Mô tả hệ thống rời rạc bằng phương trình trạng thái

Mô tả hệ thống rời rạc bằng phương trình trạng tháiBởi: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân Vế phải của phương trình sai phân không chứa

Mô tả hệ thống rời rạc bằng phương trình trạng thái

Bởi:

Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên

Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân

Vế phải của phương trình sai phân không chứa sai phân của tín hiệu vào

Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả bởi phương trìnhsai phân:

Chú ý: Ở phương trình trên hệ số ao= 1 Nếu ao# 1 ta chia hai vế cho ao để được phươngtrình sai phân có dạng (7.26)

Tương tự như đã làm đối với hệ liên tục, ta đặt các biến trạng thái để biến đổi tươngđương phương trình sai phân bậc n ở trên thành hệ n phương trình sai phân bậc một.Đặt các biến trạng thái như sau:

Thay vào phương trình (7.26) ta được:

Kết hợp phương trình trên với các biểu thức đặt biến trạng thái ta được hệ phương trìnhsau:

Viết lại dưới dạng ma trận:

Đáp ứng của hệ thống:

Đặt:

Ta được hệ phương trình biến thái:

Ví dụ 7.9 Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân:

Hãy viết hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống

Giải Ta có:

Đặt biến trạng thái như sau:

Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống đã cho là:

trong đó:

Vế phải của phương trình sai phân có chứa sai phân của tín hiệu vào

Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả bởi phương trìnhsai phân:

Chú ý: Ở phương trình trên hệ số ao= 1 Nếu ao? 1 ta chia hai vế cho ao để được phươngtrình sai phân có dạng (7.27)

Đặt các biến trạng thái như sau:

Từ cách đặt biến trạng thái trên ta rút ra phương trình sau:

Trong đó:

Do đó hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng:

Trong đó:

Ví dụ 7.10 Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân:

Hãy viết hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên

Thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc

Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền:

Chú ý: Ở hàm truyền trên hệ số ao = 1 Nếu a0 ? 1 ta chia tử số và mẫu số cho ao đểđược hàm truyền có dạng (7.28)

Cách 1: Biến đổi tương đương hàm truyền về dạng phương trình sai phân:

Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.2 ta rút ra được hệ phương trình biếntrạng thái

Ví dụ Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có hàm truyền là:

Giải.Cách 1: Hàm truyền đã cho tương đương với:

xem tiếp lời giải đã trình bày ở ví dụ 7.10.

Cách 2: Do

nên ta có thể đặt biến phụ E(z) sao cho:

Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.1, đặt các biến trạng thái:

Ta được phương trình:

Tóm lại ta được hệ phương trình trạng thái:

Trong đó:

Ví dụ Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền:

Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái.

Giải Hàm truyền đã cho tương đương với:

Đặt biến phụ E (z) sao cho:

Đặt biến trạng thái:

Ta được hệ phương trình:

Trong đó:

Ví dụ Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có hàm truyền là:

Giải Đặt biến phụ E(z) sao cho:

Đặt biến trạng thái:

Ta được hệ phương trình:

Trong đó:

Thành lập phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục

Phương pháp này chỉ áp dụng được cho hệ thống có sơ đồ khối như sau:

Trình tự thành lập phương trình trạng thái

Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái liên tục:

Bước 2: Tính ma trận quá độ của hệ liên tục:

Bước 3: Rời rạc hóa phương trình biến trạng thái ở bước 1, ta được:

Trong đó:

Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái của hệ rời rạc cần tìm với tín hiệu vào r(kT) là:

Chứng minh: Bước 1 và bước 2 thành lập phương trình trạng thái và tính ma trận quá độ

của hệ liên tục không có gì phải chứng minh Ta chứng minh từ bước 3, ở bước này tasuy ra phương trình trạng thái của hệ rời rạc từ phương trình trạng thái của hệ liên tục

Bước 3: Ở chương 2, ta đã biết nghiệm của phương trình trạng thái hệ liên tục cho bởicông thức:

Tổng quát:

Ta được:

Ta lại có:

(do eR(t) là tín hiệu ở ngõ ra của khâu giữ ZOH)

Thay vào công thức trên, ta được:

Do e(kT) không phụ thuộc vào biến lấy tích phân

nên:

Đổi biến phép tính lấy tích phân, ta được:

Bước 4: Theo sơ đồ khối của hệ thống, ta thấy:

Thay vào (7.31) ta được kết quả cần chứng minh

Ví dụ Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ như hình vẽ Hãy thành lập hệ phương trình biến

trạng thái mô tả hệ thống với các biến trạng thái được xác định trên hình vẽ

Giải

Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ liên tục:

Theo hình vẽ ta có:

Kết hợp (7.32) và (7.33) ta được hệ phương trình:

Đáp ứng của hệ thống:

Do đó:

Bước 2: Tính ma trận quá độ:

Trong đó:

Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống rời rạc với tín hiệu vào r(kT) là:

Trong đó:

Ví dụ bằng số cụ thể: a = 2, T = 0,5sec, K = 10

Kết luận: hệ phương trình biến trạng thái cần tìm là:

Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái

Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi hệ phương trình biến trạng thái:

Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền:

Biến đổi Z hệ phương trình trạng thái, ta được:

Lập tỉ số, ta được:

(7.35)

Ví dụ Cho hệ thống mô tả bởi phương trình trạng thái:

Trong đó:

Hãy viết hàm truyền của hệ thống trên

Giải Áp dụng công thức (7.35), hàm truyền của hệ thống là:

Vậy: