1 Các bài toán Đại số và Lượng giác 21.1 Các đẳng thức Đại số thuần tuý.. Chương 1Các bài toán Đại số và Lượng giác 1.1 Các đẳng thức Đại số thuần tuý 3... Chứng minh các đồng nhất thức
Trang 11 Các bài toán Đại số và Lượng giác 21.1 Các đẳng thức Đại số thuần tuý 21.2 Các đẳng thức Lượng giác 151.3 Phương trình và bất phương trình 30
1
Trang 2Chương 1
Các bài toán Đại số và Lượng giác
1.1 Các đẳng thức Đại số thuần tuý
3 Chứng minh rằng ta có đồng nhất sau
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)−(ax+by+cz)2 = (bx−ay)2+(cy−bz)2+(az−cx)2
4 Chứng minh rằng các đồng nhất nói trong các bài toán trước có thể mở rộngnhư sau
(a21+ a22 + ã ã ã + a2n)(b21+ b22+ ã ã ã + b2n) − (a1b1+ a2b2+ ã ã ã + anbn)2 =
= (a1b2− a2b1)2+ (a1b3− a3b1)2+ ã ã ã + (an−1bn− anbn−1)2
5 Giả sử rằng n(a2
1 + a22 + ã ã ã + a2n) = (a1+ a2+ ã ã ã + an)2 Chứng minhrằng a1 = a2 = ã ã ã = an
6 Chứng minh rằng từ đẳng thức (x − y)2 + (y − z)2+ (z − x)2 = (y + z −2x)2+ (z + x − 2y)2+ (x + y − 2z)2 ta suy ra rằng x = y = z
7 Chứng minh các đồng nhất thức sau
(a2− b2)2+ (2ab)2 = (a + b)2(6a2−4ab+4b2)3 = (3a2+5ab−5b2)3+(4a2−4ab+6b2)3+(5a2−5ab−3b2)3
2
Trang 3(ix − ky)n+ (iy − kz)n+ (iz − kx)n= (iy − kx)n+ (iz − ky)n+ (ix − kz)n
khi n = 0, 1, 2, 4 trong đó i là đơn vị ảo, ie i2 = −1
iii.(a2−c2+2bd)2+(d2−b2+2ac)2 = (a2−b2+c2−d2)2+2(ab−bc+dc+ad)2
14 Chứng minh đồng nhất thức sau đây
(a+b+c)4+(a+b−c)4+(a−b+c)4+(−a+b+c)4 = 4(a4+b4+c4)+24(a2b2+b2c2+c2a2)
Trang 417 Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3+ c3 = 3abc
Bài giải Hãy chú ý rằng ta có đẳng thức
a3 + b3+ c3− 3abc = (a + b + c)(a2+ b2+ c2− ab − bc − ca)
18 Cho các số a, b, c Đơn giản biểu thức sau đây
20 Cho a + b + c = 0 , chứng minh rằng ta có các đẳng thức sau đây
23 Cho đa thức hai biến dạng Ax2+ 2Bxy + Cy2 Chứng minh rằng qua phép
đổi biển x = αu + βv và y = γu + δv đa thức trên có thể viết lại ở dạng
M u2+ 2N uv + P v2với N2− M P = (B2− AC)(αδ − βγ)2 Hãy mở rộngbài toán cho các dạng bậc hai nhiều chiều
Trang 526 Chứng minh rằng
x − 1)(1−
12x − 1)(1+
13x − 1) ã ã ã (1+
1(2n − 1)x − 1)(1−
12nx − 1) =
= (n + 1)x(n + 1)x − 1 ã (n + 2)x
1(x − 2)(x + 9) + ã ã ã +
1(x − 10)(x + 1)
ta suy ra đẳng thức
ab
cd =(a + b)2
(c + d)2
Trang 6(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 − x)(1 − y)(1 − z)
31 Chứng minh rằng từ đẳng thức
(a + b + c + d)(a − b − c + d) = (a − b + c − d)(a + b − c − d)suy ra đẳng thức
a
c =
bd
ck(c − a)(c − b)Chứng minh rằng S−2 = abc1 ã (1
36 Giả sử rằng
cyclic
ak(a + b)(a + c)(a − b)(a − c)Hãy xác định S0, S1, S2, S3, S4
Trang 737 Chứng minh rằng ta có đồng nhất thức sau đây
X
cyclic
ab(c − x)(c − y)(c − z)(c − a)(c − b) = abc − xyz
38 Chứng minh rằng
X
cyclic
a2b2c2
(a − d)(b − d)(c − d) = abc + bcd + cda + dab
39 Hãy làm đơn giản biểu thức sau đây
X
cyclic
ak
(a − b)(a − c)(x − a)với k = 1, 2
40 Chứng minh đồng nhất thức sau đây
X
cyclic
b + c + d(a − b)(a − c)(a − d)(a − x) =
x − a − b − c − d(x − a)(x − b)(x − c)(x − d)
41 Chứng minh rằng
X
cyclic
ak(x − b)(x − c)(a − b)(a − c) = x
Trang 8cx + azy(ax − by + cz) =
ay + bxz(ax + by − cz)suy ra
xa(b2+ c2− a2) =
yb(c2 + a2− b2) =
zc(a2+ b2− c2)
xa2+ by2+ cz2 = 0
49 Cho a3+ b3+ c3 = (b + c)(c + a)(a + b)và (b2+ c2− a2)x = (c2+ a2− b2)y =(a2+ b2− c2)z Chứng minh rằng
52 Chứng minh rằng đẳng thức sau đây
X
cyclic
ak(x − b)(x − c)(x − d)(a − b)(a − c)(a − d) = x
k
với k = 0, 1, 2, 3
Trang 954 Chứng minh các đồng nhất thức sau đây
• (a + b + c)(bc + ca + ab) = abc + (b + c)(c + a)(a + b)
• (a2− 1)(b2− 1)(c2− 1) + (a + bc)(b + ca)(c + ab) = (abc + 1)(a2+
b2+ c2+ 2abc − 1)
• (b + c − a)3+ (c + a − b)3+ (a + b − c)3− 4(a3+ b3+ c3− 3abc) =3(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c)
Trang 10a(b − c)2 + b
67 Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b2 = c + d2, a2+ b = c2+ d Chứngminh rằng nếu a + b + c + d ≤ 2 thì {a, b} = {x, y}
68 Giả sử rằng a, b, c, d là bốn số thực thoả mãn đẳng thức a + b + c + d =
a7+ b7+ c7+ d7 = 0 Chứng minh rằng
(a + b)(a + c)(a + d) = 0
Trang 1169 Chứng minh đồng nhất thức sau đây
X
cyclic
ak(a − x)(a − y)(a − b)(a − c) =
xyabc
70 Chứng minh các đồng nhất thức sau đây
75 [HongKong TST 1993]Cho các số dương a, b, c thoả mãn
a + b + c
a + b − c
Trang 1276 Cho các số thực dương a, b, c, d satisfying the conditions
9− 3
r2
9 +
3
r49
83 Chứng minh các đẳng thức sau đây
Trang 136 +
r847
27 +3s
6 −
r847
s
7 + 83
r55
3s
7 −83
r553(c)
86 Cho các số x, y khác không thoả mãn x2+ xy + y2 = 0 Hãy xác định giá
trị của biểu thức
x
x + y
2001
+
y
x + y
2001
87 Cho n là một số nguyên dương và 2n + 1 số được lấy từ tập hợp {2, 5, 9}
thoả mãn nếu ta viết chúng ở dạng dãy a1, a2, , a2n+1 thì hai số liên tiếp
bất kì đều khác nhau và a2n+1 = a1 Chứng minh rằng
a(bc − a2)2 + b
(ca − b2)2 + c
(ab − c2)2 = 0
Trang 1489 Cho n là một số nguyên dương và n số thực x1, , xn Với mỗi k nguyêndương đặt Sk = xk
91 Cho các số thực x, y, z thoả mãn xyz(x + y + z) = 1 Chứng minh rằng
93 Cho n là một số nguyên dương chẵn Kí hiệu w = cos 2kπ
n + 1
n
Chứng minh rằng
1 + a1w + a2w2+ ã ã ã + anwn6= 0
Trang 151.2 Các đẳng thức Lượng giác
1 Chứng minh các đồng nhất thức sau
• cos a + cos b = 2 cos(a+b
• cos(a + b) ã cos(a − b) = cos2a − sin2b
• (cos a + cos b)2+ (sin a + sin b)2 = 4 cos2 a−b
2
• (cos a − cos b)2+ (sin a − sin b)2 = 4 sin2 a−b2
• cos(a + b) = cos a ã cos b − sin a ã sin b
• cos(a − b) = cos a ã cos b + sin a ã sin b
• sin(a + b) = sin a ã cos b + cos a ã sin b
• sin(a − b) = sin a ã cos b − cos a ã sin b
• sin 2a = 2 sin a ã cos a
• cos 2a = cos2a − sin2a = 2 cos2a − 1 = 1 − 2 sin2a
• cos2a + sin2a = 1
• tan 2a = 2 tan a
1−tan 2 a
• sin 3a = 3 sin a − 4 sin3a
• cos 3a = 4 cos3a − 3 cos a
• tan 3a = 3 tan a−tan 3 a
1−3tg 2 a
• tan a − tan b = cos aãcos bsin(a−b)
• cot a + cot b = sin aãsin bsin(a+b)
• cot a − cot b = sin aãsin bsin(b−a)
Trang 164 Chứng minh rằng ta có các đẳng thức sau đây
• tan4a = cos 4a−4 cos 2a+3cos 4a+4 cos 2a+3
• 1
2 ã cot4a = sin1−8 sin22a+4 sin2 a−cos 4a2a−4
• cot a − tan a − 2 tan 2a − 4 tan 4a = 8 cot 8a
• cos6a − sin6a = (3+cos22a) cos 2a4
• 2(sin6a + cos6a) − 3(sin4a + cos4a) + 1 = 0
• 1+sin 2a
sin a+cos a −1−tan2 a2
1+tan 2 a 2
•
√
1+cos a+√1−cos a
√
1+cos a−√1−cos a = cot(a2 +π4)
5 Cho sin(a + 2b) = 2 sin a Chứng minh rằng tan(a + b) = 3 tan b
6 Cho
sin(x − α)sin(x − β) =
abcos(x − α)cos(x − β) =
a1
b1với ab1+ a1b 6= 0 Chứng minh rằng
r2− 1
1 + 2r cos u + r2 = r + cos u
r − cos v = ±
sin usin v = −
1 + r cos u
1 + r cos v
Trang 1712 Cho cos x = tan y, cos y = tan z, cos z = tan x Chứng minh rằng
sin x = sin y = sin z =
√
5 − 12
sin2 x
2 =
2a2 − a1− a34a2
15 Cho
sin βsin(2α + β) =
mnChứng minh rằng
sin2α cos βsin2β cos αChứng minh rằng
17 Chứng minh đồng nhất thức sau đây
sin(a + b − c − d) = sin(a − c) sin(a − d)
sin(b − c) sin(b − d)sin(b − a)X
cyclic
cos a − cos(a + b + c) = 4 Y
cyclic
cosa + b2
Trang 18sin asin(a − b) sin(a − c) = 0X
cyclic
cos asin(a − b) sin(a − c) = 0X
cyclic
sin3a cos(b − c) = 0X
cyclic
sin3a sin(b − c) = 0X
cyclic
sin a = 4 Y
cyclic
cosa2X
cyclic
cos a = 1 + 4 Y
cyclic
sina2X
cyclic
tan a = Y
cyclic
tan a
Trang 19sin 2a = 4 Y
cyclic
sin aX
cyclic
cos2a = 2 Y
cyclic
cos a + 1
21 Giả sử rằng a1cos α1+ a2cos α2+ ã ã ã + ancos αn = 0và a1cos(α1+ θ) +
a2cos(α2 + θ) + ã ã ã + ancos(αn+ θ) = 0 với θ 6= k ã π(k ∈ Z) Chứngminh rằng với mọi λ ∈ R ta có đẳng thức
a1cos(α1+ λ) + a2cos(α2+ λ) + ã ã ã + ancos(αn+ λ) = 0
22 Giả sử rằng
atan(α + x) =
btan(α + y) =
ctan(α + z)Chứng minh rằng
25 Chứng minh rằng
sin 180 =
√
5 − 14tg150 = 2 −√
3sin 150 =
√
6 −√24cos 150 =
√
6 −√24cos 180 = 1
4
q
10 + 2√
2
Trang 201sin2 2π7 +
1sin2 3π7 = 8
29 Chøng minh r»ng
tan250+ tan2100+ · · · + tan2800+ tan2850 = 195
30 [The Democratic Republic of Germany 3] Chøng minh r»ng
Trang 212 sin
π5
35 Các số nguyên a1, a2, , an nhận các giá trị là +1 hoặc −1 Chứng minhrằng
3 sin 2500 = √4
3tan 90 − tan 630+ tan 810− tan 270 = 4cos 100cos 500cos 700 =
√38tan π
11+ 4 tan
2π
11 =
√11tan6200+ tan6400+ tan6800 = 33273tan6100+ tan6500+ tan6700 = 433
38 [Mathematical Excalibur 1995] Chứng minh rằng
n
2 − 14
40 Giả sử rằng = cos2π
n + i sin2πn với n là số nguyên dương và đặt
Ak = a0+ a1k+ a22k+ ã ã ã + an−1(n−1)kvới k = 0, 1, 2, , n − 1 Chứng minh rằng
n−1
X
k=0
|Ak|2 = n{a20+ a21+ ã ã ã + a2n−1}
Trang 2241 Chứng minh đồng nhất thức sau đây
cos nφcosnφ = 1 −
n2
tan2φ +n
4
tan4φ − ã ã ã + A
ở đây A = (−1)n
2 tannφvới n chẵn và bằng (−1)n−1
2 n n−1 tann−1φ
42 Chứng minh rằng
sin nφcosnφ =
n1
tan φ −n
3
tan3φ +n
2 tannφ nếu n
lẻ
43 Giả sử rằng 0 < α ≤ π và 0 < β ≤ π thoả mãn tính chất
cos α + cos β − cos(α + β) = 3
2Chứng minh rằng
α = β = π
3
44 Giả sử rằng 0 < α ≤ π và 0 < β ≤ π thoả mãn tính chất
cos α ã cos β ã cos(α + β) = −1
8Chứng minh rằng
Trang 2348 Chứng minh rằng nếu (x − a) cos θ + y sin θ = (x − a) cos θ1+ y sin θ1 = a
a + c
b + dc
52 Giả sử rằng α, β là các góc nhọn thoả mãn đẳng thức sin2α + sin2β =sin(α + β) Chứng minh rằng α + β = π
tan θtan ϕ =
tan αtan γChứng minh rằng
tan2 α
2 ã tan2γ
2 = tan
2 β2
54 Chứng minh rằng nếu cos θ = cos α cos β , cos ϕ = cos α1cos β , tanθ
2 ãtanϕ2 = tanβ2 thì ta có đẳng thức sau đây
sin2β = ( 1
cos α− 1) ã ( 1
cos α1 − 1)
55 Giả sử rằng x cos(α + β) + cos(α − β) = x cos(β + γ) + cos(β − γ) =
x cos(γ + α) + cos(γ − α) Chứng minh rằng
tan αtan12(β + γ) =
tan βtan12(α + γ) =
tan γtan12(α + β)
Trang 2456 Chứng minh rằng nếu
sin(θ − β) ã cos αsin(ϕ − β) ã cos β +
cos(α + θ) ã sin βcos(ϕ − β) ã sin α = 0và
tan θ ã tan αtan ϕ ã tan β +
cos(α − β)cos(α + β) = 0thì
58 Chứng minh rằng từ đẳng thức cos(θ − α) = a; sin(θ − α) = b ta suy ra
a2− 2ab sin(α − β) + b2 = cos2(α − β)
59 Giả sử rằng ta có các đẳng thức cos(α − 3θ) = m cos3θ và sin(α − 3θ) =
ta suy ra đẳng thức
tan2α = tan2β + tan2γ
61 [HongKong TST 2001] Giả sử rằng tan α, tan β là nghiệm của phương trình
x2+ πx +√
2 = 0 Chứng minh rằngsin2(α + β) + π sin(α + β) cos(α + β) +√
Trang 2563 Chứng minh các đồng nhất thức sau đây
2nã ã ã sin(n − 1)π
√n
2n−1
cos 2π2n + 1 ã cos 4π
2nã ã ã cos(n − 1)π
√n
2n−1
tan π2n ã tan2π
65 Chứng minh rằng nếu cos α+i sin α là nghiệm của phương trình xn+p1xn−1+
ã ã ã + pn = 0thì p1sin α + p2sin 2α + ã ã ã + pnsin nα = 0ở đó p1, p2, , pn
là các số thực
66 Chứng minh các đẳng thức sau đây
3
rcos2π
3
rcos4π
3
rcos8π
3
r1
2(5 −
3
√7)
3
rcos2π
3
rcos4π
3
rcos8π
3
r1
2(3
3
√
9 − 6)
Trang 2667 Giả sử rằng
uk= sin 2nx ã sin(2n − 1)x ã ã ã sin(2n − k + 1)x
sin x ã sin 2x ã ã ã sin kxChứng minh các đẳng thức sau đây
1 − u1+ u2−u3+ ã ã ã + u2n = 2n(1 − cos x)(1 − cos 3x) ã ã ã (1 − cos(2n − 1)x)
1 − u21+ u22− u23+ ã ã ã + u22n = (−1)nsin(2n + 2)x ã sin(2n + 4)x ã ã ã sin 4nx
sin 2x ã sin 4x ã ã ã sin 2nx
68 Chứng minh đẳng thức sau đây
tan 300+ tan 400+ tan 500+ tan 600 = 8
√3
3 cos 20
0
69 Cho tan 11x = tan 340 và tan 19x = tan 210 Hãy xác định tan 5x
70 Chứng minh các đẳng thức sau đây
cos(arcsin x) =p(1 − x2)sin(arccos x) =p(1 − x2)tan(arccotx) = 1
xcot(arctan x) = 1
xcos(arctan x) = 1
7) = sin(4 ã arctan
1
3)
Trang 2772 Chứng minh các đồng nhất thức sau đây
arctan x + arctan y = arctan x + y
1 + xy + ã πtrong đó = 0 nếu xy < 1 , = −1 nếu xy > 1 và x < 0 , và = 1 nếu
ζ = 1, = 0nếu xy < 0 hoặc x2+ y2 ≤ 1
ζ = −1, = −1nếu x2+ y2 > 1, x < 0, y < 0
ζ = −1, = +1 nếu x2+ y2 > 1, x > 0, y > 0
75 Hãy chứng minh các đồng nhất thức sau
sin 5α = sin5α − 10 sin3α cos2α + 5 sin α cos4αcos 5α = cos5α − 10 cos3α sin2α + 5 cos α sin4αcos nα = cosnα −n
2
cosn−2α sin2α +n
4
cosn−4α sin4α − ã ã ã
sin nα =n
1
cosn−1α sin α−n
3
cosn−3α sin3α+n
5
cosn−5sin5α−ã ã ã
76 Giả sử rằng
z +1
z = 2 cos αthì ta có đẳng thức
Trang 28cos ϕ+cos(ϕ+α)+cos(ϕ+2α)+ã ã ã+cos(ϕ+nα) = sin
(n+1)α
2 ã cos(ϕ + nα
2)sinα
2
cos2α + cos22α + ã ã ã + cos2nα = sin(n + 1)α cos nα
2sin2α + sin22α + ã ã ã + sin2nα = n + 1
2 −sin(n + 1)α cos nα
2 sin αcos α+n
1
cos 2α+n
2
cos 3α+ã ã ã+
n
n − 1
cos nα+cos(n+1)α = 2ncosnα
2
sin 3α+ã ã ã+
n
n − 1
sin nα+sin(n+1)α = 2ncosnα
6π2n + 1+ ã ã ã + cos
2nπ2n + 1 = −
12cot2 π
78 [ IMO 1966 The fourth Problem ]1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên
dương n và mọi số thực α thoả mãn sin 2nα 6= 0ta có đẳng thức
n
X
k=1
1sin 2kα = cot α − cot 2
81 Chứng minh rằng với mọi x ∈ R ta có
Trang 2982 H·y rót gän c¸c tæng sau ®©y
k=1bksin ak ë ®©y {ak}+∞k=1 vµ {bk}+∞k=1 lµ c¸c cÊp sè céng
5) Pn
k=1bkcos ak ë ®©y {ak}+∞
k=1 vµ {bk}+∞
k=1 lµ c¸c cÊp sè céng6) Pn
k=1bksin ak ë ®©y {ak}+∞
k=1 lµ cÊp sè nh©n vµ {bk}+∞
k=1 lµ cÊp sè céng7) Pn
k=1bkcos ak ë ®©y {ak}+∞
k=1 lµ cÊp sè nh©n vµ {bk}+∞
k=1 lµ cÊp sè céng8) Pn
k=1
1 sin a k sin a k+1 ë ®©y {ak}+∞
k=1 lµ cÊp sè céng9) Pn
k=1
1 cos a k cos a k+1 ë ®©y {ak}+∞k=1 lµ cÊp sè céng10) Pn
84 Chøng minh r»ng
sin x + sin 2x + sin 4x5− − sin x + sin 2x + sin 4x5
−
− sin x − sin 2x + sin 4x5
− sin x + sin 2x − sin 4x5
2) Chøng minh hÖ thøc sau ®©y |A|2+ |B|2+ |C|2 = 3(|x|2| + |y|2+ |z|2)
Trang 30xy + x + y ≤ 1Chứng minh rằng x ≤ 2.
4 [ RoMO97 ]1Cho đa thức bậc ba f(x) = ax3+ bx2+ cx + dvới a, b, c, d ∈ Rthoả mãn điều kiện f(2) + f(5) < 7 < f(3) + f(4) Chứng minh rằng tồntại các số thực u, v thoả mãn u + v = 7 và f(u) + f(v) = 7
5 Cho các số thực a, b, c, r, s ∈ R thoả mãn
(
ar2+ br + c = 0
−as2+ bs + c = 0Chứng minh rằng tồn tại số thực u thoả mãn
2x − 1 =√
2(b) p
x +√2x − 1 +px −√
2x − 1 = 1(c) p
x +√2x − 1 +px −√
2x − 1 = 2
7 [ IMO 1959 ] Cho các số thực a, b, c Cho phương trình sau của cos x :
a cos2x + b cos x + c = 0Hãy dựng một phương trình bậc hai đối với cos 2x từ phương trình nói trên
và tìm các giá trị của a, b, c để hai phương trình đó có cùng nghiệm x Sosánh giá trị của cos x và cos 2x khi mà a = 4 , b = 2 , c = −1
1 Romania Mathematical Olympiad 1997
2 International Mathematical Olympiad 1959 The second Problem
Trang 318 [ IMO 1960 ] Tìm tất cả các giá trị thực của x mà bất đẳng thức dưới đây
đúng
4x2(1 −√
Trang 3218 [ IMO 1968 The third Problem ] Cho các số thực a, b, c không đồng thờibằng không Giả sử rằng các số thực x1, x2, , xn thoả mãn n phương trình
ax2i + bxi+ c = xi+1với mọi 1 ≤ i < n và ax2
n+ bxn+ c = x1 Chứng minhrằng hệ này không có nghiệm, một nghiệm, nhiều hơn một nghiệm thực phụthuộc vào giá trị của số (b − 1)2 − 4ac tương ứng là âm, bằng không haydương
19 [ IMO 1969 The second Problem ] Xét phương trình
π ie tồn tại số hữu tỷ r sao cho x1− x2 = r ã π
20 [ IMO 1972 The fourth Problem ] Hãy xác định tất cả các nghiệm số dươngcủa phương trình
2− x4x1)(x2
3− x4x1) ≤ 0(x2
3− x5x2)(x2
4− x5x2) ≤ 0(x2
4− x1x3)(x2
5− x1x3) ≤ 0(x2
là hợp của các đoạn rời nhau, có tổng độ dài bằng 1988
23 [ Kurs.MO1975 The first Problem ]3 Hãy biến đổi phương trình
(a + c)2 + 1
(a − c)2 = a − bthành dạng đơn giản hơn với a > c ≥ 0 và b > 0
3 Kurschák Mathematical Competition 1975
Trang 3324 [ Kurs.MO1976 The third Problem ] Chứng minh rằng nếu tam thức bậc hai
ax2+ bx + cluôn nhận giá trị dương với mọi giá trị thực x thì nó có thể viết
được dưới dạng thương của hai đa thức với các hệ số dương
25 [ Irish Mathematical Olympiad 1999 The first Problem ]4 Hãy xác định tấtcả các số thực x thoả mãn
x2(x + 1 −√
x + 1)2 < x
2+ 3x + 18(x + 1)2
26 [ Irish MO 1999 The sixth Problem ]5 Giải hệ phương trình sau đây
29 [ Irish MO 1994 The ninth Problem ] Cho w, a, b, c là các số thực thoả mãntồn tại các số thực x, y, z thoả mãn hẹ phưong trình sau đây
Hãy biểu diễn w theo các số a, b, c
30 [ Irish MO 1993 The first Problem ] Cho các số thực α, β thoả mãn các hệphương trình
(
α3− 3α2+ 5α − 17 = 0
β3− 3β2 + 5β + 11 = 0Hãy tìm tổng α + β
4 Irish Mathematical Olympiad 1999 the first Paper
5 Irish Mathematical Olympiad 1999 the second Paper
Trang 3431 [ MiU.MC1998 ]6 Hãy xác định tất cả các nghiệm thực của phương trình
1998x+ 1999x = 1997x+ 2000x
32 [Moscow Mathematical Olympiad 2000, for 9 Class] Hãy xác định tất cả các
số dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình sau đây
sin4(cos43x) + cos4(cos43x) = 1
35 [Moscow MO 2000, for 11 Class] Giải phương trình lượng giác sau đây
qsin x −√
sin x + cos x = cosx
36 [Moscow MO 2000, for 9 Class] Giải hệ phương trình sau đây
38 [Moscow MO 2000, for 11 Class] Xác định nghiệm của hệ thống phươngtrình sau đây
(2y − x = sin x − sin 2ycos x + 5 sin y = 4
39 [Moscow MO 2001, for 8 Class] Giải phương trình
x3+ 5x2+ 2x = 8
6 Undergraduate Mathematics Competition 1998 at University of Michigan
Trang 3540 [Moscow MO 2001, for 9 Class] Giải phương trình sau đây
41 [Moscow MO 2001, for 11 Class] Giải bất phương trình x10+ x6+ x5+ x3+
3)x = 4x
(c) 2x+ 3x+ 5x−1 = 21−x+ 31−x+ 5−x
(d) log2(1 +√3
x ) = log7x(e) 2 log3(cot x) = log2(cos x)
Trang 36(o) √3
1 + x +√
1 − x = √3
2(p) √x − 2 +√
4 − x = x2− 6x + 11(q) √4
x − 1 +√3
x − 2 = √3
2x − 3(s) 1995 − x
1996
+ 1996 − x ... 32
18 [ IMO 1968 The third Problem ] Cho số thực a, b, c không đồng thờibằng không Giả sử số thực x1, x2, , xn... Problem ] Cho w, a, b, c số thực thoả mãntồn số thực x, y, z thoả mãn hẹ phưong trình sau
Hãy biểu diễn w theo số a, b, c
30 [ Irish MO 1993 The first Problem ] Cho số thực α, β thoả mãn... nghiệm thực phụthuộc vào giá trị số (b − 1)2 − 4ac tương ứng âm, không haydương
19 [ IMO 1969 The second Problem ] Xét phương trình
π ie tồn số hữu tỷ r cho x1−