cac bai tap ve BDT cuc tri on thi vao 10

Ơn thi vào 10 -Bài tập Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chun đề 6) VẤN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN–MAX CỦA BIỂU THỨC Bài 1: ∀ x, y, z chứng minh : a) x + y + z ≥ xy+ yz + zx , b) x + y + z ≥ 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3 ≥ (x + y + z) Giải:a) Ta xét hiệu x + y + z - xy – yz – zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) = [ ] ( x − y ) + ( x −z ) + ( y − z ) ≥ với x;y;z ∈ R Vì (x-y)2 ≥ với∀x ; y Dấu xảy x=y (x-z)2 ≥ với∀x ; z Dấu xảy x=z, (y-z)2 ≥ với∀ z; y Dấu xảy z=y Vậy x + y + z ≥ xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z 2 b)Ta xét hiệux + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz )= x + y + z - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) ≥ với x;y;z ∈ R Vậy x + y + z ≥ 2xy – 2xz + 2yz với x;y;z ∈ R Dấu xảy x+y=z c) Xét hiệu x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1) ≥ Dấu(=)xảy x=y=z=1 2 a2 + b2 + c2  a + b + c  a2 + b2  a + b  ≥ Bài 2: chứng minh : a) b) ≥   3     Giảia) Ta xét hiệu = a2 + b2  a + b  −    = ( ) ( a + b a + 2ab + b − = 2a + 2b − a − b − 2ab 4 ) a2 + b2  a + b  ≥  Dấu xảy a=b   a2 + b2 + c2  a + b + c  2 − = ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) ≥  3   ( a − b) ≥ Vậy [ b)Ta xét hiệu ] a2 + b2 + c2  a + b + c  Vậy ≥  Dấu xảy a = b =c 3   Bài 3: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh b2 a) a + ≥ ab b) a + b + ≥ ab + a + b c) a + b + c + d + e ≥ a( b + c + d + e ) b2 Giải:a) a + ≥ ab ⇔ 4a + b ≥ 4ab ⇔ 4a − 4a + b ≥ ⇔ ( 2a − b ) ≥ (bất đẳng thức ln đúng) b Vậy a + ≥ ab (dấu xảy 2a=b) b) a + b + ≥ ab + a + b ⇔ 2(a + b + ) > 2(ab + a + b) ⇔ a − 2ab + b + a − 2a + + b − 2b + ≥ ⇔ (a − b) + (a − 1) + (b − 1) ≥ Bất đẳng thức cuối đúng.Vậy a + b + ≥ ab + a + b Dấu xảy a=b=1 a + b + c + d + e ≥ a( b + c + d + e ) ⇔ 4( a + b + c + d + e ) ≥ 4a( b + c + d + e ) c) ⇔ ( a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + ( a − 4ad + 4d ) + ( a − 4ac + 4c ) ≥ ⇔ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2c ) ≥ Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Bài 4: Chứng minh rằng: ( a 10 + b10 )( a + b ) ≥ ( a + b )( a + b ) Giải: (a )( ) ( ) )( ) + b10 a + b ≥ a + b a + b ⇔ a 12 + a 10 b + a b10 + b12 ≥ a 12 + a b + a b + b12 ⇔ a b a − b + a b b − a ≥ ⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6) ≥ ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) ≥ 10 ( ( ) Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh Tốn 9- Hải Ninh Sưu tầm biên soạn-2013 Ơn thi vào 10 -Bài tập Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chun đề 6) Bài 5: Cho x.y =1 x.y x2 + y2 ≥2 Chứng minh x− y Giải: x +y ≥ 2 :x 〉 y nên x- y 〉 ⇒ x2+y2 ≥ 2 ( x-y) x− y ⇒ x2+y2- 2 x+ 2 y ≥ ⇔ x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2 ≥ ⇔ x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy ≥ x.y=1 nên 2.x.y=2 ⇒ (x-y- )2 ≥ Điều ln ln Vậy ta có điều phải chứng minh 2 • Sử dụng số bất đẳng thức cổ điển thơng dụng: 2 a) x + y ≥ xy b) x + y ≥ xy dấu( = ) x = y = a b ≥2 b a a + a + a + + a n n ≥ a1 a a3 a n 2)Bất đẳng thức Cauchy (Cosi): Với > n 2 a2 + a22 + + an2 x12 + x22 + + 2n ≥ ( a1 x1 + a2 x2 + + an xn ) 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski (BCS) c) ( x + y ) ≥ xy d) + ( )( ) 4) Bất đẳng thức Trê- Bư-Sép:  a≤b≤c aA + bB + cC a + b + c A + B + C ⇒ ≥ 3 A ≤ B ≤ C  a≤b≤c  a=b=c aA + bB + cC a + b + c A + B + C ⇒ ≤ Nếu  Dấu xảy  3 A ≥ B ≥ C A = B = C Bài 6: Cho a, b ,c số khơng âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc Giải: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: ( x + y ) ≥ xy Nếu  ( a + b ) ≥ 4ab ; ( b + c ) ≥ 4bc ; ( c + a ) ≥ 4ac ⇒ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 64a b c = ( 8abc ) ⇒ (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc Dấu “=” xảy a = b = c Vậy a + b + c + d + a( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) ≥ 10 Tacó a3 b3 c3 + + ≥ b+c a+c a+b 2  a ≥ b ≥ c2 Do a,b,c đối xứng ,giả sử a ≥ b ≥ c ⇒  a ≥ b ≥ c  b + c a + c a + b Bài 7: Cho a>b>c>0 a + b + c = chứng minh Giải: áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a b c a2 + b2 + c2  a b c  + b2 + c2 ≥  + + = = b+c a+c a+b b+c a+c a+b 2 a3 b3 c3 + + ≥ Vậy Dấu xảy a=b=c= b+c a+c a+b 2 2 Bài 8: Cho a,b,c,d>0 abcd =1.Chứng minh : a + b + c + d + a( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) ≥ 10 Giải:Ta có a + b ≥ 2ab , c + d ≥ 2cd Do abcd =1 nên cd = ab 2 Ta có a + b + c ≥ 2(ab + cd ) = 2(ab + ) ≥ (1) ab Mặt khác: a ( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)       =  ab +  +  ac +  +  bc +  ≥ + + = (2) ab   ac   bc   a2 Cộng (1), (2) ta điều cần chứng minh Tốn 9- Hải Ninh Sưu tầm biên soạn-2013 Ơn thi vào 10 -Bài tập Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chun đề 6) ( a + c) + (b + d ) ≤ a + b + c + d Bài 9: Cho số a,b,c,d chứng minh rằng: Giải:Ta có: ( a + c ) + ( b + d ) = a + b + 2( ac + bd ) + c + d ≤ ( a + b ) + a + b c + d + c + d Tacó ac+bd ≤ a + b c + d Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski ⇒ (a + c) + (b + d ) ≤ a + b + c + d Bài 10: Chứng minh a + b + c ≥ ab + bc + ac Giải:Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Xét cặp số (1,1,1) (a,b,c) ta có: (1 + + )(a + b + c ) ≥ (1.a + 1.b + 1.c ) ( a + b + c ) ≥ a + b + c + 2( ab + bc + ac ) ⇒ 2 2 2 2 2 ⇒ a + b + c ≥ ab + bc + ac Điều phải chứng minh Dấu xảy a=b=c a b c d + + + Chứng minh 1< Tương tự ta có b b b+a c c b+c < < < < (4) (5) a+b+c+d b+c+d a+b+c+d a+b+c+d c+d +a a+b+c+d d d d +c < < (6) cộng vế với vế (3); (4); (5); (6) ta có a+b+c+d d +a+b a+b+c+d a b c d 1< + + + < điều phải chứng minh a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b Bài 11: Cho a;b;clà số đo ba cạnh tam giác chứng minh a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) a < a (b + c)  ⇒ b < b( a + c)  c < c ( a + b)  0 < a < b + c  Giảia)Vì a,b,c số đo cạnh tam giác nên ta có 0 < b < a + c 0 < c < a + b  Cộng vế bất đẳng thức ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) Đcm b) Ta có a > b-c  ⇒ a > a − (b − c) > b > a-c  ⇒ b > b − (c − a ) > c > a-b  ⇒ c > c − ( a − b) > [ ][ ⇒ a 2b c > a − ( b − c ) b − ( c − a ) 2 ][c − ( a − b) ] ⇒ a b c > ( a + b − c) (b + c − a) ( c + a −b) ⇒ abc > ( a + b − c ).( b + c − a ).( c + a − b ) a b c + + ≥ (1) Bài 12: Cho a,b,c > Chứng minh b+c c+a a+b y+z−x z+x− y x+ y−z Giải :Đặt x = b+c ; y = c+a ;z = a+b ta có a = ; b= ;c= 2 y+z−x z+x− y x+ y−z + + ≥ ta có (1) ⇔ 2x 2y 2z y z x z x y y x z x z y + −1+ + −1+ + −1 ≥ ⇔ ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ ⇔ x x y y z z x y x z y z y x z y z x + ≥ nên ta có điều phải chứng minh + ≥ 2; Bất đẳng thức cuối ( + ≥ 2; x y y z x z Nhân vế bất đẳng thức ta 2 Tốn 9- Hải Ninh Sưu tầm biên soạn-2013 2 Ơn thi vào 10 -Bài tập Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chun đề 6) 1 + + ≥ (1) a + 2bc b + 2ac c + 2ab Bài 13: Cho a,b,c > a+b+c 1 1 + + ≥ x y z xyz x + y + z ≥ 3 xyz , Theo bất đẳng thức Cơsi ta có ⇒ (1) ⇔ 1 + + ≥ (đpcm) x y z Mà x+y+z < Vậy Bài 14: Cho x > y xy =1 Chứng minh (x x + y = ( x − y ) + xy = ( x − y ) + (vì xy = 1) ⇒ Giải :Ta có Do BĐT cần chứng minh tương đương với ⇔ ( x − y ) − 4( x − y ) + ≥ ⇔ [( x − y ) ] ) + y2 ≥8 ( x − y) 2 (x + y2 ) = ( x − y) ( x − y ) + 4( x − y ) + ≥ 8.( x − y ) + 4.( x − y ) + 2 − ≥ BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh 1 + ≥ Bài 15: Cho xy ≥ Chứng minh 2 1+ x 1+ y + xy 1  1   1  + ≥ +  ≥ ⇔  − − Giải :Ta có 2 2   1+ x 1+ y + xy  + x + y   + y + xy  x ( y − x) y( x − y) xy − x xy − y + ≥0 ⇔ ⇔ + ≥0 2 + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ⇔ ) ( ) ( ) ( ) ( y − x ) ( xy − 1) ≥ (1 + x ).(1 + y ).(1 + xy ) BĐT cuối xy > Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 16: a Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chứng minh a + b + c ≥ b Cho a,b,c số dương Chứng minh ( a + b + c ). + +  ≥ a b c Giải : a áp dụng BĐT BunhiaCơpski cho số (1,1,1) (a,b,c) ⇔ ( a + b + c ) ≤ 3.( a + b + c ) (1.a + 1.b + 1.c ) ≤ (1 + + 1).( a + b + c ) Ta có ⇔ 1 a a2 + b2 + c2 ≥ (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 1 a a b b c c a b a c b c a c a a b a c x y áp dụng BĐT phụ + ≥ Với x,y > Ta có BĐT cuối ln y x 1 1 Vậy ( a + b + c ). + +  ≥ (đpcm) a b c b c  b a c c b b ( a + b + c ). + +  ≥ ⇔ + + + + + + + + ≥ ⇔ +  +  +  +  +  +  ≥ Bài 17: Tìm giá trị nhỏ : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Giải : Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| ≥ |x-1+4-x| = (1) Và x − + x − = x − + − x ≥ x − + − x = Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| ≥ 1+3 = Ta có từ (1) ⇒ Dấu xảy ≤ x ≤ (2) ⇒ Dấu xảy ≤ x ≤ Vậy T có giá trị nhỏ ≤ x ≤ Tốn 9- Hải Ninh Sưu tầm biên soạn-2013 (2) Ơn thi vào 10 -Bài tập Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chun đề 6) Bài 18: Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > x+y+z =1 1 27 áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ 3 ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) Giải : Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Cơsi ta có ⇒ ≥ 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) Dấu xảy x=y=z= 8 = 27 27 729 Vậy S ≤ x+ y + z ≥ 3 xyz ⇒ xyz ≤ ⇒ xyz ≤ Vậy S có giá trị lớn x=y=z= 729 Bài 19:Cho xy+yz+zx = Tìm giá trị nhỏ x + y + z Giải : áp dụng BĐTBunhiacốpski cho số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta có ( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y + z ) ⇒ ≤ ( x + y + z ) (1) 2 Ap dụng BĐT Bunhiacốpski cho ( x , y , z ) (1,1,1) Ta có ( x + y + z ) ≤ (12 + 12 + 12 )( x + y + z ) → ( x + y + z ) ≤ 3( x + y + z ) 4 Từ (1) (2) ⇒ ≤ 3( x + y + z ) ⇒ x + y + z ≤ 3 x=y=z= ± 3 2 Bài 20: Tìm số ngun x,y,z thoả mãn x + y + z ≤ xy + y + z − Giải : Vì x,y,z số ngun nên: x + y + z ≤ xy + y + z − Vậy x + y + z có giá trị nhỏ   y2   3y2 ⇔ x + y + z − xy − y − z + ≤ ⇔  x − xy + ÷+  − y + ÷+ z − z + ≤     ( 2 y  y  ⇔  x − ÷ +  − 1÷ + ( z − 1) ≤ 2  2  ) (*) y  y  Mà  x − ÷ +  − 1÷ + ( z − 1) ≥ ∀x, y ∈ R 2  2  y  x − =  x =1  y  ⇔  −1 = ⇔  y = 2  z =1   z −1 =   2 y  y  ⇔  x − ÷ +  − 1÷ + ( z − 1) = 2  2   x =1  Các số x,y,z phải tìm  y =  z =1  II-CÁC BÀI VỀ BĐT- CỰC TRỊ BIỂU THỨC ( MỨC ĐỘ, U CẦU, BIỂU ĐIỂM ) THI VÀO LỚP 10 : 2012-2013 Câu (1,0 điểm).Hải Dương 2011Cho x, y, z ba số dương thoả mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng: x y z + + ≤ x + x + yz y + y + zx z + 3z + xy Từ ( x − yz ) ≥ ⇔ x + yz ≥ 2x yz (*) Dấu “=” x2 = yz Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) ≥ x(y + z) + 2x yz Suy 3x + yz ≥ x(y + z) + 2x yz = x ( y + z ) (Áp dụng (*)) x + 3x + yz ≥ x ( x + y + z ) ⇒ x ≤ x + 3x + yz x x+ y+ z (1) Tốn 9- Hải Ninh Sưu tầm biên soạn-2013 Ơn thi vào 10 -Bài tập Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chun đề 6) y y z z ≤ ≤ (2), (3) y + 3y + zx x+ y+ z z + 3z + xy x+ y+ z x y z Từ (1), (2), (3) ta có x + 3x + yz + y + 3y + zx + z + 3z + xy ≤ Dấu “=” xảy x = y = z = Tương tự ta có: Câu 5(1,0 điểm): HDương 2- 2012 Khơng dùng máy tính cầm tay, tìm số ngun lớn khơng vượt q S, S = ( + ) Khơng dùng máy tính cầm tay, tìm số ngun lớn khơng vượt q S, S=( 2+ 3) Đặt x1 = + 3; x2 = 2− x1; x2 nghiệm phương trình x2 − 4x + = n+ n+1 n Suy x1 − 4x1 + 1= ⇒ x1 − 4x + x = 0(∀n∈ N ) n+ n+1 n Tương tự có x1 − 4x + x = 0(∀n∈ N ) k k Do Sn+ − 4Sn+1 + Sn = 0(∀n∈ N ) Trong Sk = x1 + x2 (∀k∈ N ) Có S1 = x1 + x2 = 4; S2 = (x1 + x2 ) − 2x1x2 = 16 − = 14 Từ S3 = 4S2 − S1 = 52; S4 = 4S3 − S2 = 194; S5 = 724; S6 = 2702 Vì 0< − < nên 0< (2− 3)6 < hay 2701 (*) nên suy ra: a − > , b − > , c − > b−5 c−5 a−5 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho số dương, ta có: a b + b − ≥ a (1), + c − ≥ b (2) b −5 c −5 c + a − ≥ c (3)Cộng vế theo vế (1),(2) (3), ta có: Q ≥ 5.3 = 15 a −5 Dấu “=” xẩy ⇔ a = b = c = 25 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15 ⇔ a = b = c = 25 Bài 5: (1,0 điểm) Tìm giátrònhỏnhấ t củ a biể u thứ cA = ∙ Bài 5: Tìm giátrònhỏnhấ t củ a biể u thứ cA = x2 − 2x + 2011 x2 (với x ≠ 0) x2 − 2x + 2011 (với x ≠ 0) x2 * Cách 1: (Dùng kiến thức đại số lớp 8) Tốn 9- Hải Ninh Sưu tầm biên soạn-2013 Ơn thi vào 10 -Bài tập Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chun đề 6) 2  1 x − 2x + 2011 1 A= vớ i x ≠ 0) =1− 2× + 2011× ÷ =2011.t2 − 2t +1 (vớ i t = ≠ 0) ( x x x  x  1  =2011 t2 − 2×t × + + 1− 2÷ 2011 2011  2011     2010 2010  =2011 t − ≥ u"=" ⇔ t = ⇔ x = 2011 ; thõ a x ≠ 0÷ ÷ +  dấ 2011  2011 2011 2011   2010 y MinA = ⇔ x =2011 * Vậ 2011 * Cách 2: (Dùng kiến thức đại số 9) x2 − 2x + 2011 A= ( vớix ≠ 0) x2 ⇒ A.x2 = x2 − 2x + 2011⇔ ( A − 1) x2 + 2x − 2011= ( * ) ( coi đâ y làphương trình ẩ n x) 2011 (1) Nế u A − 1≠ (*) luô n làphương trình bậ c hai đố i vớ i ẩ n x x tồn phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆ / ≥ ⇔ 12 + 2011( A − 1) ≥ Từ(*): A − =0 ⇔ A =1 ⇔ x =   ÷ 2010  − b/ −1 −1 ⇔A≥ u "=" ⇔ (*) cónghiệ m ké px = = = = 2011 ; thõ a x ≠ 0÷ (2)  dấ 2011  a A − 2010 − ÷  2011  So sánh (1) (2) giá trò nhỏ A mà: 2010 MinA = ⇔ x =2011 2011 Bµi : ( ®iĨm ) Thanh Hóa-2011 Cho c¸c sè d¬ng x, y , z Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : x y z + + >2 y+z x+z x+ y Áp dơng B§T Cosi ta cã : y+z +1 y+z x+ y+z x 2x x ≤ = => ≥ x 2x y+z x+ y+z x+z +1 x+z x+ y+z y 2y y ≤ = => ≥ y 2y x+z x+ y+z y+x +1 y+x x+ y+z z 2z z ≤ = => ≥ z 2z y+x x+ y+z Céng vÕ víi vÕ ta cã : x + y+z y+ z = x x+ z = y y + x+z z 2( x + y + z ) ≥ = dÊu b»ng x¶y y+x x+ y+z x+y+z= Tốn 9- Hải Ninh Sưu tầm biên soạn-2013 Ơn thi vào 10 -Bài tập Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chun đề 6) y+ x = z V× x, y ,z > nªn x + y + z > vËy dÊu b»ng kh«ng thĨ x¶y x y z + + > víi mäi x, y , z > ( §pcm ) => y+z x+z y+x C©u 5: (0,5 ®iĨm) Bắc Giang 2011 Cho hai sè thùc d¬ng x, y tho¶ m·n: x + y − xy x + y + x y ( x + y ) − x y = ( ) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc M = x + y Câu 5: §Ỉt a = x+y = M; b = xy; a ≥ 4b Tõ gi¶ thiÕt cã:  a = 2b 2 a − 3ab − 3a 2b + 6b + 4ab − 4b3 = (a − 2b)( a − ab + 2b − 3b) = ⇔  2  a − ab + 2b − 3b = +) NÕu a =2b Th×: x+y = 2xy Mµ (x+y)2 ≥ 4xy nªn (x+y)2 ≥ 2( x + y ) ⇒ M = x + y ≥ 2;" = " : x = y = a − ab + 2b − 3b = ⇔ 2b − (a + 3)b + a = (1) +) NÕu a − ab + 2b − 3b = Gi¶ sư ∆ = (1) cã nghiƯm b tho¶ m·n b ≤ a2 th× b= (*) a + a2 ≤ ⇔ a − 2a − ≥ ⇔ a ≥ + 7;( Do : a > 0) vµ (a + 3) − 8a ≥ ⇔ ⇔ (a + + 2a 2)( a + − 2a 2) ≥ ⇔ a ≥ 2 −1 VËy a ≥ + (**) Tõ (*) vµ (**) suy a = M cã gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng x = y =1 Bài V (0,5 điểm) Hà Nội 2011.Với x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = 4x − 3x + + 2011 4x Bài 5: Cách 1: M = x − x + Vì (2 x − 1) ≥ x > ⇒  M = (2 x − 1) + ( x + 1 + 2011 = x − x + + x + + 2010 = (2 x − 1) + ( x + ) + 2010 4x 4x 4x 1 1 > , Áp dụng bdt Cosi cho số dương ta có: x + ≥ x = = 4x 4x 4x ) + 2010 ≥ + + 2010 = 2011 4x  x=    x=  2 x − =    1    ⇔  x = ⇔   x =  M ≥ 2011 ; Dấu “=” xảy   x = ⇔x = 4x 2     x > x >     x = −    x > Vậy Mmin = 2011 đạt x = Bài 5: Cách 2: Tốn 9- Hải Ninh Sưu tầm biên soạn-2013 Ơn thi vào 10 -Bài tập Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chun đề 6) M = x2 − 3x + 1 1  + 2011 =  x − x + ÷+ x + + + 2010 + 4x 4 8x 8x  1 1  M =  x − ÷ + x + + + + 2010 2 8x 8x  Áp dụng si cho ba số x , , ta có 8x 8x 1 1 x2 + + ≥ 33 x = Dấu ‘=’ xẩy x = 1/2 8x 8x 8x 8x 1  mà  x −  ≥ Dấu ‘=’ xẩy x = 1/2 2  Vậy M ≥ + + + 2010 = 2011 4 Vậy giá trị nhỏ M 2011 M =     < x − ÷ ÷  x2  x       1 1) Chứng minh : Với x > 1, ta ln có  x − ÷ <  x − ÷ (1) x  x       1        x − ÷ <  x − ÷ ⇔  x − ÷ x + ÷ <  x − ÷ x + + 1÷ x  x  x  x x  x      1 1    ⇔  x + ÷<  x + + ÷ (vì x > nên x − > 0) (2) x x x    1 2 Đặt x + = t x + = t − , ta có (2) ⇔ 2t − 3t − > ⇔ ( t − ) ( 2t + 1) > (3) x x 2 Vì x > nên ( x − 1) > ⇔ x + > 2x ⇔ x + > hay t > => (3) Vậy ta có đpcm x Nam Định 2011 ( 0,5đ)Chứng minh : Với x > 1, ta ln có  x − Tốn 9- Hải Ninh Sưu tầm biên soạn-2013 ... x + 1 + 2011 = x − x + + x + + 2 010 = (2 x − 1) + ( x + ) + 2 010 4x 4x 4x 1 1 > , Áp dụng bdt Cosi cho số dương ta có: x + ≥ x = = 4x 4x 4x ) + 2 010 ≥ + + 2 010 = 2011 4x  x=    x=  2 x... soạn-2013 Ơn thi vào 10 -Bài tập Bất đẳng thức, cực trị ( Phục vụ chun đề 6) M = x2 − 3x + 1 1  + 2011 =  x − x + ÷+ x + + + 2 010 + 4x 4 8x 8x  1 1  M =  x − ÷ + x + + + + 2 010 2 8x 8x... t2 − 2×t × + + 1− 2÷ 2011 2011  2011     2 010 2 010  =2011 t − ≥ u"=" ⇔ t = ⇔ x = 2011 ; thõ a x ≠ 0÷ ÷ +  dấ 2011  2011 2011 2011   2 010 y MinA = ⇔ x =2011 * Vậ 2011 * Cách 2: (Dùng