http://mathblog.org Chương 8 Số phức Bài 8.1 : 1. Mối quan hệ z = z đúng nếu và chỉ nếu z là số thự c ; 2. Với bất kì số phức z quan hệ z = z là đúng ; 3. Với bất kì số phức z, số phức z. z ∈ R là một số thực không âm ; 4. z 1 + z 2 = z 1 + z 2 (liên hợp của một tổng bằng tổng các liên hợp) ; 5. z 1 .z 2 = z 1 .z 2 (liên hợp của một tích bằng tích các liên hợp) ; 6. Với bất kì số phức z 0, có z −1 = (z) −1 ; 7. z 1 z 2 = z 1 z 2 , z 2 0 (liên hợp của một thương bằng thương các liên hợp) ; 8. ℜ(z) = z + 2 2 và ℑ(z) = z − z 2i . Bài 8.2 : 1. Tính z = 5 + 5i 3 − 4i + 20 4 + 3i ; 2. Giả sử z 1 , z 2 ∈ C. Chứng minh rằng số E = z 1 . z 2 + z 1 .z 2 là một số thực. Bài 8.3 : Chứng minh các khẳng định sau : 1. −|z| ≤ ℜ(z) ≤ |z| và −|z| ≤ ℑ(z) ≤ |z| ; 2. |z| = |− z| = | z| ; 3. z. z = |z| 2 ; 4. |z 1 .z 2 | = |z 1 |.|z 2 | (m ôđun của một tích bằng tích các môđ un) ; 5. |z 1 | −|z 2 | ≤ |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | ; 6. |z −1 | = |z| −1 , z 0 ; 7. z 1 z 2 = |z 1 | |z 2 | , z 2 0 (môđun của một thương bằng thương các môđun) ; 8. |z 1 | −|z 2 | ≤ |z 1 − z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |. Bài 8.4 : Chứng minh rằng |z 1 + z 2 | 2 + |z 1 − z 2 | 2 = 2(|z 1 | 2 + |z 2 | 2 ) với mọi số ph ức z 1 , z 2 . Bài 8.5 : Chứng minh rằng nế u |z 1 | = |z 2 | = 1 và z 1 .z 2 −1, thì z 1 + z 2 1 + z 1 z 2 là số thực . Bài 8.6 : Giải sử a là một số thực dương và M a = z ∈ C ∗ : z + 1 z = a . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z ∈ M a . 167 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.7 : Chứng minh rằng với bất kì số phức z, có |z + 1| ≥ 1 √ 2 hoặc |z 2 + 1| ≥ 1. Bài 8.8 : Chứng minh rằng : 7 2 ≤ |1 + z| + |1 −z + z 2 | ≤ 3 7 6 với mọi số ph ức mà |z| = 1. Bài 8.9 : Xét tập H = {z ∈ C : z = x − 1 + xi, x ∈ R}. Chứng minh r ằ ng có duy nhất số z ∈ H sao cho |z| ≤ |w| với mọi w ∈ H. Bài 8.10 : Giả sử x, y, z là các số phức phân biệt sao cho y = tx + (1 −t)z, t ∈ (0; 1). Chứng minh r ằ ng |z| −|y| |z −y| ≥ |z| −|x| |z − x| ≥ |y| −|x| |y − x| . Bài 8.11 : Giải phương trình trên tậ p số phức z 2 − 8(1 −i)z + 63 − 16i = 0. Bài 8.12 : Giả sử p, q là các số phức với q 0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình bậc hai x 2 + px + q 2 = 0 có cùng môđun, thì p q là một số thực. Bài 8.13 : Giả sử a, b, c là các số phức khác không với |a| = |b| = |c|. 1. Chứng minh rằng nếu các ng hiệm của phương trình az 2 + bz + c = 0 có môđun bằng 1, thì b 2 = ac. 2. Nếu mỗi phương trình az 2 + bz + c = 0 và bz 2 + cz + a = 0 có một nghiệm có môđun bằng 1, thì |a −b| = |b −c| = |c − a|. Bài 8.14 : Giải các ph ương trình sau trong C : 1. z 2 + z + 1 = 0 ; 2. z 3 + 1 = 0. Bài 8.15 : Tìm các số thực x, y thỏa mãn mỗi trường hợp sau : 1. (1 −2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i ; 2. x −3 3 + i + y −3 3 − i = i ; 3. (4 −3i)x 2 + (3 + 2i)xy = 4y 2 − 1 2 x 2 + (3xy −2y 2 )i. Bài 8.16 : Tính : 1. (2 −i)(−3 + 2i)(5 −4i) ; 2. (2 −4i)(5 + 2i) + (3 + 4i)(−6 −i) ; 3. 1 + i 1 −i 16 + 1 −i 1 + i 8 ; 4. −1 + i √ 3 2 6 + 1 −i √ 7 2 6 ; 5. 3 + 7i 2 + 3i + 5 −8i 2 −3i . Bài 8.17 : Tính : 1. i 2000 + i 1999 + i 201 + i 82 + i 47 ; 2. E n = 1 + i + i 2 + ···+ i n , với n ≥ 1 ; 3. i 1 .i 2 .i 3 . . . i 2000 ; 4. i −5 + (−i) 7 + (−i) 13 + i −100 + (−i) 94 . T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 168 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.18 : Giải phương trình tron g C : 1. z 2 = i ; 2. z 2 = −i ; 3. z 2 = 1 2 − i √ 2 2 . Bài 8.19 : Tìm tất cả các số phức z 0 sao cho z + 1 z ∈ R. Bài 8.20 : Chứng minh rằng : 1. E 1 = (2 + i √ 5) 7 + (2 −i √ 5) 7 ∈ R ; 2. E 2 = 19 + 7i 9 −i n + 20 + 5i 7 + 6i n ∈ R. Bài 8.21 : Chứng minh các đẳng thức sau : 1. |z 1 + z 2 | 2 + |z 2 + z 3 | 2 + |z 3 + z 1 | 2 = |z 1 | 2 + |z 2 | 2 + |z 3 | 2 + |z 1 + z 2 + z 3 | 2 ; 2. |1 + z 1 z 2 | 2 + |z 1 − z 2 | 2 = (1 + |z 1 | 2 )(1 + |z 2 |) 2 ; 3. |1 −z 1 z 2 | 2 − |z 1 − z 2 | 2 = (1 −|z 1 | 2 )(1 −|z 2 |) 2 ; 4. |z 1 + z 2 + z 3 | 2 + |−z 1 + z 2 + z 3 | 2 + |z 1 − z 2 + z 3 | 2 + |z 1 + z 2 − z 3 | 2 = 4(|z 1 | 2 + |z 2 | 2 + |z 3 | 2 ). Bài 8.22 : Giả sử z ∈ C ∗ sao cho z 3 + 1 z 3 ≤ 2. Chứng minh rằng z + 1 z ≤ 2. Bài 8.23 : Tìm tất cả các số phức z sao cho : 1. |z| = 1 và |z 2 + z 2 | = 1 ; 2. 4z 2 + 8|z| 2 = 8 ; 3. z 3 = z. Bài 8.24 : Xét số phức z ∈ C với ℜ(z) > 1. Chứng minh rằng 1 z − 1 2 < 1 2 . Bài 8.25 : Giả sử a, b, c là các số thực và ω = − 1 2 + i √ 3 2 . Tính (a + bω + cω 2 )(a + bω 2 + cω). Bài 8.26 : Giải các phương trình : 1. |z| − 2z = 3 −4i ; 2. |z| + z = 3 + 4i ; 3. z 3 = 2 + 11i, ở đây z = x + yi và x, y ∈ Z ; 4. iz 2 + (1 + 2i)z + 1 = 0 ; 5. z 4 + 6(1 + i)z 2 + 5 + 6i = 0 ; 6. (1 + i)z 2 + 2 + 11i = 0. Bài 8.27 : Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình z 3 + (3 + i)z 2 − 3z −(m + i) = 0 có ít nhất một nghiệm thực. Bài 8.28 : Tìm tất cả các số phức z sao cho z ′ = (z −1)( z + i) là một số thực. Bài 8.29 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| = 1 z . Bài 8.30 : Giả sử z 1 , z 2 ∈ C là các số phức sao cho |z 1 + z 2 | = √ 3 và |z 1 | = |z 2 | = 1. Tính |z 1 − z 2 |. Bài 8.31 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho −1 + i √ 3 2 n + −1 −i √ 3 2 n = 2. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 169 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.32 : Giả sử n > 2 là một số nguyên. Tìm các nghiệm của phương trình z n−1 = i z. Bài 8.33 : Giả sử z 1 , z 2 , z 3 là các số phức với |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | = R > 0. Chứng minh r ằ ng |z 1 − z 2 |.|z 2 − z 3 | + |z 3 − z 1 |.|z 1 − z 2 | + |z 2 − z 3 |.|z 3 − z 1 | ≤ 9R 2 . Bài 8.34 : Giả sử u, v, w, z là các số phức sao cho |u| < 1, |v| = 1 và w = v(u −z) u.z −1 . Chứng minh rằng |w| ≤ 1 nếu và chỉ nếu |z| ≤ 1. Bài 8.35 : Giả sử z 1 , z 2 , z 3 là các số phức sao cho z 1 + z 2 + z 3 = 0 và |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | = 1. Chứng minh r ằ ng z 2 1 + z 2 2 + z 2 3 = 0. Bài 8.36 : Xét các số phức z 1 , z 2 , . . . , z n với |z 1 | = |z 2 | = ··· = |z n | = r > 0. Chứng minh r ằ ng số E = (z 1 + z 2 )(z 2 + z 3 ) ···(z n−1 + z n )(z n + z 1 ) z 1 .z 2 ···z n là số thực . Bài 8.37 : Giả sử z 1 , z 2 , z 3 là các số phức khác nhau sao cho |z 1 | = |z 2 | = |z 3 > 0.| Nếu z 1 + z 2 z 3 , z 2 + z 1 z 3 và z 3 + z 1 z 2 là các số thực, chứng minh rằng z 1 z 2 z 3 = 1. Bài 8.38 : Giả sử x 1 và x 2 là các nghiệm của phương trình x 2 − x + 1 = 0. Tính 1. x 2000 1 + x 2000 2 ; 2. x 1999 1 + x 1999 2 ; 3. x n 1 + x n 2 , với n ∈ N. Bài 8.39 : Phân tích thành tích các nhị thứ c bậc nhất các đa thưc sau : 1. x 4 + 16 ; 2. x 3 − 27 ; 3. x 3 + 8 ; 4. x 4 + x 2 + 1. Bài 8.40 : Tìm tất cả các phương trình bậc hai với hệ số thực có mộ t nghiệm là : 1. (2 + i)(3 −i) ; 2. 5 + i 2 − i ; 3. i 51 + 2i 80 + 3i 45 + 4i 38 . Bài 8.41 (Bất đẳng thức Hlawka) : Chứng minh bất đẳng thức sau |z 1 + z 2 | + |z 2 + z 3 | + |z 3 + z 1 | ≤ |z 1 | + |z 2 | + |z 3 | + |z 1 + z 2 + z 3 | đúng với mọi số phức z 1 , z 2 , z 3 . Bài 8.42 : Biểu diễn hình học của các số phức sau : z 1 = 3 + i ; z 2 = −4 + 2i ; z 3 = −5 − 4i ; z 4 = 5 − i ; z 5 = 1 ; z 6 = −3i ; z 7 = 2i ; z 8 = −4. Bài 8.43 : Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn mỗ i số phức z thỏa mãn các trường hợp dưới đây : 1. |z −2| = 3 ; 2. |z + i| < 1 ; 3. |z −1 + 2i| > 3 ; 4. |z −2| −|z + 2| < 2 ; T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 170 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 5. 0 < ℜ(iz) < 1 ; 6. −1 < ℑ(z) < 1 ; 7. ℜ z −2 z −1 = 0 ; 8. 1 + z z ∈ R ; 9. | √ x 2 + 4 + i √ y −4| = √ 10, với z = x + yi ; 10. z + 1 z = 2. Bài 8.44 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argume nt của chúng : 1. z 1 = −1 −i ; 2. z 2 = 2 + 2i ; 3. z 3 = −1 + i √ 3 ; 4. z 4 = 1 −i √ 3. Bài 8.45 : Biểu diễn lượng giác của các số phức sau và xác định argume nt của chúng : 1. z 1 = 2i ; 2. z 2 = −1 ; 3. z 3 = 2 ; 4. z 4 = −3i. Bài 8.46 : Tìm biểu diễn lượng giác của số phức z = 1 + cos a + i sin a, a ∈ (0;2π). Bài 8.47 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| = 1 và z z + z z = 1. Bài 8.48 : Tính (1 + i) 1000 . Bài 8.49 : Chứng minh rằng sin 5t = 16 sin 5 t −20 sin 3 t + 5sint; cos 5t = 16cos 5 t −20 cos 3 t + 5cost. Bài 8.50 : Tính z = (1 −i) 10 ( √ 3 + i) 5 (−1 −i √ 3) 10 . Bài 8.51 : Tính : 1. (1 −cosa + i sin a) n với a ∈ [0; 2π) và n ∈ N ; 2. z n + 1 z n , nếu z + 1 z = √ 3. Bài 8.52 : Giả sử z 1 , z 2 , z 3 là các số phức sao cho |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | = r > 0 và z 1 + z 2 + z 3 0. Chứng minh rằng z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 1 z 1 + z 2 + z 3 = r. Bài 8.53 : Giả sử z 1 , z 2 là các số phức sao cho |z 1 | = |z 2 | = r > 0. Chứng minh rằng z 1 + z 2 r 2 + z 1 z 2 2 + z 1 − z 2 r 2 − z 1 z 2 2 ≥ 1 r 2 . Bài 8.54 : Giả sử z 1 , z 2 , z 3 là các số phức sao cho |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | = 1 và z 2 1 z 2 z 3 + z 2 2 z 3 z 1 + z 2 3 z 1 z 2 + 1 = 0. Chứng minh rằng |z 1 + z 2 + z 3 |{1; 2}. Bài 8.55 : Giả sử z 1 , z 2 là các số phức sao cho |z 1 | = |z 2 | = 1. Chứng minh rằng |z 1 + 1|+ |z 2 + 1|+ |z 1 z 2 + 1| ≥ 2. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 171 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.56 : Giả sử n > 0 là một số nguyên và z là số phức sao cho |z| = 1. Chứng minh rằng n|1 + z| + |1 + z 2 | + |1 + z 3 | + ···+ |1 + z 2n | + |1 + z 2n+1 | ≥ 2n. Bài 8.57 : Dùng công thức khai triển Newton (1 + i) 19 và công thức Moa-vr ơ để tính C 0 19 −C 2 19 + C 4 19 − ···+ C 16 19 −C 18 19 . Bài 8.58 (CĐ10) : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 − 3i)z + (4 + i)z = −(1 + 3i) 2 . Tìm phần thực và phần ảo của z. Bài 8.59 (CĐ10) : Giải phương tr ình z 2 − (1 + i)z + 6 + 3i = 0 trên tập hợp các số phức. Bài 8.60 (A09) : Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm phức của ph ương trình z 2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = |z 1 | 2 + |z 2 | 2 . Bài 8.61 (A10) : Tìm phần ảo của số phức z, biết z = ( √ 2 + i) 2 (1 − √ 2i). Bài 8.62 (A10) : Cho số phức z thỏa mãn z = (1 − √ 3i) 3 1 −i . Tìm môđun của số phức z + iz. Bài 8.63 (B09) : Tìm số phức z thỏa mãn |z −(2 + i)| = √ 10 và z.z = 25. Bài 8.64 (B10) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễ n các số phức z thỏa mãn : |z −i| = |(1 + i)z|. Bài 8.65 (D09) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z −(3 −4i)| = 2. Bài 8.66 (D10) : Tìm số phức z thỏa mãn : |z| = √ 2 và z 2 là số thuần ảo. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 172 . http://mathblog.org Chương 8 Số phức Bài 8.1 : 1. Mối quan hệ z = z đúng nếu và chỉ nếu z là số thự c ; 2. Với bất kì số phức z quan hệ z = z là đúng ; 3. Với bất kì số phức z, số phức z. z ∈ R là một số thực không âm. ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.7 : Chứng minh rằng với bất kì số phức z, có |z + 1| ≥ 1 √ 2 hoặc |z 2 + 1| ≥ 1. Bài 8.8 : Chứng minh rằng : 7 2 ≤ |1 + z| + |1 −z + z 2 | ≤ 3 7 6 với mọi số ph ức. 169 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.32 : Giả sử n > 2 là một số nguyên. Tìm các nghiệm của phương trình z n−1 = i z. Bài 8.33 : Giả sử z 1 , z 2 , z 3 là các số phức với |z 1 | = |z 2 |