Nếu a > b > 0 và m,n là hai số tự nhiên mà m>n thì a m bm a n bn > (1) a m + bm an + bn Thật vậy ta dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh a m + b m 2b m a n + b n 2b n > a m + bm a n + bn 2b m 2b n 2b m 2b n 1- m > 1 n m > n a + bm a + bn a + bm a + bn bm bn m n m n am an 1 1 b b m +1 > n +1 m < n mb m < n b n m < n a a...4 Phơng pháp 4 : Dùng các bất đẳng thức quan trọng và quen thuộc - Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Cô-si , Bu-nhi-a-côp-xki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh , - Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 2xy Với a, b > 0 , a b + 2 b a *) Bài tập... d(1 - d) 4 4 a(1 a) 1 4 Nhân từng về các bất đẳng thức, ta có : [a(1 a )] [ b(1 b)] [c(1 c )] [d(1 d )] 1 256 (2) Từ (1) và (2) suy ra vô lý Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai *) Bài tập 2: Chứng minh rằng không có 3 số dơng a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức sau : a+ 1 1 1 0; >0; >0 2 2 2 => a, b, c thoả mãn là độ dài 3 cạnh của một tam giác *) Bài tập 10: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn a + b + c = 2 Chứng minh: ab + bc + ac > abc + 1 Giải: Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Suy ra : a + b > c b+c>a a+c>b mà a + b + . () 4 4 abc abc abc 3 abc abc 34 3 ++ +++ ++ ++ = on Danh Ti Chuyờn : Bt ng thc- Phn c bn - ễn thi vo lp 10 trang 5 Trờng hợp một trong ba số a, b, c bằng 0, bài toán đợc chứng minh Trờng. = 2 1 *) Bài tập 10 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức : a b a a b b Giải : on Danh Ti Chuyờn : Bt ng thc- Phn c bn - ễn thi vo lp 10 trang 9 Dùng phép biến. y 2 1 2 b) b) 1 8 ≤ x 4 + y 4 on Danh Ti Chuyờn : Bt ng thc- Phn c bn - ễn thi vo lp 10 trang 11 4. Phơng pháp 4 : Dùng các bất đẳng thức quan trọng và quen thuộc - Kiến thức :