Ôn thi olympic-Chuyên đề Đại số

[...]... 1 với i = 1, 2, 3, 4 ở đó các số a1 , a2 , a3 , a4 là phân biệt Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.32 18 [ IMO 1968 The third Problem ] Cho các số thực a, b, c không đồng thời bằng không Giả sử rằng các số thực x1 , x2 , , xn thoả mãn n phương trình ax2 + bxi + c = xi+1 với mọi 1 i < n và ax2 + bxn + c = x1 Chứng minh i n rằng hệ này không có nghiệm, một nghiệm, nhiều... Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.30 Phương trình và bất phương trình 1 Cho các số thực a, b, c R thoả mãn a(4a + 3b + 2c) > 0 Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 không thể có hai nghiệm thuộc khoảng (1; 2) 2 Tìm điều kiện cần và đủ cho các số nguyên a, b, c, d với a = 0 sao cho axy + bx + cy + d = cd có vô số nghiệm nguyên đối với ẩn nguyên x, y 3 Cho các số thực x, y... (bc a (ca b (ab c2 )2 17 2 7 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.14 89 Cho n là một số nguyên dương và n số thực x1 , , xn Với mỗi dương đặt Sk = xk + ã ã ã + xk Chứng minh rằng nếu S2 = S3 1 n Sk = S1 với mọi k 90 Cho hai số thực x, y thoả mãn ( x2 + 3 + x)( y 2 + 3 + y) = 1 Chứng minh rằng 91 Cho các số thực k nguyên = S4 thì x + y = 0 x, y, z thoả mãn xyz(x... bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.29 82 Hãy rút gọn các tổng sau đây 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) n k=1 n k=1 n k=1 n k=1 n k=1 n k=1 n k=1 n k=1 3k1 sin3 x 3k arctan 2+k2k+k4 2 k sin ak ở đây {ak }+ là một cấp số cộng k=1 bk sin ak ở đây {ak }+ và {bk }+ là các cấp số cộng k=1 k=1 bk cos ak ở đây {ak }+ và {bk }+ là các cấp số cộng k=1 k=1 bk sin ak ở đây {ak }+ là cấp số nhân và... Competition 1975 Hà Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.33 24 [ Kurs.MO1976 The third Problem ] Chứng minh rằng nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị thực x thì nó có thể viết được dưới dạng thương của hai đa thức với các hệ số dương 25 [ Irish Mathematical Olympiad 1999 The first Problem ]4 Hãy xác định tất cả các số thực x thoả mãn x2 x2 + 3x + 18... Cho các số x, y khác không thoả mãn trị của biểu thức x x+y x2 + xy + y 2 = 0 Hãy xác định giá 2001 + y x+y 2001 87 Cho n là một số nguyên dương và 2n + 1 số được lấy từ tập hợp {2, 5, 9} thoả mãn nếu ta viết chúng ở dạng dãy a1 , a2 , , a2n+1 thì hai số liên tiếp bất kì đều khác nhau và a2n+1 = a1 Chứng minh rằng a1 a2 a2 a3 + ã ã ã + a2n1 a2n a2n a2n+1 = 0 88 Cho các số a, b, c R thoả mãn... 1990] Giả sử rằng a, b, c, d là bốn số thực thoả mãn hệ a + 4b + 9c + 16d = 1 4a + 9b + 16c + 25d = 12 9a + 16b + 25c + 36d = 123 Hãy xác định giá trị của biểu thức 16a + 25b + 36c + 49d 75 [HongKong TST 1993]Cho các số dương a, b, c thoả mãn a b c = = b c a Hãy xác định giá trị của a+b+c a+bc Hà Duy Hưng Các bài toán đại 76 Cho các số thực dương số trong các cuộc thi Olympic Toán.12 a, b, c, d satisfying... là các cấp số cộng k=1 k=1 bk sin ak ở đây {ak }+ là cấp số nhân và {bk }+ là cấp số cộng k=1 k=1 bk cos ak ở đây {ak }+ là cấp số nhân và {bk }+ là cấp số cộng k=1 k=1 1 sin ak sin ak+1 ở đây {ak }+ là cấp số cộng k=1 n + 1 k=1 cos ak cos ak+1 ở đây {ak }k=1 n x k1 tan2 2x tan 2k1 k k=1 2 n x k1 tan 2k1 k=1 2 là cấp số cộng 83 Chứng minh rằng 0 0 0 0 0 0 0 51 1024 0 sin 2 sin 18 sin 38 sin 42 sin... của số (b 1)2 4ac tương ứng là âm, bằng không hay dương 19 [ IMO 1969 The second Problem ] Xét phương trình n k=1 1 2k1 cos(ak + x) = 0 ở đó ak là các hằng số thực và x là biến thực cần tìm Chứng minh rằng nếu phương trình đó có hai nghiệm thực x1 , x2 thì x1 x2 là một bội hữu tỷ của ie tồn tại số hữu tỷ r sao cho x1 x2 = r ã 20 [ IMO 1972 The fourth Problem ] Hãy xác định tất cả các nghiệm số. .. Duy Hưng Các bài toán đại số trong các cuộc thi Olympic Toán.31 8 [ IMO 1960 ] Tìm tất cả các giá trị thực của đúng x mà bất đẳng thức dưới đây 4x2 < 2x + 9 (1 1 + 2x )2 9 [ IMO 1961 ] Giải phương trình sau theo x, y, z : x + y + z = a x 2 + y 2 + z 2 = b2 xy = z 2 10 [ IMO 1961 ] Giải phương trình cosn x sinn x dương 11 [ IMO 1962 ] Tìm tất cả các số thực = 1, ở đó n là một số nguyên x thoả mãn