Dai so To hop

Đại số 11 – Chương II NHĐ 1 C hương 2 HAI QUI TẮC CƠ BẢN 1. QUI TẮC CỘNG :  Một công việc nào đó có thể thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện , phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.  Tổng quát : Một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án 1 2 3 , , , k A A A A . Phương án 1 A có thể thực hiện theo 1 n cách, phương án 2 A có thể thực hiện theo 2 n cách,…, phương án k A có thể thực hiện theo k n cách. Các phương án ở các cách không trùng nhau. Khi đó công việc có thể thực hiện theo : 1 2 3 k n n n n     cách. Ví dụ : Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thủy. Cần chọn một đường để đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách chọn ? Giải Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 2 phương án : đường bộ hoặc đường thủy Đường bộ : 3 đường có 3 cách chọn. Đường thủy : 2 đường có 2 cách chọn. Và 2 phương án này độc lập với nhau. Vậy theo qui tắc cộng ta có tất cả: 3 + 2 = 5 cách chọn. Ví dụ : Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia, 5 loại nước ngọt. Một thực khách cần chọn đúng một loại thức uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Giải Thực khách có 3 phương án chọn : Hoặc chọn rượu : 3 cách chọn Hoặc chọn bia : 4 cách chọn Hoặc chọn nước ngọt : 5 cách chọn Theo qui tắc cộng thực khách có tất cả : 3 + 4 + 5 = 12 cách chọn 1 loại thức uống. 2. QUI TẮC NHÂN:  Một công việc nào đó có thể bao gồm 2 công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thự hiện.  Tổng quát : Một công việc nào đó có thể bao gồm k công đoạn 1 2 3 , , , k A A A A Nếu công đoạn 1 A có 1 n cách thực hiện và ứng với mỗi cách trong công đoạn 1 A có 2 n cách thực hiện công đoạn 2 A , ứng với mỗi cách trong công đoạn 2 A có 3 n cách thực hiện công đoạn 3 A ,…, ứng với mỗi cách trong công đoạn 1 k A  có n k cách thực hiện công đoạn k A . Khi đó công việc có thể thực hiện theo : 1 2 3 . . k n n n n cách. TỔ HỢP – XÁC SUẤT Đại số 11 – Chương II NHĐ 2 Ví dụ : Từ Hà Nội đến Huế có 3 cách đi : máy bay, ô tô, tàu hỏa. Từ Huế đến Sài Gòn có 4 cách đi: máy bay, ô tô, tàu hỏa, tàu thủy. Hỏi có bao nhiêu cách đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn ? Giải Ta có thể xem việc đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn như một công việc tiến hành theo 2 giai đoạn liên tiếp nhau : Giai đoạn 1 : đi từ Hà Nội đến Huế : có 3 cách đi (một trong 3 : hoặc máy bay, hoặc tàu hỏa, hoặc ô tô). Giai đoạn 2 : từ Huế đến Sài Gòn : ứng với mỗi cách đi ở giai đoạn 1 ta đều có 4 cách để hoàn thành giai đoạn 2. Vậy theo nguyên lí nhân có tất cả : 3.4 12  cách đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn. Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có thể được tạo thành từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9 ? Giải Số cần lập có dạng : 1 2 3 1 ,( 0) a a a a  , để lập được số như thế ta thực hiện các giai đoạn sau : Chọn 1 a : chọn một trong 5 số 5, 6, 7, 8, 9 : có 5 cách chọn. Chọn 2 a : 1 2  doa a ta chọn 2 a từ 4 số còn lại ,với mỗi cách chọn 1 a có 4 cách chọn. Chọn 3 a : với mỗi cách chọn 2 a có 3 cách chọn   1 2 3 a a a   Vậy theo nguyên tắc nhân có tất cả : 5.4.3 60  số thỏa yêu cầu bài toán. 3. NGUYÊN LÍ BÙ TRỪ :  Kí hiệu A là số phần tử trong tập hợp A  Nguyên lí cộng tổng quát cho tập hợp A và B : A B A B A B       Nguyên lí này được lí giải như sau : do tập A và B có thể có phần chung do đó có thể có phần tử được đếm đến 2 lần trong A và trong B nên cần trừ đi một lần trong A B  . Ví dụ : Tập   , , ,1,2,6  A a b c có 6 phần tử 6  A , Tập   , , ,7,0,6,9  B a c d có 7 phần tử 7  B , A và B có chung 3 phần tử   , ,6 , 3 A B a c A B     Ta có :   , , , ,0,1,2,6,7,9   A B a b c d có 10 phần tử, 6 7 3 10          A B A B A B Ví dụ : Có bao nhiêu xâu nhị phân ( xâu có thứ tự được thành lập từ 0, 1 ) có độ dài là 10 bắt đầu bởi 00 hoặc kết thúc bởi 11 ? Giải Đặt A là tập hợp chứa các xâu nhị phân có độ dài là 10 bắt đầu bởi 00. B là tập hợp chứa các xâu nhị phân có độ dài là 10 kết thúc bởi 11.  kết quả cần tính là : A B A B A B      với 8 8 6 2 256 2 256 2 64 A B A B        256 256 64 448 A B A B A B           xâu nhị phân thỏa yêu cầu bài toán. Đại số 11 – Chương II NHĐ 3 Baøi 1. Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy 1 bông hoa? Baøi 2. Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau? ĐS : 36. Baøi 3. Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên? Baøi 4. Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Cần chọn một người đàn ông và một người đàn bà phát biểu ý kiến. Tính số cách chọn sao cho : a) Hai người đó là vợ chồng b) Hai người đó không là vợ chồng Baøi 5. Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được? b/ Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng? ĐS : a/ 35 b/ 29. Baøi 6. Một cô gái có 6 cái áo, 5 quần dài, 3 cái nón, 2 kẹp tóc, 3 đôi giày, 2 áo khoác; mỗi loại đều khác nhau. Một bộ trang phục gồm : áo, quần, kẹp, giày, áo khoác; thời gian để thay một bộ trang phục là 1 phút 30 giây. Hỏi cô có thể có tất cả bao nhiêu bộ trang phục và thời gian ngắn nhất để thử chúng? Baøi 7. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết rằng: a/ , x A y A   b/ { , } x y A  c/ , 6 x A y A vaø x y     . ĐS : a/ 25. b/ 20. c/ 5 cặp. Baøi 8. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả: a) gồm 6 chữ số. b) gồm 6 chữ số khác nhau. ĐS: a) 6 6 b) 6! Baøi 9. Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi). ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba  có 9.10.10 = 900 (số) Baøi 10. Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau? ĐS : 15. Baøi 11. Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số: a/ Gồm 2 chữ số? b/ Gồm 2 chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm 2 chữ số? d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau?e/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại? f/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? ĐS : a/ 25. b/ 20. c/ 15 d/ 8. e/ 120. f/ 24. Baøi 12. Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số: a/ Khác nhau? b/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300? c/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? d/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn? e/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ? ĐS : a/ 100. b/ 60. c/ 36 d/ 52. e/ 48. Đại số 11 – Chương II NHĐ 4 Baøi 13. a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400? b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300 , 500). ĐS : a/ 35. b/ 24. Baøi 14. Hỏi tỉnh Tiền Giang có thể có tất cả bao nhiêu bảng số xe trên 50 phân khối ? Baøi 15. Một lớp có 40 học sinh đăng kí choi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu lông. Có 30 em đang kí bóng đá, 25 em đang kí cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đang kí cà hai môn? Baøi 16. Trong một lớp có 30 học sinh, trong đó có 18 em giải Toán, 14 em giỏi Văn và 10 em không gỏi môn nào. Hỏi có bao nhiêu em giỏi cả Toán lẫn Văn? HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP I. HOÁN VỊ :  Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử   1 n  . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.  Nhận xét : Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp . Chẳng hạn hai hoán vị abc và acb của 3 phần tử a, b, c là khác nhau.  Số các hoán vị : Kí hiệu n P là số các hoán vị của n phần tử :   . -1 2.1 ! n P n n n   - Qui ước : 0! 1  . Ví dụ : Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào một bàn dài có 3 chỗ ngồi ? Giải Cần sắp xếp 3 bạn vào 3 chỗ vậy mỗi cách sắp là hoán vị của 3 phần tử, có tất cả 3 1.2.3 3! 6 P    cách sắp. Các hoán vị đó là : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Ví dụ : Có bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các số 2, 6, 7, 9 ? Giải Mỗi số được thành lập là một hoán vị của 4 phần tử. Vậy ta có tất cả là : 4 4! 24 P   (số).  Hoán vị vòng : Cho tập A gồm n phần tử   1 n  . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A theo một vòng kép kín được gọi là một hoán vị vòng của n phần tử đó. - Số hoán vị vòng của n phần tử là :   1 -1 !   n P n . Ví dụ : Có bao nhiêu cách sắp xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn ? Giải Vị trí tương đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị vòng họ theo một chiều nhất định ( chẳng hạn n hoán vị ABC…KL, BCA…LA, CD…LAB là như nhau ) nghĩa là trong các hoán vị vòng không có phần tử nào là cuối cùng hoặc phần tử thứ nhất. Vậy số cách sắp xếp là :   -1 ! -1 ! n n n P n   . Đại số 11 – Chương II NHĐ 5 Ví dụ : Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm A, B, …, L làm đỉnh ? Giải Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo 2n cách khác nhau mà đa giác vẫn không thay đổi nên số đa giác là :   -1 -1 ! 2 2 n n P  . II. CHỈNH HỢP :  Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử   1 n  . Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.  Số các chỉnh hợp : Kí hiệu A k n là số chỉnh hợp chập k của n phần tử   1 k n         ! . -1 - 1 - ! k n n A n n n k n k    - Chú ý : Mỗi hoán vị n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy : n n n P A  Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, … 9 ? Giải Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 5 chữ số khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp theo một thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9. Vậy có tất cả 5 9 120 A  số III. TỔ HỢP :  Định nghĩa : Cho tập A có n phần tử   1 n  . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. - Chú ý : Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 k n   .Tuy vậy tập hợp không có phần từ nào là tập rỗng nên ta qui ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.  Số các tổ hợp : Kí hiệu k n C là số các tổ hợp chập k của n phần tử   0 k n   , ta có :   ! ! - ! k n n C k n k   Tính chất của các số k n C :     1 1 1 , 0 , 1 . k n k n n k k k n n n C C k n C C C k n            Ví dụ : Cho tập   1,2,3,4,5 A  . Có bao nhiêu tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A ? Giải Có tất cả   3 5 5! 10 3! 5 3 ! C    tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A. Các tổ hợp đó là :                     1,2,3 ; 1,2,4 ; 1,2,5 ; 2,3,4 ; 2,3,5 ; 3,4,5 ; 1,3, 4 , 1,3,5 ; 2,3,4 , 1,4,5 . Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người. a) Có bao nhiêu cách lập ? b) Có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu trong đó có 3 nam, 2 nữ ? Đại số 11 – Chương II NHĐ 6 Giải a) Mỗi đoàn đại biểu được lập là một tổ hợp chập 5 của 10. Vì vậy số đoàn đại biểu có thể có là : 5 10 10! 252 5!(10 - 5)! C   . b) Chọn 3 người từ 6 người nam : có 3 6 C cách chọn Chọn 2 người từ 4 người nữ : có 2 4 C cách chọn Theo nguyên tắc nhân có tất cả 3 2 6 4 . 120 C C  cách lập đoàn. IV. CÁC CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP : 1. Trong bài toán đếm thì ta ưu tiên đếm các trường hợp có điều kiện đặc biệt (trường hợp số 0 đứng đầu trong bài toán đếm số, các điều kiện ràng buộc khác của bài toán… ). 2. Phân biệt hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp : Ta thường bị lẫn lộn giữa tổ hợp và chỉnh hợp, điểm khác nhau cơ bản là sắp xếp có thứ tự hay không . Để phân biệt ta làm như sau : đầu tiên ta đưa ra một đáp án của bài toán sau đó ta đảo vị trí các phần tử trong đáp án , nếu :  Tạo nên đáp án mới  có thứ tự  chỉnh hợp  Không tạo nên đáp án mới  không có thứ tự  tổ hợp. Ví dụ : Một lớp có 37 người, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ 3 người để : a) Phân công trực nhật lớp b) Bầu ban cán sự : 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quĩ. Phân tích Giả sử ba bạn được chọn theo thứ tự là A, B, C Đối với câu a : nếu ta đổi lại tổ được chọn là B, C, A ta thấy tổ này vẫn không thay đổi so với tổ ban đầu  tổ hợp Đối với câu b : theo cách chọn thì A : lớp trưởng, B : lớp phó, C : thủ quĩ, nếu ta đổi lại tổ được chọn là B, C, A ta được ban cán sự mới là B : lớp trưởng, C : lớp phó, A : thủ quĩ tổ này đổi khác so với tổ ban đầu  chỉnh hợp.  Dựa vào công thức liên hệ tổ hợp và chỉnh hợp : ! k k n n A k C  ta còn có thể giải bài toán đếm bằng cách " chọn và sắp ". Lấy lại ví dụ ở trên : Một lớp có 37 người, chọn ra một tổ 3 người để : a) Phân công trực nhật lớp b) Bầu ban cán sự : 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quĩ. Giải a) Đầu tiên ta chọn 3 người tùy ý trong 37 người có : 3 37 C cách Sau đó ta sắp 3 người được chọn để thành lập 1 tổ : có 1 cách sắp duy nhất. Vậy ta có tất cả : 1. 3 37 C = 7770 (cách). Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp - Các phần tử chỉ xuất hiện một lần. - Lấy ra hết n phần tử để sắp xếp. - Các phần tử xếp có thứ tự. - Các phần tử chỉ xuất hiện một lần. - Lấy ra k phần tử trong n phần tử để sắp xếp. - Các phần tử xếp có thứ tự. - Các phần tử chỉ xuất hiện một lần. - Lấy ra k phần tử trong n phần tử để sắp xếp. - Các phần tử xếp không có thứ tự. Đại số 11 – Chương II NHĐ 7 b) Đầu tiên ta chọn 3 người tùy ý trong 37 người có : 3 37 C cách Sau đó ta sắp 3 người được chọn vào 3 chỗ để thành lập 1 tổ : có 3! cách sắp. Vậy ta có tất cả : 3!. 3 37 C = 46620 (cách). 3. Khi giải bài toán đếm người ta có thể giải theo hai cách chính sau đây :  Tính trực tiếp : tính thẳng yêu cầu bài toán nêu ra  Tính gián tiếp : đôi khi tính trực tiếp yêu cầu bài toán trở nên khó khăn, phức tạp, có nhiều khả năng có thể xảy ra người ta thường nghĩ ngay đến phương pháp tính gián tiếp. Cách tính gián tiếp dựa trên nguyên lí “ Đếm những cái không cần đếm ( dễ dàng ) để biết những cái cần đếm (phức tạp) ”. Các từ cần lưu ý : “ có ít nhất 1 ”, " có tối đa 1", ”A và B không đứng cạnh nhau”, “không đồng thời có mặt”, " bắt đầu bởi"… Ví dụ : Có bao nhiêu cách xếp 5 người thành một hàng ngang sao cho A không đứng cạnh B Phân tích Gọi các vị trí trong hàng theo thứ tự là 1, 2, 3, 4, 5. Nếu ta đếm trực tiếp : xuất phát từ A, trong mỗi trường hợp của A sẽ xuất hiện nhiều trường hợp khác nhau của B lúc này việc tính toán trở nên khó khăn. Nếu ta đếm gián tiếp : đếm phần không cần đếm “A, B luôn đứng cạnh nhau” xem như A, B là một chỗ, ta lấy cách xếp 5 người tùy ý trừ đi trường hợp “A, B luôn đứng cạnh nhau” sẽ thu được kết quả bài toán. Việc đếm gián tiếp trong trường hợp này dễ dàng hơn nhiều. Giải Xem A và B như một chỗ (xem phương pháp buộc), ta có 4! = 24 cách xếp. Nhưng A có thể đứng bên trái hoặc bên phải B nên ta có 24.2 = 48 cách xếp A đứng cạnh B. Toàn bộ có 5! = 120 cách xếp Vậy số cách xếp A không đứng cạnh B là : 120 – 48 = 72 cách. 4. Phương pháp tạo vách ngăn : Khi bài toán yêu cầu sắp xếp hai hoặc nhều phần tử không đứng cạnh nhau chúng ta có thể tạo ra các “vách ngăn” trước khi sắp xếp Ví dụ : Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang, 2 thầy không được đứng cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? Giải Trước hết ta xếp 6 học sinh thành hàng ngang : có 6! cách. Khi đó mỗi học sinh đóng vai trò là một vách ngăn và tạo nên 7 vị trí để xếp 2 thầy. Xếp 2 thầy vào 7 vị trí: có 7 2 A cách. Vậy có tất cả : 6!. 7 2 A = 30240 cách. 5.Phương pháp buộc các phần tử : Khi cần xếp 2 hay nhiều phần tử luôn đứng cạnh nhau ta buộc chúng lại thành một nhóm và coi như là một phần tử. Ví dụ : Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang, 2 thầy luôn đứng cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? Giải Trước hết ta “buộc” 2 thầy lại và coi như một phần tử A. Xếp thứ tự trong nhóm A có : 2! cách. Khi đó ta xếp thứ tự 6 học sinh và phần tử A thành một hàng, có : 7! Cách Vậy theo qui tắc nhân có tất cả : 2!.7! cách. Đại số 11 – Chương II NHĐ 8 IV. MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG MẮC PHẢI TRONG KHI GIẢI TOÁN : 1. Sai lầm 1 : nhầm lẫn giữa tổ hợp và chỉnh hợp. * Bài toán 1 : "Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Cần chọn ra 6 học sinh gồm 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 đôi diễn văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép ? " Lời giải 1 : - Chọn 3 nam trong 10 nam : có 3 10 720 A  cách - Chọn 3 nữ trong 12 nam : có 3 12 1320 A  cách Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là : 720.1320 950400  cách Lời giải 2 : - Chọn 3 nam trong 10 nam : có 3 10 120 C  cách - Chọn 3 nữ trong 12 nam : có 3 12 220 C  cách Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là : 120.220 26400  cách Lời giải 3 : - Chọn 3 nam trong 10 nam : có 3 10 120 C  cách - Chọn 3 nữ trong 12 nam : có 3 12 220 C  cách Do đó số cách chọn 6 học sinh 3 nam, 3 nữ là : 120.220 26400  cách Vì một đôi gồm 2 bạn ( 1 nam, 1 nữ ) nên chọn ra 1 bạn nam ( trong 3 bạn nam ) và một bạn nữ ( trong 3 bạn nữ ) có : 3.3 = 9 cách. Vậy có tất cả là : 3 3 10 12 9. . 9.120.220 237600 C C   cách Lời giải 4 : - Chọn 3 nam trong 10 nam : có 3 10 120 C  cách - Chọn 3 nữ trong 12 nam : có 3 12 220 C  cách Do đó số cách chọn 6 học sinh 3 nam, 3 nữ là : 120.220 26400  cách Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! cách ghép các đôi này với nhau ( là số hoán vị 3 học sinh nam hoặc 3 học sinh nữ ). Vậy có tất cả là : 3 3 10 12 3!. . 6.120.220 158400 C C   cách. Phân tích Lời giải 1 : là lời giải sai vì bài toán không yêu cầu thứ tự khi chọn ra các học sinh. Lời giải 2 : lời giải sai chọn ra 6 học sinh thỏa yêu cầu bài toán hoàn toàn đúng nhưng bài toán chưa dừng lại ở đó mà cần đưa ra kết quả là số cách ghép đôi. Lời giải 3 : lời giải sai nhầm lẫn trong bước cuối là chỉ chọn ra 1 đôi nam và nữ ( đề bài yêu cầu chọn ra 3 đôi ). Lời giải 4 : là lời giải đúng 2. Sai lầm 2 : Sai lầm trong việc chọn các phần tử còn lại : * Bài toán 2 : " Một nhóm học sinh gồm các bạn A, B, C, D, E. Cần chọn ra 3 bạn hỏi có bao nhiêu cách chọn " Lời giải 1 : - Đầu tiên chọn 1 bạn : có 5 cách chọn. - Chọn tiếp 1 bạn trong 4 bạn còn lại : có 4 cách chọn. - Cuối cùng chọn 1 bạn trong 3 bạn còn lại : có 3 cách chọn. Vậy theo qui tắc nhân ta có tất cả : 5.4.3 = 60 cách chọn. Lời giải 2 : - Đầu tiên chọn 1 bạn : có 5 cách chọn. Đại số 11 – Chương II NHĐ 9 - Chọn 2 bạn trong 4 bạn còn lại : có 2 4 6 C  cách chọn. Vậy ta có tất cả : 2 4 5. 5.6 30 C   cách chọn. Lời giải 3 : Chọn 3 bạn trong 5 bạn là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Số cách chọn là : 3 5 10 C  cách. Phân tích Lời giải 1 : đây là lời giải sai , ở đây ta đã sắp đặt thứ tự cho việc chọn ra 3 bạn trong khi đề bài không yêu cầu dẫn đến kết quả đếm bị trùng nhau, ví dụ : Đầu tiên chọn một bạn trong 5 bạn ta có 5 cách chọn - Giả sử lần đầu ta chọn A, lần 2 ta chọn B, lần 3 ta chọn C thì kết quả 3 bạn được chọn là A, B, C. - Giả sử lần đầu ta chọn B, lần 2 ta chọn A, lần 3 ta chọn C thì kết quả 3 bạn được chọn là B, A, C. Do yêu cầu bài toán là chỉ cần chọn ra 3 bạn không phân biệt bạn nào trước bạn nào sau nên kết quả A, B, C và B, A, C là như nhau, vì vậy cách chọn sẽ bị trùng. Lời giải 2 : lời giải sai , chọn 2 bạn trong 4 bạn còn lại ta dùng chỉnh hợp là chính xác nhưng ở đây ta đã ấn định thứ tự cho vị trí thứ nhất nên kết quả là sai. Lời giải 3 : lời giải đúng . * Bài toán 3 : "Một nhóm gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Chọn ra 6 học sinh sao cho có ít nhất 6 học sinh nữ được chọn ?" Lời giải 1 : Tính trực tiếp : - Trường hợp 1 : 2 nữ, 4 nam có : 2 4 15 30 C C cách chọn. - Trường hợp 2 : 3 nữ, 3 nam có : 3 3 15 30 C C cách chọn. - Trường hợp 3 : 4 nữ, 2 nam có : 4 2 15 30 C C cách chọn. - Trường hợp 4 : 5 nữ, 1 nam có : 5 1 15 30 C C cách chọn. - Trường hợp 5 : 6 nữ có : 6 15 C cách chọn. Vậy có tất cả : 2 4 15 30 C C + 3 3 15 30 C C + 4 2 15 30 C C + 5 1 15 30 C C + 6 15 C = 5413695 cách chọn. Lời giải 2 : Tính gián tiếp : - Chọn 6 học sinh bất kì : có 6 45 C cách chọn. - Chọn 1 nữ, 5 nam : có 1 5 15 30 . C C cách chọn. - Chọn 6 nam : có 6 30 C cách chọn. Vậy ta có tất cả : 6 45 C - ( 1 5 15 30 . C C + 6 30 C ) = 5413695 cách chọn. Lời giải 3 : - Bước 1 : chọn 2 nữ ( vì có ít nhất 2 nữ ) có 2 15 C cách chọn. - Bước 2 : chọn 4 bạn còn lại trong 43 bạn có 4 43 C cách chọn. Khi đó 6 bạn được chọn luôn thỏa mãn điều kiện có ít nhất 2 bạn nữ. Vậy có tất cả : 2 15 C . 4 43 C = 12958050 cách chọn. Phân tích Lời giải 1 +2 : đều là lời giải đúng . Lời giải 3 : là lời giải sai . Thoạt tiên ta có cảm giác đây là lời giải hay, chính xác, ngắn gọn nhưng trong lời giải mắc phải sai lầm. Chọn 2 bạn nữ và 4 bạn nam ta dùng tổ hợp là chính xác nhưng kết quả lại sai. Nguyên nhân sai lầm : cách đếm bị trùng : Đại số 11 – Chương II NHĐ 10 Công việc chia thành hai công đoạn : Công đoạn 1 : chọn 2 nữ nữ không biệt thứ tự là đúng, ta coi hai bạn nữ làm thành nhóm 1; ứng với mỗi cách chọn ở Công đoạn 1 có 4 43 C thực hiện Công đoạn 2 nhưng trong khi thực hiện cách chọn đã bị trùng (do kết quả cuối cùng không phân biệt thứ tự ). Chẳng hạn : - Giả sử 2 bạn nữ được chọn là A, B; sau đó chọn tiếp 4 bạn là C,D, E, F giả sử rằng trong 4 bạn vừa được chọn có bạn F là nữ. Vậy 6 bạn là : A, B, C, D ,E ,F. - Giả sử trường hợp khác 2 bạn nữ được chọn là A, F; sau đó chọn tiếp 4 bạn là C,D, E, B. Vậy 6 bạn là : A, F, C, D ,E , B. Nhóm này trùng với nhóm ở trường hợp trên. 3. Sai lầm 3 : Xét thiếu các trường hợp trong bài toán giải bằng phương pháp gián tiếp. * Bài toán 4 : “ Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra ? ” Giải  Loại 1 : chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có 10 20 C cách.  Loại 2: chọn 10 câu ko thoả mãn đầu bài ( có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó). - Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có 10 16 C cách. - Trường hợp 2 : chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có 10 13 C cách. - Trường hợp 3 : chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có 10 11 C cách. Vậy có tất cả   10 10 10 10 20 16 13 11 176541 C C C C    đề kiểm tra. Lời giải trên là đúng nhưng khi thay đổi đề một chút đôi khi ta phạm phải sai lầm là liệt kê thiếu trường hợp khi dùng cách giải gián tiếp : * Bài toán 5 : “ Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 7 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra ? ” Lời giải 1 :  Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có 7 20 C cách.  Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu. - Trường hợp 1 : chọn 7 câu dễ trong 9 câu có 7 9 C cách. - Trường hợp 2 : chọn 7 câu trung bình có 1 cách. - Trường hợp 3 : chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có 7 16 C cách. - Trường hợp 4 : chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có 7 13 C cách. - Trường hợp 5 : chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có 7 11 C cách. Vậy có   7 7 7 7 7 20 9 16 13 11 1 63997 C C C C C      đề kiểm tra. A-F C-D-E-B  A-F-C-D-E-B  A-B-C-D-E-F C-D-E-F A-B [...]... Không bắt đầu bởi chữ số 1? d/ Không bắt đầu bởi 135? b/ 96 c/ 6 d/ 118 Baøi 4 Trên một kệ sách có 5 quyển sách To n, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn Các quyển sách đều khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng môn? c) Theo từng môn và sách To n nằm ở giữa? ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Baøi 5 Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác... a) Cn  4Cn 1  6Cn 2  4Cn 3  Cn 4  Cn 4 k (4  k  n) p b) Cn1  n  1 p1 C p n k k 2 c) k (k  1)Cn  n(n  1)Cn2 ( 2 < k < n) NHĐ 17 Đại số 11 – Chương II NHỊ THỨC NEWTON 1 Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có: (a  b)n  n k  Cn ank bk k 0 2 Tính chất: 1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng... xuất hiện là số chẵn 5 1 3 ĐS: a) n() = 36 n(A) = 5  P(A) = b) c) 36 4 4 Baøi 4 Một lớp học có 25 học sinh, trong đó có 15 em học khá môn To n, 16 em học khá môn Văn a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 môn b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá môn To n nhưng không khá môn Văn 2 C7 25 Baøi 5 Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất của biến cố: ĐS: a) n(AB) = n(A) + n(B)... k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: k n Cn  Cn  k 0 n 5) Cn  Cn  1 , k k k Cn 1  Cn  Cn1  Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt Chẳng hạn: 0 n (1+x)n = Cn x n  C1 x n1   Cn n  0 1 n Cn  Cn   Cn  2 n 0 n (x–1)n = Cn x n  C1 x n1... cuối cùng là không chính xác Lời giải 2 : lời giải sai, tương tự Lời giải 1, thiếu liệt kê các trường hợp bị trùng nhau, ví dụ ở Loại 2 : Trường hợp 1 và Trường hợp 2 số lần đếm bị trùng nhau ( 7 câu to n dễ đều xuất hiện trong 2 trường hợp) Lời giải 3 : lời giải đúng Baøi 1 Có bao nhiêu hoán vị của tập hợp a ,b ,c ,d ,e ,f  mà phần tử cuối là a? Baøi 2 Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau... hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác suất để lấy được: a) ít nhất 2 bóng tốt b) Không bóng tốt Baøi 12 Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi To n, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi cả 2 môn GVCN chọn ra 3 em Tính xác suất để 3 em đó là học sinh giỏi Baøi 13 Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen... bóng, trong đó có 7 bóng tốt Lấy ngẫu nhiên 3 bóng Tính xác suất để lấy được : a) Ít nhất hai bóng tốt b) Ít nhất một bóng tốt 7 21 b) Đs: a) 11 22 Baøi 20 Trong một lớp học gồm 20 em trong đó có 6 em gỏi To n, 5 em giỏi Văn, 4 em giỏi cả hai môn Giáo viên chủ nhiệm chọn ra 2 em Tính xác suất để hai em đó là học sinh giỏi 1 Đs: 10 Baøi 21 Một tổ có 6 em nam và 4 em nữ Giáo viên chủ nhiệm chọn 2 em đi thi . lời giải sai vì bài to n không yêu cầu thứ tự khi chọn ra các học sinh. Lời giải 2 : lời giải sai chọn ra 6 học sinh thỏa yêu cầu bài to n hoàn to n đúng nhưng bài to n chưa dừng lại ở. giải bài to n đếm người ta có thể giải theo hai cách chính sau đây :  Tính trực tiếp : tính thẳng yêu cầu bài to n nêu ra  Tính gián tiếp : đôi khi tính trực tiếp yêu cầu bài to n trở. TẬP : 1. Trong bài to n đếm thì ta ưu tiên đếm các trường hợp có điều kiện đặc biệt (trường hợp số 0 đứng đầu trong bài to n đếm số, các điều kiện ràng buộc khác của bài to n… ). 2. Phân biệt