SKKN: Các biện pháp bồi dưỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phương trình vô tỉ

Nhận thấy đây là một vấn đề quan trọng có vị trí chiến lược lâu dài và cũng để khẳng định thương hiệu giáo dục Lệ Thuỷ thì mỗi một cán bộ quản lí, mỗi một giáo viên phải trăn trở tìm được các giải pháp tối ưu để làm tốt công việc đầy gian khó là bồi dưỡng ngày càng được nhiều nhân tài cho quê hương và đất nước. Với suy nghĩ như vậy qua một số năm công tác quản lí chỉ đạo hoạt động bồi dưỡng học sinh giỏi và trực tiếp đứng lớp tại trường THCS Kiến Giang tôi trăn trở suy nghĩ tìm ra những giải pháp để ngày càng bồi dưỡng được nhiều học sinh giỏi bộ môn Toán nhăm đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của việc bồi dưỡng HSG cũng như phong trào giáo dục huyện nhà. Trong phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm tôi xin được trao đổi: Các biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 kĩ năng giải các dạng phương trình vô tỉ.

phần1 mở đầu

Từ những năm đầu thập kỷ 90 của thế kỷ XX, Ngành Giáo dục Lệ Thủy đã chú trọng hoạt động nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện trong đó chú trọng chất lợng giáo dục mũi nhọn Đó là nhiệm vụ trung tâm của toàn ngành, của mọi cơ sở giáo dục Để thực hiện có hiệu quả mục tiêu đó, giải pháp quan trọng đặt ra cho cấp THCS là thực hiện đổi mới phơng pháp dạy học Mục tiêu của đổi mới là nhằm nâng cao chất lợng dạy học, chất lợng đào tạo nguồn nhân lực đáp ứng ngày càng cao của sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nớc và yêu cầu hội nhập khu vực và quốc tế

Trong những năm gần đây vị thế chất lợng học sinh giỏi của Huyện Lệ Thuỷ ngày càng đợc khẳng định trong giáo dục tỉnh nhà, hai năm liên tiếp tiếp từ năm học 2009 - 2010 và 2010 - 2011 thành tích học sinh giỏi văn hóa xếp ở vị trí thứ 2 chỉ sau thành phố Đồng Hới Trong đó bộ môn Toán cũng có đóng gốp quan trọng trong thành tích này của giáo dục huyện nhà, tuy nhiên trong giảng dạy bồi dỡng HSG bộ môn Toán chúng ta cần phải nghiêm túc rút kinh nghiệm và điều chỉnh cho phù hợp với các đối tợng học sinh khác nhau, trình độ học tập khác nhau và trang bị chắc, nhuyễn các dạng toán, các chuyên đề để học sinh khi gặp tình huống trong thực tiễn thì có khả năng giải quyết đơc

Nhận thấy đây là một vấn đề quan trọng có vị trí chiến lợc lâu dài và cũng để khẳng định "thơng hiệu" giáo dục Lệ Thuỷ thì mỗi một cán bộ quản lí, mỗi một giáo viên phải trăn trở tìm đợc các giải pháp tối u để làm tốt công việc đầy gian khó là bồi dỡng ngày càng đợc nhiều nhân tài cho quê hơng và đất nớc Với suy nghĩ nh vậy qua một số năm công tác quản lí chỉ đạo hoạt động bồi dỡng học sinh giỏi và trực tiếp đứng lớp tại trờng THCS Kiến Giang tôi trăn trở suy nghĩ tìm ra những giải pháp để ngày càng bồi dỡng đợc nhiều học sinh giỏi bộ môn Toán nhăm đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của việc bồi dỡng HSG cũng nh phong trào giáo dục huyện nhà Trong phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm tôi xin đợc trao

đổi: "Các biện pháp bồi dỡng học sinh giỏi lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ".

*

Phần 2 nội dung

1 Cơ sở lí luận

Trong quỏ trỡnh phỏt triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con ngời Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng đợc bổ sung và

đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội Vì vậy mỗi ngời giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phơng pháp dạy học

để đáp ứng với chủ trơng đổi mới của Đảng và Nhà nớc đặt ra Tại đại hội Đảng toàn quốc lần VIII và IX Đảng ta đều xác định và nhấn mạnh: “Giáo dục là quốc sách hàng đầu là một trong những động lực quan trọng tạo sự chuyển biến toàn diện trong phát triển giáo dục và đào tạo”

Xuất phát từ quan điểm chỉ đạo của Đảng về giáo dục - đào tạo, thực hiện chiến lợc phát triển giáo dục 2001 - 2010, ngành giáo dục đang tích cực từng bớc

đổi mới nội dung chơng trình đổi mới phơng pháp dạy học, đổi mới phơng pháp

dạy học, đổi mới công tác quản lý giáo dục nâng cao chất lợng quản lý dạy bồi

d-ỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất lợng giáo dục và đào tạo, nhằm hoàn thành mục tiêu: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài” Cũng trong nghị quyết TW II khoá VIII đã nêu những giải pháp phát triển giáo dục cùng với việc cải tiến các vấn đề về công tác giáo dục toàn diện học sinh cả mặt tri thức lẫn

đạo đức học sinh

Chính vì vậy công tác bồi dỡng học sinh giỏi thực chất là một hoạt động dạy học đòi hỏi ngời giáo viên phải tuân thủ các yêu cầu s phạm, các nguyên tắc cũng nh phơng pháp dạy học theo hớng phát huy tính sáng tạo của ngời học, ngời học thực sự là chủ thể của hoạt động dạy học Do đó ngời giáo viên ở cơ sở cũng phải nắm bắt đợc các hình thức giáo dục học sinh giỏi Từ đó giáo viên có các

ph-ơng pháp dạy học sáng tạo đặc biệt đối bộ môn Toán để bồi dỡng để đạt hiệu quả cao nhất

Trong chơng trình môn Toán ở các lớp THCS kiến thức về phơng trình vô tỉ không nhiều song lại rất quan trọng đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT

Khi giải toán về phơng trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về căn thức, phơng trình, hệ phơng trình, các phép biến đổi đại số, Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp Việc học sinh giải thành thạo các dạng phơng trình vô tỉ giúp học sinh phát triển t duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán dỡng HSG

Đồng thời giáo dục t tởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh

2.Cơ sở thực tiễn:

2.1 Về học sinh

Phơng trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết giải phơng trình vô tỉ nh thế nào? Có những phơng pháp nào?

Các bài toán về phơng trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc cha hệ thống thành các phơng pháp nhất định, gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng nh trong công tác tự bồi dỡng của giáo viên

Vì vậy việc nghiên cứu các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định đợc phơng pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học, dặc biệt là chất l-ợng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trờng THCS

Theo số liệu thống kê thể hiện trong Bảng 01 và 02 thì tỉ lệ học sinh giải thành thành thạo các dạng phơng trình vô tỉ còn hạn chế chiếm tỉ lệ xấp xỉ 22% trong tổng số các bài tập mà giáo viên giao về nhà thuộc chuyên đề, trong đó có nhiều bài tập học sinh cha nắm vững kiến thức cơ bản, kiến thức gốc nên trong quá trình giải phơng trình vô tỉ kết luận tập nghiệm còn sai, nên hệ quả tất yếu đi kèm theo là nhiều học sinh trong các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh điểm cha cao

ảnh hởng đến thành tích của toàn đội tuyển bộ môn Toán

*Bảng 1:

thống kê tỉ lệ điểm của học sinh tham gia dự thi hsg cấp môn toán

trong hai năm học liền kề

học số 0.0 - 2.9 3.0- 4.9 5.0 - 6.4 6.5 - 7.9 8.0 - 10.0

*Bảng 2:

Kết quả học tập chuyên đề " phơng trình vô tỉ"

Năm học Tống số bài

tập rabài ra

Số Bài tập HS hoàn

thành

Số bài HS còn sai kiến thức cơ bản Điểm

Số lợng Tỉ lệ % Số lợng Tỉ lệ %

2.2 Về giáo viên:

Trong chơng trình đại trà, theo chuẩn kiến thức kỉ năng theo Quyết định 16, thì dạng phơng trình không đợc giảng dạy trực tiếp mà chỉ thông qua một số bài tập rèn luyện mà tùy theo đối tợng học sinh, giáo viên có thể lựa chọn và giới thiệu Nên trong thực tế giảng dạy giáo viên cúng ít đầu t, tìm hiểu về vấn đề này, nhng trong các kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh, thi tuyển sinh vào các tr-ờng chuyên lớp chọn lại xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến nội dung này

Mặt khác, việc tìm hiểu các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ hiện nay còn

ít giáo viên nghiên cứu, hoặc nghiên cứu cũng không hệ thống

Theo thống kê các đề thi chọn HSG của Sở GD-ĐT Quảng Bình, trong các năm lại đây thì các bài thi liên quan đến phơng trình vô tỉ, chiếm tỉ lệ khá đáng kể, tính ra trung bình đến 20% trong tổng số điểm của toàn bộ đề ra

*Bảng 3:

thống kê kiến thức liên quan đến pt vô tỉ trong các kì thi chọn hsg lớp 9

tỉnh quảng bình

Năm học

Kiến thức chung Kiến thức liên quan đến

phơng trình vô tỉ Tỉ lệ % Tống số bài

Tống số bài

Tống số bài ra Điểm

2009-2010 4 10.0 1 2.5 25.0 25.0

3 Các giải pháp đã thực hiện

3.1.Giải pháp 1 : Cung cấp kiến thức cơ bản, kiến thức gốc có hệ thống và

HS đợc rèn luyện nhiều bài tập để nắm chắc các kiến thức gốc liên quan đến giải phơng trình vô tỉ từ nội dung chơng trình theo chuẩn kiến thức kỉ năng của QĐ16.

3.1.1 Các kiến thức cơ bản:

3.1.1.1 Căn bậc hai.

Các định nghĩa:

* Căn bậc hai

Cho số a  0, số x gọi là CBH của a nếu x2 = a Ký hiệu x  a

Ta có nhận xét:

 Khi a > 0 thì có hai CBH là x  a và x  a

 Khi a = 0 thì có một CBH là x a  0

 Khi a < 0 thì không có CBH.

* Căn bậc hai số học

 















a a x x a

0

, với a  0

 Phép biến đổi CBH, với giả thiết các căn thức đều có nghĩa.











0 0

2

A khi A A khi A A A

2 A B  AB

 An  A n  A Cn  A n B n C n

3

B

A B

4 A2B A B

5

B

B A B

A



B A

B A C B A

C









7 B A  B AB

8 m A n Ap A m n p A

3.1.1.2 Căn bậc ba.

Định nghĩa: Cho số thực a số thực x gọi là CBB của a nếu x3 = a

Ký hiệu x 3 a

Lu ý: Mọi số thực đều có duy nhất một CBB.

Phép biến đổi CBB: dựa trên phép biến đổi CBH ta cũng có tơng tự.

(Dành cho HS tự ghi vào vở để ghi nhớ)

3.1.1 3 Căn bậc n.

Định nghĩa:

Cho số thực a số thực x gọi là CBn của a nếu xn = a Ký hiệu x  n a

Lu ý:

+Mọi số thực a đều có duy nhất một căn bậc lẻ

+Mọi số thực a không âm có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau

3.1.2 Các bài tập rèn luyện các kiến thức cơ bản.

Bài 1 Tìm điều kiện xác định của các biểu thức:

a) x 1 x 3      ; b) x 2  4; c) x 2

x 3



 ; d) 2 x

5 x



Bài 2 Tìm x, thỏa mãn điều kiện sau:

2 x 2 4x 8

2

d) 1 4x 4x   2  5; e) x 4  7; f) x 2  9 3 x 3 0   

3.2.Giải pháp 2: Phát huy tính sáng tạo, t duy linh hoạt mềm dẻo của học

sinh, bằng cách tổ chức cho HS tìm hiểu và xây dựng nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán.

Ta xét bài toán sau ví dụ sau:

Bài 3 Gải pt x 1   x 2   x 34   x 7  (1)

Lời giải: Điều kiện xác định x  1 Ta có thể tổ chức cho HS tìm hiểu các cách giải khác nhau nh sau:

*Cách 1: Phơng pháp bình phơng

Với x  1, ta có x + 34 > x + 7 > 0 nên hai vế của phơng trình (1) đều dơng, suy ra:

(1)   x 1   x 2   2  x 34   x 7  2

 x 1 x 2 2 x 1 x 2             x 34 x 7 2 x 34 x 7         

 20  x 1 x 2       x 34 x 7     

 400 40 x 1 x 2         x 1 x 2       x 34 x 7     

 4 x   x 1 x 2     

 16 8x x   2  x 2  x 2x 2  

 x = 2, thử lại thấy thỏa mãn là nghiệm của phơng trình (1)

*Cách 2: Phơng pháp biểu thức liên hợp

Ta có phơng trình (1) tơng đơng với:

 x 1 x 2  x 1 x 2  x 34 x 7  x 34 x 7



 x 2 x 1 x 34 x 7



x 1   x 2   x 34   x 7 







 10 x 2 8 x 1 2 x 34     

 5 x 2   x 34 4 x 1   

 5 x 2   2  x 34 4 x 1    2

 x 34 x 1        x 4

  x 34 x 1      2 x 4  2

 25x = 50  x = 2, thử lại thấy x = 2 là một nghiệm của phơng trình (1)

*Cách 3: Phơng pháp đánh giá giá trị hai vế của phơng trình

Ta có phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình:

x 1   x 2   x 7   x 34 

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số ( 1; 2; 3) và ( x 1  ; x 2

2



;

x 7

3

 ), ta có:

1 2 3 x 1 x 2 x 7  x 1 x 2 x 72

Suy ra 6x - 6 + 3x + 6 + 2x + 14  x + 34  10x  20  x  2 (*)

Do x  2  x 1   x 2 3    x 34   x 7 3    x 34 3    x 7 

 x 34 9 6 x 7 x 7        3  x 7   x 2  (**)

Từ (*) và (**) suy ra x = 2

Thử lại thấy x = 2 là một nghiệm của phơng trình (1)

*Cách 4: Giải theo phơng pháp đặc trng riêng của dạng phơng trình.

Theo Cách 1, ta có:

(1)  x 34 x 7       x 1 x 2       20  x 2   x 2  x 2  41x 238 20   Lại theo cách 3, ta cúng có x  2, suy ra: x 2   x 2 2  và x 2  41x 238 18  

 x 2   x 2  x 2  41x 238 20   

2

2

x 41x 238 18







 x = 2

Thử lại thấy x = 2 là một nghiệm của phơng trình (1)

3.3.Giải pháp 3: Kiểm soát đợc quá trình việc làm bài tập của học sinh ở

nhà.

GV ra các dạng bài tập tơng tự, các bài tập nâng cao cho HS In thành phiếu

và phát cho HS, các bài khó nên có định hớng lời giải hoặc kết quả Sau các buổi học giáo viên thu và chấm bài làm để nắm vững các kiến thức vận dụng của học sinh từ đó đáng giá năng lực của hoc sinh trong giải các dạng phơng trình vô tỉ Thông tin phản hồi kịp thời cho từng đối tợng học sinh: cụ thể về số bài tập làm

đ-ợc, số bài tập có nhiều lời giải, bài tập có lời giải sáng tạo Các bài tập tùy theo buổi học cho học sinh kiểm tra chéo vở bài tập lẫn nhau, để thông qua đó học sinh

tự học lẫn nhau Cũng thông qua việc giải bài tập mà bản thân cùng với giáo viên tuyến 2 kèm cặp học sinh ở các trờng để cũng cố các kiến thức còn yếu cho học sinh

Ví dụ: Sau khi dạy bồi dỡng về chuyên đề "Phơng trình vô tỉ", ta có thể

giao phiếu bài tập về nhà đợc thiết kế nh sau:

Bài tập Buổi Phơng trình vô tỉ

Bài 1 Giải phơng trình: x 3  5  x 2 (1)

HD: Nhận dạng phơng trình cơ bản.

Bài 2 Giải các phơng trình:

a) x 3 2  x 4  x 4 x 4 1  (2)

b) x 2  2x 5  x  2 3 2x 5  7 2 (3)

Bài 3 Giải phơng trình: 1 2 1 

2

x y  z  x y z  (4)

Bài 4 Giải phơng trình: x 1 y 2 z 8  32 xyz (5), với x, y, z > 0

HD: áp dụng bđt Cô-si cho hai số không âm.

Bài 5 Giải phơng trình sau:

4 3x  6x 19  5x  10x 14   4 2x x (5)

Nhận xét của GV kèm cặp tuyến hai sau khi hớng dẫn học sinh ôn tập lí thuyết, giải bài tập:

-Kiến thức cơ bản:

-Kĩ năng làm bài:

-Triển vọng: .

, ngày tháng năm 2011 GV kèm (Kí, ghi rõ họ tên) 3.4.Giải pháp 4: Trang bị kĩ cho học sinh về một số phơng pháp giải các dạng phơng trình vô tỉ thờng gặp. * Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức (ở đây tôi chỉ đề cập đến những phơng trình mà ẩn nằm dới dấu căn bậc hai và căn bậc ba phù hợp với đối tợng học sinh lớp 9 bậc THCS) * Phơng trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng, hớng chung để giải quyết phơng trình vô tỉ là làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu tỉ 3.4.1-Phơng pháp nâng lên luỹ thừa: a) Kiến thức vận dụng: + (AB)2 = A2  2AB + B2 + (AB)3 = A3  3A2B + 3AB2  B3 +         2 ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( x g x f x g x f x g x f + 3 Am Am3 b) Bài toán rèn luyện Bài 4 Giải phơng trình sau: 2  2x 1 x (1)

Giải Điều kiện căn có nghĩa: 2x 1  0 (2)

2 1   x (1) 2x 1 x 2 (3) Với điều kiện x 2  0 (4)

(3) 2x - 1 = (x-2)2 (5)

0 5 6 4 4 1 2 2 2          x x x x x Giải ra ta đợc x1=1 không thoả mãn (4)

x2 = 5 thoả mãn (2) và (4) nghiệm duy nhất của phơng trình: x = 5

Bài 5 Giải phơng trình: x 1  5x 1  3x 2 (1)

Giải

0 2 3

0 1 5

0 1





















x x

(2) (1) x 1  3x 2  5x 1

Hai vế đều dơng, bình phơng hai vế ta đợc















































) 3 ( ) 7 2 ( ) 2 13 15

( 4

0 7

2

2 13 15

2 7

2

) 1 5 )(

2 3 ( 2 1 5 2 3 1

2 2

2

x x

x x

x x

x

x x

x x

x

Giải (3) ta đợc:

7

2



x không thoả mãn (1)

Vậy phơng trình vô nghiệm

Bài 6 Giải phơng trình x 1  x 2  1 (1)

Giải

Điều kiện: x 2 (2)

Viết PT (1) dới dạng

x 1  x 2  1 (3)

Hai vế của (3) không âm, bình phơng hai vế ta đợc

x 1 x 2  1  2 x 2

 2  2 x 2  x 2  1  x 2  1  x 3 thoả mãn điều kiện (2)

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x= 3

Lu ý:

+ Nếu để (1) bình phơng ta phải đặt điều kiện:

x + 1x 2 (Điều kiện này luôn đúng)

+ Nếu biến đổi (1) thành x 2  x 1  1 rồi bình phơng hai vế ta phải đặt điều kiện x 1  1  x 0

Bài 7 Giải phơng trình: 3 x 1  2  3 7  x (1)

Giải:

3 3 3 3

3 3

2 ) 7 1 (

2 2 7 1 )

1

(





















x x

x x

Giải (1)

7

; 1

0 ) 7 )(

1 (

0 ) 7 )(

1 (

2 1

3

























x x

x x

x x

Là nghiệm của phơng trình

Chú ý:

- Khi bình phơng hai vế của phơng trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dơng

- Trớc khi lên luỹ thừa cần biến đổi phơng trình về dạng thuận lợi nhất để hạn chế các trờng hợp hoặc có lời giải ngắn gọn

Bài 8 Giải pt: 2 4 4 8







Giải: ( 2 ) 2 8





x

2



 x +x  8

Nếu x  2 thì x 2 x 8  x 5

Nếu x <2 thì 2  xx 8 vô nghiệm

Kết luận : x = 5 là nghiệm của pt

c) Bài tập tơng tự:

Bài 9 Giải các phơng trình sử dụng phép bình phơng.

1/ x2- 4x = 8 x 1 (x = 4 + 2 2)

2/ 2 2 8 6



 x



x = 2x + 2 3/ 2 72

x

x

x  = x (x = 2) 4/ x 1- x 2= x 5- x 10 (x=-1)

Bài 10 Giải các pt sử dụng phép lập phơng:

1/ 3 x 1+3 x 2=3 2 x 3 (x = 4; 2);

2/ 3 x 1+3 x 1=3 5x (x=0; 

2

5 );

3/ 3 x 1+3 3 x 1=3 x 1 (x=- 1);

4/ 3 1  x +3 1  x =1 (x =

27

28

);

3.4.2 Phơng trình đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

a) Kiến thức vận dụng :

Ta có: f(x) 2  f(x)  f (x) nếu f(x)  0

 f (x) nếu f(x)  0

Phơng pháp giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (tự tìm hiểu )

b) Bài tập rèn luyện:

Bài 11 Giải phơng trình : x 2  4x x 2 + x 7  6 x 2  1 (1)

Giải:

Điều kiện : x - 2 0hay x 2 (2)

1 3 2 2

2

1 ) 3 2 ( ) 2 2





























x x

x x

Cách 1: Chia các trờng hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức a b ab , dấu “=” xảy ra khi a,b > 0

Khi đó x 2  2  3  x 2  x 2  2  3  x 2  1 (3)

Dấu “=”xảy ra khi:  x 2  23  x 2 0 (4)

Giải (4) ta đợc: 6 x 11Thoả mãn (2)

Vậy nghiệm của phơng trình (1)là : 6 x 11

c) Chú ý :

+ Phơng pháp này thờng đợc áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc hai viết

đợc thành bình phơng của một biểu thức

+ Có những phơng trình cần phải biến đổi mới có dạng trên

d) Bài tập áp dụng:

Bài 12 Giải các phơng trình sau:

1/ 2 2 1 2 2 1 2











2/ 2 1 2 1 2











3/ x 2  3 2x 5  x 2  2x 5  2 2 













2

5

x

3.4.3 Phơng pháp đặt ẩn phụ

a) Đặt ẩn phụ đa về phơng trình ẩn mới

Bài 13 Giải phơng trình 2 5 13 4 2 5 9









Giải:

Ta có :

4

11 2

5 9

5

2





















Đặt: x2  5x 9 y 0  x2  5x 9 y2

Khi đó (1)  y2 + 4 = 4y

0 5 5

4 5 5 2

2 2





















x x

x x y























2

5 5 2

5 5

x x

Bài 14 Giải phơng trình: 2

4

1 2

1









 x x

Giải:

Điều kiện: x 4 (2) Đặt: 0

4

1





 y x

4

1

2





 x y

Khi đó (1) trở thành ) 2

2

1 ( 4

2







 y y

0 7 4

4 2







 y y



























2 1 2 2

0 2

1 2 2

y y

Trờng hợp

2

1 2

2 





y < 0 (loại) x 2  2 , thoả mãn điều kiện (2).

Vậy nghiệm của phơng trình là : x 2  2

Bài 15 Giải phơng trình: 3 1 3 3 3 3 0











Giải:

Đặt: x 2 y

(1)  3 y3  1  3 y3  1  y

Lập phơng hai vế ta có : y3 y3 y6  1

















3 6

0

y y

y













y

Nếu 2 3 6 1 6 6 1









Vậy nghiệm của phơng trình là: x = -2

b) Đặt ẩn phụ đa về hệ phơng trình:

* Dạng: axb r(uxv) dxe (1)

Với a, u, r  0 Đặt u.yv axb

Khi đó phơng trình (1) đa đợc về dạng : u(x y)(ruyrux 2ur 1 )  0

Bài 16 Giải phơng trình: 2 15 32 2 32 20







Giải:

Điều kiện:

2

15 0

15

2x   x

Khi đó: (1) 2 15 2 ( 4 2 ) 2 28









 x x (2)

Đặt: 4y 2  2x 15 (3)

Điều kiện:

2

1 0

2

4y   y

Khi đó (2) trở thành (4x + 2)2 = 2y + 15 (4)

Từ (3) ta có : (4y + 2)2 = 2x + 15 (5)

Từ (4) và (5) có hệ: 















) 5 ( 15 2

) 2 4 (

) 4 ( 15 2

) 2 4 (

2 2

x y

y x