DE DAP AN TSDH Toan KHOI A-2002-2010.pdf

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn, bé gi¸o dơc đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao ĐẳnG năm 2002 -M«n thi : toán Đề thức (Thời gian làm bài: 180 phút) _ Câu I (ĐH : 2,5 điểm; CĐ : 3,0 điểm) Cho hàm số : y = x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m (1) ( m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = − x + x + k − 3k = cã ba nghiƯm ph©n biệt Tìm k để phơng trình: Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Câu II.(ĐH : 1,5 điểm; CĐ: 2,0 điểm) 2 log x + log x + − 2m − = Cho phơng trình : (2) ( m tham số) m = Giải phơng trình (2) Tìm m để phơng trình (2) có nghiệm thuộc đoạn [ ; 3 ] Câu III (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,0 điểm ) cos 3x + sin 3x   T×m nghiƯm thuộc khoảng (0 ; ) phơng trình: sin x +  = cos x + + sin x   TÝnh diện tích hình phẳng giới hạn đờng: y =| x − x + | , y = x + Câu IV.( ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 3,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC đỉnh S , có độ dài cạnh đáy a Gọi M N lần lợt trung điểm cạnh SB SC TÝnh theo a diƯn tÝch tam gi¸c AMN , biết mặt phẳng ( AMN ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai ®−êng th¼ng:  x = 1+ t  x − 2y + z − =  vµ ∆ :  y = + t ∆1 :  x + y − 2z + =  z = + 2t  a) Viết phơng trình mặt phẳng ( P) chứa đờng thẳng song song với đờng thẳng b) Cho điểm M (2;1;4) Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ Câu V.( ĐH : 2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông A , phơng trình đờng thẳng BC x y = 0, đỉnh A B thuộc trục hoành bán kính đờng tròn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G cđa tam gi¸c ABC Cho khai triĨn nhÞ thøc: n n n −1 n −1 −x −  x2   −x   x −1   x −1   − x   x −1  − x  n n  +  = C n  2  + C n  2    + L + C n −1  2   + C n                             ( n số nguyên dơng) Biết khai triển C n = 5C n số hạng thứ t 20n , tìm n x HÕt Ghi chó: 1) ThÝ sinh chØ thi cao đẳng không làm Câu V n 2) Cán coi thi không giải thích thêm Họ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, bé giáo dục đào tạo - C©u ý I Kú thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2002 Đáp án thang điểm môn toán khối A Nội dung ĐH m = ⇒ y = − x + 3x x = y' = ⇔  x2 = Tập xác định x R y ' = −3x + x = 3x( x 2) , CĐ 1,0 đ 1,5 ® 0,5® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ® y" = −6 x + = 0, 0,25 ® 0,5 ® y" = x = Bảng biến thiên −∞ x − y' + 0 + +∞ U C§ låi − − CT y lâm y" +∞ x = y=0⇔ , x = Đồ thị: y (1) = y -1 x ( Thí sinh lập bảng biến thiên) www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn, I C¸ch I Ta cã − x + x + k − 3k = ⇔ − x + x = −k + 3k §Ỉt a = − k + 3k Dùa vào đồ thị ta thấy phơng trình x + x = a cã nghiƯm ph©n biÖt ⇔ < a < ⇔ < − k + 3k <  −1 < k < 0≠k C¸ch II Ta cã − x + x + k − 3k = ⇔ ( x − k ) x + (k − 3) x + k − 3k ] = cã nghiƯm ph©n biƯt ⇔ f ( x) = x + (k − 3) x + k 3k = có nghiệm phân biệt khác k  ∆ = −3k + 6k + >  −1 < k < ⇔ ⇔  2 k ≠ ∧ k ≠ k + k − 3k + k − 3k ≠ [ 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® - - 0,25® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 1,0 đ 1,0 đ Cách I x = m −1 y' = ⇔   x2 = m + Ta thÊy x1 ≠ x y ' đổi dấu qua x1 x hàm số đạt cực trị x1 x y1 = y ( x1 ) = − m + 3m − vµ y = y ( x ) = − m + 3m + Phơng trình đờng thẳng qua điểm cực trị M m 1; m + 3m − vµ M m + 1;− m + 3m + lµ: ( ) ( ) x − m + y + m − 3m + = ⇔ y = 2x − m2 + m ' C¸ch II y = −3 x + 6mx + 3(1 − m ) = −3( x − m) + , Ta thÊy ∆' = 9m + 9(1 − m ) = > ⇒ y ' = cã nghiƯm x1 ≠ x vµ y ' đổi dấu qua x1 x hàm số đạt cực trị x1 x Ta cã y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m m 1 =  x −  − 3x + 6mx + − 3m + x − m + m 3 Từ ta có y1 = x1 − m + m vµ y = x − m + m VËy ph−¬ng trình đờng thẳng qua điểm cực trị y = x − m + m ( ) Víi m = ta cã log x + log x + − = 3 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® y ' = −3 x + 6mx + 3(1 − m ) = −3( x − m) + , II ∑ 0,5 ® ∑ 0,5 ® 0,25 ® - 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® ∑ 0,5 ® 1,0 đ 0,25 đ 0,5 đ Điều kiện x > Đặt t = log x + ≥ ta cã t −1+ t − = ⇔ t + t − = t = −3 ⇔1  t2 = 2 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn, t1 = −3 (lo¹i) , t = ⇔ log x = ⇔ log x = ± ⇔ x = ± 0,25 ® 0,5 ® x = ± tháa m·n ®iỊu kiƯn x > (Thí sinh giải trực tiếp đặt ẩn phụ kiểu khác) 1,0 đ 1,0 đ log x + log x + − 2m − = (2) 3 §iỊu kiện x > Đặt t = log x + ≥ ta cã t − + t − m − = ⇔ t + t − 2m − = (3) 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® - 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® x ∈ [1,3 ] ⇔ ≤ log x ≤ ⇔ ≤ t = log x + ≤ VËy (2) cã nghiÖm ∈ [1,3 ] vµ chØ (3) cã nghiƯm ∈ [ 1,2 ] Đặt f (t ) = t + t Cách Hàm số f (t ) hàm tăng đoạn [1; 2] Ta có f (1) = f (2) = Phơng tr×nh t + t = 2m + ⇔ f (t ) = 2m + cã nghiÖm ∈ [1;2]  f (1) ≤ 2m + 2 ≤ m + ⇔ ⇔ ⇔ ≤ m ≤  f (2) ≥ 2m + 2 m + Cách TH1 Phơng trình (3) cã nghiÖm t1 ,t tháa m·n < t1 ≤ t < t +t Do = < nên không tồn m 2 TH2 Phơng trình (3) cã nghiÖm t1 ,t tháa m·n t1 ≤ ≤ t ≤ hc ≤ t1 ≤ ≤ t ⇔ −2m(4 − 2m ) ≤ ⇔ ≤ m ≤ (ThÝ sinh dùng đồ thị, đạo hàm đặt Èn phơ kiĨu kh¸c ) III cos x + sin 3x    sin x +  = cos x + §iỊu kiÖn sin x ≠ − + sin x   cos 3x + sin x   sin x + sin x sin x + cos x + sin x   Ta cã  sin x +   = 5 + sin x  + sin x     sin x + cos x − cos x + cos x + sin x   (2 sin x + 1) cos x  =5   =5  = cos x + sin x    + sin x  VËy ta cã: cos x = cos x + ⇔ cos x − cos x + = π cos x = (loại) cos x = x = ± + 2kπ (k ∈ Z ) ∑1,0 ® ∑1,0 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn, 5π π vµ x = Ta thÊy x1 , x tháa m·n ®iỊu 3 5π π kiÖn sin x ≠ − Vậy nghiệm cần tìm là: x1 = x = 3 (ThÝ sinh cã thÓ sử dụng phép biến đổi khác) Vì x (0 ; 2π ) nªn lÊy x1 = y 0,25 ® 0,25 ® ∑1,0 ® ∑1,0 ® -1 -1 x Ta thấy phơng trình | x x + |= x + cã nghiÖm x1 = x = Mặt khác | x − x + |≤ x + ∀ x ∈ [0;5] VËy ( ) ( ) ( 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25® 0,25® ∑1® ∑1® ) S = ∫ x + 3− | x − x + | dx = ∫ x + − x + x − dx + ∫ x + + x − x + dx 0 ( ) + ∫ x + − x + x − dx ( ) ( ) ( ) S = ∫ − x + x dx + ∫ x − x + dx + ∫ − x + x dx 1 3 5    1   S =  − x3 + x  +  x3 − x + 6x  +  − x3 + x  0 3 2 3  1  13 26 22 109 S= + + = (®.v.d.t) 3 (Nếu thí sinh vẽ hình không thiết phải nêu bất đẳng thức | x x + |≤ x + ∀ x ∈ [0;5] ) IV www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, S N I M A C 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® K B Gäi K lµ trung ®iĨm cđa BC I = SK MN Từ giả thiết a ⇒ MN = BC = , MN // BC I trung điểm SK MN 2 Ta cã ∆SAB = ∆SAC ⇒ hai trung tuyến tơng ứng AM = AN AMN cân t¹i A ⇒ AI⊥MN (SBC )⊥( AMN )  (SBC ) ∩ ( AMN ) = MN  MỈt kh¸c  ⇒ AI⊥(SBC ) ⇒ AI⊥SK AI ⊂ ( AMN )   AI⊥MN  Suy ∆SAK cân A SA = AK = a 3a a a SK = SB − BK = − = 4 2 2  SK  ⇒ AI = SA − SI = SA −   =   Ta cã S ∆AMN 3a a a 10 − = a 10 = MN AI = (®vdt) 16 chó ý 1) Cã thĨ chøng minh AI⊥MN nh− sau: BC⊥(SAK ) ⇒ MN⊥(SAK ) ⇒ MN⊥AI 2) Có thể làm theo phơng pháp tọa độ: Chẳng hạn chọn hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho a   a   −a   −a  K (0;0;0), B ;0;0 , C  − ;0;0 , A 0; ;0 , S  0; ;h    2         ®ã h độ dài đờng cao SH hình chóp S ABC www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn, 2a) C¸ch I Phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng cã d¹ng: α (x − y + z − 4) + β (x + y − z + 4) = ( α + β ≠ ) ⇔ (α + β )x − (2α − β ) y + (α − β )z − 4α + β = r r VËy n P = (α + β ;−2α + β ;α − β ) Ta cã u = (1;1;2 ) // ∆ vµ M (1;2;1) ∈ ∆ r r  n P u = α − β = (P ) // ∆ ⇔  VËy (P ) : x − z = ⇔ M (1;2;1) ∉ (P )  M ∉ (P ) ∑ 0,5 ® ∑1,0 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® - 0,5 ® - 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® ∑ 0,5 ® ∑1,0 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 đ Ta chuyển phơng trình sang d¹ng tham sè nh− sau:  x = 2t ' Từ phơng trình suy x z = Đặt x = 2t ' ∆ :  y = 3t '−2  z = 4t '  r ⇒ M (0;−2;0) ∈ ∆ , u1 = (2;3;4) // ∆ (Ta tìm tọa độ điểm M ∆ b»ng c¸ch cho x = ⇒ y = −2 z = C¸ch II r −2 1 1 −2  vµ tÝnh u1 =   − ; − ;  = (2;3;4) )   r Ta cã u = (1;1;2 ) // ∆ Tõ ta có véc tơ pháp mặt phẳng (P) lµ : r r r n P = [u1 , u ] = (2;0;1) Vậy phơng trình mặt phẳng (P) qua M (0;2;0 ) r ⊥ n P = (2;0;−1) lµ: x − z = Mặt khác M (1;2;1) (P ) phơng trình mặt phẳng cần tìm là: x − z = 2b) b)C¸ch I H ∈ ∆ ⇒ H (1 + t ,2 + t ,1 + 2t ) ⇒ MH = (t − 1; t + 1;2t − 3) ⇒ MH = (t − 1) + (t + 1) + (2t − 3) = 6t − 12t + 11 = 6(t − 1) + đạt giá trị nhỏ t = ⇒ H (2;3;3) C¸ch II H ∈ ∆ ⇒ H (1 + t ;2 + t ;1 + 2t ) r MH nhá nhÊt ⇔ MH⊥∆ ⇔ MH u = ⇔ t = ⇒ H (2;3;4) V 2 2 Ta cã BC I Ox = B(1;0 ) Đặt x A = a ta có A(a; o) ( 1đ ) xC = a y C = 3a − VËy C a; 3a −   2a + (a − 1)   xG = ( x A + x B + x C )  Tõ c«ng thøc  ta cã G  ;     yG = ( y A + y B + yC )  C¸ch I Ta cã : AB =| a − |, AC = | a − |, BC = | a − | Do ®ã 0,25 ® www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, S ∆ABC = Ta cã VËy (a − 1)2 AB AC = 2 2S (a − 1) | a −1| = r= = = AB + AC + BC | a − | + | a − | +1 | a − |= + 0,25 ® 0,25 ® 7+4 6+2 3  ; TH1 a1 = + ⇒ G1   3     − −1 − −   ; TH2 a = −2 − ⇒ G2    3   C¸ch II y C 0,25 ® - I O B A x Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp ABC Vì r = ⇒ y I = ±2 x −1 ⇒ xI = Phơng trình BI : y = tg 30 0.( x − 1) = TH1 Nếu A O khác phía B ⇒ x I = + Tõ d ( I , AC ) = 7+4 6+2 3  ⇒ a = x I + = + ⇒ G1  ;  3    TH NÕu A vµ O cïng phÝa ®èi víi B ⇒ x I = − T−¬ng tù  − −1 − −   ; ta cã a = x I − = −1 − ⇒ G2    3   0,25 ® 0,25 ® ∑1 ® Tõ 0,25 ® C n = 5C n ta cã n ≥ vµ www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, n! n! n(n − 1)(n − 2) =5 ⇔ = 5n ⇔ n − 3n − 28 = (n − 1)! 3!(n − 3)! ⇒ n1 = −4 (lo¹i) hc n2 = Víi n = ta cã −  x2  2  C     0,25 ® 0,25 ®  −3x    = 140 ⇔ 35.2 x −2.2 − x = 140 ⇔ x − = ⇔ x =     0,5 ® www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Bé giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 M«n thi : toán khối A đề thức Thời gian lµm bµi : 180 _ mx + x + m (1) (m tham số) x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hoành độ dơng Câu (2 điểm) cos x 1) Giải phơng trình cotgx − = + sin x − sin x + tgx 1  x = y x y 2) Giải hệ phơng tr×nh   y = x + Câu (3 điểm) 1) Cho hình lập phơng ABCD A ' B ' C ' D ' Tính số đo góc phẳng nhị diện [B, A' C , D ] 2) Trong kh«ng gian víi hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp ch÷ nhËt ABCD A ' B ' C ' D ' cã A trïng víi gèc cđa hƯ täa ®é, B (a; 0; 0), D(0; a; 0), A '(0; 0; b) (a > 0, b > 0) Gäi M trung điểm cạnh CC ' a) Tính thể tÝch khèi tø diƯn BDA ' M theo a vµ b a b) Xác định tỷ số để hai mặt phẳng ( A ' BD) ( MBD) vuông góc với b Câu ( điểm) y= Câu (2 điểm) Cho hàm số n 1) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn + x  , biÕt r»ng  x  n+ n C n + − C n + = 7(n + 3) k ( n lµ số nguyên dơng, x > 0, C n số tổ hợp chập k n phần tử) 2) TÝnh tÝch ph©n I= ∫ dx x x +4 Câu (1 điểm) Cho x, y, z ba số dơng x + y + z ≤ Chøng minh r»ng 1 x2 + + y2 + + z2 + ≥ x2 y2 z2 82 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− HÕT −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Ghi chó: C¸n bé coi thi không giải thích thêm Họ tên thÝ sinh: …………………………… …… Sè b¸o danh: …………… www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, ĐÁP ÁN Tài Liệu - ĐIỂM BỘwww.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - – THANG Phần Mềm Toán, GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Mơn thi: TỐN, khối A ĐỀ CHÍNH THỨC (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang) Câu I Nội dung Điểm 2,00 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1,00 điểm) x2 + x − Khi m = hàm số trở thành: y = = x−2+ x+3 x +3 • TXĐ: D = \ {−3} • Sự biến thiên: y ' = − 0,25 ⎡ x = −1 x + 6x + , y' = ⇔ ⎢ = 2 (x + 3) (x + 3) ⎣ x = −5 • yCĐ = y ( −5 ) = −9 , yCT = y ( −1) = −1 0,25 • TCĐ: x = −3 , TCX: y = x − • Bảng biến thiên: x −∞ y’ + −5 −9 −1 −3 − − +∞ + +∞ 0,25 +∞ y • Đồ thị: −∞ −∞ −1 y -5 -3 -1 O -1 x -2 0,25 -9 Tìm giá trị tham số m (1,00 điểm) mx + (3m − 2)x − 6m − = mx − + y= x + 3m x + 3m • Khi m = đồ thị hàm số không tồn hai tiệm cận • Khi m ≠ đồ thị hàm số có hai tiệm cận : d1: x = −3m ⇔ x + 3m = 0, d2: y = mx − ⇔ mx − y − = 0,25 0,25 Vectơ pháp tuyến d1, d2 n1 = (1;0) , n = (m; − 1) Góc d1 d2 45o cos450 = n1.n n1 n = m m2 + ⇔ m = ⇔ m = ± m2 + www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Trang 1/5 0,50 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, II 2,00 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) 3π Điều kiện sin x ≠ sin(x − ) ≠ 1 + = −2 2(s inx + cosx) Phương trình cho tương đương với: 0,50 s inx cosx ⎛ ⎞ ⇔ (s inx + cosx) ⎜ + 2 ⎟ = ⎝ s inxcosx ⎠ π • s inx + cosx = ⇔ x = − + kπ π 5π • ⇔ x = − + kπ x = + kπ + 2 = ⇔ sin 2x = − s inxcosx 8 Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình : π π 5π + kπ (k ∈ ) x = − + kπ ; x = − + kπ ; x = 8 Giải hệ (1,00 điểm) 5 ⎧ ⎧ 2 ⎪ x + y + x y + xy + xy = − ⎪ x + y + xy + xy ( x + y ) = − ⎪ ⎪ ⇔⎨ (∗) ⎨ ⎪ x + y + xy(1 + 2x) = − ⎪(x + y) + xy = − ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 4 ⎧ ⎪ u + v + uv = − ⎧u = x + y ⎪ Hệ phương trình (∗) trở thành ⎨ Đặt ⎨ ⎩ v = xy ⎪u + v = − ⎪ ⎩ 5 ⎧ ⎡ ⎪v = − − u ⎢ u = 0, v = − ⎪ ⇔⎨ ⇔ ⎢ ⎢u = − , v = − ⎪u + u + u = ⎢ ⎪ ⎩ ⎣ 2 ⎧x + y = 5 25 ⎪ • Với u = 0, v = − ta có hệ pt ⎨ ⇔ x = y = − 4 16 ⎪ xy = − ⎩ • Với u = − , v = − ta có hệ phương trình 2 ⎧ ⎧2x + x − = ⎪ x − 2x + = ⎪ ⎪ ⇔ x = y = − ⇔⎨ ⎨ ⎪y = − ⎪y = − ⎩ 2x ⎪ ⎩ 2x ⎛ 25 ⎞ 3⎞ ⎛ Hệ phương trình có nghiệm : ⎜ ; − ⎟ ⎜1; − ⎟ ⎜ ⎟ 16 ⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ III 0,50 0,50 0,50 2,00 Tìm toạ độ hình chiếu vng góc A d (1,00 điểm) Đường thẳng d có vectơ phương u ( 2;1; ) Gọi H hình chiếu vng góc A d, suy H(1 + 2t ; t ; + 2t) AH = (2t − 1; t − 5; 2t − 1) Vì AH ⊥ d nên AH u = ⇔ 2(2t – ) + t – + 2(2t – 1) = ⇔ t = Suy H ( 3;1; ) www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Trang 2/5 0,50 0,50 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn, Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d cho (1,00 điểm) Gọi K hình chiếu vng góc A mặt phẳng (α) Ta có d(A, (α) ) = AK ≤ AH (tính chất đường vng góc đường xiên) Do khoảng cách từ A đến (α) lớn AK = AH, hay K ≡ H Suy (α) qua H nhận vectơ AH = (1 ; – ; 1) làm vectơ pháp tuyến 0,50 0,50 Phương trình (α) 1(x − 3) − 4(y − 1) + 1(z − 4) = ⇔ x − 4y + z − = IV 2,00 Tính tích phân (1,00 điểm) π I= π tg x tg x dx = ∫ dx ∫ cos 2x 2 0 (1 − tg x ) cos x 0,25 dx π Với x = t = ; với x = t = Đặt t = tgx ⇒ dt = cos x Suy I= ∫ t dt = − ∫ t + dt + ∫ 1− t 20 = ( ) ( ⎛ t3 t +1 ⎞ ⎞ ⎛ − ⎟ ⎜ ⎟ dt = ⎜ − − t + ln t −1 ⎠ ⎝ t +1 t −1 ⎠ ⎝ ) 10 ln + − 0,50 0,25 Tìm giá trị m (1,00 điểm) Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt vế trái phương trình f (x) , x ∈ [ 0; 6] Ta có f '(x) = (2x)3 + 1 − − 2x (6 − x)3 6−x 1⎛ 1 = ⎜ − ⎜ (2x) (6 − x)3 ⎝ ⎛ 1 Đặt u(x) = ⎜ − ⎜ (2x)3 (6 − x)3 ⎝ ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟+⎜ − ⎟, ⎟ ⎝ 2x 6−x ⎠ ⎠ x ∈ (0;6) 0,50 ⎞ ⎞ ⎛ ⎟ , v(x) = ⎜ − ⎟ ⎟ 6−x ⎠ ⎝ 2x ⎠ Ta thấy u ( ) = v ( ) = ⇒ f '(2) = Hơn u(x), v(x) dương khoảng ( 0; ) âm khoảng ( 2;6 ) Ta có bảng biến thiên: x f’(x) + f(x) + 6 − +6 0,50 12 + Suy giá trị cần tìm m là: + ≤ m < + www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Trang 3/5 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, V.a 2,00 Viết phương trình tắc elíp (1,00 điểm) x y2 Gọi phương trình tắc elíp (E) là: + = , a > b > a b ⎧c ⎪ = ⎪a ⎪ Từ giả thiết ta có hệ phương trình: ⎨2 ( 2a + 2b ) = 20 ⎪ 2 ⎪c = a − b ⎪ ⎩ 0,50 Giải hệ phương trình tìm a = b = Phương trình tắc (E) 0,50 x y2 + = Tìm số lớn số a , a1 , , a n (1,00 điểm) Đặt f ( x ) = (1 + 2x ) = a + a1x + + a n x n ⇒ a + n a1 a ⎛1⎞ + + n = f ⎜ ⎟ = 2n n 2 ⎝2⎠ 0,50 Từ giả thiết suy 2n = 4096 = 212 ⇔ n = 12 k k Với k ∈ {0,1, 2, ,11} ta có a k = 2k C12 , a k +1 = 2k +1 C12+1 k ak 2k C12 23 k +1 < ⇔ k +1 k +1 < ⇔ ⇔ k > Do a > a > > a12 a k +1 0,50 Số lớn số a , a1 , , a12 a = 28 C12 = 126720 V.b 2,00 Giải phương trình logarit (1,00 điểm)) Điều kiện: x > x ≠ Phương trình cho tương đương với log 2x −1 (2x − 1)(x + 1) + log x +1 (2x − 1) = 0,50 ⇔ + log 2x −1 (x + 1) + log x +1 (2x − 1) = Đặt t = log 2x −1 (x + 1), ta có t + ⎡t = = ⇔ t − 3t + = ⇔ ⎢ t ⎣ t = • Với t = ⇔ log 2x −1 (x + 1) = ⇔ 2x − = x + ⇔ x = ⎡ x = (loại) ã Vi t = log2x (x + 1) = ⇔ (2x − 1)2 = x + ⇔ ⎢ ⎢ x = (tháa m·n) ⎣ Nghiệm phương trình là: x = x = www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Trang 4/5 0,50 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn, Tính thể tích tính góc (1,00 điểm) A' C' B' A C H B Gọi H trung điểm BC 1 Suy A ' H ⊥ (ABC) AH = BC = a + 3a = a 2 0,50 Do A 'H = A 'A − AH = 3a ⇒ A 'H = a a3 (đvtt) Vậy VA '.ABC = A'H.SΔABC = Trong tam giác vuông A 'B' H có: HB' = A 'B'2 + A 'H = 2a nên tam giác B' BH cân B' Đặt ϕ góc hai đường thẳng AA ' B'C ' ϕ = B ' BH Vậy cosϕ = 0,50 a = 2.2a Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà đủ điểm phần đáp án quy định -Hết - www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Trang 5/5 BỘ www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn thi: TỐN; Khối: A ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm): Câu I (2,0 điểm) x+2 Cho hàm số y = (1) 2x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A , B tam giác OAB cân gốc toạ độ O Câu II (2,0 điểm) (1 − 2sin x ) cos x = Giải phương trình (1 + 2sin x )(1 − sin x ) Giải phương trình 3x − + − x − = ( x ∈ Câu III (1,0 điểm) ) π Tính tích phân I = ∫ ( cos3 x − 1) cos x dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a , CD = a; góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD ) 60 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x ( x + y + z ) = yz , ta có: ( x + y) + ( x + z) + ( x + y )( x + z )( y + z ) ≤ ( y + z ) PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6;2) giao điểm hai đường 3 chéo AC BD Điểm M (1;5 ) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng Δ : x + y − = Viết phương trình đường thẳng AB Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (S ) : x ( P ) : x − y − z − = phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) mặt cầu + y + z − x − y − z − 11 = Chứng minh mặt đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn Câu VII.a (1,0 điểm) 2 theo 2 Gọi z1 z hai nghiệm phức phương trình z + z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : x + y + x + y + = đường thẳng Δ : x + my − 2m + = 0, với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn ( C ) Tìm m để Δ cắt ( C ) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = hai đường thẳng x +1 y z + x −1 y − z +1 = = = = , Δ2 : Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng Δ1 cho −2 1 khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) Câu VII.b (1,0 điểm) ⎧log ( x + y ) = + log ( xy ) ⎪ Giải hệ phương trình ⎨ ( x, y ∈ ) ⎪3x − xy + y = 81 ⎩ Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Δ1 : Họ tên thí sinh: ; Số báo danh www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn: TỐN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Khảo sát… • Tập xác định: D = • Sự biến thiên: ⎧ 3⎫ \ ⎨− ⎬ ⎩ 2⎭ - Chiều biến thiên: y ' = −1 ( x + 3) < 0, ∀x ∈ D 0,25 3⎞ ⎛ ⎛ ⎞ Hàm số nghịch biến trên: ⎜ −∞; − ⎟ ⎜ − ; +∞ ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝ ⎠ - Cực trị: - Giới hạn tiệm cận: lim y = lim y = x →−∞ x →+∞ 1 ; tiệm cận ngang: y = 2 lim − y = −∞, lim + y = +∞ ; tiệm cận đứng: x = − ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ x →⎜ − ⎟ x →⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ 0,25 ⎝ 2⎠ - Bảng biến thiên: x −∞ y' y − − +∞ +∞ − 0,25 −∞ • Đồ thị: x=− y= y 0,25 O x (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến… Tam giác OAB vng cân O, suy hệ số góc tiếp tuyến ±1 Gọi toạ độ tiếp điểm ( x0 ; y0 ) , ta có: −1 = ±1 ⇔ x0 = −2 x0 = −1 (2 x0 + 3) 0,25 0,25 • x0 = −1 , y0 = ; phương trình tiếp tuyến y = − x (loại) 0,25 • x0 = −2 , y0 = ; phương trình tiếp tuyến y = − x − (thoả mãn) Vậy, tiếp tuyến cần tìm: y = − x − 0,25 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Trang 1/4 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Câu II (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Giải phương trình… (*) Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: (1 − 2sin x)cos x = 3(1 + 2sin x)(1 − sin x) Điều kiện: sin x ≠ sin x ≠ − 0,25 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ cos x − sin x = sin x + cos x ⇔ cos ⎜ x + ⎟ = cos ⎜ x − ⎟ 3⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ π π 2π ⇔ x = + k 2π x = − + k 18 0,25 Kết hợp (*), ta nghiệm: x = − π 18 +k 2π (k ∈ ) 0,25 0,25 (1,0 điểm) Giải phương trình… ⎧2u + 3v = Đặt u = 3 x − v = − x , v ≥ (*) Ta có hệ: ⎨ ⎩5u + 3v = 8 − 2u ⎧ − 2u ⎧ ⎪v = ⎪v = ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 3 ⎪(u + 2)(15u − 26u + 20) = ⎪15u + 4u − 32u + 40 = ⎩ ⎩ 0,25 0,25 ⇔ u = −2 v = (thoả mãn) Thế vào (*), ta nghiệm: x = −2 III 0,25 0,25 Tính tích phân… (1,0 điểm) π π 2 0 0,25 I = ∫ cos5 xdx − ∫ cos x dx Đặt t = sin x, dt = cos xdx; x = 0, t = 0; x = π 0 , t = π π I1 = ∫ cos5 xdx = ∫ (1 − sin x ) cos xdx = ∫ (1 − t π ) 2 π 1 ⎞ ⎛ dt = ⎜ t − t + t ⎟ = ⎠ 15 ⎝ π 12 1⎛ π ⎞2 π I = ∫ cos x dx = ∫ (1 + cos x ) dx = ⎜ x + sin x ⎟ = Vậy I = I1 − I = − 20 2⎝ 15 ⎠0 IV 0,50 0,25 Tính thể tích khối chóp (1,0 điểm) ( SIB ) ⊥ ( ABCD) ( SIC ) ⊥ ( ABCD); suy SI ⊥ ( ABCD) S Kẻ IK ⊥ BC ( K ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ ( SIK ) ⇒ SKI = 60 A B 0,50 I D C K Diện tích hình thang ABCD : S ABCD = 3a 3a 3a ; suy S ΔIBC = 2 2S 5a 15a ⇒ SI = IK tan SKI = BC = ( AB − CD ) + AD = a ⇒ IK = ΔIBC = BC 5 15a Thể tích khối chóp S ABCD : V = S ABCD SI = Tổng diện tích tam giác ABI CDI www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Trang 2/4 0,25 0,25 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Câu V (1,0 điểm) Đáp án Điểm Chứng minh bất đẳng thức… Đặt a = x + y, b = x + z c = y + z Điều kiện x( x + y + z ) = yz trở thành: c = a + b − ab Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: a3 + b3 + 3abc ≤ 5c3 ; a, b, c dương thoả mãn điều kiện c = a + b − ab = (a + b) − 3ab ≥ (a + b) − (a + b) = (a + b) ⇒ a + b ≤ 2c (1) 4 0,25 0,25 a + b3 + 3abc ≤ 5c ⇔ (a + b)(a + b − ab) + 3abc ≤ 5c ⇔ (a + b)c + 3abc ≤ 5c ⇔ (a + b)c + 3ab ≤ 5c 0,25 (1) cho ta: (a + b)c ≤ 2c 3ab ≤ (a + b) ≤ 3c ; từ suy điều phải chứng minh Dấu xảy khi: a = b = c ⇔ x = y = z VI.a (2,0 điểm) 0,25 (1,0 điểm) Viết phương trình AB Gọi N đối xứng với M qua I , suy N (11; −1) N thuộc đường thẳng CD A M B I D E N 0,25 E ∈ Δ ⇒ E ( x;5 − x ) ; IE = ( x − 6;3 − x ) NE = ( x − 11;6 − x) E trung điểm CD ⇒ IE ⊥ EN C IE.EN = ⇔ ( x − 6)( x − 11) + (3 − x)(6 − x) = ⇔ x = x = 0,25 • x = ⇒ IE = ( 0; −3) ; phương trình AB : y − = 0,25 • x = ⇒ IE = (1; −4 ) ; phương trình AB : x − y + 19 = 0,25 (1,0 điểm) Chứng minh ( P) cắt ( S ), xác định toạ độ tâm tính bán kính… ( S ) có tâm I (1;2;3), bán kính R = Khoảng cách từ I đến ( P) : d ( I ,( P) ) = 2− 4−3− = < R; suy đpcm 0,25 Gọi H r tâm bán kính đường trịn giao tuyến, H hình chiếu vng góc I ( P) : IH = d ( I ,( P) ) = 3, r = R − IH = 0,25 ⎧ x = + 2t ⎪ y = − 2t ⎪ Toạ độ H = ( x; y; z ) thoả mãn: ⎨ ⎪z = − t ⎪ ⎩ x − y − z − = Giải hệ, ta H (3; 0; 2) VII.a (1,0 điểm) 0,25 0,25 Tính giá trị biểu thức… Δ = −36 = 36i , z1 = −1 + 3i z2 = −1 − 3i 0,25 | z1 | = (−1)2 + 32 = 10 | z2 | = (−1)2 + (−3)2 = 10 0,50 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Trang 3/4 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Câu Đáp án Điểm A = | z1 | + | z2 | = 20 VI.b (2,0 điểm) 0,25 (1,0 điểm) Tìm m (C ) có tâm I (−2; −2), bán kính R = 0,25 1 IA.IB.sin AIB ≤ R = 1; S lớn IA ⊥ IB 2 −2 − m − m + R =1 ⇔ Khi đó, khoảng cách từ I đến Δ : d ( I , Δ) = =1 + m2 Diện tích tam giác IAB : S = ⇔ (1 − 4m ) = + m ⇔ m = m = 15 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M Δ qua A(1;3; −1) có vectơ phương u = (2;1; −2) M ∈ Δ1 ⇒ M (−1 + t ; t; −9 + 6t ) 0,25 ⎡ ⎤ MA = (2 − t ;3 − t ;8 − 6t ), ⎣ MA, u ⎦ = (8t − 14; 20 − 14t ; t − 4) ⇒ ⎡ MA, u ⎤ = 29t − 88t + 68 ⎣ ⎦ Khoảng cách từ M đến Δ : d ( M , Δ ) = ⎡ MA, u ⎤ ⎣ ⎦ = 29t − 88t + 68 u Khoảng cách từ M đến ( P ) : d ( M ,( P) ) = 29t − 88t + 68 = 11t − 20 t = ⇒ M (0;1; −3); t = VII.b (1,0 điểm) −1 + t − 2t + 12t − 18 − 1 + ( −2 ) + 2 2 = ⇔ 35t − 88t + 53 = ⇔ t = t = 11t − 20 0,25 53 35 53 ⎛ 18 53 ⎞ ⇒ M ⎜ ; ; ⎟ 35 ⎝ 35 35 35 ⎠ 0,25 0,25 Giải hệ phương trình… ⎧ x + y = xy ⎪ Với điều kiện xy > (*), hệ cho tương đương: ⎨ 2 ⎪ x − xy + y = ⎩ ⎧x = y ⎧x = y ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎩ y = ±2 ⎩y = 0,25 0,50 Kết hợp (*), hệ có nghiệm: ( x; y ) = (2;2) ( x; y ) = (−2; −2) -Hết - www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Trang 4/4 0,25 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Mơn: TỐN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều 2 kiện x12 + x2 + x3 < Câu II (2,0 điểm) π⎞ ⎛ (1 + sin x + cos x) sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ = Giải phương trình cos x + tan x 2 Giải bất phương trình x− 1− x 2( x − x + 1) ≥ 1 x2 + e x + x2e x ∫ + 2e x dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a ⎧(4 x + 1) x + ( y − 3) − y = ⎪ (x, y ∈ R) Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ 4x2 + y2 + − 4x = ⎪ ⎩ II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y = d2: x − y = Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC vng B Viết điểm A có hồnh độ dương phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích x −1 y z + = = mặt phẳng (P): x − 2y + z = Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: −1 Gọi C giao điểm ∆ với (P), M điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần ảo số phức z, biết z = ( + i ) (1 − i ) B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y − = Tìm toạ độ đỉnh B C, biết điểm E(1; −3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho x+2 y−2 z +3 = = Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) đường thẳng ∆: Tính khoảng cách từ A đến ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ hai điểm B C cho BC = (1 − 3i )3 Câu VII.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm mơđun số phức z + i z 1− i - Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Mơn: TỐN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Khi m = 1, ta có hàm số y = x3 − 2x2 + • Tập xác định: R 0,25 • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' = 3x2 − 4x; y '( x) = ⇔ x = x = ⎛4 ⎞ Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) ⎜ ; + ∞ ⎟ ; nghịch biến khoảng ⎝ ⎠ - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0; yCĐ = 1, đạt cực tiểu x = ; yCT = − 27 - Giới hạn: lim y = − ∞ ; lim y = + ∞ x→ − ∞ - Bảng biến thiên: ⎛ 4⎞ ⎜ 0; ⎟ ⎝ 3⎠ 0,25 x→ + ∞ x −∞ + y' 0 y − • Đồ thị: + 0,25 +∞ − −∞ +∞ 27 y 0,25 O − 27 x (1,0 điểm) Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 − 2x2 + (1 − m)x + m = ⇔ (x − 1)(x2 − x − m) = ⇔ x = x2 − x − m = (*) 0,25 Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt, phương trình (*) có nghiệm phân biệt, khác 0,25 Ký hiệu g(x) = x2 − x − m; x1 = 1; x2 x3 nghiệm (*) ⎧∆ > ⎪ Yêu cầu toán thỏa mãn khi: ⎨ g (1) ≠ ⎪ 2 ⎩ x2 + x3 < ⎧1 + 4m > ⎪ ⇔ ⎨−m ≠ ⇔ − < m < m ≠ ⎪1 + 2m < ⎩ Trang 1/4 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, 0,25 0,25 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Câu II (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Điều kiện: cosx ≠ + tanx ≠ Khi đó, phương trình cho tương đương: π⎞ ⎛ sin ⎜ x + ⎟ (1 + sinx + cos2x) = (1 + tanx)cosx 4⎠ ⎝ sin x + cos x cos x ⇔ sinx + cos2x = cos x ⇔ (sinx + cosx)(1 + sinx + cos2x) = ⇔ 2sin2x − sinx − = ⇔ sinx = (loại) sinx = − ⇔ x=− π + k2π x = 0,25 0,25 0,25 7π + k2π (k ∈ Z) 0,25 (1,0 điểm) Điều kiện: x ≥ 2( x − x + 1) = Ta có: x + ( x − 1) + > 1, suy − Do đó, bất phương trình cho tương đương với: Mặt khác 2( x − x + 1) = 2( x − x + 1) ≤ − x + 2(1 − x) + 2( x ) ≥ − x + 2( x − x + 1) = − x + (1) ⇔ x 0,25 (1) 0,25 x (2), đó: x (3) Để ý rằng: + Dấu (2) xảy khi: − x = x kéo theo − x + + 1−x = 2( x − x + 1) < x đồng thời − x + x ≥ x ≥ 0, đó: (3) ⇔ − x = x ⎧x ≤ ⎧1 − x ≥ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎪(1 − x) = x ⎪ x − 3x + = ⎩ ⎩ III (1,0 điểm) 0,25 3− , thỏa mãn điều kiện x ≥ ⇔ x = 1 ⎛ ex ⎞ ex I = ∫ ⎜ x2 + dx = ∫ x dx + ∫ dx ⎟ x ⎜ + 2e x ⎟ ⎠ ⎝ 0 + 2e Ta có: ∫ x dx = x ex ∫ + 2e x dx = ∫ = 0,25 0,25 0,25 d(1 + 2e x ) , suy ra: + 2e x 0,25 1 1 1 + 2e 1 + 2e I = + ln(1 + 2e x ) = + ln = + ln 3 2 3 S IV (1,0 điểm) K N A M H D • Thể tích khối chóp S.CDNM SCDNM = SABCD − SAMN − SBCM 1 = AB2 − AM.AN − BC.BM 2 2 a a 5a = a2 − − = 8 VS.CDNM = a3 SCDNM.SH = 24 C B • Khoảng cách hai đường thẳng DM SC ∆ADM = ∆DCN ⇒ ADM = DCN ⇒ DM ⊥ CN, kết hợp với DM ⊥ SH, suy DM ⊥ (SHC) Hạ HK ⊥ SC (K ∈ SC), suy HK đoạn vng góc chung DM SC, đó: d(DM, SC) = HK Trang 2/4 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, 0,25 0,25 0,25 0,25 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Câu Đáp án Ta có: HC = V (1,0 điểm) 2a CD = HK = CN SH HC SH + HC Điểm = 3a 3a , đó: d(DM, SC) = 19 19 ; y≤ Phương trình thứ hệ tương đương với: (4x2 + 1).2x = (5 − 2y + 1) − y (1) Điều kiện: x ≤ 0,25 0,25 Nhận xét: (1) có dạng f(2x) = f( − y ), với f(t) = (t2 + 1)t Ta có f ' (t) = 3t2 + > 0, suy f đồng biến R Do đó: (1) ⇔ 2x = 0,25 ⎧x ≥ ⎪ − 2y ⇔ ⎨ − x2 ⎪y = ⎩ ⎛5 ⎞ Thế vào phương trình thứ hai hệ, ta được: 4x + ⎜ − x ⎟ + − 4x −7 = (3) ⎝2 ⎠ Nhận thấy x = x = nghiệm (3) 0,25 ⎛5 ⎞ ⎛ 3⎞ Xét hàm g(x) = 4x + ⎜ − x ⎟ + − 4x − 7, khoảng ⎜ 0; ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎛5 ⎞ g '( x) = 8x − 8x ⎜ − x ⎟ − ⎝ ⎠ − 4x = 4x (4x2 − 3) − − 4x < 0, suy hàm g(x) nghịch biến ⎛1⎞ Mặt khác g ⎜ ⎟ = 0, (3) có nghiệm x = ; suy y = 2 ⎝2⎠ ⎛1 ⎞ Vậy, hệ cho có nghiệm: (x; y) = ⎜ ; ⎟ ⎝2 ⎠ VI.a 0,25 (1,0 điểm) (2,0 điểm) y d1 O B d1 d2 cắt O, cos(d1, d2) = d2 | 3 − 1.1| = tam giác + + 0,25 OAB vuông B, AOB = 60 ⇒ BAC = 60 AB.AC.sin 60 = (OA.sin 60 ).(OA.tan 60 ) A 3 = OA2 I C , suy OA2 = Do đó: SABC = ⎧ 3x + y = ⎛ ⎞ ⎪ Tọa độ A(x; y) với x > 0, thỏa mãn hệ: ⎨ ; − 1⎟ ⇒ A⎜ ⎝ ⎠ ⎪x + y = ⎩ Đường thẳng AC qua A vng góc với d2, suy AC có phương trình: x − 3y − = ⎧ 3x − y = ⎛ −2 ⎞ ⎪ ; − 2⎟ ⇒ C⎜ Tọa độ C(x; y) thỏa mãn hệ: ⎨ ⎝ ⎠ ⎪ x −3y − = ⎩ x Ta có: SABC = 3⎞ ⎛ −1 ; − ⎟ bán kính IA = Đường trịn (T) có đường kính AC, suy tâm (T) I ⎜ 2⎠ ⎝2 2 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ Phương trình (T): ⎜ x + ⎟ + ⎜ y + ⎟ =1 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Trang 3/4 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, 0,25 0,25 0,25 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, Câu Đáp án Điểm (1,0 điểm) Đường thẳng ∆ có vectơ phương v = (2; 1; −1) mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (1; −2; 1) M ( ) Gọi H hình chiếu M (P), ta có cos HMC = cos v, n C P ( ) d(M, (P)) = MH = MC.cos HMC = MC cos v, n H = ∆ Ta có: z = (1 + 2 i) (1 − VII.a (1,0 điểm) = 5+ | − − 1| = 6 i) 0,25 0,25 0,25 0,25 i, suy ra: 0,25 i z = 5− 0,25 Phần ảo số phức z bằng: − VI.b 0,25 0,25 (1,0 điểm) (2,0 điểm) Gọi H trung điểm BC, D trung điểm AH, ta có AH ⊥ BC Do tọa độ D(x; y) thỏa mãn hệ: A D •E d B C ⎧x + y − = ⇒ D(2; 2) ⇒ H(− 2; − 2) ⎨ ⎩x − y = 0,25 Đường thẳng BC qua H song song d, suy BC có phương trình: x + y + = 0,25 Điểm B, C thuộc đường thẳng BC: x + y + = B, C đối xứng qua H(− 2; − 2), tọa độ B, C có dạng: B(t; − − t), C(− − t; t) Điểm E(1; −3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác ABC, suy ra: AB CE = ⇔ (t − 6)(5 + t) + (− 10 − t)(− − t) = 0,25 ⇔ 2t2 + 12t = ⇔ t = t = − Ta được: B(0; − 4), C(− 4; 0) B(− 6; 2), C(2; − 6) 0,25 H (1,0 điểm) A • ∆ • B C Đường thẳng ∆ qua điểm M(−2; 2; −3), nhận v = (2; 3; 2) làm vectơ phương Ta có: MA = (2; −2; 1), ⎡v, MA⎤ = (7; 2; −10) ⎣ ⎦ Suy ra: d(A, ∆) = M ⎡v, MA⎤ ⎣ ⎦ = v 49 + + 100 = 4+9+4 0,25 0,25 Gọi (S) mặt cầu tâm A, cắt ∆ B C cho BC = Suy bán kính (S) là: R = Phương trình (S): x2 + y2 + (z + 2)2 = 25 VII.b (1,0 điểm) 0,25 0,25 Ta có: (1 − 3i )3 = − 0,25 Do z = −8 = − − 4i, suy z = − + 4i 1− i 0,25 ⇒ z + i z = − − 4i + (− + 4i)i = − − 8i 0,25 Vậy: z + iz = 0,25 - Hết - Trang 4/4 www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, ... Số báo danh: www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, ĐÁP ÁN Tài Liệu - ĐIỂM BỘwww.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - – THANG Phần Mềm... Số báo danh www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM... Số báo danh www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán, ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM