20 Chuyên đề 5 : PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT TÓM TẮT GIÁO KHOA I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 1. Các đònh nghóa: n n thua so aa.a a = 123 (nZ,n1,aR) + ∈≥∈ 1 aa = a ∀ 0 a1 = a0 ∀≠ n n 1 a a − = { } (nZ,n1,aR/0) + ∈≥∈ m n m n aa = ( a0;m,nN >∈ ) m n m n m n 11 a a a − == 2. Các tính chất : mnmn a.aa + = m mn n a a a − = mnnmm.n (a)(a)a== nnn (a.b)a.b = n n n aa () b b = 3. Hàm số mũ: Dạng : x ya = ( a > 0 , a ≠ 1 ) Tập xác đònh : DR = Tập giá trò : TR + = ( x a0xR >∀∈ ) Tính đơn điệu: * a > 1 : x ya = đồng biến trên R * 0 < a < 1 : x ya = nghòch biến trên R Đồ thò hàm số mũ : Minh họa: y=a x y x 1 y =a x y x 1 f(x)=2^x -4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50.511.522.533.544.5 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y f(x)=(1/2)^x -4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50.511.522.533.544.5 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y y=2 x y= x 2 1 1 x y y x 1 O O 21 I . KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT 1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0 dn M a logNMaN =⇔= Điều kiện có nghóa: N a log có nghóa khi > ≠ > 0 1 0 N a a 2. Các tính chất : a log10 = a loga1 = M a logaM = logN a aN = a12a1a2 log(N.N)logNlogN =+ 1 aa1a2 2 N log()logNlogN N =− aa logN.logN α =α Đặc biệt : 2 aa logN2.logN = 3. Công thức đổi cơ số : • aab logNlogb.logN = • a b a logN logN logb = * Hệ quả: • a b 1 logb loga = và ka a 1 logNlogN k = * Công thức đặc biệt: a b c c b a loglog = 4. Hàm số logarít: Dạng a ylogx = ( a > 0 , a ≠ 1 ) Tập xác đònh : + = DR Tập giá trò = TR Tính đơn điệu: * a > 1 : a ylogx = đồng biến trên + R * 0 < a < 1 : a ylogx = nghòch biến trên + R • Đồ thò của hàm số lôgarít: Minh họa: 5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: 1. Đònh lý 1: Với 0 < a ≠ 1 thì : a M = a N ⇔ M = N 2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a M < a N ⇔ M > N (nghòch biến) 0<a< y=log x 1 x y O f(x)=ln(x)/ln(1/2) -4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50.511.522.533.544.5 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y y=log x x y x y f(x)=ln(x)/ln(2) -4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50.511.522.533.544.5 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y xy 2 1 log= 1 O 1 O y=log x 1 y x O 21 3. Đònh lý 3 : Với a > 1 thì : a M < a N ⇔ M < N (đồng biến ) 4. Đònh lý 4: Với 0 < a ≠ 1 và M > 0;N > 0 thì : log a M = log a N ⇔ M = N 5. Đònh lý 5 : Với 0 < a <1 thì : log a M < log a N ⇔ M >N (nghòch biến) 6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log a M < log a N ⇔ M < N (đồng biến) III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M = a N Ví dụ : Giải các phương trình sau : x10x5 x10x15 160,125.8 ++ −− = 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2x8x5 34.3270 ++ −+= 2) xxx 6.913.66.40 −+= 3) xx (23)(23)4 −++= 4) 322 2 2 2 =− −+− xxxx 5) 027.21812.48.3 =−−+ xxxx 6) 07.714.92.2 22 =+− xxx TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - 3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 8.3 x + 3.2 x = 24 + 6 x 2) 0422.42 2 22 =+−− −+ xxxxx 3) 20515.33.12 1 =−+ +xxx ( 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng các tính chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 3 x + 4 x = 5 x 2) 2 x = 1+ x 2 3 3) x 1 ()2x1 3 =+ IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aa logMlogN = Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) += x log(x6)3 2) xx1 log(44)xlog(23) 21 2 + +=−− 3) )3(log)4(log)1(log 2 1 2 2 1 2 2 xxx −=++− ) 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số. Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 3 3 22 4 logxlogx 3 += 2) 051loglog 2 3 2 3 =−++ xx 3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 Ví dụ : Giải phương trình sau : 2727 logx2.logx2logx.logx +=+ 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất. (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng các tính chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) Ví dụ : Giải các phương trình sau : 2 22 log(xx6)xlog(x2)4 −−+=++ V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N ( ,, ≤>≥ ) Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 1) 2 xx1 x2x 1 3() 3 −− − ≥ 2) 2 x1 x2x 1 2 2 − − ≥ TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 - 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số. Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2xx2 23.(2)320 + −+< 4) 52428 11 >+−+ ++ xxx 2) x3x 229 − +≤ 5) 11 21212.15 ++ +−≥+ xxx 3) 21 1 xx 11 ()3.()12 33 + +> 6) 0449.314.2 ≥−+ xxx VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aa logMlogN < ( ,, ≤>≥ ) Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 1) 2 x log(5x8x3)2 −+> 2) −< 23 3 loglogx31 3) 2 3xx log(3x)1 − −> 4) x x9 log(log(39))1 −≤ 5) )12(log12log4)1444(log 2 555 ++<−+ −xx 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số. Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) x x 2 32 log(32)2.log230 + ++−> 2) 2 2x x log64log163 +≥ TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 - . lôgarít: Minh họa: 5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: 1. Đònh lý 1: Với 0 < a ≠ 1 thì : a M = a N ⇔ M = N 2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a M < a N ⇔ M. 3. Đònh lý 3 : Với a > 1 thì : a M < a N ⇔ M < N (đồng biến ) 4. Đònh lý 4: Với 0 < a ≠ 1 và M > 0;N > 0 thì : log a M = log a N ⇔ M = N 5. Đònh lý 5 : . 20 Chuyên đề 5 : PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT TÓM TẮT GIÁO KHOA I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 1. Các đònh nghóa: n n thua so aa.a a = 123 (nZ,n1,aR) + ∈≥∈