CHỮ KÝ SỐ TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC Để thiết lập sơ đồ chữ ký ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm) cần xác định các tham số: Lựa chọn một đường cong Elliptic trên trường số Fq Điểm cơ sở G thuộc E(Fq) Chọn số ngẫu nhiên k, 2 ≤ k ≤ n1 Tính kG = (x1, y1) Tính r = x1 mod n. Nếu r = 0, quay lại bước 1 Tính k1 mod n Tính s = k1 (m + dr) mod n. Nếu s = 0, quay lại bước 1 Chữ ký trên thông điệp m là (r, s)
CH KÝ SỮ Ố TRÊN NG ĐƯỜ CONG ELLIPTIC GV: TR NH NH T TI NỊ Ậ Ế HV: TR N V N C NGẦ Ă ƯỜ GI I THI U Ớ Ệ NG CONG ELLIPTCĐƯỜ GI I THI U NG CONG ELLIPTICỚ Ệ ĐƯỜ Cho p>3 là s nguyên t l . M t ng cong elliptic E trên ố ố ẻ ộ đườ Fp c bi u đượ ể di n b i ph ng trình có d ng:ễ ở ươ ạ y2=x3+ax+b (3) Trong ó đ a,b Fp∈ và 4a3+27b2 0 (mod p)≢ . Thi t l p E(ế ậ Fp) bao g m t t c các i m ồ ấ ả để x,y, x Fp, y Fp∈ ∈ th a mãn ỏ ph ng trình xác nh (3), c ng nh i m c bi t ươ đị ũ ưđể đặ ệ O c g i là i m vô đượ ọ để cùng. GI I THI U NG CONG ELLIPTICỚ Ệ ĐƯỜ Ví d 4ụ : ( ng cong elliptic trên Đườ F23 ) cho p = 23 và xét ng cong đườ elliptic E:y2=x3+x+4 xác nh c i m trên đị đặ để F23 (trong các ký hi u c a ệ ủ ph ng trình (3), chúng ta có a=1 và b=4). Chú ý ây ươ ở đ 4a3+27b2=4+432 22(mod 23)≡ , nh v y :ư ậ E là m t ng cong elliptic th c s . Nh ng i m trong E(ộ đườ ự ự ữ để F23) là G và c hi n th sau ây:đượ ệ ị đ S CH KÝ ECDSAƠĐỒ Ữ thi t l p s ch ký ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Để ế ậ ơđồ ữ Algorithm) c n xác nh các tham s : ầ đị ố - L a ch n m t ng cong Elliptic trên tr ng s Fqự ọ ộ đườ ườ ố - i m c s G thu c E(Fq)Đ ể ơ ở ộ KÝ TRÊN B N RÕẢ 1. Ch n s ng u nhiên k, 2 ≤ọ ố ẫ k ≤ n-1 2. Tinh kG = (x1, y1) ́ 3. Tinh r = x1 mod n. N u r = 0, quay l i bu c 1 ́ ́ế ạ ̛ơ 4. Tinh k-1 mod ń 5. Tinh s = k-1 (m + dr) mod n. Nêu s = 0, quay lai bu c 1 ́ ́ ̣́ ̛ơ 6. Ch ký tren thong i p m la (r, s) ̂ ̂ ̂ ̀ữ đẹ KI M TRA CH KÝỂ Ữ 1. Kiêm tra r và s co la cac sô t nhien trong khoang [2, n – 1] khong. ́ ̀ ́ ́ ̂ ̂̉ ự ̉ 2. Tinh w = s-1 ́ mod n. 3.Tinh u1 =mw ́ mod n va u2 =rw ̀ mod n. 4. Tinh X = u1G + u2Q = (xX, yX)́ 5. Nêu X = O thì ph nh n ch ký Ngu c lai tinh v = xX mod n. ́ ́ủ ậ ữ ̛ợ ̣ 6. Ch ký ch c ch p nh n n u v = rữ ỉ đượ ấ ậ ế CH NG TRÌNH DEMOƯƠ . để cùng. GI I THI U NG CONG ELLIPTIC Ệ ĐƯỜ Ví d 4ụ : ( ng cong elliptic trên Đườ F23 ) cho p = 23 và xét ng cong đườ elliptic E:y2=x3+x+4 xác nh c i m trên đị đặ để F23 (trong các ký hi u c a ệ ủ ph. CH KÝ SỮ Ố TRÊN NG ĐƯỜ CONG ELLIPTIC GV: TR NH NH T TI NỊ Ậ Ế HV: TR N V N C NGẦ Ă ƯỜ GI I THI U Ớ Ệ NG CONG ELLIPTCĐƯỜ GI I THI U NG CONG ELLIPTIC Ệ ĐƯỜ Cho p>3 là s nguyên t l . M t ng cong. nh v y :ư ậ E là m t ng cong elliptic th c s . Nh ng i m trong E(ộ đườ ự ự ữ để F23) là G và c hi n th sau ây:đượ ệ ị đ S CH KÝ ECDSAƠĐỒ Ữ thi t l p s ch ký ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature