DA_Toan_B.DH.2004

1 Bộ giáo dục và đào tạo Đáp án - Thang điểm đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 Đề chính thức Môn: Toán, Khối B (Đáp án - thang điểm có 4 trang) Câu ý Nội dung Điểm I 2,0 1 Khảo sát hàm số (1,0 điểm) 32 1 yx2x3x 3 =+ (1). a) Tập xác định: R . b) Sự biến thiên: y' = x 2 4x + 3; 3,10' === xxy . 0,25 y CĐ = y(1) = 4 3 , y CT = y(3) = 0; y" = 2x 4, y'' = 0 () 2 x2,y2 3 = = . Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (;2), lõm trên khoảng ( 2; + ) và có điểm uốn là 2 U2; 3 . 0,25 Bảng biến thiên: x 1 3 + y' + 0 0 + y 4 3 + 0 0,25 c) Đồ thị: Giao điểm của đồ thị với các trục Ox, Oy là các điểm ()() 0; 0 , 3 ; 0 . 0,25 2 2 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn, (1,0 điểm) Tại điểm uốn U 2 2; 3 , tiếp tuyến của (C) có hệ số góc 1)2(' =y . 0,25 Tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C) có phơng trình: 28 y1.(x2) y x 33 = + = + . 0,25 Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x bằng: y'(x) = x 2 34 + x = 1)2( 2 x 1 y' (x) y' (2), x. 0,25 Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi x = 2 ( là hoành độ điểm uốn). Do đó tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. 0,25 II 2,0 1 Giải phơng trình (1,0 điểm) 5sinx 2 = 3 tg 2 x ( 1 sinx ) (1) . Điều kiện: cosx 0 x k,k Z 2 + (*). 0,25 Khi đó (1) 2 2 3sin x 5sinx 2 (1 sin x) 1sinx = 02sin3sin2 2 =+ xx . 0,25 2 1 sin = x hoặc 2sin =x (vô nghiệm). 0,25 + == 2 62 1 sin kxx hoặc + = 2 6 5 kx , Z k ( thoả mãn (*)). 0,25 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (1,0 điểm) y = 2 ln x x 2 ln x(2 ln x) y' x = 0,25 y'= 0 3 23 ln x 0 x 1 [1; e ] ln x 2 xe [1;e]. == = = 0.25 Khi đó: y(1) = 0, 23 23 49 y(e ) , y(e ) ee == 0,25 So sánh 3 giá trị trên, ta có: 3 3 2 2 [1; e ] [1; e ] 4 max y khi x e , min y 0 khi x 1 e ==== . 0,25 III 3,0 1 Tìm điểm C (1,0 điểm) Phơng trình đờng thẳng AB: 4 1 3 1 = y x 4x + 3y 7 = 0. 0,25 Giả sử );( yxC . Theo giả thiết ta có: 012 = yx (1). d(C, (AB)) = 6 22 4x 3y 37 0 (2a) 4x 3y 7 6 4x 3y 23 0 (2b). 43 += + = ++= + 0,25 Giải hệ (1), (2a) ta đợc: C 1 ( 7 ; 3). 0,25 Giải hệ (1), (2b) ta đợc: 2 43 27 C; 11 11 . 0,25 2 Tính góc và thể tích (1,0 điểm) 3 Gọi giao điểm của AC và BD là O thì SO (ABCD ) , suy ra n SAO = . Gọi trung điểm của AB là M thì OM AB và ABSM Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là n SMO . 0,25 Tam giác OAB vuông cân tại O, nên === tg a SO a OA a OM 2 2 2 2 , 2 . Do đó: n SO tgSMO 2 tg OM == . 0,25 23 S.ABCD ABCD 11a22 VS.SOatgatg. 3326 == = 0,50 3 Viết phơng trình đờng thẳng (1,0 điểm) Đờng thẳng d có vectơ chỉ phơng )4;1;2( =v . 0,25 B d )41;1;23( tttB ++ (với một số thực t nào đó ). () AB 1 2t;3 t; 5 4t =+ + JJJG . 0,25 AB d 0. =vAB 2(1 2t) (3 t) 4( 5 4t) 0+++= t = 1. 0,25 AB (3; 2; 1) = JJJG Phơng trình của 1 4 2 2 3 4 : = + = + zyx . 0,25 IV 2,0 1 Tính tích phân (1,0 điểm) dx x xx I e + = 1 lnln31 . Đặt: 2 dx t 1 3ln x t 1 3ln x 2tdt 3 x =+ =+ = . x1 t1= = , xe t2= = . 0,25 Ta có: () 22 2 242 11 2t 1 2 I t dt t t dt 33 9 == . 0,25 2 53 1 21 1 Itt 95 3 = . 0,25 I = 135 116 . 0,25 4 2 Xác định số đề kiểm tra lập đợc (1,0 điểm) Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các trờng hợp sau: Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là: 23625 1 5 2 10 2 15 =CCC . 0,25 Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó, thì số cách chọn là: 10500 2 5 1 10 2 15 =CCC . 0,25 Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là: 22750 1 5 1 10 3 15 =CCC . 0,25 Vì các cách chọn trên đôi một khác nhau, nên số đề kiểm tra có thể lập đợc là: 56875227501050023625 =++ . 0,25 V Xác định m để phơng trình có nghiệm 1,0 Điều kiện: 1 x 1. Đặt t 22 1x 1x=+. Ta có: 22 1x 1x t 0+ , t = 0 khi x = 0. 24 t221x2 t 2= , t = 2 khi x = 1. Tập giá trị của t là [0; 2 ] ( t liên tục trên đoạn [ 1; 1]). 0,25 Phơng trình đã cho trở thành: m () 2 t2 t t2+=++ 2 tt2 m t2 ++ = + (*) Xét f(t) = 2 tt2 t2 ++ + với 0 t 2 . Ta có f(t) liên tục trên đoạn [0; 2 ]. Phơng trình đã cho có nghiệm x Phơng trình (*) có nghiệm t [0; 2 ] ]2;0[]2;0[ )(max)(min tfmtf . 0,25 Ta có: f '(t) = () 2 2 t4t 0, t 0; 2 t2 + f(t) nghịch biến trên [0; 2 ]. 0,25 Suy ra: [0; 2 ] [0; 2 ] min f (t) f ( 2) 2 1 ; ma x f (t) f (0) 1== ==. Vậy giá trị của m cần tìm là 21m1 . 0,25 . suy ra n SAO = . Gọi trung điểm của AB là M thì OM AB và ABSM Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là n SMO . 0,25 Tam giác OAB vuông cân tại O, nên === tg a SO a OA a OM 2 2 2 2 , 2 (1), ( 2b) ta đợc: 2 43 27 C; 11 11 . 0,25 2 Tính góc và thể tích (1,0 điểm) 3 Gọi giao điểm của AC và BD là O thì SO (ABCD ) , suy ra n SAO = . Gọi trung điểm của AB là M thì. 23 S.ABCD ABCD 11a22 VS.SOatgatg. 3326 == = 0,50 3 Viết phơng trình đờng thẳng (1,0 điểm) Đờng thẳng d có vectơ chỉ phơng )4;1;2( =v . 0,25 B d )41;1;23( tttB ++ (với