Hình học giải tích trong không gian

-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 1 VẤN ĐỀ 1: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Cho ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; , ; ;a a a a b b b b= = r r . Khi đó ta có: ( ) 1 1 2 2 3 3 ; ;a b a b a b a b+ = + + + r r ( ) 1 1 2 2 3 3 ; ;a b a b a b a b− = − − − r r ( ) 1 2 3 ; ;ka ka ka ka= r 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b =   = ⇔ =   =  r r 1 1 2 2 3 3 .a b a b a b a b= + + r r 2 2 2 1 2 3 a a a a= + + r ( ) 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 os a,b . a b a b a b c a a a b b b + + = + + + + r r ,a b r r cùng phương ( ) 3 1 2 1 2 3 1 2 3 0⇔ = ⇔ = = ≠ r r a a a a kb b b b b b b 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b⊥ ⇔ + + = r r 2. Cho ( ) ( ) ( ) ; ; , ; ; , ; ; A A A B B B C C C A x y z B x y z C x y z , ( ) ; ; D D D D x y z . Khi đó ta có: ( ) ; ; B A B A B A AB x x y y z z= − − − uuur Nếu I là trung điểm của AB thì ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 I A B I A B I A B x x x y y y z z z  = +    = +    = +   Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 1 3 G A B C G A B C G A B C x x x x y y y y z z z z  = + +    = + +    = + +   Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì ( ) ( ) ( ) 1 4 1 4 1 4 G A B C D G A B C D G A B C D x x x x x y y y y y z z z z z  = + + +    = + + +    = + + +   -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 2 3.Tích có hướng của hai vectơ ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; , ; ;a a a a b b b b= = r r ( ) 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 a,b a b a b ;a b a b ;a b a b   = − − −   r r * ( ) , sin ,a b a b a b   =   r r r r r r * a r và b r cùng phương , 0a b   ⇔ =   r r r * , ,a b c r r r đồng phẳng , . 0a b c   ⇔ =   r r r * Nếu ABCD là hình bình hành thì , ABCD S AB AD   =   uuur uuur - Nếu ABC là 1 tam giác thì 1 , 2 ABC S AB AC   =   uuur uuur * Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì . ' ' ' ' , . ' ABCD A B C D V AB AD AA   =   uuur uuur uuur - Nếu ABCD là tứ diện thì 1 , . 6 ABCD V BA BC BD   =   uuur uuur uuur B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Trong không gian cho ( ) 1;2;3a = r , ( ) 2;0;5b = − r và ( ) 2 1;1;3c m= + r a. Tính toạ độ của 3a b+ r r b. Tính ( ) . 2a a b+ r r r c. Tính a b+ r r d. Tính ( ) ,a b r r e. Tìm m để 8c a= r r f. Tìm m để c a⊥ r r Bài 2: Trong không gian cho hình bình hành ABCD. Biết ( ) ( ) ( ) 1;1;1 , 3;0;2 , 4; 2;0A B C− − Tìm toạ độ đỉnh D Bài 3: Trong không gian cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 2;1;5 , 3;0; 2 , 4;7;6A B C− a. Chứng minh rằng A,B, C lập thành tam giác. Tính tọa độ trọng tâm G b. Tìm toạ độ của K , biết B là trung điểm của AK c. Tìm toạ độ của N , biết C là trọng tâm của tam giác ABN. Bài 4: Trong không gian cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 2 1;1;1 , 3;2;5 , 2 3; ;4A B C m m m− + − Tìm m để tam giác ABC vuông tại A Bài 5: Trong không gian cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1;2;5 , 2;1;3 , 1;1;2 1A B C m m+ − Tìm m để ( ) 0 , 60AB AC = uuur uuur Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết ( ) ( ) ( ) ( ) 2;0;2 , 4;2;4 , 2; 2;2 , ' 8;10; 10A B D C− − Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp Bài 7: Cho ( ) ( ) ( ) A 3;4; 1 ,B 2;0;3 ,C 3;4;5− − . a. Chứng minh rằng ABC là 1 tam giác b. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC c. Tính các góc của tam giác ABC. -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 3 Bài 8: Cho ( ) ( ) ( ) A 2;1; 1 ,B 3;0;1 ,C 2; 1;3− − và D Oy∈ . Biết thể tích V của ABCD bằng 5. Tìm toạ độ của điểm D. Bài 9: Cho tam giác ABC với ( ) ( ) ( ) A 1;2; 1 ,B 2; 1;3 ,C 4;7;5− − − . Tính độ dài đường phân giác trong của góc B. Bài 10: Cho ( ) ( ) ( ) a 2;3;1 ,b 5;7;0 ,c 3; 2;4= = = − r r r . Chứng minh rằng a, b,c r r r không đồng phẳng. Hãy biểu diễn ( ) d 4;12; 3= − r theo 3 vectơ a, b,c r r r Bài 11: Cho ( ) ( ) ( ) ( ) A 1;0;1 ,B 1;1;2 ,C 1;1;0 ,D 2; 1; 2− − − − . Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ diện. Tính độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D. Tính ABCD V , từ đó suy ra độ dài đường cao AH của tứ diện Bài 12: Cho ( ) ( ) ( ) A 1; 2; 1 ,B 5;10; 1 ,C 4;1;1− − − − . Chứng minh ABC là 1 tam giác. Tìm toạ độ trực tâm, trọng tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 13: Cho ( ) ( ) A 1;2; 1 ,B 4;3;5− . Xác định M Ox ∈ sao cho M cách đều A, B Bài 14: Cho ( ) ( ) A 4; 1;2 , B 3;5; 1− − − . Tìm C biết trung điểm của AC thuộc Oy, trung điểm của BC thuộc Oxz. Bài 15: Cho v 0≠ r r . Gọi , ,α β γ là 3 góc tạo bởi v r với Ox, Oy, Oz . Chứng minh rằng 2 2 2 cos cos cos 1α + β+ γ = VẤN ĐỀ 2: GÓC (Bổ sung) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Góc giữa hai đường thẳng : Đường thẳng 1 d có VTCP ( ) 1 1 1 ; ;u x y z= r và đường thẳng 2 d có VTCP ( ) 2 2 3 ; ;v x y z= r Gọi β là góc giữa hai đường thẳng 1 d và 2 d . Khi đó 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 os = x x y y z z c x y z x y z β + + + + + + 2. Góc giữa hai mặt phẳng : Cho ( ) 1 1 1 1 : 0P a x b y c z d+ + + = và ( ) 2 2 2 2 : 0Q a x b y c z d+ + + = Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q . Khi đó 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 os = a a bb c c c a b c a b c α + + + + + + 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Cho đường thẳng d có VTCP ( ) ; ;u a b c= r và mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz D α + + + = Gọi β là góc giữa d và ( ) α . Khi đó 2 2 2 2 2 2 Aa + Bb + Cc sin A B C a b c β = + + + + B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1 : Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0x y z α − + − = và ( ) : 2 3 0x y z β − + + + = -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 4 Bài 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng ( ) 1 2 3 : 2 5 4 x t d y t z t = +   = − +   = −  và ( ) 2 2 : 2 3 4 5 x t d y t z t =   = −   = +  Bài 3 : Tính góc giữa đường thẳng ( ) 3 2 : 3 7 x t d y t z t = −   =   = +  và mặt phẳng ( ) : 3 1 0x y z α + + − = VẤN ĐỀ 3: KHOẢNG CÁCH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng : Trong không gian Oxyz, cho ( ) : Ax + By + Cz +D = 0 α và ( ) 0 0 0 ; ;M x y z . Khi đó ta có: ( ) ( ) 0 0 0 0 2 2 2 Ax , By Cz D d M A B C α + + + = + + 2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : Cho ( ) ( ) // α β và ( ) M α ∈ . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d d M α β β = 3.Khoảng cách h từ điểm M đến đường thẳng ∆ đi qua 0 M và có VTCP u r : Bổ sung (dùng cho chương trình chuẩn) Chương trình nâng cao - Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa M và ( ) α ⊥ ∆ - Tìm ( ) K α = ∆∩ - Tính MK. Suy ra ( ) ,d M MK∆ = 0 ,M M u h u     = uuuuuur r r 4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song : Cho // 'd d và M d ∈ . Khi đó ( ) ( ) , ' , 'd d d d M d= 5. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 5 Cho ( ) // α ∆ và M ∈∆ . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d d M α α ∆ = 6. Khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 d và 2 d ; biết 1 d đi qua 1 M và có VTCP 1 u r , 2 d đi qua 2 M và có VTCP 2 u r : (Chương trình nâng cao) Bổ sung (dùng cho chương trình chuẩn) Chương trình nâng cao - Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa 1 d và ( ) 2 // d α - Lấy 2 M d∈ và tính ( ) ( ) ,d M α - Suy ra ( ) ( ) ( ) 1 2 , ,d d d d M α = [ ] [ ] 1 2 1 2 1 2 , . , u u M M h u u = uuuuuur r r r r B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - 0n ≠ r r được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α nếu giá của nó vuông góc với ( ) α - Cho hai vectơ không cùng phương ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; , ; ;a a a a b b b b= = r r có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng ( ) α . Khi đó 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 , , a a a a a a n b b b b b b   =  ÷  ÷   r là 1 vectơ pháp tuyến của ( ) α , n r được gọi là tích có hướng của a r và b r ; kí hiệu là ,a b     r r hoặc a b∧ r r 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng : a. Mặt phẳng ( ) α đi qua ( ) 0 0 0 ; ;M x y z và nhận ( ) ; ;n A B C= r làm VTPT có phương trình: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = b. Phương trình có dạng 2 2 2 Ax + By + Cz + D = 0 (A 0)B C+ + ≠ được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. 3. Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng : (Chương trình nâng cao) Nếu ( ) ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c với 0abc ≠ thì phương trình mặt phẳng ( ) ABC là 1 x y z a b c + + = ( ) * . ( ) * được gọi là phương trình đoạn chắn của mặt phẳng 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Cho ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 : 0; : 0A x B y C z D A x B y C z D α β + + + = + + + = Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao ( ) α cắt ( ) β ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; ; ; ;A B C k A B C⇔ ≠ ( ) α cắt ( ) β 1 1 1 2 2 2 : : : :A B C A B C⇔ ≠ -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 ; ; ; ; // A B C k A B C D kD α β  =  ⇔  ≠   ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 // A B C D A B C D α β ⇔ = = ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 ; ; ; ;A B C k A B C D kD α β  =  ≡ ⇔  =   ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D α β ≡ ⇔ = = = ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 0A A B B C C α β ⊥ ⇔ + + = ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 0A A B B C C α β ⊥ ⇔ + + = 5. Chùm mặt phẳng: (Bổ sung) Cho hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β cắt nhau lần lượt có phương trình: ( ) ( ) : 0, : ' ' ' ' 0Ax By Cz D A x B y C z D α β + + + = + + + = . Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β gọi là một chùm mặt phẳng. Mỗi mặt phẳng của chùm đều có phương trình: ( ) ( ) ' ' ' ' 0a Ax By Cz D b A x B y C z D+ + + + + + + = trong đó 2 2 0a b+ ≠ 6. Vị trí tương đối của điểm và mặt phẳng (bổ sung) Cho mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0α và 2 điểm ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 M x ;y ;z ,M x ;y ;z . Khi đó ta có: - Nếu ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 Ax By Cz D Ax By Cz D 0+ + + + + + > thì 1 2 M ,M nằm cùng phía đối với ( ) α - Nếu ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 Ax By Cz D Ax By Cz D 0+ + + + + + < thì 1 2 M ,M nằm khác phía đối với ( ) α B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Dạng 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG Bài 1: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua ( ) 1; 2;6A − và nhận ( ) 2;0;3n = − r làm VTPT Bài 2: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua ( ) 2;1; 5M − và song song với ( ) Oxy Bài 3: Trong không gian Oxyz cho ( ) ( ) 2;3;5 , 2;3;1A B− . Lập phương trình tổng quát của mặt phảng trung trực đoạn AB Bài 4: Lập phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và điểm ( ) 2; 3;5P − Bài 5: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1;1;1 , 4;3;2 , 5;2;1A B C a. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) ABC Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng ( ) α đi qua A và song song với mặt phẳng ( ) : 2 3 5 0x y z β + − − = Bài 7: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua hai điểm ( ) ( ) 1;1;1 , 3;2; 1A B − và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 3 5 7 0x y z α − + + + = Bài 8: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua ( ) 3;2;5N − và vuông góc với trục Ox. Bài 9: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 hình chiếu của ( ) 2;3;5M trên các trục toạ độ HD: Dùng phương trình đoạn chắn. Bài 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết ( ) ( ) ( ) 1;1;1 , 2;3;5 , 3; 2;2O A B − . Viết phương trình của các mặt phẳng ( ) ( ) ,OAC OBC Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ( ) 0;2; 1M − , song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng 0x y z− + = Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ( ) 3;0;1A − , vuông góc với hai mặt phẳng -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 7 ( ) : 2 3 2 0P x y z− + − + = và ( ) : 5 2 1 0Q x y z+ − + = Bài 13: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm ( ) 1;2;3M và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz ở 3 điểm cách đều gốc toạ độ. HD: Gọi mặt phẳng cần tìm là ( ) α ⇒ phương trình của mặt phẳng của ( ) α có dạng: 1 x y z a b c + + = Vì ( ) M α ∈ nên ta có : 1 2 3 1 a b c + + = ( ) 1 Theo đề ra ta có a b c = = . Khi đó ( ) 6 1 1 6a a ⇔ = ⇔ = Phương trình của mặt phẳng ( ) : 1 6 6 6 x y z α + + = Bài 14: Lập phương trình mặt phẳng ( ) α chứa đường thẳng x 2z 0 : 3x 2y z 3 0 − =  ∆  − + − =  và vuông góc với mặt phẳng ( ) : x 2y z 5 0β − + + = Bài 15 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa Oz và lập với mặt phẳng ( ) : 2x y 5z 0β + − = một góc 60 0 HD : Pt của ( ) α có dạng ( ) 2 2 mx ny 0 m n 0+ = + > Bài 16 : Viết phương trình của mặt phẳng ( ) α qua ( ) ( ) M 0;0;1 ,N 3;0;0 và tạo với Oxy một góc 60 0 Bài 17 : Lập phương trình của mặt phẳng ( ) α đi qua ( ) M 1;2;1 và chứa giao tuyến của ( ) P : x y z 1 0+ + − = và ( ) Q :2x y 3z 0− + = Bài 18 : Lập phương trình của mặt phẳng ( ) α chứa x y z 3 0 : 3x y 2z 1 0 − + − =  ∆  + + − =  và vuông góc với mặt phẳng ( ) P : x y 2z 3 0+ + − = Bài 19 : Lập phương trình của mặt phẳng ( ) α đi qua 2 điểm ( ) ( ) A 2; 1;0 ,B 5;1;1− và khoảng cách từ 1 M 0;0; 2    ÷   đến ( ) α bằng 6 3 Bài 20 : Lập phương trình mặt phẳng ( ) α thuộc chùm tạo bởi hai mặt phẳng ( ) P : x 3y 7z 36 0− + + = và ( ) Q :2x y z 15 0+ − − = , biết rằng khoảng cách từ O đến ( ) α bằng 3. Bài 21 : Cho ( ) : 2x y 3z 4 0α − + + = và ( ) M 2; 1;2− . Viết phương trình của mặt phẳng ( ) β đối xứng với ( ) α qua M. Bài 22: Cho tứ diện ABCD có ( ) ( ) ( ) ( ) 5;1;3 , 1;6;2 , 5;0;4 , 4;0;6A B C D a. Viết phương trình mặt phẳng ( ) BCD b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với đường thẳng CD c. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và song song với mặt phẳng ( ) ABC Bài 23 : Cho mặt phẳng ( ) : x 2y z 3 0α + + − = và ( ) M 1;1;1 . Viết phương trình mặt phẳng ( ) β sao cho ( ) ( ) ( ) d , 4α β = đồng thời M và ( ) β nằm cùng phía đối với ( ) α Bài 24 : Cho mặt phẳng ( ) : 2x 2y z 1 0α + + + = và ( ) M 1;2;1− . Viết phương trình mặt phẳng ( ) β sao cho ( ) ( ) ( ) d , 2α β = đồng thời M và ( ) β nằm khác phía đối với ( ) α -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 8 Dạng 2 : XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Bài 1 : Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau : a. 2 3 4 5 0x y z− + − = và 3 1 0x y z− + − = b. 4 0x y z− + − + = và 2 2 2 7 0x y z− + − = c. 3 3 6 12 0x y z+ − − = và 4 4 8 16 0x y z+ − − = Bài 2 : Cho hai mặt phẳng ( ) 2 5 2 5 0m x y mz m− − + + − = và 2 3 3 0x y nz+ − + = Tìm m và n để hai mặt phẳng : a. Song song với nhau. b. Trùng nhau. c. Cắt nhau. Bài 3 : Cho hai mặt phẳng ( ) ( ) :3 3 2 5 0x m y z α − − + − = và ( ) 2 2 10 10m x y mz+ − + − = Tìm m để a. Hai mặt phẳng song song b. Hai mặt phẳng trùng nhau. c. Hai mặt phẳng cắt nhau. Dạng 3 : BÀI TẬP VỀ CHÙM MẶT PHẲNG Bài 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua ( ) 1;2;3M và chứa đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng 3 0x y z− + − = và 3 2 5 0x y z+ + − = Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3 1 0x z− + = và 2 3 5 0y z+ − = và vuông góc với mặt phẳng 2 1 0x y− − = Bài 3 : Xác định m, n để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua 1 đường thẳng 2 0; 3 2 2 0; 4 4 0x y z x y z mx ny z− + = − − + = − + + = Dạng 4 : HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA 1 ĐIỂM TRÊN MỘT MẶT PHẲNG Phương pháp giải: Cho điểm M và mặt phẳng ( ) α . Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên ( ) α - Lập phương trình tham số của đường thẳng MH ( đi qua M và nhận VTPT của ( ) α làm VTCP) - Thay ptts của MH vào phương trình của mặt phẳng ( ) α tính được t ⇒ toạ độ của H Bài 1: Cho điểm ( ) 1;1;1M và mặt phẳng ( ) : 2 5 1 0x y z α − + − + = . Tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của M trên ( ) α Bài 2: Cho điểm ( ) 2;1;1M − và mặt phẳng ( ) : 5 1 0x y z α + − + = . Tìm toạ độ điểm M’, biết M’ đối xứng với M qua ( ) α Bài 3: Cho hai điểm ( ) ( ) 3;1;1 , 7;3;9A B và mặt phẳng ( ) : 3 0x y z α + + + = . Tìm ( ) M α ∈ sao cho MA MB+ uuur uuur đạt giá trị nhỏ nhất HD : - Gọi I là trung điểm của AB. - Ta có 2MA MB MI+ = uuur uuur - MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên ( ) α Bài 4: Cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 2;1;6 , 4; 4;7 , 3;0; 1A B C− − − − − và mặt phẳng ( ) : 2 2 5 0x y z α − − − = Tìm ( ) M α ∈ để MA MB MC+ + uuur uuur uuuur nhỏ nhất HD : - Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 9 - Ta có 3MA MB MC MG+ + = uuur uuur uuuur - MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên ( ) α Bài 5: Cho 4 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 5;2;0 , 8; 1; 1 , 1;1; 5 , 3; 2;2A B C D− − − − − − − và mặt phẳng ( ) : 4 2 8 0x y z α − − − = a. Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ diện. b. Tìm ( ) M α ∈ để MA MB MC MD+ + + uuur uuur uuuur uuuur nhỏ nhất HD : Câu a : - Chứng minh , ,AB AC AD uuur uuur uuur không đồng phẳng Câu b: - Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD - Ta có 4MA MB MC MD MG+ + + = uuur uuur uuuur uuuur - MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên ( ) α Bài 6: Cho mặt phẳng ( ) : 2 3 5 0x y z α − − + = và hai điểm ( ) ( ) 0;0; 3 , 9;15;12A B− . Tìm ( ) M α ∈ sao cho a. MA MB+ ngắn nhất. b. MA MB− dài nhất. HD : A và B ở khác phía đối với ( ) α Câu a : - Tìm toạ độ điểm I là giao điểm của AB và ( ) α - Suy ra M I≡ Câu b : - Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua ( ) α - ' 'MA MB MA MB A B− = − ≤ - Đẳng thức xảy ra khi M nằm trên đường thẳng A’B (không nằm trên đoạn A’B) - Gọi ( ) 'J A B α = ∩ . Suy ra M J ≡ Bài 7: Cho mặt phẳng ( ) : 3 19 0x y z α + − − = và hai điểm ( ) ( ) 2;0;1 , 7; 5;3A B− − − . Tìm ( ) M α ∈ sao cho a. MA MB+ ngắn nhất. b. MA MB− dài nhất. HD : A và B ở cùng phía đối với ( ) α Câu a: - Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua ( ) α - Gọi ( ) 'J A B α = ∩ . Suy ra M J ≡ Câu b : - MA MB AB− ≤ - Gọi ( ) I AB α = ∩ - Suy ra M I≡ -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 10 VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Phương trình tham số của đường thẳng : Đường thẳng d đi qua ( ) 0 0 0 ; ;M x y z và nhận ( ) ; ;u a b c= r làm VTCP có phương trình tham số là : 0 0 0 x x at y y bt z z ct = +   = +   = +  Chú ý : Một đường thẳng có vô số phương trình tham số 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng : Cho đường thẳng d có phương trình tham số 0 0 0 x x at y y bt z z ct = +   = +   = +  ( ) * với 0abc ≠ ( ) 0 0 0 * x x y y z z a b c − − − ⇒ = = (phương trình chính tắc) Chú ý : Nếu 0abc = thì không có phương trình chính tắc 3. Phương trình tổng quát của đường thẳng : Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D α β  + + + =   + + + =   với ( ) α cắt ( ) β Chú ý : Gọi 1 n r là VTPT của ( ) α , 2 n r là VTPT của ( ) β . Khi đó [ ] 1 2 ,u n n= r r r là VTCP của d 4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng : Cho đường thẳng d đi qua ( ) 0 0 0 0 ; ;M x y z và có VTCP ( ) 1 2 3 ; ;u a a a= r , đường thẳng d’ đi qua ( ) 0 0 0 0 ' '; '; 'M x y z và có VTCP ( ) 1 2 3 ' '; '; 'u a a a= r Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao d và d’ cắt nhau ⇔ hệ phương trình ẩn t, t’ sau 0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 ' ' ' ' ' ' ' ' ' x a t x a t y a t y a t z a t z a t + = +   + = +   + = +  ( ) I có đúng 1 nghiệm d và d’ cắt nhau ⇔ [ ] [ ] 0 0 , ' 0 , ' . ' 0 u u u u M M  ≠   =   r r r uuuuuuur r r // 'd d 0 ' ' u ku M d =  ⇔  ∉  r r // 'd d ⇔ [ ] 0 0 , ' 0 , ' 0 u u u M M  =     ≠     r r r uuuuuuur r r 0 ' ' ' u ku d d M d =  ≡ ⇔  ∈  r r 'd d≡ ⇔ [ ] 0 0 , ' 0 , ' 0 u u u M M  =     =     r r r uuuuuuur r r d chéo d’ ⇔ u r không cùng phương với 'u r và hệ phương trình 0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 ' ' ' ' ' ' ' ' ' x a t x a t y a t y a t z a t z a t + = +   + = +   + = +  vô nghiệm d chéo d’ ⇔ [ ] 0 0 , ' . ' 0u u M M ≠ uuuuuuur r r -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin [...]... Tổ: Toán- Tin -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 14 Dạng 4: HÌNH CHIẾU CỦA 1 ĐƯỜNG THẲNG TRÊN MỘT MẶT PHẲNG Phương pháp giải: Cách 1:Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của d trên ( α ) - Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d và ( β ) ⊥ ( α ) - Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên ( α ) Suy ra d ' = ( β ) ∩ ( α... Toán- Tin -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HD : Vì I ∈ d nên ta có I ( 1 + 3t; −2 + t; t ) -trang 16  1 t= d ( I, ( P ) ) = 1 ⇔ 5t + 2 = 3 ⇔  5   t = −1 Dạng 2 : QUAN HỆ GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp giải : Cho mặt cầu S ( I , r ) và mặt phẳng ( α ) - Nếu d ( I , ( α ) ) > r thì S ( I , r ) và ( α ) không có điểm chung - Nếu d ( I , ( α ) ) = r thì S ( I ,... d và mặt phẳng ( α ) Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của d trên ( α ) - Tìm giao điểm A của d và ( α ) - Lấy B ∈ d rồi tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của B trên ( α ) - Viết phương trình của đường thẳng AH đi qua A và H Chú ý : Nếu d // ( α ) thì làm như sau : - Lấy A ∈ d rồi tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của A trên ( α ) - Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên d Suy... −1 + 2t    z = −3 + 2mt ( ) Tìm m để d // d ' Khi đó hãy viết phương trình của mặt phẳng ( d , d ') Dạng 3: HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA 1 ĐIỂM TRÊN 1 ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải: r Cho điểm M và đường thẳng ∆ có VTCP u Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ - Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên ∆ - Lấy H ( ?;?;? ) ∈ ∆ (toạ độ của H chính là phương trình tham số của ∆ uuuu r -... 4;6;5 ) là VTPT của ( α ) ⇒ ( α ) : 4x + 6y + 5z + D = 0 Sử dụng d ( I, ( α ) ) = R tìm D Dạng 3 : QUAN HỆ GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải : -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Cho mặt cầu S ( I , r ) và đường thẳng ∆ -trang 17 - Nếu d ( I , ∆ ) > r thì ∆ ∩ ( S ) = ∅ - Nếu d ( I , ∆ ) = r thì ∆ ∩ ( S ) = { M } (tiếp...  y = 4 − at và ( d ') : 2 −1 3  z = −5 + 2 a + 1 t ( )   a Tìm a để d cắt d’ b Tìm a để d ⊥ d ' -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 13 2  x = m − 7 + 2t  x +1 y − 3 z − 2 = = Bài 4: Cho hai đường thẳng ( d ) : và ( d ') :  y = m − 1 − 3t Tìm m để d cắt d’ −3 2 −2 z = m − t   x = 1 − 2m − mt x = 2 − t   2... ra d’ song song với d và d’ đi qua H x − 2 y + 2 z −1 = = Bài 1: Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) : lên mặt phẳng 3 4 1 ( α ) : x + 2 y + 3z + 4 = 0 x − y + z − 5 = 0 Bài 2: Xác định hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng 2 x + 3 y + z − 4 = 0 ( α ) : 3x − 2 y − z + 15 = 0  x = 1 + 2t  Bài 3: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) :  y = −2 + 3t trên mỗi... Viết phương trình hình chiếu theo phương d 2 của đường thẳng d1 trên   z = −3t  mặt phẳng ( α ) -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 6: MẶT CẦU A KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1 Phương trình mặt cầu: -trang 15 a Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) và bán kính r có phương trình ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r 2 2 2 2 b Nếu A2...-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 11 5 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng : Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao r r M ∈ d , u là VTCP của d, n là VTPT của ( α ) Hệ gồm phương trình của d và ( α ) rr d... M 0 M ⇔ n.M 0 M = 0 ⇔ t = 1 uuuuur u - Vậy ∆ có VTCP M 0 M = ( 2; 2; −1) và đi qua M 0 ( −1; 4;0 ) -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 12  x = 2 + 2t  Bài 7: Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng ( d ) :  y = 3 + 3t và  z = −4 − 5t  ( d ') : x +1 y − 4 z − 4 = = 3 −2 −1 HD : r r - d có . r f. Tìm m để c a⊥ r r Bài 2: Trong không gian cho hình bình hành ABCD. Biết ( ) ( ) ( ) 1;1;1 , 3;0;2 , 4; 2;0A B C− − Tìm toạ độ đỉnh D Bài 3: Trong không gian cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 2;1;5. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 1 VẤN ĐỀ 1: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Cho ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; , ; ;a. tâm của tam giác ABN. Bài 4: Trong không gian cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 2 1;1;1 , 3;2;5 , 2 3; ;4A B C m m m− + − Tìm m để tam giác ABC vuông tại A Bài 5: Trong không gian cho 3 điểm ( ) ( ) (