ôn thi đại học cực hay

(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm): Cho hàm số 3 3 (1)y x x = − a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y = m(x +1)+ 2 luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến với đồ thị (C) tại N và P vuông góc với nhau. Câu 2 (2 điểm): a. Giải phương trình: 2 1 1 1 5.3 7.3 1 6.3 9 0 x x x x − − + − + − + = b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 3 3 3 2 2 ( 2 5) log ( 1) log ( 1) log 4 log ( 2 5) log 2 5 x x x x x x m − + + − − >    − + − =   Câu 3 (2 điểm): a. Giải hệ phương trình: 3 2 3 2 3 2 9 27( 1) 9 27( 1) 9 27( 1) x z z y x x z y y  = − −  = − −   = − −  b. Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a +b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 a b c T a b c = + + − − − Câu 4 (2 điểm): a. Tìm hệ số của x 2 trong khai triển thành đa thức của biểu thức 2 6 ( 1)P x x = + − . b. Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d : x - 2y + 2 = 0. Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC. Câu 5(2 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =2a, BC= a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a . a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a. b. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD, K là điểm trên cạnh AD sao cho 3 a AK = . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a. SỞ GD& ĐT THÁI NGUYÊN Trường THPT Lương Ngọc Quyến ĐỀ THI GIAO LƯU VĂN HOÁ MÔN TOÁN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI GIAO LƯU- MÔN TOÁN Câu Nội dung Điể m Câu 1 2,0 a) 1.0 b) 1.0 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 3 (1)y x x = − ……………………………………………………… f(x)=x^3-3 x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y 1.0 b) pt hoành độ giao điểm: ( ) 2 ( 1) 2 0x x x m + − − − = luôn có 1 nghiệm x =-1 => M(-1;2) cố định. 0.25 Đk để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt: 9 4 0 m m  > −    ≠  0.25 Tiếp tuyến tại N, P vuông góc  '( ). '( ) 1 N P y x y x = − 0.25 Đs: 3 2 2 ( / ) 3 m t m − ± = 0.25 Câu 2 2.0 a) 1.0 b)1.0 a) TXĐ: 1 1 6.3 9 0, x x x R + − + ≥ ∀ ∈ Đặt 3 0 x t = > đc pt : 2 5 7 3 3 1 0t t t − + − = (2) 0.5 +) Nếu 1 3 t ≥ thì (2) 2 3 1 ( ) 3 5 2 3 0 log 3 5 (t/m) 5 t l t t x t = −   ⇔ + − = ⇔ ⇒ =  =  0.25 +) Nếu 1 0 3 t < < thì (2) 2 3 3 ( ) 5 16 3 0 log 5 1 (t/m) 5 t l t t x t =   ⇔ − + = ⇔ ⇒ = −  =  0.25 b) 2 3 3 3 2 2 ( 2 5) log ( 1) log ( 1) log 4 (3) log ( 2 5) log 2 5 (4) x x x x x x m − + + − − >    − + − =   TXĐ: x>1, giải (3) đc: 1 <x <3 0.25 Đặt ).52(log 2 2 +−= xxt Từ Bảng biến thiên của )3;1(,52 2 ∈+−= xxxy suy ra )3;2( ∈ t ; (4) 2 5t t m ⇔ − = , 0.25 xét hàm, lập BBT được 25 ; 6 4 m   ∈ − −  ÷   0.5 Câu 3 2.0 a)1.0 b)1.0 a) 3 2 3 2 3 2 9 27( 1) (1) 9 27( 1) (2) 9 27( 1) (3) x z z y x x z y y  = − −  = − −   = − −  Cộng (1), (2), (3) được: 3 3 3 ( 3) ( 3) ( 3) 0 (4)x y z− + − + − = 0.25 +) Nếu x>3 thì từ (2) có: 3 9 ( 3) 27 27 3y x x y= − + > ⇒ > từ (3) lại có: 3 9 ( 3) 27 27 3z y y z= − + > ⇒ > => (4) không thoả mãn 0.25 +) Tương tự, nếu x<3 thì 0 < z <3 => 0 < y <3 => (4) không thoả mãn 0.25 => x=3 thay vào (2) => y=3 thay vào (3) => z=3 Vậy: x =y = z =3 0.25 b) ( ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c T a b c a b c a b c − − − − − − = + + − − −   = + + − − + − + −  ÷ − − −   0.25 Theo BĐT Bunhiacôpxki 1 1 1 9 ; 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 6 a b c a b c a b c   + + ≥  ÷ − − − − + − + −   < − + − + − < 0.25 ( ) 9 9 6 1 1 1 6 2 1 1 1 6 T a b c a b c ⇒ ≥ − − + − + − ≥ − = − + − + − 0.25 Dấu “=” xảy ra khi a= b = c = 1/3. Vậy GTNN của T = 6 / 2 0.25 Câu 4 2.0 a) 1.0 b) 1.0 a) 2 6 0 6 1 2 5 2 6 5 10 6 12 6 6 6 6 6 ( 1) .( 1) . ( 1) . . ( 1) . . ( 1) . k k k P x x C x C x x C x x C x x C x − = + − = − + − + + − + + − + 0.25 Nên trong đa thức P, x 2 chỉ xuất hiện khi khai triển: 0 6 6 .( 1)C x − và 1 2 5 6 . ( 1)C x x − 0.25 Hệ số của x 2 trong khai triển 0 6 6 .( 1)C x − là: 0 2 6 6 .C C Hệ số của x 2 trong khai triển 1 2 5 6 . ( 1)C x x − là: 1 0 6 5 .C C− 0.25 Vậy: hệ số của x 2 trong khai triển P là: 0 2 6 6 .C C 1 0 6 5 .C C− =9 0.25 b) Tam giác ABC vuông tại B => pt AB: y = -2x+2, 2 6 => ; 5 5 B AC d B   = ∩  ÷   0.25 2 ; 2 x C d C x +   ∈ ⇒  ÷   0.25 AB = 2BC => ( ) 0;1 4 7 ; 5 5 C C       ÷     0.5 Câu 5 a) 1.0 b) 1.0 a) k H C D B A S I L M N 3 . 5 3 3 5 2 2 3 S ABCD a a a AC a AH SH V= ⇒ = ⇒ = ⇒ = 1.0 b) I là trung điểm AD, ( ) ( ;( ))HL SI HL SAD HL d H SAD⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = / / / /( ), ( ) ( ; ) ( ;( )) ( ;( )) MN AD MN SAD SK SAD d MN SK d MN SAD d H SAD HL ⇒ ⊂ ⇒ = = = 0.5 Tam giác SHI vuông tại H và có HI là đường cao => 21 21 ( ; ) 7 7 a a HL d MN SK= ⇒ = 0.5 (Nếu hs làm đúng nhưng không theo cách giải trong đáp án gv vẫn cho điểm tối đa) . THÁI NGUYÊN Trường THPT Lương Ngọc Quyến ĐỀ THI GIAO LƯU VĂN HOÁ MÔN TOÁN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI GIAO LƯU- MÔN TOÁN Câu Nội dung Điể m Câu 1 2,0 a) 1.0. không thoả mãn 0.25 +) Tương tự, nếu x<3 thì 0 < z <3 => 0 < y <3 => (4) không thoả mãn 0.25 => x=3 thay vào (2) => y=3 thay