HÌNH HỌC 12 KHÔNG GIAN TỔNG HỢP

THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H H H Ọ Ọ C C K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 1 … …   H H Ì Ì N N H H H H Ọ Ọ C C K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N T T Ổ Ổ N N G G H H Ợ Ợ P P   … … § § 0 0 . . Ô Ô N N T T Ậ Ậ P P K K I I Ế Ế N N T T H H Ứ Ứ C C L L Ớ Ớ P P 1 1 1 1 . . A. QUAN HỆ SONG SONG: I> ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG: 1) Định nghĩa: Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung. / /( ) ( )a P a P     a (P) 2) Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P) ( ) / / / /( ) ( ) d P d a d P a P         d a (P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a. / /( ) ( ) / / ( ) ( ) a P a Q d a P Q d          d a (Q) (P) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó. ( ) ( ) ( ) / / / / ( ) / / P Q d P a d a Q a         a d Q P II> HAI MẶT PHẲNG SONG SONG: 1) Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung. ( ) / /( ) ( ) ( )P Q P Q     Q P 2) Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau. , ( ) ( ) / /( ) / /( ), / /( ) a b P a b I P Q a Q b Q          I b a Q P ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia. ( ) / /( ) / /( ) ( ) P Q a Q a P      a Q P ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song. ( )/ /( ) ( ) ( ) / / ( ) ( ) P Q R P a a b R Q b           b a R Q P 5 5 THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H H H Ọ Ọ C C K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 2 B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC: I> ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG: 1) Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó. ( ) , ( ) a mp P a c c P      P c a 2) Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P). , , ( ) ( ) , caét nhau d a d b a b mp P d mp P a b           d a b P ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a của a trên (P). ( ), ( ) ' a mp P b mp P b a b a      a' a b P II> HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC: 1) Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 0 90 . 2) Các định lý: ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. ( ) ( ) ( ) ( ) a mp P mp Q mp P a mp Q        Q P a ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), P Q P Q d a Q a P a d             d Q P a ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q A P a P A a a Q              A Q P a ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q a P R a R Q R            a R Q P THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H H H Ọ Ọ C C K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 3 III> KHOẢNG CÁCH: 1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cáchgiữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH a H O H O P 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P). d(a;(P)) = OH a H O P 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d((P);(Q)) = OH H O Q P 4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. d(a;b) = AB B A b a IV> GÓC: 1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b. b' b a' a 2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a của nó trên mp(P). Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 0 90 . P a' a 3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm b a Q P P Q a b 4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S là diện tích hình chiếu (H) của (H) trên mp(P) thì ' cos S S   , trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P).  C B A S THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H H H Ọ Ọ C C K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 4 § § 1 1 . . K K H H Ố Ố I I Đ Đ A A D D I I Ệ Ệ N N . . I> KHỐI ĐA DIỆN: 1) Hình đa diện: Là hình tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thoả mãn 2 tính chất:  Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.  Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác. 2) Khối đa diện: Là phần không gian giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. 3) Định nghĩa khối đa diện lồi: Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của (H) luôn thuộc (H).  Công thức Ơle: Khối đa diện lồi (H) có Đ đỉnh, C cạnh, M mặt thì Đ – C + M = 2.   1 Vd S.ABC có Đ = 4, C = 6, M = 4 thỏa 4 – 6 + 4 = 2. 4) Hình lăng trụ và hình hộp:  Hình lăng trụ ABCDE.ABCDE có (ABCDE) và (ABCDE) là hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy; AA// = BB// = CC// = DD// = EE gọi là các cạnh bên; các mặt bên (ABBA), (BCCB), (CDDC), (DEED), (EAAE) là những hình bình hành.  Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành, 6 mặt của hình hộp là hình bình hành. 5) Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương:  Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy, các mặt bên là những hình chữ nhật vuông góc với mặt đáy.  Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều, có các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau. Các lăng trụ đó gọi là lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều …  Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật.  Hình lập phương là hình hộp có 6 mặt là hình vuông hay hình hộp chữ nhật có 6 mặt bằng nhau là hình lập phương. 6) Hình chóp và chóp cụt:  Hình chóp I.EFGH có đỉnh là I, mặt phẳng (EFGH) là mặt đáy, IE, IF, IG, IH là các cạnh bên, mặt bên là các tam giác IEF, IFG, IGH, IHE. Nếu đáy của hình chóp là tam giác, tứ giác, … thì gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, …  Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc thì chân đường cao OH của tứ diện là trực tâm của ABC và 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC    7) Hình chóp đều:  Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các cạnh bên THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H H H Ọ Ọ C C K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 5 bằng nhau. Hình chóp đó được gọi là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều …  Trong hình chóp đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.  Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đáy.  Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên (mặt bên) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. II> KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU: 1) Khối đa diện đều: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi thoả hai tính chất sau:  Các mặt là những đa giác đều có cùng số cạnh;  Mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng số cạnh.  Khối đa diện đều mà mỗi mặt là đa giác đều n cạnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của p cạnh, ký hiệu {n; p}. Có 5 loại khối đa diện đều, đó là loại {3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3}, {3; 5} Loại{3; 3}-Tứ diện đều loại {4; 3}- Hình lập phương loại {3; 4}- Bát diện đều loại {5; 3}-Thập nhị diên đều loại {3; 5}-Nhị thập diên đều. 2) Tứ diện đều: Là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy hay 4 mặt là 4 tam giác đều bằng nhau. III> THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN: 1) Thể tích khối chóp: 1 . 3 V B h  (B là diện tích đáy, h là chiều cao) 2) Thể tích khối chóp cụt:   1 ' ' 3 V B B BB h    (B, B là diện tích 2 đáy, h là chiều cao) 3) Thể tích khối lăng trụ: . V B h  (B là diện tích đáy, h là chiều cao) 4) Tỷ số thể tích tứ diện: Cho khối tứ diện SABC và A, B, C là các điểm tùy ý lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC ta có: ' ' ' ' ' ' SABC SA B C V SA SB SC V SA SB SC  B B À À I I T T Ậ Ậ P P . . A. KHỐI CHÓP: 1) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện đều ABCD.  Hướng dẫn: Diện tích tam giác đều BCD có cạnh bằng a là 2 3 4 BCD a S  Diện tích toàn phần của tứ diện ABCD là: 2 4 3 BCD S S a  Tam giác đều BCD cạnh a thì đường cao 3 2 a BN  . H là trọng tâm BCD  2 3 3 3 a BH BN  H là chân đường cao của tứ diện đều nên 2 2 2 2 6 3 3 a a AH AB BH a     . Thể tích khối tứ diện ABCD: 3 1 2 . 3 12 BCD a V S AH  2) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3 2 a .Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABCD. THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H H H Ọ Ọ C C K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 6  Hướng dẫn: 2 3 3 4 a S  , 3 6 32 a V  3) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 a , cạnh bên bằng a . Tính thể tích khối chóp S.ABC.  Hướng dẫn: Diện tích đáy : 2 3 16 a S  ; Đường cao: 2 2 3 33 36 6 a a h a   ; Thể tích 3 11 96 a V  4) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh a và các cạnh bên tạo với đáy một góc 0 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.  Hướng dẫn: Diện tích ABC: 2 3 4 a S  và đường cao 3 2 a AM  H là trọng tâm ABC  2 3 3 3 a AH AM  H là chân đường cao của hình chóp tam giác đều S.ABC nên  0 60 SAH  và  0 3 .tan tan60 3 a SH AH SAH a    . Thể tích khối chóp: 3 1 3 . 3 12 ABC a V S SH  5) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng 3 , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0 60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC.  Hướng dẫn: 1 3 . 3 4 ABC V S SH   6) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC , cạnh bên bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0 30 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC.  Hướng dẫn: 2 3 1 1 9 3 3 3 . . . 3 3 16 2 32 ABC a a a V S SH   7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA  (ABC). Tính thể tích của khối chóp S.ABC.  Hướng dẫn: 2 3 1 1 3 3 . . .2 3 3 4 6 ABC a a V S SA a   8) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA  (ABC),  0 60 ASC  . Tính thể tích của khối chóp S.ABC.  Hướng dẫn: 0 3 .cot60 3 a SA a  , 2 3 1 1 3 3 . . . 3 3 4 3 12 ABC a a a V S SA   9) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a, SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa cạnh bên SB với mặt đáy bằng 0 60 . Tính thể tích của khối chóp.  Hướng dẫn: ABC vuông cân tại B nên 0 2 .sin 45 2 a AB BC AC   Diện tích ABC: 2 1 . 2 4 ABC a S AB BC  Ta có SA  (ABC)   0 60 SBA   0 2 3 6 .sin 60 . 2 2 4 a a SA AB   Thể tích khối chóp 2 3 1 1 6 6 . . . 3 3 4 4 48 ABC a a a V S SA   THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H H H Ọ Ọ C C K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 7 10) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = 2 a . Tính thể tích của khối chóp S.ABC.  Hướng dẫn: 3 2 1 1 2 . . . 2 3 3 3 ABC a V S SA a a   11) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA  (ABC). Góc giữa SB với mặt đáy bằng 0 30 . Biết AC = 2a, BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.  Hướng dẫn: 2 3 1 1 3 3 . . . 3 3 2 6 ABC a a V S SA a   12) Cho hình chóp S.ABC có SA   mp ABC  và SA = 3a tam giác ABC có AB = BC = 2a,  0 120 ABC  .Tính thể tích khối chóp S.ABC.  Hướng dẫn: 2 3 1 1 . . 3.3 3 3 3 ABC V S SA a a a   13) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh AB = a, BC = 2a. SA  (ABC) và SA = 2 a . Gọi M, N lần lượt trung điểm của SA và SB. Mặt phẳng (CMN) chia hình chóp thành hai khối đa diện, tính thể tích của hai khối đa diện đó.  Hướng dẫn: Thể tích khối chóp S.ABC: 3 2 . 1 2 . 2 3 3 S ABC a V a a  Ta có: . . 1 1 1 . . 2 2 4 S MNC S ABC V SM SN V SA SB     3 . . 2 4 12 S ABC S MNC V a V   . Thể tích khối chóp C.ABNM: 3 . . . 2 4 C ABNM S ABC S MNC a V V V   14) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a và SA = 3 2 a . Tính thể tích khối chóp S.ABC.  Hướng dẫn: Gọi M là trung điểm BC  BC  AM và BC  SM  BC  (SAM) và 3 2 a MA MS  . SAM là tam giác đều cạnh bằng 3 2 a , kẻ đường cao SH, ta có SH  AM, SH  BC  SH  (ABC) và 3 4 a SH  . Thể tích khối chóp: 2 3 1 1 3 3 3 . . . 3 3 4 4 16 ABC a a a V S SH   15) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).  Hướng dẫn: ABC vuông tại A vì 2 2 2 BC AB AC   và AD  (ABC) nên ta có AB, AC, AD đôi một vuông góc nhau. Gọi H là trực tâm của BCD và DI là đường cao của BCD. Ta có AB  AC, AB  AD  AB  (ACD)  AB  DC. Với BH  DC  DC  (ABH)  DC  AH (1). Ta có BC  DI, BC  AD  BC  (ADI)  BC  AH (2) Từ (1) và (2)  AH  (BCD) Vì BC  (ADI)  BC  AI. Vậy THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H H H Ọ Ọ C C K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 8 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 AH AD AI AD AB AC       6 34 17 AH  16) Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = a, SB = b, SC = c. Hai điểm M, N lần lượt thuộc 2 cạnh AB, BC sao cho 1 1 , 3 3 AM AB BN BC   . Mặt phẳng (SMN) chia khối tứ diện SABC thành 2 khối đa diện (H) và (H) trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh C. Hãy tính thể tích của (H) và (H).  Hướng dẫn: Thể tích khối chóp B.SAC: . 6 B SAC abc V  Ta có: . . 2 1 2 . . 3 3 9 B SMN B SAC V BM BN V BA BC     . . ( ') 2 9 27 B SAC B SMN H V abc V V    . ( ) . . 7 6 27 54 H B SAC B SMN abc abc abc V V V     17) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, , 3, AB a AC a  mặt bên SBC là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.  Hướng dẫn: ABC vuông tại A nên 2 2 2 BC AB AC a    SBC là tam giác đều có cạnh 2a nên đường cao 3 SH a  . Ta có (SBC)  (ABC) và SH  BC  SH  (ABC)  SH là đường cao của hình chóp. Diện tích ABC: 2 3 2 a S  . Thể tích khối chóp: 2 3 1 1 3 . . . 3 3 3 2 2 ABC a a V S SH a   18) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA  (ABC), biết AB = a, BC = 3 a , SA = 3a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài của cạnh BI theo a.  Hướng dẫn: Diện tích ABC: 2 1 3 . 2 2 a S AB BC  Thể tích khối chóp S.ABC: 3 1 3 . 3 2 ABC a V S SA  ABC vuông tại B nên 2 2 2 AC AB BC a    . SAC vuông tại A nên 2 2 13 SC SA AC a   Ta có SA  (ABC)  SA  BC với AB  BC  BC  (SAB)  BC  SB  SBC vuông tại B có I trung điểm SC  13 2 2 SC a BI   19) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B, cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = 3 a , SA = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ADE. Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (ABC).  Hướng dẫn: THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H H H Ọ Ọ C C K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 9 SA  (ABC)  SA  BC với AB  BC  BC  (SAB)  BC  AD; AD là đường cao  AD  SB nên AD  (SBC)  AD  SC và AD  DE (*) ABC vuông tại A nên 2 2 2 AC AB BC a    . SAB vuông tại A có 2 2 2 2 1 1 1 5 4 AD AS AB a     2 5 5 a AD  . SAC vuông cân tại A nên đường cao 2 AE a  . ADE vuông tại D nên 2 2 30 5 a DE AE AD   . Diện tích 2 1 6 . 2 5 ADE a S AD DE  Ta có SC  AD, SC  AE  SC  (ADE) và SE = AE = 2 a là đường cao của hình chóp S.ADE. Thể tích của khối chóp S.ADE: 3 1 12 . 3 15 ADE a V S SE  Kẻ EH // SA cắt AC tại H  EH  (ABC) và 1 2 EH SA  = a. Vậy d(E,(ABC)) = EH = a. 20) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC cân tại A, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Biết 3 , , 3 SA a AB a BC a    . Chứng minh đường thẳng AG vuông góc với đường thẳng BC. Tính thể tích của khối chóp G.ABC theo a.  Hướng dẫn: SAB = SAC  SB = SC. Gọi M trung điểm BC  SM  BC SA  (ABC)  SA  BC  BC  (SAM)  BC  AG hay AG  BC. SAM kẻ GH // SA cắt AM tại H  GH  (ABC) và 1 3 GH MG SA MS    GH = a. ABM vuông tại M nên 2 2 2 a AM AB BM    Diện tích ABC: 2 1 3 . 2 4 ABC a S BC AM  . Thể tích khối chóp G.ABC: 3 1 3 . 3 12 ABC a V S GH  21) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 0 60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.  Hướng dẫn: Diện tích hình vuông ABCD: 2 S a  Gọi M trung điểm CD  SM  CD và OM  CD   0 60 SMO  là góc giữa mặt bên và mặt đáy. SO  (ABCD)   0 3 .tan .tan60 2 2 a a SO OM SMO   Thể tích khối chóp S.ABCD: 3 1 3 . 3 6 ABCD a V S SO  22) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2 a , cạnh bên bằng a. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.  Hướng dẫn: 2 3 1 1 14 14 . . . 3 3 4 4 48 ABCD a a a V S SO   23) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0 45 . Hãy xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp trên. THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H H H Ọ Ọ C C K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 10  Hướng dẫn: Tâm là O = AC  BD, Thể tích 3 3 4 2 2 3 2 3 a a V             24) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. ( ) SA ABCD  , SA = 2 a , AB = 2a, AD = 5a,  0 30 BAD  . Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.  Hướng dẫn: 3 5 6 a V  25) Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng ( ) P vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) P và hình chóp.  Hướng dẫn: Để dựng thiết diện, ta kẻ ' . AC SC  Gọi ' . I AC SO   Kẻ ' ' B D // . BD Ta có 2 ' ' ' 1 1 2 3 3 ' '. ' . . . 2 2 3 2 6 AD C B a a S B D AC BD   26) Cho hình chóp . S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ), ABCD SA a  . Đáy ABCD là hình bình hành có  0 , 2 , 60 AB b BC b ABC   . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh , BC SD . Chứng minh ( ) MN SAB  và tính thể tích của khối tứ diện AMNC theo a, b.  Hướng dẫn: Gọi H là trung điểm của AD. Khi đó / / ( ) / /( ) / / HM AB MNH SAB HN AS     / /( ) MN SAB  Có , NH AD H AD   . Khi đó 1 2 2 a NH SA   Mặt khác dễ thấy ABM  đều cạnh b. Do M là trung điểm BC nên 2 3 4 MAC ABM b S S  Vậy thể tích 2 2 1 1 3 3 . . . . 3 3 4 2 24 AMCN AMC b a ab V S NH   . 27) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA= a 2 . a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. b) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC). Tính thể tích của khối chóp SAIC theo a. c) Xác định và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).  Hướng dẫn: a) ABC là tam giác đều cạnh a nên diện tích 2 3 4 ABC a S  . Vì SA  (ABC)  SA là chiều cao hình chóp  3 1 6 . 3 12 SABC ABC a V S SA  . b) Xét hai mặt phẳng (SAI) và (SBC). Mặt (SBC) có BC  AI (I trung điểm BC), BC  SA (SA  (BAC)  BC  (SAI)  (SBC)  (SAI). c) SAI vuông tại A, kẻ AK  SI  2 2 2 2 1 1 1 11 66 6 11 a AK AK SA AI a      Vì AK  SI, AK  BC (BC  (SAI)) AK  (SBC)  AK là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 28) Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = a và đáy ABC có cạnh bằng 2a 6 . Gọi M, N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng. Tính thể tích khối chóp SAMN.  Hướng dẫn: [...]... (C) và (C ) được gọi là hình trụ  Phần khơng gian giới hạn bởi hình trụ và hình trụ được gọi là khối trụ 5) Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ:  R : bán kính đáy  S xq  2 Rl  l : đườngsinh 6) Mặt cầu: Gv: Lê Hành Pháp  R : bán kính đáy VTrụ   R 2 h  h : đường cao Trang 15 THPT Tân Bình – Bình Dương HÌNH HỌC KHƠNG GIAN  Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong khơng gian cách điểm O cố định... Lê Hành Pháp Trang 13 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN THPT Tân Bình – Bình Dương C F G E A I B a) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB, AB và G là trọng tâm ABC 1 a3 3 Thể tích VABB C  VC ABA  S ABA CI  3 12 a 3 a 3 a2 13 b) Ta có CI  , GI  , KG  a 2  a 2 6 12 12 1 a 3 a2 3 1 a 3 a2 3 a2 3  S KGC   SKIG  a  , S KIC  a  B' 2 6 12 2 2 4 6 C' 2 S KGC 2a 13 K Gọi H là hình chiếu của C trên... nón  Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu 8) Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:  Mặt cầu bán kính R có diện tích là: s  4 R 2 4  Thể tích khối cầu là: V   R 3 3 9) Mặt cầu ngoại, nội tiếp hình chóp: Gv: Lê Hành Pháp Trang 16 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN THPT Tân Bình – Bình Dương  Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp Mặt cầu nội tiếp hình chóp... tiếp hình chóp Tứ giác HOMB nội tiếp (vì tổng hai góc đối = 2v)  SM.SB = SO.SH SM SB SB 2 7a 2 7a 2  SO     = R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp SH 2 SH 6a 2 12 SB  SH 2  HB 2  2a 2  Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: S  4 R 2  Gv: Lê Hành Pháp 7 a 2 2 3 Trang 22 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN THPT Tân Bình – Bình Dương CÁC ĐỀ THI TỐ T N GHIỆP THPT 1) (Đề thi TN.THPT năm 2006) (2 điểm) Cho hình. .. có (ABC) // (ABC) và B có hình chiếu lên (ABC) là H nên đường cao của tứ diện AABC là BH 1 1 9a 2 3 a 3 9a 3 Thể tích tứ diện AABC: VA ' ABC  S ABC B ' H   (đvtt) 3 3 104 2 208 x 2  12 x 2  9a 2  x  Gv: Lê Hành Pháp Trang 31 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN THPT Tân Bình – Bình Dương 27) (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) (1điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, AB... = 12cm ΔSOI vng tại O có OH là đường cao nên 1 1 1 1 1 1 1   2  2  2  2  OI = 15cm ΔOAI có 2 2 2 OH OI OS OI 12 20 15 b) V = AI  OA2  OI 2 = 20cm  AB = 40cm Ta có SI.OH = OS.OI  SI = Gv: Lê Hành Pháp Trang 17 THPT Tân Bình – Bình Dương HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 1 SI.AB = 500 cm 2 2 2) Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm a) Tính diện tích xung quanh của hình. .. 2 ACS A B 1 2a 3 2 Thể tích VSABCD  S ABCD SA  45 3 3 D 0 C Gv: Lê Hành Pháp Trang 24 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN THPT Tân Bình – Bình Dương CÁC Đ Ề THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 10) (Đề thi Đại học năm 2006 – Khối D) (1điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA  (ABC) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vng góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM... cao của hình chóp B.OOA Ta có AA  AB  AAB vng  A ' B  a 3 ABI: S ABI  ABD vng tại B  BD  AD 2  A ' B  a Ta có BO = OD = BD = a  BDO là tam giác đều  BH  Diện tích OOA: SOO ' A  Gv: Lê Hành Pháp a 3 2 a2 1 a3 3 Thể tích khối tứ diện OOAB: V  S OO ' A BH  2 3 12 Trang 25 HÌNH HỌC KHƠNG GIAN THPT Tân Bình – Bình Dương 13) (Đề dự trữ Đại học năm 2006 – Khối A) Cho hình chóp... 3 9 9 1 Diện tích SCD: S SCD  SC.CD  a 2 2 Do đó chiều cao h của hình chóp H.SCD là 2 3 a 2 3V a a h  3  23   Khoảng cách từ H đến (SCD) là h  S SCD a 2 3 3 AH  Gv: Lê Hành Pháp Trang 27 THPT Tân Bình – Bình Dương HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 17) (Đề thi Đại học năm 2007 – Khối B) (1điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA,... (a, (MBA ') )    S MBA ' MB.MA ' 3 20) (Đề dự trữ Đại học năm 2007 – Khối B) (1điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, SA  (ABCD) Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD Chứng minh SC  (AHK) và tính thể tích khối tứ diện OAHK Gv: Lê Hành Pháp Trang 28 THPT Tân Bình – Bình Dương HÌNH HỌC KHƠNG GIAN  Hướng dẫn: Ta có AH  SB, AH  BC (vì BC  (SAB)) . (DEED), (EAAE) là những hình bình hành.  Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành, 6 mặt của hình hộp là hình bình hành. 5) Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương: . giác đều …  Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật.  Hình lập phương là hình hộp có 6 mặt là hình vuông hay hình hộp chữ nhật. Trang 5 bằng nhau. Hình chóp đó được gọi là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều …  Trong hình chóp đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.  Hình chóp là hình chóp đều khi