Toán cao cấp A4

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 – HK2 0607 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (SINH VIÊN) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2007) NỘI DUNG 1 – KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ 3 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH 5 – PT BERNULLI TỰ ĐỌC: PT VI PHÂN KHÔNG GIẢI ĐƯC VỚI ĐẠO HÀM & PT RICATTI (SGK, TRANG 135 → 139) Phương trình vi phân (thường): hàm ẩn y = y(x), biến x & các đạo hàm (hoặc vi phân) y (k) , k = 0, 1 … n VD: 03' =+ x y ( ) x exyyy = + + 3'4'' ( ) ( ) 0 = − − + d y y x dx y x 1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN Cấp 1 Cấp 2 Cấp 1 Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao nhất cấp n Dạng tổng quát PT vi phân cấp 1: ( )() ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,'',',, = xyxyxyxyxF n K Dạng tổng quát cấp n: ( ) ( ) ( ) 0',, = x y x y x F NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VD: ydx + xdy = 0: 2 dạng nghiệm hiện, ẩn VD: 2 1' yy −= Nghiệm PTVP cấp n THÔNG THƯỜNG chứa n hằng số: Đồ thò nghiệm: đường cong tích phân () .,,, 1 n CC x y K ϕ = (c) Dạng tham số (a) Dạng hiện: y = f(x) (b) Dạng ẩn: H(x, y) = 0 ( ) () ⎩ ⎨ ⎧ = = tyy txx Nghiệm PTVP: Hàm số y = y(x), x ∈ khoảng I ⊂ R VD: x ey dx dy 2 =− Nghiệm riêng: x ey 2 = Nghiệm: xx eCey 2 + = nghiệm tổng quát 2. PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ Phương pháp: Phân ly x & dx một vế, y & dy một vế. Tích phân 2 vế ⇒ Nghiệm (nói chung dạng ẩn) VD: Kiểm tra dạng phân ly của các ptrình x yya = '/ () ( ) 011/ 22 = − + + dyxydxyxb ( ) 04/ = + + dx x y x d y c ( ) ( ) () () () () () () ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =+ =+ = = = 0 0 ',)('),(' 2211 dyygxfdxygxf dyygdxxf ygxfyygyxfy 3 dạng (hay gặp) phương trình vi phân phân ly biến số Nhận dạng: Biến x và y phân ly (separable) → Có thể tách rời mỗi vế 1 biến! VD: 0 2 = − dxyxdy 2. GIẢI PT VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ VD (SGK, 23/tr190): Vận tốc nguội đi của vật tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí. Biết nhiệt độ không khí là 20 °C và vật giảm nhiệt độ từ 100 °C xuống 60°C sau 20 phút. Hỏi sau bao lâu kể từ thời điểm đầu, nhiệt độ của vật sẽ là 30 °C? VD: xya 3 sin'/ = y eyb = '/ x y yc 2 '/ = VD: () 05cos2/ 4 = + + dyydxxxa ( ) ( ) 0/ 2222 = − + + dyyxxdxxyyb xyxyyc 2'/ 2 = − 2. ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ PHÂN LY VD: (x 2 + y 2 )dx – xydy = 0: Chú ý P(x, y) = (x 2 + y 2 ), Q = xy! Chứa tổng: y’ = f(ax + by + c) → Đổi biến: u = ax + by + c VD: y’ = (2x + 3y + 1) 2 – 2(2x + 3y + 1) Tỷ số: → Đổi biến: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y fy' uxuyuxy x y u +=⇒=⇒= '' Đặc biệt: P(x, y), Q(x, y) – tổng x α y β , α + β = n ⇒ Phương trình đẳng cấp Pdx + Qdy = 0: Dạng y’ = f(y/x)! VD: xy xyy yb 2 '/ 2 + = x y ya +=1'/ 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN Ph/trình vi phân cấp 1: () ( ) 0,, = + d y y x Qdx y x P ( ) ()() ⎩ ⎨ ⎧ = = 2,' 1),(' yxQu yxPu y x 1/ T/phân (1) theo x ( ) ( ) 3yCPdxu +=⇒ ∫ 2/ Đ/hàm (3) theo y, phối hợp (2) ⇒ C(y) Tìm u: PT vi phân Pdx + Qdy = 0: toàn phần ⇔ Thứ tự: Đạo hàm chéo: P(x, y)dx + Q(x, y)dy () * y P ∂ ∂ x Q ∂ ∂ = yx x Q y P ,∀ ∂ ∂ = ∂ ∂ Thoả ĐK (*) ⇒∃u(x,y): du = Pdx + Qdy ⇒ Nghiệm u = C 3. THỪA SỐ TÍCH PHÂN Pdx + Qdy = 0: không thoả đ/kiện vi phân toàn phần ⇒ Tìm μ(x, y) để (μPdx+μQdy) vi phân tphần ⇔∂(μP)/∂y = ∂(μP)/∂y VD: Tìm thừa số tích phân & Giải ptrình vphân (x 2 + y 2 +x)dx + xydy = 0 () ∫ =⇒= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ dxxf exxf Q x Q y P )( )( μ () ∫ =⇒= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − dyyg eyyg P x Q y P )( )( μ VD: Giải ptrình vi phân y(1 + xy)dx – xdy = 0 VD: Giải (3e 3x y – 2x)dx + (e 3x + siny) dy = 0 SGK, trang 194: Ch/minh (tìm) μ = μ(x 2 + y 2 ): dạng cho trước! 4. PT VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH y’ = a(x)y + b(x) (E): không thuần nhất (có vế phải) ⇒ PT thuần nhất (không vế phải) tương ứng: y’ = a(x)y (E 0 ) Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chỉ chứa y bậc 1 (ở tử số) y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo y Tuyến tính theo x = x(y)! VD: Xác đònh phương trình tuyến tính: x exyyc = + 3 '/ 3 2 '/ xy x ya =− ( ) 022/ 2 = − + dyxyydxd 32 '/ xyeyb x =+ Không tuyến tính: Chứa y 2 , (y’) 3 [...]... y ⇒ − ⋅ y=x y x 2/ Đổi biến đưa về PT vi phân cấp 1 ttính: u = y y' 4u u' = ⇒ 2u '− = x : Pt cấp 1 tuyến tính theo u 2 y x 2u x 3/ Giải phương trình: u '− = x 2 2u du 2dx Ptrình thuần nhất: u '− = 0 ⇔ = ⇒ u = Cx 2 u x x x Ngh k0 thuần nhất: C = C(x) ⇒ C ' ( x ) ⋅ x 2 = ⇒ C ( x ) 2 Nghiệm tổng quát: u = C(x).x2 ⇒ y(x) = u2(x) TỔNG KẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ... x N0 riêng yr = C(x)y0(x): biến thiên hằng số ytq.tn = Cy0(x) Thay yr = C(x)y0(x) vào (*) ⇒ C ' ( x ) y0 ( x ) = b( x ) 4 TỔNG KẾT PTVP cấp 1 t/tính (E): y ' = a( x ) y + b( x ) hoặc y '+ p( x ) y = q( x ) 1/ PT thuần nhất: y ' = a( x ) y hoặc y '+ p( x ) y = 0 ⇒ y = Cy0 ( x ) 2/ Biến thiên hằng số C = C(x) ⇒ C ' y0 = b( x ) ⇒ C ( x )...4 NGHIỆM TỔNG QUÁT THUẦN NHẤT y VD: Giải các PTVP thuần nhất: a / y ' = x b / y ' = y ⋅ tgx PT cấp 1 tuyến tính thuần nhất: y’ + a(x)y = 0 (E0) có nghiệm tổng quát dạng: y = Cy0 ( x ) , C : hằng số VD: Từ nghiệm tổng quát các PT thuần nhất trên, tìm 1 nghiệm riêng (nghiệm đặc biệt) của PT không... Phân ly: f1(x)g1(y)dx + f2(x)g2(y)dy = 0 ⇒ 1 vế: x, 1 vế: y ⎛ y ⎞ ⇒ u = y ; y ' = f (ax + by + x ) ⇒ u = ax + by + c y' = f ⎜ ⎟ x ⎝ x⎠ PTVPC1: y’ = f(x, y) Cấp 1 tuyến tính: y’ = a(x)y + b(x) 1/ Thuần nhất 2/ Biến thiên C = C(x) Bernulli: y’ = a(x)y + b(x)yα ⇒ Chia yα ∂P ∂Q = Vi phân toàn phần P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ĐK: ∂y ∂x ⎧u ' x = P Thừa số tphân μ . Cấp 1 Cấp 2 Cấp 1 Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao nhất cấp n Dạng tổng quát PT vi phân cấp 1: ( )() ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,'',',, = xyxyxyxyxF n K Dạng tổng quát cấp. BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 – HK2 0607 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (SINH VIÊN) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN. = n ⇒ Phương trình đẳng cấp Pdx + Qdy = 0: Dạng y’ = f(y/x)! VD: xy xyy yb 2 '/ 2 + = x y ya +=1'/ 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN Ph/trình vi phân cấp 1: () ( ) 0,, = + d y y x Qdx y x P ( ) ()() ⎩ ⎨ ⎧ = = 2,' 1),(' yxQu yxPu y x 1/