Ôn thi đại học tổ hợp

http://mathblog.org Chương 4 Tổ hợp 4.1 Các quy tắc đếm. Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị Bài 4.1 : Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau : a) Bất kì hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau ; b) Bất kì hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau ; Bài 4.2 : Có 10000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi có bao nhiêu vé gồm 5 chữ số khác nhau. Bài 4.3 : Với 10 chữ số 0, 1, 2, . , 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau. Bài 4.4 : Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. Bài 4.5 : Xét một dãy số gồm 7 chữ số (mỗi số được chọn từ 0, 1, . . . , 8, 9) mà chữ số ở vị trí số 3 là số chẵn, chữ số ở vị trí cuối không chia hết cho 5, các chữ số ở vị tr í số 4, 5, 6 đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy. Bài 4.6 : Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , 8, 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ các số trên. Bài 4.7 : Một người viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành một hàng. a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành. b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành. Bài 4.8 : Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 0, 2, 3, 6, 9. Bài 4.9 : Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi m ột ; b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một chia hết cho 5 ; c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một chia hết cho 9 ; Bài 4.10 : Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hỏi có thế lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số đó không chia hết cho 3. Bài 4.11 : Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho : 69 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC a) C ngồi chính giữa ; b) A, E ngồi hai đầu ghế ; Bài 4.12 : Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi, nếu : a) các học sinh ngồi tùy ý ; b) các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn ; Bài 4.13 : Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên một kệ dài nếu các cuốn cùng môn xếp kề nhau. Bài 4.14 : Từ X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} thiết lập các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau. Bài 4.15 : Xét các số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số mà : a) 5 chữ số 1 sắp kề nhau ; b) các chữ số được sắp xếp tùy ý ; Bài 4.16 : Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho hai chữ số chẵn không nằm liền nhau. Bài 4.17 : Một đội văn nghệ có 15 người, gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ. Bài 4.18 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 1 và 5. Bài 4.19 : Cho tam giác ABC. Xét tập hợp 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA. a) Hỏi các đường thẳng này tạo được bao nhiêu tam giác ; b) Hỏi các đường thẳng này tạo được bao nhiêu hình thang (không kể các hình bình hành). Cho biết không có 3 đường thẳng nào của họ là đồng quy. Bài 4.20 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau. Tính tổng các số trên. Bài 4.21 : Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần. Bài 4.22 : Từ X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5. Bài 4.23 : Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau. Bài 4.24 : Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiếu số gồm 5 chữ số mà là : a) số chẵn ; b) một trong ba chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1. Bài 4.25 : Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4 , 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau trong đó có hai chữ số 1 và 2. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 70 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.26 : Từ 10 chữ số 0, 1, 2, . . . , 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho các số đó đều phải có mặt 0 và 1. Bài 4.27 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8. Bài 4.28 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1. Bài 4.29 : Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8. Bài 4.30 : Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học. Muốn chọn một đoàn đại biểu gồm 5 người (một trưởng đoàn, một thư kí và ba thành viên) đi dự trại hè. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy. Bài 4.31 : Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học. Muốn chọn một đoàn đại biểu gồm 4 người đi dự trại hè. Hỏi có bao nhiêu cách chọn : a) tùy ý ; b) hai học sinh A và B không đi cùng nhau ; c) hai học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi. Bài 4.32 : Một đoàn tàu có ba toa trở khách : toa I, toa II, toa III. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tàu, biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi : a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 hành khách lên ba toa ; b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 hành khách lên tàu để có một toa trong đó có 3 trong 4 vị khách. Bài 4.33 (B04) : Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu đó, có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3 loại (khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2. Bài 4.34 : Một chi đoàn có 20 đoàn viên, trong đó có 10 nữ. Muốn chọn một tổ công tác có 5 người. Có bao nhiêu cách chọn nếu tổ cần ít nhất một nữ. Bài 4.35 : Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư. Để lập một tổ công tác, cần chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Bài 4.36 : Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cô giáo m uốn chọn ra một tốp ca gồm 5 em trong đó có ít nhất là 2 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Bài 4.37 : Một đội cảnh sát gồm có 9 người. Trong ngày cần 3 người làm nhiệm vụ tại địa điểm A, 2 người làm tại B và 4 người còn lại trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công. Bài 4.38 : Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lí nam. Muốn lập một đoàn công tác có 3 người gồm cả nam và nữ, cần có cả nhà Toán học lẫn nhà Vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Bài 4.39 : Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách : a) chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau ; b) chọn 5 người, trong đó có không quá 1 nam ; Bài 4.40 : Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư đó lên 3 bì thư đã chọn, một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu các làm như vậy. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 71 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.41 : Có hai đường thẳng song song d 1 và d 2 . Trên d 1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d 2 lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong số các điểm đã cho. Bài 4.42 : Một lớp có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi dự hội nghị của trường sao cho trong đó có ít nhất m ột cán bộ lớp. Bài 4.43 : Có 16 học sinh, gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh thành hai tổ, mỗi tổ 8 người, đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá. Bài 4.44 : Một người có 12 cây giống, trong đó có 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi. Người đó m uốn chọn 6 cây giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho : a) mỗi loại có đúng 2 cây ; b) mỗi loại có ít nhất 1 cây ; Bài 4.45 : Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau và phải có ít nhất 2 nữ. Bài 4.46 : Cho tập con gồm 10 phần tử khác nhau. Tìm số tập con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử. Bài 4.47 : Một tổ có 20 sinh viên, trong đó có 8 sinh viên biết nói tiếng Anh, 7 SV biết nói tiếng Pháp, 5 SV biết nói tiếng Đức (không SV nào biết nói cả 2 trong 3 ngoại ngữ trên). Cần chọn một nhóm đi thực tế gồm 3 SV biết tiếng Anh, 4 SV biết tiếng Pháp, 2 SV biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm. Bài 4.48 : Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu. Bài 4.49 : Một hộp có 6 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng được đánh số từ 1 đến 4. a) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng màu ; 3 quả cầu cùng số ; b) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác màu ; 3 quả cầu khác màu và khác số ; Bài 4.50 : Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra : a) 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ ; b) 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ ; Bài 4.51 : Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau). Người ta muốn chọn ra m ột bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn bó hoa, trong đó : a) có đúng một bông hồng đỏ ; b) có ít nhất một bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ ; Bài 4.52 : Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một hộc có 7 ô trống. a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy ; b) Có bao nhiêu cách xếp, sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh nhau ; Bài 4.53 : Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn 4 viên bi từ hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu. Bài 4.54 : Cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh lấy từ ba đỉnh của H. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 72 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC a) Có bao nhiêu tam giác như vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là hai cạnh của H ? b) Có mấy tam giác có đúng một cạnh là một cạnh của H ? Có mấy tam giác không có cạnh nào là cạnh của H ? Bài 4.55 : Trên mặt phẳng cho một thập giác lồi. Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba đỉnh của thập giác. Hỏi trong số các tam giác đó, có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là 3 cạnh của thập giác. Bài 4.56 (B02) : Cho đa giác A 1 A 2 . . . A 2n (n ∈ N và n ≥ 2) nội tiếp trong đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A 1 , A 2 , . . . , A 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh A 1 , A 2 , . . . , A 2n . Tìm n. Bài 4.57 : Trong một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu "cháu ngoan Bác Hồ" trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn một nhóm gồm 3 trong số 50 học sinh trên đi dự đại hội "cháu ngoan Bác Hồ", sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy. Bài 4.58 : Một tập thể có 14 người, gồm 6 nam và 8 nữ, trong đó có An và Bình. Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau : a) Trong tổ phải có mặt cả nam lẫn nữ ; b) Trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ ; Bài 4.59 : Một Thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 sách Văn, 4 sách Anh văn và 3 sách Hóa. Ông lấy ra 6 cuốn và tặng 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn. a) Giả sử Thầy giáo chỉ muốn tặng các học sinh trên những cuốn sách thuộc loại Anh văn và Văn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng ; b) Giả sử Thầy giáo muốn rằng, sau khi tặng xong, mỗi loại Văn, Anh văn, Hóa còn ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng. Bài 4.60 : Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó. Bài 4.61 : Cho hai đường thẳng song song d 1 , d 2 . Trên đường thẳng d 1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d 2 có n điểm phân biệt (n ≥ 2). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n. Bài 4.62 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, và mỗi số lập được đều nhỏ hơn 25000. Bài 4.63 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và hai số lẻ đó đứng cạnh nhau. Bài 4.64 : Một lớp học có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy. Bài 4.65 : Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007, m à mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau. Bài 4.66 : Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. a) Có bao nhiêu tập con của A chứa 1 mà không chứa 2 ; b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 123 ; Bài 4.67 : Có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 trong đó 1 và 6 đều có mặt đúng 2 lần, còn các chữ số khác xuất hiện đúng 1 lần. Bài 4.68 : a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ ; T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 73 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ; Bài 4.69 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mặt không quá 1 lần. Bài 4.70 (B05) : Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. Bài 4.71 (B06) : Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ∈ {1, 2, . . . , n} sao cho số tập con gồm k phần tử là lớn nhất. Bài 4.72 (D06) : Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C . Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy. Bài 4.73 : Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt lấy 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n, biết số tam giác có 3 đỉnh từ n + 6 điểm đã cho là 439. 4.2 Giải phương trình, bất phương trình, hệ Bài 4.74 : Chứng minh rằng : a) P n − P n−1 = (n −1)P n−1 ; b) 1 + P 1 + 2P 2 + 3P 3 + ··· + (n − 1)P n−1 = P n . Bài 4.75 : Chứng minh rằng với mọi n ∈ N có : n! ≤ n + 1 2 n . Bài 4.76 : Chứng minh rằng với mọi n, k ∈ N và 2 ≤ k < n thì : a) A k n = A k n−1 + kA k−1 n−1 ; b) A n+2 n+k + A n+1 n+k = k 2 A n n+k ; Bài 4.77 : Chứng minh rằng với mọi n ∈ N và n ≥ 2 thì : 1 A 2 2 + 1 A 2 3 + ··· + 1 A 2 n = n −1 n . Bài 4.78 : Cho n, k ∈ N và 2 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng : k(k − 1)C k n = n(n − 1)C k−2 n−2 . Bài 4.79 : Cho 4 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng : C k n + 4C k−1 n + 6C k−2 n + 4C k−3 n + C k−4 n = C k n+4 . Bài 4.80 : Chứng minh rằng, nếu k ∈ N và 0 ≤ k ≤ 2008 thì : C k 2009 + C k+1 2009 ≤ C 1004 2009 + C 1005 2009 . Bài 4.81 : Cho mọi n, k ∈ N và 0 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng : C n 2n+k .C n 2n−k ≤ C n 2n 2 . Bài 4.82 : Cho n nguyên dương cố định và k ∈ {0; 1; 2;. . . ; n}. Chứng minh rằng, nếu C k n đạt giá tr ị lớn nhất tại k 0 thì k 0 thỏa mãn n − 1 2 ≤ k 0 ≤ n + 1 2 . T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 74 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.83 : Cho m, n ∈ N và 0 < m < n. Chứng minh rằng : a) mC m n = nC m−1 n−1 ; b) C m n = C m−1 n−1 + C m−1 n−2 + ···+ C m−1 m + C m−1 m−1 Bài 4.84 (B08) : Chứng minh rằng n + 1 n + 2 1 C k n+1 + 1 C k+1 n+1 = 1 C k n (n, k là các số nguyên dương, k ≤ n). Bài 4.85 : Chứng minh rằng : C 0 2008 .C 2007 2008 + C 1 2008 .C 2006 2007 + ··· + C k 2008 .C 2007−k 2008−k + ···+ C 2007 2008 .C 0 1 = 1004.2 2008 . Bài 4.86 : Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng : C 1 n + 2. C 2 n C 1 n + 3. C 3 n C 2 n + ··· + n. C n n C n−1 n = n(n + 1) 2 . Bài 4.87 : Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng : C 0 n C 1 n+2 + C 1 n C 2 n+3 + C 2 n C 3 n+4 + ···+ C n n C n+1 2n+2 = 1 2 . Bài 4.88 : Chứng minh rằng : 1. C 0 5 C k n + C 1 5 C k−1 n + ··· + C 5 5 C k−5 n = C k n+5 , với 5 ≤ k ≤ n. 2. C n 2n = C 0 n 2 + C 1 n 2 + ···+ C n n 2 . 3. C 0 n C k m + C 1 n C k−1 m + C 1 n C k−2 m + ··· + C k n C 0 m = C k n+m Bài 4.89 : Tính S = C 0 n 1 2 + C 1 n 2 2 + C 2 n 3 2 + ··· + C n n n + 1 2 . Bài 4.90 : Chứng minh rằng : 1 C 1 2009 + 1 C 2 2009 + ··· + 1 C 2009 2009 = 1005 2009 1 C 1 2008 + 1 C 2 2008 + ··· + 1 C 2008 2008 . Bài 4.91 : Chứng minh rằng : n k=1 (−1) k 1 + k 2 C n+k 2n < 0. Bài 4.92 : Giải các phương trình : 1. C 3 n = 5C 1 n ; 2. C n 14 + C n+2 14 = 2C n+1 14 ; 3. 3C 2 n+1 + nP 2 = 4A 2 n ; 4. C 2 n+1 − A 2 n − 4n 3 = A 1 2n 2 . Bài 4.93 : Giải phương trình : x! − (x − 1)! (x + 1)! = 1 6 . Bài 4.94 : Giải bất phương trình : P n+4 P n P n+2 < 15 P n−1 . Bài 4.95 : Giải phương trình : P x A 2 x + 72 = 6(A 2 x + 2P x ). Bài 4.96 : Tìm x, y ∈ N thỏa mãn hệ : A 2 x + C 3 y = 22 A 3 y + C 2 x = 66 Bài 4.97 : Giải bất phương trình : A 3 x + 5A 2 x ≤ 21x. Bài 4.98 : Giải bất phương trình : C n−3 n−1 A 4 n+1 < 1 14P 3 . T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 75 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.99 : Giải phương trình : 1 C x 4 − 1 C x 5 = 1 C x 6 . Bài 4.100 : Tìm số nguyên dương x thỏa mãn phương trình : C 1 x + 6C 2 x + 6C 3 x = 9x 2 − 14. Bài 4.101 : Giải bất phương tr ình : 1 2 A 2 2x − A 2 x ≤ 6 x C 3 x + 10. Bài 4.102 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện sau : C 4 n−1 −C 3 n−1 < 5 4 A 2 n−2 C n−4 n+1 ≥ 7 15 A 3 n+1 Bài 4.103 : Giải hệ phương trình : 2A y x + 5C y x = 90 5A y x − 2C y x = 80 Bài 4.104 : Giải hệ phương trình : 5C y−2 x = 3C y−1 x C y x = C y−1 x Bài 4.105 (D05) : Tính giá trị của M = A 4 n+1 + 3A 3 n (n + 1)! , biết rằng C 2 n+1 + 2C 2 n+2 + 2C 2 n+3 + C 2 n+4 = 149. Bài 4.106 : Tìm số nguyên n > 1 thỏa m ãn đẳng thức : 2P n + 6A 2 n − P n A 2 n = 12. Bài 4.107 : Tìm k ∈ {1, 2, . . . , 2005} sao cho C k 2005 đạt giá trị lớn nhất. 4.3 Hệ số của x k trong khai triển 4.4 Hệ số của x k trong khai triển nhị thức (a + b) n Bài 4.108 (D07) : Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của : x(1 −2x) 5 + x 2 (1 + 3x) 10 . Bài 4.109 : Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển x 2 + 4 x 18 . Bài 4.110 : Tìm hệ số của x 5 trong khai triển : P = (2x + 1) 4 + (2x + 1) 5 + (2x + 1) 6 + (2x + 1) 7 . Bài 4.111 (A03) : Tìm số hạng chứa x 8 trong khai triển 1 x 3 + √ x 5 n , biết : C n+1 n+4 −C n n+3 = 7(n + 3). Bài 4.112 : Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển nhị thức 3 √ 16 + √ 3 7 . Bài 4.113 : Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ : √ 3 − 4 √ 5 124 . Bài 4.114 (D04) : Tìm số hạng không chứa x (với x > 0) trong khai triển 3 √ x + 1 4 √ x 7 . Bài 4.115 : Trong khai triển x 3 √ x + x − 28 15 n hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x, biết rằng C n n + C n−1 n + C n−2 n = 79. Bài 4.116 : Biết rằng tổng các hệ số của khai triển (x 2 + 1) n bằng 1024. Hãy tìm hệ số a của số hạng ax 12 trong khai triển đó. Bài 4.117 : Tìm n > 5, biết trong khai triển x + 1 2 n thành đa thức đối với biến x, hệ số của x 6 bằng 4 lần hệ số của x 4 . T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 76 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.118 (A02) : Cho 2 x−1 2 + 2 − x 2 n = C 0 n 2 x−1 2 n + C 1 n 2 x−1 2 n−1 2 − x 3 + ··· + C n−1 n 2 x−1 2 2 − x 3 n−1 + C n n 2 − x 3 n . Biết rằng C 3 n = 5C 1 n và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x. Bài 4.119 : Cho 1 3 + 2 3 x 10 = a 0 + a 1 x + ··· + a 9 x 9 + a 10 x 10 . Tìm số hạng a k lớn nhất. Bài 4.120 (A08) : Cho khai triển (1 + 2x) n = a 0 + a 1 x + ··· + a n x n , trong đó n ∈ N ∗ và các hệ số a 0 , a 1 , . . . , a n thỏa m ãn a 0 + a 1 2 + ···+ a n 2 n = 4096. Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a 1 , . . . , a n . Bài 4.121 (CĐ08) : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 2x + 1 5 √ x 18 , (x > 0). Bài 4.122 (B07) : Tìm số hạng chứa x 10 trong khai triển nhị thức Niutơn của (2 + x) n , biết : 3 n C 0 n − 3 n−1 C 1 n + 3 n−2 C 2 n − 3 n−3 C 3 n + ··· + (−1) n C n n = 2048. Bài 4.123 : Tìm hệ số của x 7 trong khai triển đa thức (2−3x) 2n , trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn : C 1 2n+1 + C 3 2n+1 + ··· + C 2n+1 2n+1 = 1024. Bài 4.124 : Tìm hệ số của x 8 trong khai triển (x 2 + 2) n , biết : A 3 n − 8C 2 n + C 1 n = 49. Bài 4.125 (A06) : Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Niutơn của 1 x 4 + x 7 n , biết rằng C 1 2n+1 + C 2 2n+1 + ··· + C n 2n+1 = 2 20 − 1. 4.5 Hệ số của x k trong khai triển (a + b) n (c + d) m Bài 4.126 : a) Tìm hệ số của x 2 trong khai triển (2 − 3x) 5 (1 + x) 4 . b) Tìm hệ số của x 3 trong khai triển ( √ x + 3) 6 (1 + x) 12 . Bài 4.127 (D03) : Gọi a 3n−3 là hệ số của x 3n−3 trong khai triển thành đa thức của (x 2 + 1) n (x + 2) n . Tìm n để a 3n−3 = 26n. Bài 4.128 : Tìm hạng tử chứa x 20 trong khai triển : (1 + x + x 3 + x 4 ) 10 . 4.6 Hệ số của x k trong khai triển (a + b + c) n Bài 4.129 : a) Tìm hệ số của x 2 trong khai triển thành đa thức của biểu thức : P = (x 2 + x −1) 6 . b) Tìm hệ số của x 3 trong khai triển thành đa thức của biểu thức : P = (x 2 + x −1) 5 . Bài 4.130 : Tìm hệ số của x 4 trong khai triển (1 + x + 3x 2 ) 10 . Bài 4.131 (A04) : Tìm hệ số của x 8 trong khai triển 1 + x 2 (1 − x) 8 . Bài 4.132 : Tìm hạng tử không chứa x trong khai triển : 1 + 6 x + x 10 . 4.7 Tính tổng các hệ số tổ hợp : n k=0 a k C k n 4.8 Phương pháp cơ bản với a k chỉ là hàm số mũ theo biến k Bài 4.133 (D08) : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C 1 2n + C 3 2n + ···+ C 2n−1 2n = 2048. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 77 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.134 : Tính tổng C 1 20 + C 2 20 + ··· + C 10 20 . Bài 4.135 : a) Khai triển nhị thức (3x − 1) 16 ; b) Chứng minh rằng : 3 16 C 0 16 − 3 15 C 1 16 + 3 14 C 2 16 − ··· + C 16 16 = 2 16 ; Bài 4.136 : Chứng minh rằng : a) 2 n C 0 n + 2 n−1 C 1 n + 2 n−2 C 2 n + ··· + C n n = 3 n ; b) 3 n C 0 n − 3 n−1 C 1 n + 3 n−2 C 2 n + ··· + (−1) n C n n = 2 n ; Bài 4.137 : Chứng minh rằng : n−1 k=1 C k n = 2(2 n−1 − 1); n k=0 C k n (−1) k = 0. Bài 4.138 : Chứng minh : C 0 2n + C 2 2n .3 2 + C 4 2n .3 4 + ···+ C 2n 2n .3 2n = 2 2n−1 (2 2n + 1). Bài 4.139 : Tính các biểu thức sau : 1. A = C 0 19 −C 2 19 + ··· + C 16 19 − C 18 19 . 2. B = C 1 19 −C 3 19 + ··· + C 17 19 − C 19 19 . 3. C = C 0 2n − 3C 2 2n + 9C 4 2n − 27C 6 2n + ··· + (−3) n C 2n 2n . Bài 4.140 (D02) : Tìm số nguyên dương n sao cho : C 0 n + 2C 1 n + 4C 2 n + ··· + 2 n C n n = 243. 4.9 Phương pháp đạo hàm với a k là tích hàm số mũ và đa thức theo k Bài 4.141 : Chứng minh rằng : a) C 1 n + 2C 2 n + 3C 3 n + ··· + nC n n = n.2 n−1 ; b) C 1 n − 2C 2 n + 3C 3 n − ··· + (−1) n−1 C n n = 0 ; c) 2 n−1 C 1 n − 2 n−1 C 2 n + 3.2 n−3 C 3 n − ··· + (−1) n−1 nC n n = n ; Bài 4.142 : Cho (x − 2) 100 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ···+ a 100 x 100 . Tính : a) a 97 ; b) S = a 0 + a 1 + ··· + a 100 ; c) M = a 1 + 2a 2 + 3a 3 + ···+ 100a 100 ; Bài 4.143 : Cho f(x) = (1 + x) n với n ≥ 2. a) Tính f ′′ (1) ; b) Chứng minh : 2.1.C 2 n + 3.2.C 3 n + 4.3.C 4 n + ··· + n(n − 1)C n n = n(n −1)2 n−2 . Bài 4.144 : Chứng minh : 2 n−1 C 1 n + 2 n−1 C 2 n + 3.2 n−3 C 3 n + 4.2 n−4 C 4 n + ··· + nC n n = n.3 n−1 . Bài 4.145 : Chứng minh : C 1 n .3 n−1 + 2C 2 n .3 n−2 + 3C 3 n .3 n−3 + ···+ nC n n = n.4 n−1 . Bài 4.146 : Tính A = C 1 n − 2C 2 n + 3C 3 n − 4C 4 n + ··· + (−1) n−1 nC n n . T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 78 [...]... trong mỗi số không có bất kì hai chữ số chẵn nào đứng cạnh nhau Bài 4.169 : Tính tổng sau theo n 6 2n 0 2 4 S = C2n − 3C2n + 9C2n − 27C2n + · · · + (−3)n C2n 3 5 2n−1 C2n C2n (−1)n−1 C2n + + ··· + 3 9 3n−1 Bài 4.171 : Có hai tổ học sinh Tổ thứ nhất gồm 8 học sinh nam, trong đó có 2 học sinh Hải Dương, 2 học sinh Bắc Ninh 1 Bài 4.170 : Tính C2n − và 2 học sinh Hưng Yên Tổ thứ hai gồm 6 học sinh nữ,... 4.170 : Tính C2n − và 2 học sinh Hưng Yên Tổ thứ hai gồm 6 học sinh nữ, trong đó có 2 học sinh Hải Dương, 2 học sinh Bắc Ninh và 2 học sinh Hưng Yên Chọn mỗi tổ ra 3 học sinh Tính xác suất để trong 6 học sinh được chọn ra mỗi tỉnh có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ Bài 4.172 : Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt 1, 2, 3 và 2010 điểm phân biệt khác A, B, C, D Tính số tam giác... Cn Cn n 0 Bài 4.162 : Cho số nguyên dương n > 4 và S = C2n + Bài 4.164 : Một tổ gồm 10 học sinh trong đó có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh lập nên đội cờ đỏ Gọi X là số học sinh nam của đội cờ đỏ Hãy lập bảng phân phối xác suất của X Bài 4.165 : Trong kì thi tuyển sinh năm 2009, trường THPT A có 5 học sinh gồm 3 nam, 2 nữ cùng đậu vào khoa X của một trường ĐH Số sinh viên... năm chữ số đó có hai Bài 4.178 : Tìm hệ số của x10 trong khai triển 1 + chữ số 1 còn các chữ số khác xuất hiện không quá một lần Bài 4.180 : Có 3 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh từ các học sinh trên để mỗi lớp A, B, C đều có ít nhất một học sinh được chọn Bài 4.181 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6... và 2010 điểm phân biệt khác A, B, C, D Tính số tam giác được tạo thành mà có các đỉnh được lấy trong tập 2016 điểm nằm trên các cạnh của hình vuông (khác các đỉnh của hình vuông) TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 80 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.173 : Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán kính khác nhau và 3 viên bi vàng có bán kính khác nhau Hỏi có bao... LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.158 : a) Tính 1 Ê 0 x(1 − x2 )n dx ; 1 0 1 1 1 2 1 3 (−1)n n 1 b) Chứng minh : Cn − Cn + Cn − Cn + · · · + Cn = ; 2 4 6 8 2n + 2 2(n + 1) 1 0 1 1 1 2n+1 (n2 + n + 2) − 2 n Bài 4.159 : Chứng minh : Cn + Cn + · · · + Cn = 3 4 n+3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 3 1 5 1 2n−1 22n − 1 1 1 Bài 4.160 (A07) : Chứng minh rằng : C2n + C2n + C2n + · · · + C2n = 2 4 6 2n 2n + 1 4.11 Bài tập tổng hợp. .. bi trắng xếp cạnh nhau Bài 4.185 : Tính tổng sau S = 0 Cn 1 2 2 1 Cn 2 + + ···+ 2 n Cn n+1 1 n 2 0 Bài 4.186 : Tính tổng S = Cn + 2Cn + 3Cn + · · · + (n + 1)Cn Bài 4.187 : Tìm hệ số của x8 trong khai triển 1 − x4 − Bài 4.188 : Cho khai triển 1 2x + 2 2 −x n 12 1 x n   k Cn 2x = ¡n−k 1 2 2 −x k k=0 Tìm x, biết tổng của số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135, còn tổng 3 hệ số của 3 số hạng cuối bằng 22...CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.147 : Chứng minh với n ∈ N và n > 2 thì : 1 1 n 3 2 C + 2Cn + 3Cn + · · · + nCn < n! n n Bài 4.148 : Chứng minh rằng : 2 3 n a) 1.2Cn + 2.3Cn + · · · + (n − 1)nCn = n(n − 1)2n−2 ; 2 3 n b)... 2x = ¡n−k 1 2 2 −x k k=0 Tìm x, biết tổng của số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135, còn tổng 3 hệ số của 3 số hạng cuối bằng 22 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 81 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 4.189 : Tìm số hạng lớn nhất trong khai triển (1 + 0, 2)1000 1 2 Bài 4.190 : Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 − 2)n , biết A3 + Cn = 8Cn + 49 n 1 2 n Bài 4.191 : Tìm hệ số của x6 trong... a1 x + a2 x2 + · · · + a12 x12 Tính hệ số a7 Bài 4.176 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số được chọn chia hết cho 3 Bài 4.177 : Tìm số nguyên dương n, biết :// m at hb lo g or g 1 2 3 Cn 2Cn 3Cn nC n 1 − . 4.64 : Một lớp học có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi. hai tổ học sinh. Tổ thứ nhất gồm 8 học sinh nam, trong đó có 2 học sinh Hải Dương, 2 học sinh Bắc Ninh và 2 học sinh Hưng Yên. Tổ thứ hai gồm 6 học sinh nữ, trong đó có 2 học sinh Hải Dương, 2 học. xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư. Để lập một tổ công tác, cần chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Bài 4.36