Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 11 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Bất đẳng thức Cô si và ứng dụng Page 1 of 11 TR ƯỜNG THCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bất đẳng thức Cô si và ứng dụng Page 2 of 11 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI VÀ ỨNG DỤNG I. Tóm tắt kiến thức: Đònh nghóa: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi mọt trong các dấu >(lớn hơn), < (nhỏ hơn), (lớn hơn hoặc bằng), (nhỏ hơn hoặc bằng). Ta có: A > B A – B > 0 ; A B A – B 0 Trong bất đẳng thức A > B (hoặc A < B, A B, A B), A được gọi là vế trái, B là vế phải của bất đẳng thức. Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức A > B và E < F gọi là bất đẳng thức trái chiều. Nếu ta có A > B C > D, ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B Nếu ta có A > B E > F, ta nói hai bất đẳng thức A > B và E > F là hai bất đẳng thức tương đương. A > B(hoặc A < B) là bất đẳng thức ngặt, A B (hoặc A B) là bất đẳng thức không ngặt. A B là A > B hoặc A = B A B cũng là bất đẳng thức. Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép. Ví dụ: A < B < C Bất đẳng thức Cô-si (bất đẳng thức trung bình cộng với trung bình nhân) Đối với hai số không âm: a,b 0, ta có: 2 a b ab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b Tổng quát: a 1 , a 2 , a 3 , ,a n 0 (với n số) 1 2 n a a a n ≥ 1 2 n n a a a Dấu đẳng thức xảy ra a 1 = a 2 = = a n Ứng dụng: - Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất: + Nếu a + b = k (k là hằng số) thì ab 2 ( ) 2 a b ab 2 4 k => Max(ab) = 2 4 k khi a = b= 2 k + Nếu ab = p (p là hằng số) thì a + b 2 p => Min (a + b) =2 p khi a = b = p - Giải phương trình, hệ phương trình. II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c . CMR: c b a 2 + c a b 2 + a b c 2 2 cba Với a, b, c > 0 ta có: c b a 2 + 4 cb a (áp dụng bất đẳng thức Cô si) Tương tự ta có: c a b 2 + 4 ca b; và a b c 2 + 4 ba c c b a 2 + c a b 2 + a b c 2 + 2 cba a + b + c c b a 2 + c a b 2 + a b c 2 2 cba (đpcm) Bài 2: Cho 3 số dương a, b, c. CMR: 3 b a + 3 b c + 3 c a a ac + b ba + c ab Ta có: 3 b a + 3 b c + 3 c a = 3 b a + bc + 3 b c + ca + 3 c a + ab – (ac + cb + ab) = 3 b a + bc + 3 b c + ca + 3 c a + ab– ( ab 2 + bc 2 + ab 2 + ac 2 + bc 2 + ac 2 ) 2 3 . a bc c + 2 3 . b ac c + 2 3 . c ab a + 2 . 4 abbc - 2 . 4 ab ac - 2 . 4 bc ac = = 2a ac +2b ba + 2c ab - a ac -b ba - c ab = a ac + b ba + c ab (đpcm) Bất đẳng thức Cô si và ứng dụng Page 3 of 11 Vậy 3 b a + 3 b c + 3 c a a ac + b ba + c ab a, b, c > 0 Bài 3: CMR: a, b, c > 0 ta có: ab bc ca a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b a b c 6 Áp dụng bất đẳng thức: ( 1 1 a b c 1 )(a + b + c) 3 3 1 abc 3 3 abc = 9 1 a b c 1 9 ( 1 1 a b c 1 ) ab a 3b 2c = ab a c b c 2b ab 9 ( 1 1 a c b c 2b 1 ) Tương tự: bc b 3c 2a bc 9 ( 1 1 b a a c 2c 1 ) và ca c 3a 2b ca 9 ( 1 1 b c 2a 1 b a ) VT ab 9 ( 1 1 a c b c 2b 1 )+ bc 9 ( 1 1 b a a c 2c 1 )+ ca 9 ( 1 1 b c 2a 1 b a ) = ( ab 9 + bc 9 ) 1 a c + ( ab 9 + ca 9 ) 1 b c + ( bc 9 + ca 9 ) 1 b a + a 18 + b 18 + c 18 = b(a c) 9(a c) + a(b c) 9(b c) + c(b a) 9(b a) + a 18 + b 18 + c 18 = = a 9 + b 9 + c 9 + a 18 + b 18 + c 18 = a 6 + b 6 + c 6 = a b c 6 = VP Bài 4: Cho a, b, c > 0. CMR: ab c(c a) + bc a(a b) + ca b(b c) a a c + b a b + c b c (1) Bất đẳng thức đã cho b a . c c a + c . a b a b + a c . b b c a a c + b a b + c b c b 1 . c c 1 a + c . a a b 1 1 + a 1 . b b 1 c 1 c 1 a + a b 1 1 + 1 b 1 c Đặt a b = x, b c = y, c a = z a b . b c . c a = xyz = 1 và z, y, x > 0 BĐT:y. 1 z 1 + z. 1 x 1 + x. 1 y 1 1 z 1 + 1 x 1 + 1 y 1 y(x+1)(y+1)+z(y + 1)(z + 1)+x(x + 1)(z + 1) (x + 1)(y + 1)+(y + 1)(z + 1)+(x + 1)(z + 1) (y – 1)(x+1)(y+1)+(z – 1)(y + 1)(z + 1)+(x – 1)(x + 1)(z + 1) 0 y 2 x + y 2 – x – 1 + z 2 y + z 2 – y – 1 + x 2 z + x 2 – z – 1 0 (y 2 x+ x 2 z+ z 2 y) + (y 2 + z 2 + x 2 ) – (x + y + z) – 3 0 (*) Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: y 2 x+ x 2 z+ z 2 y 2 2 2 3 3 y x.x z.z y = 3xyz =3; y 2 + z 2 + x 2 2 2 2 3 3 y x z = 3 3 1 = 3;x + y + z 3 3 yxz 3 VT của (*) 3 + 3 – 3 – 3 =0 = VP (*) đúng (1) đúng Vậy ab c(c a) + bc a(a b) + ca b(b c) a a c + b a b + c b c Bài 5:Cho 3 số dương a, b, c. CMR: )1( 1 )1( 1 )1( 1 accbba )1( 3 33 abcabc Đặt P =VT.p dụng bất đẳng thức: x, y, z là các số thực,ta có:(x + y + z) 2 3(xy + yz + zx), suy ra:P 2 1 1 1 3( ) ab(1 b)(1 c) bc(1 c)(1 a) ca(1 a)(1 b) = )1)(1)(1( ))1()1()1((3 cbaabc cbbaac = = )1)(1)(1( )1)1)(1)(1((3 cbaabc abccba P 2 )1)(1)(1( 3 )1)(1)(1( 33 cbaabccbaabc (1) Đặt t = 3 abc .Theo bất đẳng thức Cô-si ta lại có: (1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (a + b + c) + (ab + bc + ca) 1 + 3t + 3t 2 + t 3 = (1 + t) 3 (2) Bất đẳng thức Cô si và ứng dụng Page 4 of 11 Từ (1) và (2) suy ra: P 2 3333 )1( 3 )1( 33 tttt = 33 33 )1( )1)1((3 tt tt = 22 )1( 9 tt P )1( 3 tt = )1( 3 33 abcabc (do P > 0) Bài 6: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a b c + b c a + c a b > 2. Đặt a + b + c = t b c a .1 b c 1 a 2 = b c a a 2 = t 2a hay a b c t a2 Tương tự: b c a 2b t và c a b 2c t a b c + b c a + c a b 2a t + 2b t + 2c t = 2(a b c) t = 2t t = 2 Dấu “=” xảy ra b c a = 1, a c b = 1, b a c = 1 a b c b a c c a b a + b + c = 2(a + b + c) a + b + c = 0 (*) Theo giả thiết thì a + b + c 0 () không xảy ra. Vậy dấu “=” không xảy ra. a b c + b c a + c a b > 2. (đpcm) Bài 7: Cho x, y, z là các số không âm. CMR: 8(x 3 + y 3 + z 3 ) 2 9(x 2 + yz)(y 2 + xz)(z 2 + xy) Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: 3 3 3 3 3 3 x y y z x z 3 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 + x 3 z 3 + y 3 z 3 3x 2 y 2 z 2 6x 3 y 3 + 6x 3 z 3 + 6y 3 z 3 18x 2 y 2 z 2 (*) Lại có: (x 3 – xyz) 2 0 x 6 + x 2 y 2 z 2 2x 4 yz x 6 + 3 3 3 3 3 3 x y y z x z 3 2x 4 yz (1) Tương tự: y 6 + 3 3 3 3 3 3 x y y z x z 3 2y 4 xz (2) và z 6 + 3 3 3 3 3 3 x y y z x z 3 2z 4 xy (3) Từ (1), (2), (3) ta có: x 6 + y 6 + z 6 + 3 3 3 3 3 3 x y y z x z 2x 4 yz + 2y 4 xz + 2z 4 xy (4) Từ (4) và (*) ta có: x 6 + y 6 + z 6 +7 3 3 3 3 3 3 x y 7y z 7x z 2x 4 yz + 2y 4 xz + 2z 4 xy + 18x 2 y 2 z 2 (*’) Ta có: 6 6 6 x y z 3 x 2 y 2 z 2 . Do đó: x 6 + 6 6 6 x y z 3 2x 4 yz Tương tự: y 6 + 6 6 6 x y z 3 2y 4 xz ; z 6 + 6 6 6 x y z 3 2z 4 xy Cộng theo vế ta có: 2(x 6 + y 6 + z 6 ) 2x 4 yz + 2y 4 xz + 2z 4 xy 7x 6 + 7y 6 + 7z 6 7x 4 yz + 7y 4 xz + 7z 4 xy (5) Cộng theo vế (’) và(5) ta có: 8x 6 +8y 6 +8z 6 +7 3 3 3 3 3 3 x y 7y z 7x z 9x 4 y+9y 4 xz+9z 4 xy+ 18x 2 y 2 z 2 8(x 6 + y 6 + z 6 + 2 3 3 3 3 3 3 x y 2y z 2x z ) 9(x 4 y + y 4 xz + z 4 xy+ 2x 2 y 2 z 2 + 3 3 3 3 3 3 x y y z x z ) 8(x 3 + y 3 + z 3 ) 2 9(x 2 (y 2 z 2 + x 2 yz + xy 3 + xz 3 )+ yz(x 2 yz + xy 3 + y 2 z 2 + xz 3 ) 8(x 3 + y 3 + z 3 ) 2 9(x 2 + yz)(y 2 z 2 + x 2 yz + xy 3 + xz 3 ) 8(x 3 + y 3 + z 3 ) 2 9(x 2 + yz)(y 2 (z 2 + xy) + xz(z 2 + xy)) = 9(x 2 + yz)(y 2 + xz)(z 2 + xy)(đpcm) Vậy 8(x 3 + y 3 + z 3 ) 2 9(x 2 + yz)(y 2 + xz)(z 2 + xy) Bất đẳng thức Cô si và ứng dụng Page 5 of 11 Bài 8: Cho xy = 1 và x > y. Chứng minh: yx yx 22 2 2 . Bài giải: Do x > y x – y > 0 Ta có: yx yx 22 = yx xyyx 2)( 2 = yx yx 2)( 2 = (x – y) + yx 2 2 yx yx 2 ).( = 2 2 (Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho 2 số dương) Vậy yx yx 22 2 2 khi xy = 1 và x > y Bài 9: Cho 4 số không âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 1. Chứng minh: a b b c c d d a 2 2 Bài giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương: 2 ( ) a b b c + 2 ( ) c d d a + 2 ( ) a b b c ( ) c d d a 8 a + b + c + d + 2 ( )( ) a b b c + a + b + c + d + 2 ( )( ) c d d a + 2 ( )( ) a b c d + 2 ( )( ) a b d a + 2 ( )( ) b c c d +2 ( )( ) b c d a 8 2(a + b + c + d)+ 2 ( )( ) a b b c + 2 ( )( ) c d d a + 2 ( )( ) a b c d + 2 ( )( ) a b d a + 2 ( )( ) b c c d +2 ( )( ) b c d a 8 Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 2 ( )( ) a b b c a + b + b+ c = a +2b + c; 2 ( )( ) b c d a a + b + c + d 2 ( )( ) c d d a c + d + d + a = c + 2d + a; 2 ( )( ) a b c d a + b + c + d 2 ( )( ) a b d a a + b + d + a = 2a + b + d;2 ( )( ) b c c d b + c + c + d = b + 2c + d Cộng theo vế: VT 2(a + b + c + d) + a +2b + c + c + 2d + a + a + b + c + d + 2a + b + d + b + 2c + d + a + b + c + d 8a + 8b + 8c + 8d = 8(a + b + c + d) = 8 = VP (vì a + b + c + d = 1.) Vậy a b b c c d d a 2 2 Dấu “=” xảy ra a = b = c = d = 1/4 Bài 10: Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 2. CMR: 2 2 2 2 ( ) x y x y 2 Ta có: 2 2 x y = 2 ( ) x y – 2xy = 2 2 – 2xy = 4 – 2xy Mặt khác: áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: x + y 2 xy 2 2 xy xy 1 2 2 x y 4 – 2 = 2 và 2 2 x y 1 2 2 2 2 ( ) x y x y 2.1 = 2 (đpcm) Bài 11: Cho 3 số dương a, b, c thỏa a + b + c = 1. CMR: a 3 1 b c + b 3 1 c a +c 3 1 a b 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si: a 3 1 b c a 1 1 1 b c 3 = 3a ba ca 3 Tương tự: b 3 1 c a 3b bc ba 3 và c 3 1 a b 3c ac bc 3 Cộng theo vế: a 3 1 b c + b 3 1 c a +c 3 1 a b 3a ba ca 3 + 3b bc ba 3 + 3c ac bc 3 = = 3a ab ca 3b cb ab 3c ca cb 3 = 3a 3b 3c 3 = 3(a b c) 3 = 3 3 = 1 (dpcm) Vậy a 3 1 b c + b 3 1 c a +c 3 1 a b 1 . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c Bài 12: Cho 3 số dương a,b,c thỏa a 2 +b 2 +c 2 =1. CMR: 2 2 b 1 c + 2 2 1 c a + 2 2 1 a b 3 3 3 a b c 2abc + 3 Ta có: VT = 2 2 2 2 2 b a b c c + + 2 2 2 2 2 a a b c b = 2 2 2 b a c +1 + 2 2 2 c b a + 1 + 2 2 2 a c b + 1 = = 2 2 2 b a c + 2 2 2 c b a + 2 2 2 a c b +3 2 a 2bc + 2 2c b a + 2 2a c b + 3 = 3 3 3 b c a 2abc + 3 = VP Bất đẳng thức Cô si và ứng dụng Page 6 of 11 Vậy 2 2 1 b c + 2 2 1 c a + 2 2 1 a b 3 3 3 a b c 2abc + 3. Dấu “=” xảy ra a = b = c = 1 3 Bài 13: Cho 3 số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3 2 . CMR: B = (1+ 3 1 a )(1+ 3 b 1 )(1+ 3 c 1 ) 729 Ta có: B = 1 + 3 1 a + 3 b 1 + 3 c 1 + 3 3 1 a b + 3 3 c 1 a + 3 3 b c 1 + 3 3 3 1 a b c B 1 +3 3 3 3 3 1 a b c + 3 3 3 3 3 3 3 3 1 a b c a b c + 3 3 3 1 a b c = 1 + 3 1 abc + 3 2 2 2 1 a b c + 3 3 3 1 a b c = (1 + 1 abc ) 3 Mặt khác: abc ( a b c 3 ) 3 = ( 3 2 3 ) 3 = 1 8 B (1+ 1: 1 8 ) 3 = 9 3 =729 Vậy B = (1+ 3 1 a )(1+ 3 b 1 )(1+ 3 c 1 ) 729. Dấu bằng xảy ra a = b =c = 3 2 : 3 = 1 2 Vậy: 2 2 2 2 ( ) x y x y 2. Dấu “=” xảy ra x = y = 2 2 = 1 Bài 14: Cho a,b, c >0 thỏa ab+bc+ac abc. CMR: 8 a b + 8 b c + 8 a c 2 b c a + 2 a b c + 2 c a b + 2 Ta có: (a + b) 2 ( 2 1 a + 2 1 b ) 4ab. 2 ab =8 2 1 a + 2 1 b 2 8 (a b) 8 a b (a + b)( 2 1 a + 2 1 b ) 8 a b + 8 b c + 8 a c (a + b)( 2 1 a + 2 1 b ) + (b + c)( 2 1 b + 2 c 1 )+ (a + c)( 2 1 a + 2 c 1 ) = = 2 a b a + 2 a b b + 2 b c b + 2 b c c + 2 c a a + 2 c a c = 2 a b c a a + 2 a b b c b + 2 b c c a c = = 2 b c a + 2 2a a + 2 a b c + 2 2c c + 2 c a b + 2 2b b = 2 b c a + 2 a b c + 2 c a b + 2 a + 2 b + 2 c = = 2 b c a + 2 a b c + 2 c a b + 2(ab bc ca) abc 2 b c a + 2 a b c + 2 c a b + 2 (vì ab + bc + ac abc) (đpcm) Vậy 8 a b + 8 b c + 8 a c 2 b c a + 2 a b c + 2 c a b + 2 Bài 15: Cho 3 số dương a, b, c thỏa a + b + c =1. CMR: a bc b c + b ca c a + c ab a b 2 VT= a(a b c) bc b c + b(a b c) ca c a + c(a b c) ab a b = a(a c) b(a c) b c + b(a b) c(a b) c a + c(b c) a(b c) a b = (a c)(a b) b c + (a b)(b c) c a + (b c)(c a) a b Đặt a + b = x, b + c = y, c + a = z. VT bất đẳng thức tương đương: zx y + xy z + yz x zx xy 2 2y 2z + xy zy 2 2z 2x + yz zx 2 2x 2y = 2x + 2y + 2z = 2(x+y+z) = 2(BDTCô si) Vậy a bc b c + b ca c a + c ab a b 2 a, b, c >0 thỏa a + b + c =1 Bài 16: Cho a, b, c dương, abc = 1. Chứng minh rằng: 3 3 1 a b 1 + 3 3 1 b c 1 + 3 3 1 c a 1 1 Vì abc = 1, nên từ: (*) a 3 + b 3 + abc ab(a + b) + abc a 3 + b 3 + 1 ab(a + b + c) 3 3 1 1 a b 1 ( ) ab a b c . Tương tự, : 3 3 1 1 b c 1 ( ) bc b c a , 3 3 1 1 c a 1 ( ) ca c a b . Bất đẳng thức Cô si và ứng dụng Page 7 of 11 3 3 1 1 a b + 3 3 1 1 b c + 3 3 1 1 c a 1 ( ) ab a b c + 1 ( ) bc b c a + 1 ( ) ca c a b = ( ) a b c abc a b c = 1 abc = 1 Vậy 3 3 1 a b 1 + 3 3 1 b c 1 + 3 3 1 c a 1 1 Ứng dụng vào chứng minh hình học: Bài 17: Cho tam giác ABC vuông tại C. BC = a, AC = b, AB = c. Gọi h c là đường cao của tam giác kẻ tại C. CMR: c a b c h 2(1 + 2 ) Bài giải: Vì tam giác ABC vuông tại C, áp dụng đònh lý Pytago 2 c = 2 2 a b c = 2 2 a b Và ab = ch c h c = ab c (hệ thức lượng trong tam giác vuông) c a b c h = a b c ab c = ( ) a b c c ab = 2 ( ) a b c c ab = 2 2 2 2 ( ) a b a b a b ab 2 2 2 ab ab ab ab = = 2 2 +2 = 2(1 + 2 ) Vậy c a b c h 2(1 + 2 ) . Dấu bằng xảy ra a = b hay tam giác ABC vuông cân tại C. Bài 18: Cho ABC, trên tia đối AC, BA, CB lấy ba điểm A 1 ,B 1 , C 1 sao cho AA 1 = BC, BB 1 = AC, CC 1 = AB. CMR: ABC 1 S + ACB 1 S + BCA 1 S 6 ABC S Bài giải: Đặt AB = c, BC = a, AC = b Ta có: ABC 1 ABC S S = 1 BC BC = a c a = 1 + c a ; 1 BCA ABC S S = 1 CA CA = b a b = 1+ a b ; ACB 1 ABC S S = 1 AB AB = c b c = 1+ b c ABC 1 ABC S S + 1 BCA ABC S S + ACB 1 ABC S S = 1 + c a +1+ a b +1+ b c ABC CBA ACB 1 1 1 ABC S S S S = 3 + c a + a b + b c 3 + 3 a b c . . b c a = 3 + 3 = 6 ABC 1 S + ACB 1 S + BCA 1 S 6 ABC S (đpcm) Bài 19: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thỏa điều kiện: (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc. CMR: a, b, c là ba cạnh của tam giác đều. Bài giải: Vì a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có: a + b 2 ab ; b + c 2 bc ; c + a 2 bc (áp dụng bất đẳng thức cô - si) (a + b)(b + c)(c + a) 8 2 2 2 a b c = 8abc Dấu bằng xảy ra a = b = c Vậy a, b, c là ba cạnh của tam giác đều. Bài 20: Cho tam giác ABC. Ở miền trong tam giác có điểm m sao cho các đường thẳng AM, BM, CM cắt các cạnh lần lượt tại các điểm thỏa điều kiện: 1 AM A M + 1 BM B M + 1 CM C M = 6. CMR: M là trọng tâm tam giác ABC. Bài giải: A B C 1 B 1 A 1 C Bất đẳng thức Cô si và ứng dụng Page 8 of 11 Gọi s,s 1 , s 2 , s 3 lần lượt là diện tích các tam giác ABC, MBC, MCA, MAB. 1 1 AA A M = ABC MBC S S = 1 2 3 1 s s s s 1 AM A M = 2 1 s s + 3 1 s s Tương tự: 1 BM B M = 1 2 s s + 3 2 s s ; 1 CM C M = 2 3 s s + 1 3 s s 1 AM A M + 1 BM B M + 1 CM C M = 2 1 s s + 3 1 s s + 1 2 s s + 3 2 s s + 2 3 s s + 1 3 s s 1 2 2 1 s s 2 . s s + 3 1 3 1 s s 2 . s s + 3 2 2 3 s s 2 . s s = 2+2+2 = 6 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si Dấu bằng xảy ra s 1 = s 2 = s 3 = s 3 1 AM A M = 1 BM B M = 1 CM C M = 1 3 . Vậy M là trọng tâm tam giác ABC Bài 21: Cho 3 số dương a, b, c thỏa abc = 1. Tìm Min của P = 6 a b c + 6 b c a + 6 c a b Ta có: 6 a b c + b c 4 6 a b c 2 . b c 4 = a 3 6 a b c a 3 - b c 4 Tương tự: 6 b c a b 3 - c a 4 ; 6 c a b c 3 - a b 4 P a 3 +b 3 + c 3 - b c 4 - c a 4 - a b 4 = a 3 +b 3 + c 3 - b c c a a b 4 = a 3 +b 3 + c 3 - b c a 2 3 3 3 3 3 y .x z - 3 3 abc 2 = 3 - 3 2 = 3 2 Vậy Min P = 3 2 khi 6 a b c = b c 4 và 6 b c a = c a 4 và 6 c a b = a b 4 a = b = c = 1 Bài 22: Tìm Min P = 2 2 (b c) b (a c) a abc trong đó a, b, c là ba cạnh của tam giác vuông (c là cạnh huyền) Áp dụng bất đẳng thức Cô si: a + b 2ab Vì a, b, c là ba cạnh của tam giác vuông c 2 = a 2 + b 2 2ab c 2. ab P = 2 2 2 2 b a c b a b c a abc = 2 2 b(a b) c(a b ) a abc = 2 a b c ab c 2 ab 2 ab.c ab c = 2 ab 2.c ab c = = 2 ab c ( 2 1)c ab ab c 2 2 + ( 2 1) 2ab ab = 2 2 + ( 2 1) 2 =2 2 + 2 - 2 = 2 + 2 Vậy Min P = 2 + 2 khi đó a = b tam giác vuông cân. Bài 23: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x + xy + 3 xyz = 3 4 . Tìm giá trò nhỏ nhất của x + y + z. Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương ta có: xy = y x 2 2 y x 2 22 1 ; (1) 3 xyz = 3 4 4 zy x zy x 4 43 1 ; (2) Từ (1) và (2) 3 4 = x + xy + 3 xyz y x 2 22 1 + zy x 4 43 1 = 3 4 (x + y + z) x + y + z 1. .M A B C A 1 B 1 C 1 Bất đẳng thức Cô si và ứng dụng Page 9 of 11 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời trở thành đẳng thức 4 x = y = 4z; kết hợp với giả thiết x + xy + 3 xyz = 3 4 ta suy ra x = 21 16 ; y = 21 4 ; z = 21 1 . Vậy x + y + z đạt giá trò nhỏ nhất bằng 1. Bài 24: Cho x, y > 0; thỏa x + y = 1. Tìm Min A = 2 2 1 x y + 1 xy . Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức (a + b) 2 4ab a b ab 4 a b 1 1 a b 4 a b (a, b > 0) Mặt khác: x + y 2 xy xy 2 (x y) 4 = 1 4 (áp dụng bất đẳng thức Cô si) A = 2 2 1 x y + 1 2xy + 1 2xy 2 2 4 x y 2xy + 1 2xy = 2 4 (x y) + 1 2xy 4 + 1 1 2. 4 = 4 + 2 = 6 Vậy MinA = 6 khi x = y = 1 2 Bài 25: Với x, y, z là những số thực dương, hãy tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: M = ))()(( xzzyyx xyz Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương: x + y = 2 xy , y + z = 2 yz , x + z = 2 xz (x + y)(y + z)(z + x) 8 2 )(xyz = 8xyz M = ))()(( xzzyyx xyz xyz xyz 8 = 8 1 Vậy maxM = 8 1 khi x = y = z Bài 26: Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: A = 2 2001 x x + x x 2002 Bài giải: Điều kiện: x 2002 Đặt a = 2001x ; a > 0; b = 2002x ; b 0 thì x = a 2 + 2001; x + 2 = a 2 + 2003; x = b 2 + 2002, ta có: A = 2002 2003 22 b b a a = a a 2003 1 + b b 2002 1 . Theo bất đẳng thức Cosi: 20032 2003 a a ; 20022 2002 b b . Do đó A 20022 1 20032 1 . Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = a 2003 và b = b 2002 <=> a 2 = 2003 và b 2 = 2002 x = 4004. Vậy maxA = 20022 1 20032 1 khi x = 4004. Bài 27: Giả sử x, y, z là các số dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xy 2 z 2 + x 2 z + y = 3z 2 . Hãy tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: P = )(1 444 4 yxz z Do z > 0 nên từ: xy 2 + z x 2 + 2 z y = 3. Áp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương: Bất đẳng thức Cô si và ứng dụng Page 10 of 11 (x 2 y 2 + y 2 ) + (x 2 + 2 2 z x ) + ( 2 2 z y + 2 1 z ) 2(xy 2 + z x 2 + 2 z y ) = 6 P = )(1 444 4 yxz z = )( 1 1 44 4 yx z Đặt a = 2 1 z ; b = x 2 ; c = y 2 (a, b, c >0); ta có P = 222 1 c b a Do a 2 2a – 1; b 2 2b – 1; c 2 2c – 1; a 2 + b 2 2ab; b 2 + c 2 2bc; a 2 + c 2 2ac 3(a 2 + b 2 + c 2 ) 2(ab + ac + bc + a + b + c) – 3 Mà ab + ac + bc + a + b + c = x 2 y 2 + y 2 + x 2 + 2 2 z x + 2 2 z y + 2 1 z 6 Do đó 3(a 2 + b 2 + c 2 ) 9 a 2 + b 2 + c 2 3. Vậy P 3 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 x = y = 1/z = 1 x = y = z = 1 maxP = 3 1 khi x = y = z = 1 Ứng dụng vào giải hệ phương trình và phương trình: Bài 28: Nếu x 0 là nghiệm của phương trình x 2 + bx + c = 0 thì |x 0 | 2 2 b c 1 Bài giải: Vì x 0 là nghiệm của phương trình. Thay vào ta có: x 0 2 + bx 0 + c = 0 - x 0 2 = bx 0 + c x 0 4 = (bx 0 + c) 2 (b 2 + c 2 )(x 0 2 + 1) mà x 0 4 – 1< x 0 4 x 0 4 – 1 (b 2 + c 2 )(x 0 2 + 1) 0 0 4 2 x x 1 1 b 2 + c 2 x 0 2 - 1 b 2 + c 2 x 0 2 b 2 + c 2 +1 |x 0 | 2 2 b c 1 (đpcm) Bài 29: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2005 2004 40092004 2005 x y y x yx = 2 (1) Bài giải: Ta giải bài toán tổng quát: Với a, b, c, d dương ta có: F = b a d a d c d c b c b a = )()( b a d a d c d c b c b a = = ))(( )()( ))(( )()( badc dcdbab adcb cbcada 2 22 2 22 )( 4 1 )( 4 1 badc cdabdb adcb bcadca (theo BĐT Côsi) = 2 2222 )( )(4 dcba cdbcadabdcba (2) Mặt khác: 2(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ab + ad + bc + cd) – (a + b + c + d) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 –2ac – 2bd = = (a – c) 2 + (b – d) 2 0 (3) Kết hợp (2) và (3) ta suy ra F 2 (4)Đẳng thức xảy ra a = c; b = d Áp dụng với a = 2005, b = x; c = y; d = 2004 ta có: 2005 2004 40092004 2005 x y y x yx 2 Đẳng thức xảy ra y = 2005, x = 2004 Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên dương duy nhất là (2004; 2005) Bài 30: Tìm tất cả các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: xyzzyx zyx 4 2 111 0 Bài giải: