De thi HSG May tinh 12 Vinh Phuc _ 06_07

1 sở gd&đt vĩnh phúc đề chính thức kỳ thi giải toán trên mtbt năm học 2006-2007 đề thi khối thpt và bt thpt Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) I.Phần phách. Điểm bằng số Điểm bằng chữ Số phách Họ tên, chữ kí GK1 Họ tên, chữ kí GK2 II.Phần đề thi và bài làm của thí sinh. Qui ớc: Các kết quả ứng với dấu nếu không có yêu cầu cụ thể thì đợc lấy với số thập phân nhiều nhất có thể. Các kết quả ứng với dấu = đợc lấy tuyệt đối chính xác. Bài 1. Cho 4 hình cầu có cùng bán kính bằng 2006 -1 và chúng đợc sắp xếp sao cho đôi một tiếp xúc nhau. Ta dựng 4 mặt phẳng sao cho mỗi mặt phẳng đều tiếp xúc với 3 hình cầu và không có điểm chung với hình cầu còn lại. Bốn mặt phẳng đó tạo nên một hình tứ diện. Gọi V là thể tích của khối tứ diện đó, khi đó: V= V Bài 2. Cho một đa giác lồi có N đỉnh A 1 A 2 A N thoả mn hai cạnh A i A i+1 và A i+2 A i+3 luôn cắt nhau (giả thiết đỉnh A N+i trùng với đỉnh A i ) với i=1, 2, , N. Gọi độ lớn các góc tạo bởi các cặp cạnh A i A i+1 và A i+2 A i+2 kéo dài tơng ứng là 1 , 2 , , N (đơn vị đo là độ). Gọi S N = 1 + 2 + + N . Hy tính: (Hình vẽ minh họa cho đa giác 5 đỉnh) S 2006 = Bài 3. Cho tam giác ABC có các đỉnh A(1; 3), B(-5; 2), C(5; 5). Hy tính gần đúng các giá trị: AB BAC (đơn vị độ, phút, giây) Bài 4. Biết rằng 109 10 =23673xy67459211723401, trong đó x, y là hai chữ số cha biết. Hy tính x, y? x= y= Bài 5. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình 02008200720062006 43 2 =+ xx . Hy tính gần đúng các giá trị: x 1 x 2 Bài 6. Cho phơng trình cosx-tgx=0. Giả sử x 0 là nghiệm dơng nhỏ nhất của phơng trình. Hy tính gần đúng (với 9 chữ số thập phân) giá trị: x 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 1 2 3 4 5 http://www.violet.vn/haimathlx 2 Bài 7. Cho hình chóp đều SABC đỉnh S có 0 30=ASB , cmAB 422004= . Lấy các điểm B, C lần lợt thuộc các đoạn SB, SC sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tính độ dài của BB, CC BB CC Bài 8. Giả sử ta có kết quả của phép chia 1 cho 49 đợc biểu diễn thập phân dới dạng 0,a 1 a 2 a 3 a N Hy tính giá trị: a 2006 = Bài 9. Đồ thị hàm số dcxbxaxy +++= 23 đi qua các điểm )3;2(),5;1(),4;2(),3;1( DCBA . Gọi đờng thẳng đi qua các cực trị của đồ thị hàm số là (d): nm x y += . Hy tính: a= b= c= d= m= n= Bài 10. Cho dy số (a n ) đợc xác định nh sau: + = = + 1 4010 2 1 0 n n n a a a a với n là số nguyên không âm. Với mỗi số thực x, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất có giá trị không lớn hơn x. Yêu cầu: Trình bày tóm tắt cách tính và tính giá trị của [a 2006 ]. 3 sở gd&đt vĩnh phúc kỳ thi giải toán trên mtbt năm học 2006-2007 Hdc khối thpt và bt thpt Bài 1: 1.0 điểm, mỗi ý 0.5 điểm. V= 33 )61(22006 3 2 + V1,43819171x10 -8 Bài 2: 1.0 điểm Gọi A1, A2, , An là số đo các góc ở đỉnh. Dễ thấy A1+A2+ +An=180 0 (n-2). Gọi ' ' ' 1 2 , , , n là số đo các góc kề với các góc A1, A2, , An. Ta có ' ' ' 0 ' 0 0 0 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 180 180 180 ( 2) 360 n n i A A A n n n + + + + + + = = = Mặt khác ' 0 0 0 0 2 .180 180 2.360 180 ( 4) i i i n S n n + = = = = S 2006 =180(2006-4) =360360 Bài 3: 1.5 điểm, mỗi ý 0.75 điểm. AB 6,08276253 BAC 162 0 5350 (đơn vị độ, phút, giây) X ét mặt phẳng trung trực cạnh BC là (MAD), M là trung điểm BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt đáy (H là trọng tâm tam giác BCD). Dễ thấy tam giác MAD cân tại M.Do tính đối xứng của hệ hình nên tâm các quả cầu nằm trên các đờng cao của tứ diện. Gọi I, J theo thứ tự là tâm các quả cầu gần A, D nhất. Dễ thấy mp(MAD) cắt các quả cầu (I,r) và (J, r) theo các đờng tròn lớn, gọi tiếp điểm hai quả cầu này là E. Dễ thấy (I,r) tiếp xúc mp(ABC) tại K thuộc AM; (J,r) tiếp xúc mp(BCD) tại L thuộc DM. Kéo dài ME cắt AD tại trung điểm N. Hạ IF vuông góc AD (F thuộc AD). Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện. Ta dễ dàng tính đợc: 2 2 3 1 3 2 2 ; ; , 2 ; 2 3 6 3 2 a a a r MA MD MH MD AH MA MH a IJ r AF = = = = = = = = (1) Ta có 2 2 2 2 3 AK IK A KI AHM AK r AI AK KI r A H MH = = = + = . Theo tính chất tiếp tuyến kẻ từ ngoài đờng tròn, ta có MK=ME=MA-AK= 3 2 2 2 a r . Dễ thấy 2 2 3 2 3 4 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a r MN MD DN EN IF MN ME r + = = = = = + = . Xét hai tam giác vuông đồng dạng AFI và AHD có ( ) 6 AF AI k hongcannua AF r A H AD = = = (2) Từ (1) và (2) ta suy ra 2 (1 6) a r= + . Từ đó ta có 3 3 3 3 3 1 1 1 3 2 2 8 (1 6) 2 2 2.2006 (1 6) . . . . . 3 3 2 2 3 12 12 3 d a a r V S h a a + + = = = = = 4 Bài 4: 1.0 điểm, mỗi ý 0.5 điểm x=6 y=3 Baif 4: Bit rng 10 1 2 21 1 09 a a a = . Tỡm cỏc ch s 1 5 16 ,a a ? (Cỏch giỏi: phn tớch theo nh thc Newton, tớnh uụi Bài 5: 1.5 điểm, mỗi ý 0.75 điểm. x 1 2,645517x10 -4 x 2 -564,9562166 Bài 6. 1.0 điểm. x 0 0.666239432 Bài 7: 0.5 điểm, mỗi ý 0.25 điểm. BB218445,3346cm CC218445,3346cm Bài 8: 0.5 điểm. a 2006 = 3 Qui trình: 1:490,02040816 1-49.0,02040816=1,6.10 -7 16:490,32653061 16-49.0,32653061=1,1.10 -7 11:490,22448979 11-49.0,22448979=2,9.10 -7 29:490,59183673 29-49.0,59183673=2,3.10 -7 23:490,46938775 23-49.0,46938775=2,5.10 -7 25:490,51020408 Vay sau 42 chw so thif qui luatj duoc lap lai. ta co 2006 chia 42 duoc 47 dw 32, chu so thu 32 trong qui luatj theo thu tu la chu so 3. Bài 9: 1.0 điểm; a, b, c, d mỗi giá trị đúng cho 1/8 điểm; m, n mỗi giá trị đúng cho 1/4 điểm. a=5/4 b=5/6 c= -21/24 d=1/6 m= -229/324 n= 75/324 Bài 10: 1.0 điểm. +CM: 1 1 1 1 + = + n nn a aa và n aaa >>> 10 : 0.25 đ. +CM: 2004 1 1 1 1 20064010)( )( 20050 200520060102006 > + ++ + +=+++= aa aaaaaa : 0.25đ + 1 1 1 1 1 20050 < + ++ + aa : 0.25 đ ; +Tính đợc [a 2006 ]=2004: 0.25 đ . vĩnh phúc đề chính thức kỳ thi giải toán trên mtbt năm học 2 006- 2 007 đề thi khối thpt và bt thpt Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) I.Phần phách cách tính và tính giá trị của [a 2 006 ]. 3 sở gd&đt vĩnh phúc kỳ thi giải toán trên mtbt năm học 2 006- 2 007 Hdc khối thpt và bt thpt . 0.25 đ. +CM: 2004 1 1 1 1 2 0064 010)( )( 20050 20052 0060 102 006 > + ++ + +=+++= aa aaaaaa : 0.25đ + 1 1 1 1 1 20050 < + ++ + aa : 0.25 đ ; +Tính đợc [a 2 006 ]=2004: 0.25 đ