Bài tập máy tính casio - Dạng toán Dãy số

MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ VÀ VÍ DỤ1... Khi bấm  SHIFT COPY lấy lại quy trình và tính tiếp nhờ phím ... Khi bấm  SHIFT COPY lấy lại quy trình và tính tiếp un nhờ phím .. a Lập một quy trình

Trang 1

MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ VÀ VÍ DỤ

1 Dạng 1 - Dãy Phi - bô - na - xi

(Fibonacci - là dãy số có dạng u1=1; u2 = 1; un+1= un + un-1(n = 1, 2, 3…)

Ta có công thức tổng quát:

n

u

5

- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-500 MS

Bấm 1 SHIFT STO A

1SHIFT STO B Và lặp lại dãy phím:

 ALPHA A SHIFT STO A

 ALPHA B SHIFT STO B Bằng phím  

Khi bấm 1 SHIFT STO A đưa u2 = 1 vào A

Khi bấm 1SHIFT STO B nghĩa là cộng u2 = 1 với u1 = 1 được u3 = 2 và ghi vào B

Khi bấm  ALPHA A SHIFT STO A cộng u3= 2 với u2 = 1 được u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào A Khi bấm  ALPHA B SHIFT STO B nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong B được u5 = u4 + u3 = 5

và ghi vào B Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô A và B để lần lượt tính các giá trị un

bằng cách bấm liên tiếp phím   ta sẽ được u6= 8; u7 =13; u8 = 21

- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-570 MS

+ Quy trình 1: Bấm 1 SHIFT STO A

1SHIFT STO B Và lặp lại dãy phím:

 ALPHA B SHIFT STO B Bằng phím COPY 

Giải thích:

Khi bấm 1SHIFT STO B nghĩa là cộng u2=1 với u1=1 được u3= 2 và ghi vào B

và ghi vào B Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô A và B để lần lượt tính các giá trị un

bằng cách bấm liên tiếp phím COPY  ta sẽ được u6= 8; u7 =13; u8 = 21

Quy trình 2: Bấm 1 SHIFT STO A

1SHIFT STO B

 ALPHA B SHIFT STO B  SHIFT COPY

Lặp lại phím 

Giải thích:

Trang 2

Khi bấm 1SHIFT STO B nghĩa là cộng u2 =1 với u1=1 được u3=2 và ghi vào B

và ghi vào B

Khi bấm  SHIFT COPY lấy lại quy trình và tính tiếp nhờ phím 

Quy trình 3: Tính só Phi - bô - na - xi un trên máy Casio fx - 570 MS nhờ công thức nghiệm:





Bấm CALC máy hiện X ?

Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các un tương ứng

Lời bình: Máy tính Casio fx - 570 MS tiện hơn máy tính Casio fx - 500 MS vì chỉ cần khai báo công thức một lần, sau đó, mỗi lần bấm phím CALC chỉ cần thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các u tương ứng

2 Dạng 2 Dãy Lu - ca (Lucas - là dãy số tổng quát của dãy Phi - bô - na - xi với u1 = a; u2 = b; un+1=

un + un-1 với mọi n  2 a và b là hai số nào đó

Quy trình 1:

Bấm b SHIFT STO A

a SHIFT STO B và lặp lại dẫy phím

 ALPHA B SHIFT STO B Bằng phím COPY 

Giải thích

Bấm b SHIFT STO A nghĩa là đưa u2 = b vào A

Bấm a SHIFT STO B nghĩa là cộng u2 =b với u1 =a được u3=a + b và ghi vào B

Khi bấm  ALPHA A SHIFT STO A cộng u3= a + b với u2 = b được u4 = u3 + u2 = a + 2b và ghi vào A

Khi bấm  ALPHA B SHIFT STO B nghĩa là cộng u4 = a + 2b với u3 = a + b trong B được u5 = u4

+ u3 = 2a + 3b và ghi vào B Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô A và B để lần lượt tính các giá trị un bằng cách bấm liên tiếp phím COPY  ta sẽ được u6; u7; u8

Quy trình 2: : Bấm b SHIFT STO A

a SHIFT STO B

 ALPHA B SHIFT STO B  SHIFT COPY

Giải thích:

Khi bấm b SHIFT STO A đưa u2 = 1 vào A

Khi bấm 1SHIFT STO B nghĩa là cộng u2 =1 với u1=1 được u3=2 và ghi vào B

Khi bấm  ALPHA A SHIFT STO A cộng u3= 2 với u2 = 1 được u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào A

Trang 3

Khi bấm  ALPHA B SHIFT STO B nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong B được u5 = u4 + u3 = 5

và ghi vào B

Khi bấm  SHIFT COPY lấy lại quy trình và tính tiếp un nhờ phím 

Ví dụ 1:

Cho dãy số u1 = 8; u2 =13; un+1= un + un-1 ( n = 2, 3, 4…)

1) Hãy lập một quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un+1 với mọi n  2

2) Sử dụng quy trình trên để tính giá trị u13; u17

Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS

Ta thấy rằng đây chính là dãy Lu - ca có a = 8; b = 13

Sử dụng quy trình trên để tính un+1 với mọi n  2 như sau:

13 SHIFT STO A (gán u2 = 13 vào A )

 8 SHIFT STO B (gán u3 = 21 vào B )

 ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 34 vào A )

 ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 55 vào B )

 SHIFT COPY

Để tính tiếp u13 ta ấn tiếp liên tiếp phím  8 lần được số 2584 nghĩa là u13 = 2584

Sau khi tính được u13 để tính tiếp u17 ta ấn tiếp 4 phím  được số 17711 nghĩa là

u17 =17711

Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím   ta được các un tương ứng

Ví dụ 2: Cho dãy số u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1 (n = 2, 3, 4 )

a) Lập một quy trình bấm phím để tính un+1

b) Tính u12; u20; u25, u30

c) Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số: 2 3 4 6

1 2 3 5

u u u u .

Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím   ta được các un tương ứng

Để tính u12 ta ấn liên tiếp 7 lần cặp phím   được u12=28657

Để tính tiếp u20 ta ấn liên tiếp 8 lần cặp phím   nữa được u20= 1346269

Trang 4

Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS:

 SHIFT COPY

Lặp lại phím  ta tính tiếp được u6= 1597; u7 = ; 2584

Đến đây dễ dàng tính được các tỉ số theo yêu cầu của đề bài:

3 2

6 4

u

1,61805; 1,61802

u

1,61803; 1, 61803

3.Dãy Lu - ca suy rộng dạng u1=a; u2 = b; un = aun + bun-1

- Quy trình bấm phím trên máy tính Casio fx - 570 MS:

+ Quy trình 1:

b SHIFT STO A a  ba SHIFT STO B

Lặp lại dãy phím a  ALPHA A b SHIFT STO A

a  ALPHA B b SHIFT STO B

Giải thích: Bấm b SHIFT STO A a  ba SHIFT STO B đưa b = u2 vào ô nhớ A , tính u3 = au2

+ bu1 và gán u3 vào ô nhớ B

Dãy phím a  ALPHA A b SHIFT STO A tính u4 = au3 + bu2 và gán u3 vào ô nhớ A , còn trong ô nhớ B là u3 thực hiện a  ALPHA B b SHIFT STO B ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ

B

Tiếp tục vòng lặp lại được các số hạng của un+1=aun + bun-1

+ Quy trình 2: b SHIFT STO A a  b a SHIFT STO B

a  ALPHA A b SHIFT STO A

a  ALPHA B b SHIFT STO B

 SHIFT COPY

Giải thích: Tương tự như quy trình 1 nhưng ở quy trình 2 ta sử dụng các phím  SHIFT COPY để lặp lại quy trình

Ví dụ 1: Cho dãy u1 = 2, u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n = 2, 3, ….)

a) Tính u3 , u4 , u5 , u6 , u7

b) Viết quy trình bấm phím để tính un

Trang 5

Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500MS:

20 SHIFT STO A 2  2 SHIFT STO B (gán u3 = 42 vào B )

2  ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 104 vào A )

2  ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 250 vào B )

Lặp lại quy trình trên bằng phím   ta tính được u6 = 604, u7 = 1458

Hướng dẫn giải trên mãy tính Casio fx - 570 MS:

20 SHIFT STO A 2  2 SHIFT STO B (gán u3 = 42 vào B )

2  ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 104 vào A )

2  ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 250 vào B )

 SHIFT COPY

Như vậy sử dụng máy tính Casio fx - 570 MS để lặp lại một quy trình chỉ cần ấn liên tiếp phím , còn đối với máy tính Casio fx - 500 MS để lặp lại một quy trình thì phải ấn liên tiếp cặp phím  

Ví dụ 2: Cho dãy số

n

u

2 3

 a) Tìm 8 số hạng đầu tiên của dãy

b) Lập một công thức truy hồi để tính un+2 theo un + 1 và un

c) Lập một quy trình để tính un?

Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS:

a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát

( ( 2  3 ) ^ 1 ( 2  3 ) ^ 1 )  2 3 (u1= 1)

Sử dụng phím REPLAY để sửa công thức trên di chuyển con chỏ tới vị trí số mũ là 1 sửa thành số mũ là 2 rồi bấm , tiếp tục sửa số mũ là 2 thành 3 ta sẽ tìm được 8 số hạng đầu của dãy b) Đặt a (2  3); b (2  3)ta có a+ b = 4 và ab = 1

n

a b (a b)(a b ) a b ab u

2 3

n

u

2 3



n

4(a b ) (a b )

u

  =4un-1 - un-2

Vậy un = 4un- 1 - un-2 hay un+2 =4un+1 - un

c) Lập quy trình tính un

Có u1 = 1, u2 = 4

4  1 SHIFT STO B (tính và gán u3 = 15 vào B )

4  ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 56 vào A )

4  ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 209 vào B )

Trang 6

Lặp lại quy trình trên bằng phím   ta tính được u6 = 780, u7 = 2911

Hướng dẫn giải trên máytính Casio fx - 570 MS

a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát

Bấm CALC máy hiện X ?

Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 8 ta được các un tương ứng

u1= 1, u2= 4, u3= 15, u4= 56, u5= 209, u6= 780, u7= 2911, u8= 10864

c) Lập quy trình tính un

4  1 SHIFT STO B (tính và gán u3 = 15 vào B )

4  ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 56 vào A )

4  ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 209 vào B )

 SHIFT COPY

Tìm được các un tương ứng

4 Dãy Phi - bô - na - xi bậc ba

Dạng u1 = u2 = 1, u3 = 2, un+1 = un + un-1 + un-2 (n=3, 4, 5, )

- Quy trình trên máy tính Casio fx 570 - MS:

1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B

ALPHA B  ALPHA A 1 SHIFT STO C

Lặp lại dãy phím  ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A

 ALPHA C  ALPHA B SHIFT STO B

 ALPHA A  ALPHA C SHIFT STO C

Bằng cách bấm tiếp:  SHIFT COPY và bấm liên tiếp phím 

Giải thích:

Bấm:1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B nghĩa là gán u1 = 1 vào A , gán u3 = 2 vào B

Bấm: ALPHA B  ALPHA A 1 SHIFT STO C tính u4 và gán vào C

 ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A tính u5 và gán vào A

 ALPHA C  ALPHA B SHIFT STO B tính u6 và gán vào B

 ALPHA A  ALPHA C SHIFT STO C tính u7 và gán vào C

Ta được dãy 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105,

5 Dãy phi tuyến dạng: u 1 =a, u 2 = b, u n+1 = 2 2

n n-1

u + u

- Quy trình trên máy tính Casio fx - 570 MS:

Bấm: b SHIFT STO A

x2 a x SHIFT STO B2

Lặp lại dãy: x2  ALPHA A x SHIFT STO A2

x2  ALPHA B x SHIFT STO B2

Bằng cách phím  SHIFT COPY và bấm liên tiếp phím 

Trang 7

- Giải thích:

Bấm b SHIFT STO A gán u2= b vào A

x2 a x SHIFT STO B2 tính u3 = b2 + a2 và gán vào B

Lặp lại dãy: x2  ALPHA A x SHIFT STO A2 tính u4 = 2 2

3 2

u + u và gán vào A

x2  ALPHA B x SHIFT STO B2 tính 2 2

u = u + u và gán vào B

6 Một số dãy số khác

Bài 1: Cho dãy số

3

n

a 3 a

1 a



a) Lập quy trình bấm phím tính an+1

b) Tính an với n = 2, 3, 4, , 10

Hướng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS

a) Bấm 3  ( Ans ^ 3 Ans )  ( 1 Ans ^ 3 )

Lặp lại phím  ta được :

0,195615199; 0,447318398; 0,672491028; 0,757778244; 0,761046838; 0,760889819; 0,76089781; 0,760897404; 0,760897425; 0,760897424; 0,760897424; 0,760897424,0,760897424

Giải thích:

Bấm 3  gán a1 = 3 vào ô nhớ Ans

Bấm ( Ans ^ 3  Ans )  ( 1 Ans ^ 3 ) tính a2

Bấm  gán u2 vào ô nhớ Ans

(Mỗi lần bấm phím  thì giá trị trên màn hình được gán vào ô nhớ Ans )

Bài 2:Cho dãy số

n

n 1

n







a) Hãy tính xn với n = 1, 2, , 15 với x0 = 1; x0 = 3

b) Chứng minh rằng dãy số trên là tuần hoàn với mọi x0 cho trước bất kỳ, tức là tồn tại mọt số N nguyên dương sao cho với mọi x0 dãy {xn} xác định như trên ta có:

xn+N =xn với mọi n= 1, 2, 3,

Hướng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS:

a) Khai báo giá trị đầu: x0 = 1

Bấm: 1 

Khai báo công thức n 1 n

n

x









Bấm tiếp: ( 3 Ans  1 ( Ans  3 ) (1)

Liên tiếp bấm phím  được xn

Khai báo lại giá trị đầu x'0 = 3 Bấm 3 

Trang 8

Dùng phím để đưa về dòng công thức (1) và liên tiếp bấm phím được x'n

x1= 0,267949192 x'1= 0,886751345

x2= - 0,267949192 x'2= 0,204634926

x3= - 1 x'3= - 0,333333333

x4= - 3,732050808 x'4= - 1,127711849

x5= 3,732050808 x'5= - 4,886751346

x6= 1 x'6= 3

x7= 0,267949192 x'7= 0,886751345

x1= - 0,267949192 x'8= 0,204634926

Tính theo công thức truy hồi ta được:

0

x

Vậy {xn} tuần hoàn chu kỳ là N = 6

III - Một số bài tập đề nghị bạn đọc tự viết quy trình để giải

Bài 1: Biết dãy só {an} xác định như sau: a1 = 1; a2 = 2; an+2 =3an+1 +2an với mọi n nguyên dương

Tính a15

Bài 2: Cho dãy số u1 = 1, u2 = 2, un+1 = 2003un + 2004un-1 ( n = 2, 3, 4, )

a) Tính u4, u5, u6

b) Lập quy trình tính un+1

Cho dãy số un=(3 + 7)n +(3 - 7)n (n = 0, 1, 2,…)

Lập công thức tính un+2theo un và un+1

Lập quy trình tính un, n=5,…,10

Kết quả : u2 = 32; u3 = 180; u4 = 1016; u5 = 5736; u6 = 32384; u7 = 182832;

u8 = 1032224; u9 = 5827680; u10 = 32901632;

Bài tập 3: Cho dãy số

n

(10 3) (10 3) u

2 3



a) Tính các giá trị u1, u2; u3, u4

b) Xác định công thức truy hồi tính un+2 theo un+ 1 và un

c) Lập quy trình tiên tục tính un+2 theo un+ 1 và un rồi tính u5, u6, u16

Bài 4: Cho dãy số {un} xác định bởi:

u1 = 1; u2 = 3; un =3un-1 khi n chẵn và un =4un-1 + 2un-2 khi n lẻ

a) Lập quy trình bấm phím liên tục tính un

b) Tính u10, u11, u12, u14, u15

Hướng dẫn: Tính trên máy Casio fx - 500 MS:

1 2 3 4 SHIFT STO A  

Trang 9

Lặp lại dãy phím   3 4 ALPHA A 2 SHIFT STO A nhờ  

Tính trên máy Casio fx - 570 MS:

1SHIFT STO A 2 SHIFT STO B

3 ALPHA A SHIFT STO B

SHIFT COPY







Kết quả: u10 = 115548; u11 = 537824; u12 = 1613472; u13 = 7529536; u14 = 22588608 ; u15 = 105413504

Bài 5: Một học sinh đã viết liên tiếp các tổng sau:

S1 = 1 + 2; S2 = (1 + 2) + 4 + 5; S3 = (1 + 2 + 3) + 7 + 8 + 9:

Tính S50; S60; S80; S100.

Bài 6: Cho U1 = 4, U2 = 7, Un+1 = 3Un – 2Un-1 (n > 3)

a) Viết quy trình bấm phím tính Un (n > 3)

b) Tính U6; U12?

Bài 7: Cho dãy số 1

4 1

n n n

x x x





 , với n 1

a) Lập một quy trình bấm phím tính xn+1 với x1 = 1 và tính x100

b) Lập một quy trình bấm phím tính xn+1 với x1 = - 2 và tính x100

Bài 8: Cho dãy số {Un} như sau Un = 3 2 2  n 3 2 2 n với n = 1, 2, 3, 4,……

a) Tính U1; U2, U3; U4, U5; U6

b) Viết công thức truy hồi để tính Un+2 theo Un+1 và Un

c) Viết một quy trình ấn phím liên tục để tính Un+2 với n 1.(nêu rõ loại máy)

Bài 9: Cho dãy số {Un} như sau U0 = U1 = 2; Un+2 = Un+1.Un + 1 với n = 0, 1, 2, 3, 4,…

a) Viết một quy trình ấn phím liên tục để tính Un với n 2.(nêu rõ loại máy)

b) Tính U2, U3; U4, U5; U6 U7; U8

Bài 10: Cho dãy số {Un} như sau Un = 5 2 6  n 5 2 6 n với n = 1, 2, 3, 4,……

a) Chứng minh rằng Un+2 + Un = 10Un+1 với  n 1, 2,3,

b) Hãy lập một quy trình ấn phím liên tục để tính Un+2 với n 1.(nêu rõ loại máy)

Bài 11: Cho dãy số {Un} như sau Un = 3 5 3 5 2

, với n = 0,1,2,3,…

a) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy?

b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1

c) Lập một quy trình ấn phím liên tục để tính Un+1 với n 1.(nêu rõ loại máy)

Bài 12: Cho dãy số {Un} như sau Un = (2 3) (2 3)

2 3

, với n = 0,1,2,3,…

b) Lập công thức truy hồi tính Un+2 theo Un và Un+1

Bài 13: Cho dãy số {Un} như sau Un = (5 7) (5 7)

2 7

, với n = 0,1,2,3,…

Trang 10

b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1.

Bài 14: Cho dãy số:

2

1 2

4 1

n n

n

x x

x

 

 với n 1

a) Lập Quy trình tính xn, biết x1 = 0,25

b) Tính x100

Bài 15: Cho dãy số: u = 2, u = 3; u = 4, u = 3u - 6u +12u1 2 3 n+3 n+2 n+1 n với n = 1, 2, 3,

a) Lập một quy trình bấm phím liên tục để tính un+3 với n = 1, 2, 3,

b) Tính các giá trị u ; u 14 18

Bài 16: Cho dãy số được xác định bởi:

1 2

n+2 n+1 n

u = 1, u 2

u = 3u + 4 u + 5 ; n N*











Hãy lập quy trình tính un

2





 Chứng minh rằng số A = 4an.an+2 + 1 là số chính phương

Giải:

- Tính một số số hạng đầu của dãy (an) bằng quy trình:



= =

- Ta được dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,

- Tìm quy luật cho dãy số:

1

1(1 1)

1

2

a   

2

2(2 1) 3

2

a     dự đoán công thức số hạng tổng quát:

3

3(3 1) 6

2

a   

GV: Nguyễn Tiến Đào













2

n

n n

a   (1)

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	1,35 MB