Bài toán hay: MÃ đi tuần và tám quân HẬU

Trong cuốn thứ nhất, Euclid đưa ra 5 định đề: 1. Qua hai điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một đường thẳng 2. Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn. 3. Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn luôn vẽ được một đường tròn. 4. Mọi góc vuông đều bằng nhau. 5. Nếu 2 đường thẳng tạo thành với 1 đường thẳng thứ 3 hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 180 độ thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó. Và 5 tiên đề: 1. Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau. 2. Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. 3. Bớt đi những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. 4. Trùng nhau thì bằng nhau. 5. Toàn thể lớn hơn một phần. Mã đi tuần (hay hành trình của quân mã) là bài toán về việc di chuyển một quân mã trên bàn cờ vua ( 8 x 8). Quân mã được đặt ở một ô trên một bàn cờ trống nó phải di chuyển theo quy tắc của cờ vua để đi qua mỗi ô trên bàn cờ đúng một lần. Có rất nhiều lời giải cho bài toán này, chính xác là 26.534.728.821.064 lời giải trong đó quân mã có thể kết thúc tại chính ô mà nó khởi đầu. Một hành trình như vật được gọi là hành trình đóng. Có những hành trình, trong đó quân mã sau khi đi hết tất cả 64 ô của bàn cờ (kể cả ô xuất phát), thì từ ô cuối của hành trình không thể đi về ô xuất phát chỉ bằng một nước đi. Những hành trình như vậy được gọi là hành trình mở. Nhiều biến thể của chủ đề này được các nhà toán học nghiên cứu, trong đó có nhà toán học Euler. Các biến đổi có thể theo các hướng: • thay đổi kích thước bàn cờ • biến thành trò chơi hai người theo tư tưởng này • giảm nhẹ các yêu cầu trên đường đi của quân mã. Bài toán mã đi tuần là một dạng của bài toán tổng quát hơn là bài toán tìm đường đi Hamilton trong lý thuyết đồ thị, là một bài toán NP-đầy đủ. Bài toán tìm hành trình đóng của quân mã là một bài toán cụ thể của bài toán tìm chu trình hamiltonian. [1] Hành trình của quân mã trên nửa bàn cờ đã được giới thiệu dưới dạng thơ trong một tác phẩm tiếng Phạn [2] . Giải thuật đầu tiên đầy đủ cho bài toán về hành trình của quân mã là Giải thuật Warnsdorff, công bố lần đầu năm 1823 bởi H. C. Warnsdorff. Mục lục [ẩn] • 1 Định lý Schwenk o 1.1 Điều kiện 1 o 1.2 Điều kiện 2 o 1.3 Điều kiện 3 • 2 Hai lời giải với bàn cờ 8 x 8 • 3 Xem thêm • 4 Tham khảo • 5 Liên kết ngoài [sửa] Định lý Schwenk Cho bàn cờ m × n bất kỳ với m nhỏ hơn hoặc bằng n, không có hành trình đóng nào của quân mã nếu một trong ba điều kiện dưới đây xảy ra: 1. m và n đều là lẻ 2. m = 1, 2, hoặc 4; m và n đều khác 1 3. m = 3 và n = 4, 6, hoặc 8 [sửa] Điều kiện 1 Dễ dàng chứng minh rằng khi điều kiện 1 thỏa mãn, không thể có hành trình đóng của quân mã. Trên bàn cờ vua, các ô đen và trắng xen kẽ nhau, một quân mã luôn đi từ một ô tới ô khác màu. Vì m và n đều là lẻ nên khi đó số các ô đen và trắng trên bàn cờ là khác nhau. Chẳng hạn bàn cờ 5×5 có 13 ô đen và 12 ô trắng. Một đường đi đóng của quân mã phải có số ô đen và trắng bằng nhau, tổng số ô trên mọi hành trình đóng là số chẵn. Do đó một hành trình đóng không thể đi qua mỗi ô đúng một lần khi số các ô trên bàn cờ là số lẻ. [sửa] Điều kiện 2 Điều kiện 2 xảy ra khi độ dài cạnh ngắn là 1, 2, hoặc 4, cũng không thể có đường đi đóng. Dễ thấy rằng khi m = 1 hoặc 2 không thể có hành trình của quân mã: quân mã không thể đi qua mọi ô (trừ trường hợp bàn cờ 1x1). Cũng có thể thấy rằng bàn cờ 4 × n không có hành trình đóng của quân mã. Giả sử một bàn cờ kích thước 4 × n có một hành trình đóng của quân mã. Ta xét hai tập con các ô trên bàn cờ, A 1 và B 1 , A 1 gồm các ô thuộc nửa màu đen và B 1 gồm các ô màu trắng. Theo quy tắc cờ vua quân mã luôn di chuyến liên tiếp giữa hai tập các ô đen và tập các ô trắng và ngược lại (A 1 và B 1 ). Con mã phải đi xen kẽ giữa màu xanh và màu đỏ. . Ta lại xét hình minh họa bên phải. Ta định nghiã A 2 là tập các ô màu xanh lá cây và B 2 là tập các ô mày đỏ trên hình vẽ. Các tập này có số ô bằng nhau. Chú y rằng từ một ô trong A 2 quân mã chỉ có thể nhảy sang một ô trong B 2 . Ngoài ra, vì quân mã phải đi qua tất cả các ô, nên ngược lại khi quân mã đứng ở một ô trong B 2 ở bước tiếp theo nó phải nhảy về một ô thuộc A 2 (nếu không như vậy số thì trên hành trình kín ấy quân mã phải có hai ô liên tiếp trong A 2 điều đó không xảy ra). Ta sẽ tìm thấy mâu thuẫn trong lập luận sau đây. Vì có một hành trình đóng của quân mã, nên có thể chọn bất kỳ ô nào làm ô thứ nhất của hành trình 1. Chọn ô thứ nhất thuộc tập . 2. Khi đó ô thứ hai phải thuộc . 3. ô thứ ba thuộc tập . 4. ô thứ tư thuộc tập . 5. Như thế hành trình này không chưa các ô thuộc và do đó không thể chứa tất cả các ô trên bàn cờ [sửa] Điều kiện 3 Điều kiện 3 được chứng minh cho từng trường hợp Tuy nhiên, chúng vẫn có thể có lời giải với hành trình mở. Chẳng hạn với bàn cờ 3 x 4 ta có 4 hành trình mở sau: [sửa] Hai lời giải với bàn cờ 8 x 8 Hai trong số nhiều hành trình đóng trên bàn cờ 8 x 8. Bài toán tám quân hậu là bài toán đặt tám quân hậu trên bàn cờ vua kích thước 8×8 sao cho không có quân hậu nào có thể "ăn" được quân hậu khác, hay nói khác đi không quân hậu nào có để di chuyển theo quy tắc cờ vua. Mầu của các quân hậu không có ý nghĩa trong bài toán này. Như vậy, lời giải của bài toán là một cách xếp tám quân hậu trên bàn cờ sao cho không có hai quân nào đứng trên cùng hàng, hoặc cùng cột hoặc cùng đường chéo. Bài toán tám quân hậu có thể tổng quát hóa thành bài toán đặt n quân hậu trên bàn cờ n×n(n ≥ 4). Mục lục [ẩn] • 1 Lịch sử • 2 Tính chất số học của lời giải • 3 Xây dựng một lời giải • 4 Các lời giải cho bài toán tám quân hậu • 5 Số lời giải cho bài toán n quân hậu • 6 Giải thuật đệ quy và quay lui tìm kiếm tất cả các lời giải o 6.1 Mã giả o 6.2 Cây tìm kiếm trong giải thuật • 7 Xem thêm • 8 Liên kết ngoài [sửa] Lịch sử Bài toán được đưa ra vào 1848 bởi kỳ thủ Max Bezzel, và sau đó nhiều nhà toán học, trong đó có Gauss và Georg Cantor, có các công trình về bài toán này và tổng quát nó thành bài toán xếp hậu. Các lời giải đầu tiên được đưa ra bởi Franz Nauck năm 1850. Nauck cũng đã tổng quát bài toán thành bài toán n quân hậu. Năm 1874, S. Gunther đưa ra phương pháp tìm lời giải bằng cách sử dụng định thức, và J.W.L. Glaisher hoàn chỉnh phương pháp này. Bài toán này cũng được ứng dụng trong trò chơi máy tính The 7th Guest vầo những năm 1990. [sửa] Tính chất số học của lời giải Ký hiệu quân hậu đứng ở ô nằm trên hàng thứ i của lời giải là Q[i, j]. Các chỉ số dòng cột đánh từ trên xuống dưới, trái sang phải theo cách đánh số trong ma trận). Trong một ma trân vuông: • các phần tử nằm trên cùng hàng có chỉ số hàng bằng nhau; • các phần tử nằm trên cùng cột có chỉ số cột bằng nhau; • các phần tử nằm trên cùng một đường chéo song song với đường chéo chính có hiệu chỉ số hàng với chỉ số cột bằng nhau; • các phần tử nằm trên cùng một đường chéo song song với đường chéo phụ có tổng chỉ số hàng với chỉ số cột bằng nhau; Vì thế ta gọi các đường chéo song song với đường chéo chính là đường chéo trừ (hay hiệu), các đường chéo song song với đường chéo phụ là đường chéo cộng (hay tổng). Do đó, mỗi lời giải có thể được biểu diễn bởi dãy Q[1,i 1 ],Q[2,i 2 ], ,Q[n, i n ],thỏa mãn các điều kiện: • Các chỉ số cột i 1 , i 2 , , i n đôi một khác nhau, hay chúng lập thành một hoán vị của các số 1, 2, , n. • Tổng chỉ số dòng và cột của các quân hậu 1+i 1 , 2+i 2 , , n+i n đôi một khác nhau; • Hiệu chỉ số dòng và cột của các quân hậu 1-i 1 , 2-i 2 , ,n-i n đôi một khác nhau. Chẳng hạn lời giải cho trong hình trên biểu diễn bới dãy ô (1 ,4),(2, 7), (3, 3), (4, 8), (5,2), (6,5), (7,1), (8,6). Ta có thể kiểm tra các điều kiện trên trong bảng: i 1 2 3 4 5 6 7 8 j 4 7 3 8 2 5 1 6 i+j 5 9 6 12 7 11 8 14 i-j -3 -5 0 -4 3 1 6 2 [sửa] Xây dựng một lời giải Có một giải thuật đơn giản tìm một lời giải cho bài toán n quân hậu với n = 1 hoặc n ≥ 4: 1. Chia n cho 12 lấy số dư r. (r= 8 với bài toán tám quân hậu). 2. Viết lần lượt các số chẵn từ 2 đến n. 3. Nếu số dư r là 3 hoặc 9, chuyển 2 xuống cuối danh sách. 4. Bổ sung lần lượt các số lẻ từ 1 đến n vào cuối danh sách, nhưng nếu r là 8, đổi chỗ từng cặp nghĩa là được 3, 1, 7, 5, 11, 9, …. 5. Nếu r = 2, đổi chỗ 1 và 3, sau đó chuyển 5 xuống cuối danh sách. 6. Nếu r = 3 hoặc 9, chuyển 1 và 3 xuống cuối danh sách. 7. Lấy danh sách trên làm danh sách chỉ số cột, ghép vào danh sách chỉ số dòng theo thứ tự tự nhiên ta được một lời giải của bài toán. Sau đây là một số ví dụ • 14 quân hậu (r = 2): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 3, 1, 7, 9, 11, 13, 5. • 15 quân hậu (r = 3): 4, 6, 8, 10, 12, 14, 2, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 1, 3. • 20 quân hậu (r= 8): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 3, 1, 7, 5, 11, 9, 15, 13, 19, 17. [sửa] Các lời giải cho bài toán tám quân hậu Bài toán tám quân hậu có 92 lời giải khác nhau. Nếu không phân biệt các lời giải là ảnh của nhau qua phép đối xứng, phép quay bàn cờ thì chúng chỉ có 12 lời giải đơn vị như biểu diễn dưới đây: Lời giải 1 Lời giải 2 Lời giải 3 Lời giải 4 Lời giải 5 Lời giải 6 Lời giải 7 Lời giải 8 Lời giải 9 Lời giải 10 Lời giải 11 Lời giải 12 [sửa] Số lời giải cho bài toán n quân hậu Ta có bảng sau đây cho n quân hậu, cả (sequence A002562 in OEIS) và (sequence A000170 in OEIS). n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 24 25 số lời giả i (cá 1 0 0 1 2 1 6 12 46 92 341 1.7 87 9.2 33 45.7 52 285. 053 3.029.24 2.658.21 0 ? ? c lời giả i đố i xứ ng chỉ tín h 1 lầ n) số lời giả i 1 0 0 2 10 4 40 92 35 2 72 4 2.6 80 14. 200 73. 712 365. 596 2.27 9.18 4 24.233.9 37.684.4 40 227.514. 171.973. 736 2.207.893. 435.808.3 52 Lưu ý rằng bài toán với 6 quân hậu có ít lời giải hơn bài toán với 5 quân hậu. Hiện nay chưa có công thức về số lượng chính xác lời giải. [sửa] Giải thuật đệ quy và quay lui tìm kiếm tất cả các lời giải Lời giải thứ nhất của bài toán 11 hậu khi tìm bằng giải thuật đệ quy và quay lui trong mục này. Đối xứng với lời giải bên dưới. Lời giải thứ 2680 của bài toán 11 hậu khi tìm bằng giải thuật đệ quy và quay lui trong mục này. Đối xứng với lời giải thứ nhất. Trong giải thuật này, mỗi lời giải được ký hiệu bằng một mảng solution[1 n], trong đó solution[i]= j là cột mà quân hậu ở hàng thứ i đứng. Theo tính chất số học của các ô trên bàn cờ n x n, các ô trên các đường chéo cộng chứa ô (i, j) đều có tổng chỉ số hàng với chỉ số cột bằng i+j. Tổng này nhận các giá trị từ 2 đến 2n nên ta đánh số các đường chéo này từ 1 đến 2n-1. Như vậy các ô trên đường chéo cộng thứ nhất có tổng chỉ số dòng và cột là 2, các ô trên đường chéo thứ k có tổng ấy là k+1. Ta dùng một mảng Boolean Ok_plus[1 2n-1] để kí hiệu trạng thái đã có quân hậu nào trên đường chéo cộng thứ k chưa, nghĩa là Ok_plus[k]=True nếu đã có một quân hậu đứng chiếm giữ đường chéo cộng thứ k. Tương tự, các ô trên một đường chéo trừ có hiệu như nhau. Hiệu này nhận giá trị từ 1-n đến n- 1. Đánh số từ 1 đến 2n-1 từ đường chéo có hiệu chỉ số dòng trừ chỉ số cột là 1-n đến đường chéo có hiệu ấy bằng n-1. Khi đó đường chéo trừ thứ k có hiệu chỉ số dòng trừ chỉ số cột là k-n. Ta cũng dùng mảng ok_minus[1 2n-1] để chỉ trạng thái của các đường chéo này. Giải thuật này cố gắng đặt quân hậu ở dòng thứ i vào cột nào đó, bắt đầu từ dòng thứ nhất (luôn có thể đặt được). Nếu ở dòng thứ i ta đặt quân hậu vào cột thứ j, thì nó khống chế tất cả các ô trong cột thứ j, đường chéo cộng thứ i+j-1, đường chéo trừ thứ i-j+n. Nếu có thể đặt được quân hậu ở dòng i và i = n ta có một lời giải. Nếu đặt được và i < n ta tiếp tục cố gắng đặt quân hậu tiếp theo vào dòng thứ i+1. Nếu không đặt được, ta quay lại nhấc quân hậu ở dòng thứ i-1 và tìm phương án tiếp theo của dòng thứ i-1. • Nhận xét: trong hai lời giải ở hình bên các vị trí của quân hậu trên bàn cờ đứng theo vị trí nước đi của quân ngựa [sửa] Mã giả Procedure Try_row(i) For j=1 To n do [...]... Thủ tục tìm tất cả các lời giải của bài toán n hậu chỉ bao gồm một lời gọi Try_row(1): Procedure n_queen(n); Call Try_row(1); [sửa] Cây tìm kiếm trong giải thuật Cố gắng không thành công Cây tìm kiếm lời giải với n=4 Ta minh họa quá trình tìm kiếm lời giải cho bài toán n hậu với n =4 trong hình bên Ở trạng thái xuất phát, trên dòng 1 có 4 lụa chọn cho quân hậu: quân hậu thứ nhất có thể đứng ở các cột... chỉ còn hai lựa chọn là cột 3 và cột 4 Nếu lựa chọn cột 3, trên dòng thứ 3 sẽ không còn ô nào không bị khống chế (Ô (3,1 )và (3,3) khống chế bởi (1,1), ô (3,2) và (3,4) khống chế bởi (2,4) Ta loại bỏ phương án chọn ô (2,3) này và xét tiếp phương án chọn ô (2,4) Khi lựa chọn ô(2,4) ta cũng chỉ đặt thêm được một quân hậu ở dòng thứ ba Dòng thứ tư lại không thể đặt bất kỳ quân hậu nào Do đó ta lùi lại dòng... lùi lại dòng thứ nhất, xét khả năng tiếp theo (1,2), ta lần lượt được dãy các ô (1,2), (2,4), (3,1), (4,3) Tiếp tục với ô(1,3), (1,4) Chỉ có hai đường đi từ gốc tới lá với độ dài 4 nên bài toán 4 hậu chỉ có 2 lời giải thể hiện trên cây bằng các đường đi màu xanh lục [sửa] Xem thêm . cầu trên đường đi của quân mã. Bài toán mã đi tuần là một dạng của bài toán tổng quát hơn là bài toán tìm đường đi Hamilton trong lý thuyết đồ thị, là một bài toán NP-đầy đủ. Bài toán tìm hành. x 8. Bài toán tám quân hậu là bài toán đặt tám quân hậu trên bàn cờ vua kích thước 8×8 sao cho không có quân hậu nào có thể "ăn" được quân hậu khác, hay nói khác đi không quân hậu. sử Bài toán được đưa ra vào 1848 bởi kỳ thủ Max Bezzel, và sau đó nhiều nhà toán học, trong đó có Gauss và Georg Cantor, có các công trình về bài toán này và tổng quát nó thành bài toán xếp hậu.