ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TN ĐH TỪ XA

Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN PHẦN A MÔN CẤU TRÚC ĐẠI SỐ I/ NHÓM Bài tập 1/ Xét vành 26 Z các số nguyên môdulô 26 và G là tập hợp các phần tử khả nghịch trong 26 Z đối với phép nhân. a/ Xác định G và CMR G là một nhóm với phép nhân. b/ Lập bảng nhân với nhóm G. c/ Tìm cấp các phần tử trong G và G có là nhóm nhân cyclic không. GIẢI a/ Ta có n x Z∈ là khả nghịch ⇔ ( ) , 1x n = Do đó ( ) { } { } 26 0 25; ,25 1 1, 3, 5,7, 9,11,15,17,19,21,23,25G x Z x x= ∈ ≤ ≤ = = + , ; .a b G a b G∀ ∈ ∈ vì a,b khả nghịch và ( ) 1 1 1 ab b a − − − = nên phép nhân cótính kết hợp trên G. + 1 G∈ nên G có đơn vị là 1 + a G∀ ∈ , a khả nghịch và nghịch đảo là 1 a G − ∈ vì 1 a − khả nghịch và ( ) 1 1 a a − − = Vậy G là một nhóm với phép nhân. b/ 1 3 5 7 9 11 15 17 19 21 23 25 1 1 3 5 7 9 11 15 17 19 21 23 25 3 3 9 15 21 1 7 19 25 5 11 17 23 5 5 15 25 9 19 3 23 7 17 1 11 21 7 7 21 9 23 11 25 1 15 3 17 5 19 9 9 1 19 11 3 21 5 23 15 7 25 17 11 11 7 3 25 21 17 9 5 1 23 19 15 15 15 19 23 1 5 9 17 21 25 3 7 11 17 17 25 7 15 23 5 21 3 11 19 1 9 19 19 5 17 3 15 1 25 11 23 9 21 7 21 21 11 1 17 7 23 3 19 9 25 15 5 23 23 17 11 5 25 19 7 1 21 15 9 3 25 25 23 21 19 17 15 11 9 7 5 3 1 c/ Do 12G = nên ( ) , 12a G ord a∀ ∈ hay ( ) 1;2;3;4;6;12ord a = ( ) 1 1ord = ; 2 3 9= ; 3 3 1= ⇒ ( ) 3 3ord = ; 2 5 25= ; 3 5 21= ; 4 5 1= ⇒ ( ) 5 4ord = ; 2 7 23= ; 3 7 5= ; 4 7 9= ; 6 7 25= ⇒ ( ) 7 12ord = ( ) 2 3 9 3; 9 1 ord 9 3= = = ; ( ) 2 3 4 6 11 17; 11 5; 11 3; 11 25 rd 11 12o= = = = ⇒ = Trang 1 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán ( ) 2 3 4 6 15 17;15 21; 15 3; 15 25 ord 15 12= = = = ⇒ = ( ) 2 3 4 6 17 3; 17 25; 17 9; 17 1 17 6ord= = = = ⇒ = ( ) 2 3 4 6 19 23; 19 21; 19 9; 19 25 ord 19 12= = = = ⇒ = ( ) 2 3 4 21 25; 21 5; 21 1 21 4ord= = = ⇒ = ( ) 2 3 4 6 23 9; 23 25; 23 3; 23 1 ord 21 6= = = = ⇒ = ( ) 2 25 1 ord 25 2= ⇒ = Do cấp 12G = và trong G có phần tử cấp 12, nên G là một nhóm cyclic. Bài tập 2/ Kí hiệu ( ) 11 11 2, , ; 1 0 1 m b H GL Z m b Z m     = ∈ ∈ = ±    ÷     Trong đó ( ) 11 2,GL Z là nhóm nhân các ma trận vuông cấp 2 khả nghịch lấy hệ số trên trường 11 Z các số nguyên modulô 11. CMR a/ H là nhóm con các nhóm ( ) 11 2,GL Z là 22 phần tử. b/ Mỗi phần tử có thể viết được duy nhất dưới dạng i j A B , trong đó 0 11; 0 j 2i≤ ≤ ≤ ≤ và 1 1 1 0 ; B= 0 1 0 1 A     − =  ÷  ÷     GIẢI a/ Rõ ràng H ≠ ∅ và H có 22 phần tử, vì có 2 cách chọn cho m và 11 cách chọn cho b. 11 1 1 1 , 0 1 0 1 0 1 b c b c b c Z H      ± ± ± ± ∀ ∈ = ∈  ÷ ÷  ÷      ; 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 b b      ± ± ± =  ÷ ÷  ÷      1 1 1 0 1 0 1 b b H −     ± ± ± ⇒ = ∈  ÷  ÷     ; Vậy H là một nhóm con của nhóm ( ) 11 2,GL Z có 22 phần tử. b/ 1 1 , 0 11 0 1 0 1 i i H i       −   = ≤ ≤    ÷  ÷         ; 11 1 1 1 , 0 1 0 1 0 1 b c b c b c Z      ± ∀ ∈ =  ÷ ÷  ÷      1 1 1 ; 0 i 11; j=0 0 1 0 1 i i j i A B     = = ≤ ≤  ÷  ÷     ; 2 1 0 1 0 1 0 B = 0 1 0 1 0 1      − − =  ÷ ÷  ÷      1 1 1 0 1 1 1 0 ; 0 i 11; j=1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 i i j i i A B          − − − = = = ≤ ≤  ÷  ÷ ÷  ÷  ÷          Bài tập 3/ a/ Trong nhóm nhân * C các số phức khác không, hãy xác định nhóm con cyclic sinh bởi phần tử * 2 2 C 2 2 x i= − + ∈ . b/ Trên tập hợp 3 G Z= với Z là tập các số nguyên, xet phép toán hai ngôi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 , , , ', ', ' ; , , * ', ', ' ', ', ' 'a b c a b c Z a b c a b c a a b b c c ba∀ ∈ = + + + − . CMR ( ) ,*G là nhóm không aben. GIẢI Trang 2 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán a/ 2 2 2 2 x i= − + ; 2 x i= − ; 3 2 2 2 2 x i= + ; 4 1x = − ; 5 2 2 2 2 x i= − ; 6 x i= ; 7 2 2 2 2 x i= − − ; 8 1 x = . Vậy { } 2 3 4 5 6 7 1, , , , , , ,x x x x x x x x= . b/ ( ) ( ) ( ) , , , ', ', ' , '', '', ''a b c a b c a b c G∀ ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , * ', ', ' * '', '', '' ', ', ' ' * '', '', ''a b c a b c a b c a a b b c c ba a b c   = + + + −   ( ) ( ) ' '', ' '', ' '' ' ' ''a a a b b b c c c ba b b a= + + + + + + − − + ( ) ( ) ( ) ( ) ' '' , ' '' , ' '' ' '' ' ''a a a b b b c c c b a b a a   = + + + + + + − − +   ( ) [ ] , , * ' '', ' '', ' '' ' ''a b c a a b b c c b a= + + + − ( ) ( ) ( ) , , * ', ', ' * '', '', ''a b c a b c a b c   =   ⇒ Phép * có tính kết hợp. Ta lại có ( ) ( ) ( ) , , * 0,0,0 , ,a b c a b c= ; ( ) ( ) ( ) 0,0,0 * , , , ,a b c a b c= ⇒ ( ) 0,0,0 là phần tử trung hòa của ( ) ,*G . Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , * , , 0,0,0 , , * , ,a b c a b c ab a b c ab a b c− − − − = = − − − − ⇒ ( ) , ,a b c khả nghịch và ( ) ( ) 1 , , , ,a b c a b c ab − = − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,0,0 * 0,1,0 1,1,0 1,1, 1 0,1,0 * 1,0,0= ≠ − = Vậy ( ) ,*G là nhóm không aben. II/ VÀNH Bài tập 1/ Kí hiệu 0 0 0 , , , , , a U b d a b c d e f R c e f        ÷ = ∈    ÷    ÷     là một tập con của ( ) 3,M R . Trong đó ( ) 3,M R là vành các ma trận vuông cấp 3 hệ số thực. a/ Chứng tỏ rằng U là một vành con của vành ( ) 3,M R . b/ U có phải là iđean trái, iđean phải của vành ( ) 3,M R không ? GIẢI a/ Ta có 3 1 0 0 0 1 0 U 0 0 1 I U    ÷ = ∈ ⇒ ≠ ∅  ÷  ÷   0 0 ' 0 0 0 ; ' ' 0 U ' ' ' a a A b d B b d c e f c e f      ÷  ÷ ∀ = = ∈  ÷  ÷  ÷  ÷     ⇒ ' 0 0 ' ' 0 ' ' ' a a A B b b d d U c c e e f f −    ÷ − = − − ∈  ÷  ÷ − − −   ' 0 0 ' ' ' 0 ' ' ' ' ' ' aa A B ba db dd U a c b e fc ed fe ff    ÷ × = + ∈  ÷  ÷ + + +   . Vậy U là một vành con của ( ) 3,M R . Trang 3 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán b/ Với 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I U    ÷ = ∈  ÷  ÷   và ( ) 0 0 1 0 0 0 3, 0 0 0 X M R    ÷ = ∈  ÷  ÷   ta có 3 X I X U× = ∉ ⇒ U không là iđean trái của ( ) 3,M R 3 I X X U× = ∉ ⇒ U không là iđean phải của ( ) 3,M R Bài tập 2/ Xét vành n Z các số nguyên môđulô n a/ Tìm tất cả các đồng cấu vành từ 120 Z vào 42 Z . b/ Tìm ảnh và hạt nhân của từng đồng cấu vành ở câu a. GIẢI a/ Cho f : m n Z Z→ là một đồng cấu nhóm cộng. Đặt ( ) 1a f= , ta có : n a Z∈ cho nên ( ) ord a n , Ngoài ra: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0m a mf f m f m f× = = = = = ⇒ ( ) ord a m Do đó ( ) ( ) ,ord a m n . Đảo lại : Cho n a Z∈ sao cho : ( ) ( ) ,ord a m n . Xét phép tương ứng : f : m n Z Z→ cho bởi ( ) f x xa= Ta có : ( ) ( ) ( ) , ; m m x y Z x y x y ord a x y∀ ∈ = ⇒ − ⇒ − ⇒ ( ) ( ) ( ) 0 x y a xa ya f x f y− × = ⇒ = ⇒ = . Vậy f là một ánh xạ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ; f =f f f m x y Z x y x y x y a xa ya x y∀ ∈ + + = + × = + = + Do đó f là một đồng cấu nhóm cộng và ( ) 1f a= . Cho f : m n Z Z→ là một đồng cấu nhóm cộng. Khi đó : f là một đồng cấu nhóm vành ⇔ ( ) ( ) ( ) , ; m x y Z f x y f x f y∀ ∈ × = × ⇔ ( ) ( ) ( ) , ; m x y Z f xy f x f y∀ ∈ = × ⇒ ( ) ( ) ( ) , ; 1 1 1x y Z f xy f x f y∀ ∈ × = × × × ⇒ ( ) ( ) ( ) , ; 1 1 1x y Z xy f x f y f∀ ∈ = × ⇔ ( ) ( ) 2 1 1f f= Khi m=120, n=42. Ta có : ( ) 120,42 6= ; các phần tử trong 42 Z có cấp ước của 6 là : 0,7,14,21,28,35 do đó ta có 6 đồng cấu nhóm cộng i f : 120 42 ; 0 i 5Z Z→ ≤ ≤ như sau : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 3 4 5 0 ; 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35f x f x x f x x f x x f x x f x x= = = = = = Do 2 2 2 2 2 2 0 0 ; 7 49 7 ; 14 28 14 ; 21 21 ; 28 28 ; 35 7 35= = = = ≠ = = = ≠ Vậy các đồng cấu vành từ 120 Z vào 42 Z là 0 1 3 4 ; ; ; f f f f b/ Ta có : Trang 4 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán { } { } { } { } 0 0 120 1 42 1 120 3 42 1 120 4 42 1 120 Im 0 ; ker Im 0,7,14,21,28,35 =7Z ; ker 6 Im 0,21, =21Z ; ker 2 Im 0,28,14 =14Z ; ker 3 f f Z f f Z f f Z f f Z = = = = = = = = Bài tập 3/ Xét vành C các số phức và 2 2 C 2 2 a i= + ∈ . Chứng tỏ rằng tập hợp : { } 2 3 , , ,S m na pa qa m n p q Z= + + + ∈ là vành con của C sinh bởi a. S có là một iđean của C không ? GIẢI +/ Chứng tỏ S là vành con của C sinh bởi a. Ta có : 2 2 3 4 2 2 2 2 2 2 ; ; 1 2 2 2 2 2 2 a i i a i i i a     = + = = + = − + =  ÷  ÷  ÷  ÷     Lại có : 2 3 0 0 0 0 0 S Sa a a= + + + ∈ ⇒ ≠ ∅ . , , , , , , ', ', ', 'x y S m n p q m n p q Z∀ ∈ ∃ ∈ sao cho : 2 3 2 3 ; ' ' ' 'x m na pa qa y m n a p a q a= + + + = + + + Vì : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 ' ' ' ' Sx y m m n n a p p a q q a− = − + − + − + − ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' S x y mm nq qn pp mn nm pq qp a mp pm np pn a mq qm np pn a × = − − − + + − − + + + + + + + + + ∈ Do đó S là một vành con của C. 2 3 0 2 0 0 S a a a a= + + + ∈ . Cho T là một vành con tùy ý của C và T a ∋ . Khi đó : 2 3 4 , , , 1T a a a a∋ = − . Nên ( ) ( ) 2 3 , , , ; T 1 , , ,m n p q Z m na pa qa∀ ∈ ∋ − − . Do đó 2 3 T m na pa qa∋ + + + . Hay T S⊃ Vậy S là vành con nhỏ nhất của C mà chứa a, hay S là vành con của C sinh bởi a. +/ S có là một iđean của C không ? Giả sử S là một iđean của C, khi đó với 2 1 , 2 S i C∈ ∈ . Ta có : 2 2 1 2 2 i i S× = ∈ nên , , ,m n p q Z∃ ∈ sao cho 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i m na pa qa m n i pi q i     = + + + = + + + + − +  ÷  ÷  ÷  ÷     ( ) ( ) 2 2 2 2 m n q i p n q     = + − + + +         ⇔ ( ) ( ) 0 2 0 0 0 2 1 0 2 2 2 1 2 2 m m p m n q n q p n q p n q n q =   = = + − =    − =    ⇔ ⇔    = = =     + + =   + =   vô lí Vậy S không là iđean của C. Bài tập 4/ Kí hiệu T là vành tất cả các ma trận tam giác dưới cấp 3 trên vành Z các số nguyên. Đặt Trang 5 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán 0 0 0 0 0 0 0 0 , , ; 0 0 , , 2 0 2 2 0 I a a b c Z J l l m n Z b c m n              ÷  ÷ = ∈ = ∈      ÷  ÷      ÷  ÷         . Chứng minh rằng : a/ I là iđean hai phía của T và J là iđean hai phía của I b/ J là iđean phải của T, nhưng không là iđean trái của T. GIẢI a/ Ta có : ; I T J I⊂ ⊂ và 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I I    ÷ ∈ ⇒ ≠ ∅  ÷  ÷   ; 0 0 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 2 0 2 0 A a B d I b c e f      ÷  ÷ ∀ = = ∈  ÷  ÷  ÷  ÷     0 0 0 x X y t I z u v    ÷ ∀ = ∈  ÷  ÷   , ta xét : ( ) 0 0 0 0 0 2 0 A B a d I b e c f    ÷ − = − ∈  ÷  ÷ − −   ; 0 0 0 0 0 2 0 X A at I au bv cv    ÷ × = ∈  ÷  ÷ +   0 0 0 0 0 2 2 0 A X ax I bx cy ct    ÷ × = ∈  ÷  ÷ +   . Vậy T là iđean hai phía của T. Mặt khác : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 J J    ÷ ∈ ⇒ ≠ ∅  ÷  ÷   ; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 ; 0 0 2 2 0 2 2 0 2 0 C l D p J A a I m n q r b c        ÷  ÷  ÷ ∀ = = ∈ ∀ = ∈  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷       Ta có : ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 2 0 C D l p J m q n r    ÷ − = − ∈  ÷  ÷ − −   ; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 2 0 0 2 0 0 A C J C A J cl na      ÷  ÷ × = ∈ × = ∈  ÷  ÷  ÷  ÷     Vậy J là một iđean hai phía của vành I. b/ Theo câu a ở trên J là một nhóm con của nhóm cộng T. ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; 0 ; C X 0 0 2 2 0 2 2 0 x C l J X y t T lx J m n z u v mx ny nt        ÷  ÷  ÷ ∀ = ∈ ∀ = ∈ × = ∈  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ +       Vậy J là một iđean phải của T. 0 0 0 X C 0 0 2 2 0 tl J mv lu nv    ÷ × = ∈  ÷  ÷ +   ; Chọn 0 0 0 0 0 0 0 ; 0 ; 2 2 0 x C l J X y t T m n z u v      ÷  ÷ = ∈ = ∈  ÷  ÷  ÷  ÷     ⇒ X C J× ∉ . Vậy J không là một iđean trái của T. Bài tập 5/ Kí hiệu Q là trường các số hữu tỉ và ( ) Q P là trường các số thực có dạng : a b p+ với ,a b Q∈ ‘ ở đây p là số nguyên tố’. a/ CMR tập hợp các ma trận có dạng : ; , 5 a b a b Q b a   ∈  ÷   là một trường đối với phép cộng và phép nhân ma trận, trường này có đẳng cấu với trường ( ) 5Q Trang 6 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán b/ Chứng tỏ rằng trường ( ) 5Q không đẳng cấu với trường ( ) 7Q GIẢI a/ Đặt , 5 a b K a b Q b a     = ∈    ÷     . Ta có ( ) 2,K M Q⊂ . Chọn a=0 ; b=0 ta có : 0 0 0 0 K K   ∈ ⇒ ≠ ∅  ÷   ( ) ; 5 5 5 a c b d a b c d A B K A B K b d a c b a d c − −       ∀ = = ∈ ⇒ − = ∈  ÷  ÷  ÷ − −       ; ( ) ( ) 5 5 ; 5 5 5 5 ac bd ad bc ca db bc ad A B K B A A B ad bc ac bd bc ad ca db + + + +     × = ∈ × = = ×  ÷  ÷ + + + +     Chọn a=1; b=0 ta có : 2 1 0 0 1 I K   = ∈  ÷   ; ; A 0 5 a b A K b a   ∀ = ∈ ≠  ÷   tức là a, b không đồng thời bằng 0 ( ) 2 2 5 0a b− ≠ 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 5 1 5 5 5 0 5 5 5 5 a a b c ac bd a b a b a b A bc ad b b a d a b a b a b − −    =  ÷  + =   − − − ⇔ ⇒ =  ÷   + = − −  ÷   =  ÷  − − −    Vậy K làmột trường . Xét ánh xạ f : ( ) 5K Q→ cho bởi 5 5 a b f a b b a   = +  ÷   . Rõ ràng f là một song ánh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; f 5 5 5 5 a c b d a b c d A B K A B f a c b d f A f B b d a c b a d c + +       ∀ = = ∈ + = = + + + = +  ÷  ÷  ÷ + +       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 f 5 5 5 5 5 5 ac bd ad bc A B f ac bd ad bc a b c d f A f B ad bc ac bd + +   × = = + + + = + + = ×  ÷ + +   Vậy f là một đẳng cấu. b/ Giả sử tồn tại một đẳng cấu g : ( ) ( ) 5 7Q Q→ . Khi đó ( ) 1 1g = nên ( ) ( ) ( ) 5 5 1 5 1 5 1 5g g g= × = = × = . Và ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 5 5 5 5 5 7 ; a,b Qg g g g a b= = × = = + ∈ ⇔ 2 2 2 2 5 2 7 7 2 7 5 7a ab b ab a b= + + ⇒ = − − + xét a=0 ta có : 2 0 5 7b= − vô lí + xét b=0 ta có : 2 0 5 7a= − vô lí + xét 0; 0a b≠ ≠ ta có : 2 2 5 7 7 2 a b ab − − = vô lí Vậy trường ( ) 5Q không đẳng cấu với trường ( ) 7Q III/ MÔĐUN Bài tập 1/ a/ Dùngđịnh lí cơ bản của đồng cấu môđun. Chứng minh Z đẳng cấu sau : ( ) 3 7 3 7 7 21 Z Z Z Z Z Z Z + ≅ ≅ b/ Tính ( ) 5 7 , Z Hom Z Z . GIẢI Trang 7 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán a/ Ta có : { } { } 3 3 ; 7 7Z x x Z Z x x Z= ∈ = ∈ . Do ( ) 3,7 1; , 3 7 1x y Z x y= ∃ ∈ + = Vì 3 ,7 3 7Z Z Z Z Z Z⊂ ⇒ + ⊂ . Thật vậy : , z=3xz+7yz 3Z+7Z Z 3Z+7Zz Z∀ ∈ ∈ ⇒ ⊂ Do đó : 3 7Z Z Z = + . Vậy ( ) 3 7 7 7 Z Z Z Z Z + ≅ Mặt khác : { } { } 3 7 3; 7 21 21Z Z x Z x x x Z x Z∩ = ∈ = ∈ =M M M Theo định lí cơ bản của đồng cấu môdun R ta có : ( ) ( ) 3 7 3 3 7 3 7 21 Z Z Z Z Z Z Z Z + ≅ ≅ ∩ b/ Do ( ) 5,7 1; x,y Z 5 7 1x y= ∃ ∈ + = . Khi đó : ( ) 5 7 , Z f Hom Z Z∀ ∈ . Ánh xạ f : 5 7 Z Z→ là một đồng cấu Z-môđun và : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5 7 5 7 7 7 0f f x y f x y f y f y= + = + = = = ⇒ ( ) ( ) ( ) 5 ; 1 1 0 0a Z f a f a a f a∀ ∈ = × = × = × = ⇒ f = 0. Vậy ( ) 5 7 , Z Hom Z Z chỉ có duy nhất phần tử { } 0 . Hay ( ) { } 5 7 , 0 Z Hom Z Z = . Bài tập 2/ Cho nhóm cộng aben R các số thực được xem như là một môđun trên vành Z các số nguyên. Tồn tại hay không một Z-môđun S sao cho 5R Z S   = ⊕   ? GIẢI Giả sử tồn tại một Z-môđun S sao cho 5R Z S   = ⊕   . Khi đó với 1 ; , , 2 R a b Z s S∈ ∃ ∈ ∃ ∈ sao cho : ( ) ( ) ( ) { } 1 5 2 1 2 2 5 Z 5 0 2 a b s s a b S   = + + ⇔ = − + − ∈ =   I ⇒ 2s=0 ⇒ s=0 ⇒ 1 1 5 2 2 0 a a b b  =  = + ⇒   =  vô lí Vậy không tồn tại một Z-môđun S sao cho 5R Z S   = ⊕   Bài tập 3 : Cho ϕ : A B→ và ψ : B C→ là hai đồng cấu R-môđun sao cho ϕ.ψ là một đẳng cấu. Chứng minh rằng B= Imϕ ⊕ ker ψ. GIẢI ( ) ; b B b C ψ ∀ ∈ ∈ , do ϕ.ψ là một toàn cấu a A ∃ ∈ sao cho ( ) ( ) a b ψ ϕ ψ × = . Đặt ( ) x a ϕ = . Ta có Imx ϕ ∈ và đặt y b x= − ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0y b x b x b a ψ ψ ψ ψ ψ ψ ϕ = − = − = − = nêm kery ψ ∈ . Tóm lại : ; x Im , y kerb B ϕ ψ ∀ ∈ ∃ ∈ ∃ ∈ : b x y= + . Do đó B= Im ϕ ⊕ ker ψ . ( ) ( ) , Im Im ker 0 ker a A b a b b b b ϕ ϕ ϕ ψ ψ ψ  ∃ ∈ = ∈   ∈ + ⇒ ⇒   = ∈    ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 0a a b ψ ϕ ψ ϕ ψ × = = = ⇒ ( ) { } ker 0 a ψ ϕ ∈ × = ( do ϕ.ψ đơn cấu). ⇒ ( ) 0 0 0a b ϕ = ⇒ = = . Do đó { } Im ker 0 ϕ ψ + = . Vậy B= Im ϕ ⊕ ker ψ . Trang 8 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán Bài tập 4 : Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và M, M’ và N là các R-môđun. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ', , ', R R R Hom M M N Hom M N Hom M N× ≅ × . GIẢI Xét hai phép nhúng i : . 'M M M → : ( ) ,0x xa ; j : ' . 'M M M → : ( ) 0,y ya . Ta có i và j là 2 đồng cấu R-môđun. Do đó : ( ) ', R f Hom M M N∈ × ta có ( ) , R f i Hom M N× ∈ và ( ) ', R f j Hom M N× ∈ . Xét ánh xạ : ψ : ( ) ( ) ( ) ', , ', R R R Hom M M N Hom M N Hom M N× → × ( ) ,f f i f j× ×a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ', ; , , , = a , , =a R f g Hom M M N a b R af bg af bg i af bg j f i f j b g i g j f b g ψ ψ ψ ∀ ∈ × ∀ ∈ + = + × + × × × + × × + Do đó ψ là một đồng cấu R-môđun. ( ) ( ) , , ', R R g h Hom M N Hom M N∀ ∈ × . Xét ánh xạ f : ' NM M× → cho bởi ( ) ( ) ( ) ,f x y g x h y= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ' , , , , , ,x y u v M M a b R f a x y b u v f ax bu ay bv∀ ∈ × ∀ ∈ + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , g ax bu h ay bv ag x bg u ah y bh v a g x h y b g u h v af x y bf u v = + + + = + + + = + + + = + Do đó f là một đồng cấu R-môđun hay ( ) ', R f Hom M M N∈ × . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,0 0 , ', 0, 0 f i x f x g x h g x f i g x M y M f j y f y g h y h y f j h  × = = + = × =   ∀ ∈ ∈ ⇒   × = = + = × =    ⇒ ( ) ( ) ( ) , ,f f i f j g h ψ = × × = . Do đó ψ là một toàn cấu. Cho f ∈ kerψ ⇒ ( ) ( ) 0 , 0 0 f i f f i f j f j ψ × =  = × × = ⇒  × =  ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , . ' , f , ,0 0, ,0 0, 0x y M M x y f x y f x f y f i x f j y∀ ∈ = + = + = × + × = ⇒ 0f = Do đó { } ker 0 ψ = . Hay ψ là một đơn cấu. Vậy ψ làmột đẳng cấu. Bài tập 5 : Cho hai trường hữu hạn các số nguyên môđulô 7 Z và 11 Z . Ta định nghĩa các phép toán trên { } * 7 11 11 \ 0Z Z Z× = như sau : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 7 11 , , ', ' , ; , ', ' ', ' ; , , n x y x y Z Z n Z x y x y x x yy n x y nx y×∀ ∈ ∀ ∈ + = + = a/ Chứng tỏ rằng * 7 11 Z Z× là một môđun trên vành Z các số nguyên. b/ n Z là nhóm cộng các số nguyên môđulô n được xem như là Z-môđun. Môdun * 7 11 Z Z× có đẳng cấu với 70 Z không ? Trang 9 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán c/ Môđun * 5 11 Z Z× có đẳng cấu với 50 Z không ? GIẢI a/ ( ) ( ) ( ) * 7 11 , , ', ' , '', '' , , x y x y x y Z Z n m Z × ∀ ∈ ∀ ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. , ', ' ', ' ' , ' ', ' ,x y x y x x yy x x y y x y x y+ = + = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. , ', ' '', '' ', ' + '', '' ' '', ' '' , ' '', ' '' x y x y x y x x yy x y x x x yy y x y x x y y   + + = +   = + + = + + ( ) ( ) ( ) = , ', ' '', ''x y x y x y   + +   ( ) ( ) ( ) ( ) 3. , 0, 1 0, 1 ,x y x y x y+ = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 4. , , , 0, 1x y x y x x yy − − + − = + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. , ', ' ', ' ' , ' = ', ' , ', ' = , ', ' n n n n n n x y x y n x x yy n x x yy nx nx y y nx y nx y n x y n x y     + = + = +     + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6. , , , = , , , , n m n m n m n m x y n m x y nx mx y y nx y mx y n x y m x y +   + = + = +   + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7. , , , = , , n m m nm n m x y n mx y nmx y nmx y nm x y     = = =       ( ) ( ) ( ) 1 8. 1. , 1. , ,x y x y x y= = Vậy * 7 11 Z Z× là một Z-môđun b/ Ta có : 7 Z là nhóm cộng cyclic cấp 7 ; * 11 Z là nhóm cộng cyclic cấp 10. Mà : ( ) 7,10 1= cho nên * 7 11 Z Z× là nhóm cyclic cấp 7 10 70 × = . Mặt khác : 70 Z là nhóm cyclic cấp 70. Do đó * 7 11 70 Z Z Z× ≅ . Vậy Z-môđun * 7 11 Z Z× đẳng cấu với Z-môđun 70 Z . c/ ( ) ( ) ( ) ( ) * 10 5 11 , , 10 , 10 , 0,1x y Z Z x y x y×∀ ∈ = = . Nên ( ) ,x y có cấp là ước của 10. Do đó mọi phần tử trong * 5 11 Z Z× đều có cấp là ước của 10. Nên không có phần tử nào của * 5 11 Z Z× có cấp là 50. Trong khi 50 Z là nhóm cyclic cấp 50, tức là tồn tại một phần tử trong 50 Z có cấp 50. Vậy Z-môđun * 5 11 Z Z× không đẳng cấu với Z-môđun 50 Z . IV/ ĐA THỨC Bài tập 1 : a/ Trên trường Q tìm ƯCLN của : ( ) 4 3 2 2 7 10 10 6f x x x x x= + + + + ; ( ) 3 2 2 3 2 3g x x x x= + + + b/ Trên trường 5 Z tìm ƯCLN của : ( ) 6 5 4 2 3 4 2f x x x x x x= + + + + + ; ( ) 5 2 2 2g x x x x= − + − c/ hãy nhân tử hóa trên Q đa thức : ( ) 5 3 2 7 12 4f x x x x x= − + + − . GIẢI a/ Trang 10 4 3 2 2 7 10 10 6x x x x+ + + + 3 2 2 3 2 3x x x+ + + 4 3 2 2 3 2 3x x x x+ + + 2x + 3 2 4 8 7 6x x x+ + + 3 2 4 6 4 6x x x+ + + 2 2 3x x+ 3 2 2 3 2 3x x x+ + + 2 2 3x x+ 3 2 2 3x x+ x 2 3x + 2 2 3x x+ 2 3x + 2 2 3x x+ x 0 [...]... mãn bài toán Trang 28 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán Bài tập 4 : Cho X = C[ −1,1] lập các hàm liên tục trên [ −1,1] với x,y ∈ X ta định nghĩa : { } d ( x, y ) = max x ( t ) − y ( t ) : t ∈ [ −1,1] a/ Chứng minh d là một mêtric trên X 2 b/ Tập A = { x ( t ) = at ; a ∈ R} có phải là tập mử trong X không ? Tại sao ? GIẢI a/ Lần lượt kiểm tra các tiên đề về khoảng cách { } + d ( x, y )... : Xét X = { 0;1; 2; } là tập các số tự nhiên Với m, n ∈ X Ta định nghĩa d ( m, n ) = 3m − 3n a/ Chứng minh d là không gian mêtric trên X b/ C hứng minh mọi tập A trong X là vừa đóng vừa mở Trang 27 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán GIẢI a/ Lần lượt kiêm tra các tiên đề về khoảng cách + Với m, n ∈ X ta có : d ( m, n ) = 3m − 3n ≥ 0 d ( m, n ) = 0 ⇔ 3m − 3n = 0 ⇔ 3m = 3n ⇔ m = n m n... 29 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán Do xn → a nên ∃n0 : n ≥ n0 ⇒ d ( a, xn ) < r ⇒ xn ∈ B ( a, r ) ⊂ Bi0 Với n = 1, n0 − 1, do x n ∈ K ⊂ iU Bi nên ∃in ∈ I Mà xn ∈ Bin ∈I Khi đó K ⊂ n0 −1 UBi n n =0 Vậy họ { Bin : n = 0, n − 1} là phủ con hữu hạn của phủ ( Bi ) i∈I Vậy K là tập compact −1 Bài tập 6 : Cho X,Ylà hai KG mêtric f : X → Y là liên tục sao cho f ( K ) là tập compact trong... f ( K ) là tập compact trong X đối với mọi tập K compact trong Y Chứng minh f là ánh xạ đóng, tức f biến một tập đóng trong X thành một tập đóng trong Y GIẢI Giả sử A là tập đóng trong X, ta cần chứng minh f ( A) là tập đóng trong Y Thật vậy : Giả sử y0 ∈ f ( A ) , khi đó tồn tại một dãy ( yn ) trong f ( A ) mà yn → y0 Xét tập K = { yn : n = 0,1, } ⇒ K là tập compact Do yn ∈ f ( A) nên ∃xn ∈ A mà f... 5 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán x + 2 x + x + 2 x − 5 = x 2 + 3x + 3 x 2 − x + 1 + ( −2 x − 8 ) 4 3 ( 2 )( x −x +2 8 Phân tích cần tìm là (x 2 4 ) − x +1 3 ) = x 2 + 3x + 3 + −2 x − 8 −4 x + 6 2x +1 + + 2 2 2 2 x − x +1 x − x +1 x − x +1 ( ) ( ) 3 Bài tập 5/ Cho hai đa thức A, B ∈ F [ x ] \ { 0} với F là một trường CMR hai đa thức sau đây tương đương a/ A và B không nguyên tố cùng... thuẩn với B ( x0 , r ) ⊂ A Vậy A không mở Bài tập 5 : Chứng minh rằng mọi dãy hội tụ trong một KG mêtric X cùng với giới hạn của nó tạo thành một tập compact GIẢI Cho ( xn ) n là một dãy trong KG mêtric ( X , d ) mà xn → a Ta phải chứng minh : k = { xn : n ∈ N } ∪ { a} là tập compact Thật vậy : Gỉa sử ( Bi ) i∈I là một phụ mở của tập K tức là : K ⊂ iU ( Bi ) và Bi là tập mở ∀i ∈ I ∈I Do a ∈ K ⊂ iU (... a e ∈ A Do đó A đóng Từ a.b=1 ta có : b = = x −x Vậy ( a, b ) = ( e , e ) Trang 30 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán ln ( 1 + x ) b/ B chính là đồ thị trong R 2 của hàm y = x + Kí hiệu m là đồ đo trong mặt phẳng thì m ( B ) = 0 Nếu B mở, ta lấy ( x0 , y0 ) ∈ B khi đó 2 ∃r > 0 mà B ( ( x0 , y0 ) , r ) ⊂ B ⇒ mB ( ( x0 , y0 ) , r ) ≤ mB ⇒ π r ≤ 0 vô lí Vậy B không mở   1  1 ln 1... Bài tập 4 : Giải phương trình : 2 y ''− 52 y '+ 3 y = x e (1) Phương trình thuần nhất của (1) là : 2 y ''− 5 y '+ 3 y = 0 (2) Phương trình đặc trưng của (2) là : 2k 2 − 5k + 3 = 0 3 Giải (3) có hai nghiệm thực k1 = 1; k2 = 2 3 nên (2) có nghiệm tổng quát là : y = C1e x + C2e 2 x Trang 24 (3) Phụ chú : f ( x ) = eα x P ( x ) = e x x 2 α = 1 = k1 ⇒ l = 1 n=2 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn... b sin 6 x ) = −e − x cos 6 x Trang 25 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán 1  −27 a = −1 a = ⇔ −27 a cos 6 x − 27 sin 6 x = − cos 6 x ⇒  ⇔ 27  −27b = 0  b=0  1 −x e cos 6 x 27 1 −x 1 −x −x Vậy nghiệm tổng quát của (1) là : y = y* + y** + y = e + e cos 6 x + e ( C1 cos 3x + C2 sin 3x ) 9 27 Phụ chú : y ''+ y = x cos x − sin x Bài tập 8 : Giải phương trình : (1) f ( x ) = e0 x ( −... (1) là : y* = x e 1 6 3 2x 2x Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là : y = y* + y = x e + ( C1 + C2 x ) e III/ KHÔNG GIAN MÊTRIC Bài tập 1 : Cho X = ( 1, 2 ) ∪ [ 3, 4 ) ∪ [ 5, 6] là KG mêtric con của tập số thực R với khoảng cách Euclid thông thường a/ Xét tính đóng, mở của các tập A = ( 1, 2 ) , B = ( 3, 4 ) ; C = [ 5, 6 ) trong X   b/ Khảo sát sự hội tụ của dãy 1 + n ÷ trong X   n≥2 GIẢI . Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN PHẦN A MÔN CẤU TRÚC ĐẠI SỐ I/ NHÓM Bài tập 1/ Xét vành 26 Z các số nguyên môdulô 26 và G là tập hợp các phần. lí Vậy S không là iđean của C. Bài tập 4/ Kí hiệu T là vành tất cả các ma trận tam giác dưới cấp 3 trên vành Z các số nguyên. Đặt Trang 5 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán 0. * 7 11 Z Z× có đẳng cấu với 70 Z không ? Trang 9 Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán c/ Môđun * 5 11 Z Z× có đẳng cấu với 50 Z không ? GIẢI a/ ( ) ( ) ( ) * 7 11 , , ',