Giáo án Tieng Anh 12

270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a 0, b Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : a+b ≥ ab bc ca ab + + ≥a+b+c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a + b > a − b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x | = | x |b) x2 4x c) 2x(2x 1) 2x 2 12 Tìm số a, b, c, d biết : a + b + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x − 4x + 17 So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính) : a) + 15 b) 17 + + 45 c) 23 − 19 27 d) 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn nhng nhỏ 19 Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − 1998 Hãy so sánh S 1999 21 Cho S = Trang: 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a số phương a số vơ tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh : x y + ≥2 y x  x y2   x y  b)  + ÷−  + ÷ ≥ x  y x y a)  x y4   x y   x y  c)  + ÷−  + ÷+  + ÷ ≥ x  y x  y x y 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) + b) m + với m, n số hữu tỉ, n n 25 Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? x y x y2 26 Cho số x y khác Chứng minh : + + ≥  + ÷ y x y x 27 Cho số x, y, z dơng Chứng minh : x y2 z2 x y z + + ≥ + + y2 z x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + + an)2 n(a12 + a22 + + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b 31 Chứng minh : [ x ] + [ y ] ≤ [ x + y ] 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = 33 Tìm giá trị nhỏ : A = x − 6x + 17 x y z + + với x, y, z > y z x 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vơ tỉ khơng : a số vô tỉ b a b) a + b số hữu tỉ (a + b 0) b a) ab c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) Trang: 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS a b c d + + + ≥2 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : b+c c+d d+a a +b 39 Chứng minh [ 2x ] [ x ] [ x ] + 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x − B= x + 4x − C= x − 2x − D= 1 − x2 − E= x+ + −2x x G = 3x − − 5x − + x + x + 42 a) Chứng minh : | A + B | | A | + | B | Dấu = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M = x + 4x + + x − 6x + c) Giải phương trình : 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 43 Giải phương trình : 2x − 8x − x − 4x − = 12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A = x2 + x + E= 2x + + x B= 1 − 3x G= C = − − 9x x + x−2 x −4 D= x − 5x + H = x − 2x − + − x 2 x − 3x =0 45 Giải phương trình : x −3 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x + x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B = − x + x +1 ; b) − 13 + n+1 − n (n số nguyên dương) 48 So sánh : a) a = + b= −1 c) n + − n + 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A = − − 6x + 9x + (3x − 1) 50 Tính : a) 4−2 b) 11 + c) d) A = m + 8m + 16 + m − 8m + 16 27 − 10 e) B = n + n − + n − n − (n > 1) 51 Rút gọn biểu thức : M = 41 45 + 41 + 45 − 41 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x − y) + (y − 2) + (x + y + z) = 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 25x − 20x + + 25x − 30x + 54 Giải phương trình sau : Trang: 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS a) x − x − − x − = b) x − + = x d) x − x − 2x + = c) x − x + x + x − = e) x + 4x + + x − = h) x − 2x + + x − 6x + = g) x − + x − = −5 i) x + + − x = x − 25 k) x + − x − + x + − x − = l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x + y2 ≥2 x−y 56 Rút gọn biểu thức : a) 13 + 30 + + b) m + m − + m − m − c) + + + + + + − + + 57 Chứng minh 2+ = 58 Rút gọn biểu thức : 6+2 a) C = ( d) 227 − 30 + 123 + 22 + 2 ) + 3+ − 6−2 ( 6− 3+ ) b) D = 9−6 − 59 So sánh : a) + 20 1+ b) 17 + 12 +1 60 Cho biểu thức : A = x − x − 4x + a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau : a) 11 − 10 c) b) c) 28 − 16 − − 14 + 11 + − + + + − + 10 62 Cho a + b + c = ; a, b, c Chứng minh đẳng thức : 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 63 Giải bất phương trình : x − 16x + 60 < x − 64 Tìm x cho : x − + ≤ x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A = x − 2x − 67 Cho biểu thức : A = b) B = 16 − x + x − 8x + 2x + x + x − 2x x − x − 2x − x − x − 2x x + x − 2x Trang: 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TỐN THCS a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y | với | x | + |y|=5 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : n + n + n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức A = + + − Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( + + 5)( + − 5)( − + 5)( − + + 5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : + ; − ; 2 + 75 Hãy so sánh hai số : a = 3 − b=2 − ; 76 So sánh + +1 + − − − số 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ 77 Rút gọn biểu thức : Q = 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x − y + y − x = 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A = − x + + x 81 Tìm giá trị lớn : M = ( a+ b ) với a, b > a + b 82 CMR số 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd có hai số d- ương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N = + + + 18 84 Cho x + y + z = xy + yz + zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2aan = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) 2n 86 Chứng minh : ( a+ b ) ≥ 2(a + b) ab (a, b 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác 88 Rút gọn : a) A = ab − b a − b b (x + 2) − 8x b) B = x− x Trang: 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS a2 + ≥ Khi có 89 Chứng minh với số thực a, ta có : a2 +1 đẳng thức ? 90 Tính : A = + + − hai cách +5 6,9 b) 2+ 2− + 92 Tính : P = + 2+ − 2− 91 So sánh : a) 13 − 12 7− 93 Giải phương trình : x + + 2x − + x − − 2x − = 2 1.3.5 (2n − 1) < 94 Chứng minh ta ln có : Pn = ; ∀n ∈ Z+ 2.4.6 2n 2n + a2 b2 a+ b≤ + b a 95 Chứng minh a, b > 96 Rút gọn biểu thức : A= x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1)   1 − ÷  x −1 x − 4(x − 1) a b +b a : =a−b ab a− b 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) (a, b > ; a b)  14 − 15 −  b)  + = −2 ÷: 1−  −  1−  a + a  a − a  c) 1 + ÷1 − ÷= − a a +  a −1   (a > 0) 98 Tính : a) − − 29 − 20 ; b) + − 13 + 48  c)  + 48 −  99 So sánh : a) + 15 c)  28 − 16 ÷ + 48  b) + 15 12 + 16 d) 25 18 + 19 100 Cho đẳng thức : a± b = a + a2 − b a − a − b (a, b > a2 b > 0) ± 2 Áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2+ + 2+ + 2− − 2− ; b) 3−2 17 − 12 2 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : Trang: − 3+ 2 17 + 12 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS a) A = b) B = xy − x − y − 1 1 1  xy + x − y − a + bx + a − bx a + bx − a − bx 1    với x =  a + ÷ , y =  b + ÷ a b (a > ; b > 1) 2am với x = b + m , m < ( ) 2x − x − 3x − 4x + 102 Cho biểu thức P(x) = a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 103 Cho biểu thức A= x+2−4 x −2 + x+2+4 x −2 4 − +1 x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a) − x b) x − x (x > 0) e) − − 3x c) + − x g) 2x − 2x + d) x − − h) − − x + 2x + i) 2x − x + 105 Rút gọn biểu thức : A = x + 2x − − x − 2x − , ba cách ? 106 Rút gọn biểu thức sau : a) b) + 48 − 10 + 4 + 10 + + − 10 + c) 107 Chứng minh đẳng thức với b ; a a) ( a + b ± a − b = a ± a2 − b ) 94 − 42 − 94 + 42 b b) a + a2 − b a − a2 − b a± b = ± 2 108 Rút gọn biểu thức : A = x + 2x − + x − 2x − 109 Tìm x y cho : x + y − = x + y − a + b2 + c2 + d ≥ 110 Chứng minh bất đẳng thức : ( a + c) + ( b + d) a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ 111 Cho a, b, c > Chứng minh : b+c c+a a +b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a + + b + + c + < 3,5 113 CM : (a + c2 ) ( b2 + c2 ) + b) (a a+b + b+c + c+a ≤ + d ) ( b + d ) ≥ (a + b)(c + d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A = x + x Trang: 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS (x + a)(x + b) 115 Tìm giá trị nhỏ : A = x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 = 117 Tìm giá trị lớn A = x + − x 118 Giải phương trình : x − − 5x − = 3x − 119 Giải phương trình : x + x − + x − x − = 120 Giải phương trình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 121 Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : − ; 2+ 123 Chứng minh x − + − x ≤ 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a + b b + c ≥ b(a + c) với a, b, c > 125 Chứng minh (a + b)(c + d) ≥ ac + bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập đợc thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập đợc thành tam giác (a + b) a + b + ≥ a b + b a với a, b 127 Chứng minh a b c + + > với a, b, c > 128 Chứng minh b+c a +c a+b 129 Cho x − y + y − x = Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A = 131 Tìm GTNN, GTLN A = 132 Tìm giá trị nhỏ A = 133 Tìm giá trị nhỏ A = 134 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 2x + − x x − x −1 + x + x −1 1− x + 1+ x x + + x − 2x + − x + 4x + 12 − − x + 2x + ( b) A = x 99 + 101 − x ) 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn a b + =1 x y (a b số dương) 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx + + với x, y, z > , x + y + z = z x y x2 y2 z2 + + 138 Tìm GTNN A = biết x, y, z > , x+y y+z z+x 137 Tìm GTNN A = xy + yz + zx = 139 Tìm giá trị lớn : a) A = ( a+ b Trang: ) với a, b > , a + b 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS b) B= ( a+ b ) +( a+ c ) +( a+ d ) +( b+ c ) +( b+ d ) +( c+ d ) với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = 141 Tìm GTNN A = b c + c+d a+b với b + c a + d ; b, c > ; a, d 142 Giải phương trình sau : a) x − 5x − 3x + 12 = d) x − − x + = b) x − 4x = x − e) x − x − − x − = g) x + 2x − + x − 2x − = h) x + − x − + x + − x − = i) x + x + − x = k) − x − x = x − l) 2x + 8x + + x − = 2x + m) x + = x − x − o) x − + x + + c) 4x + − 3x + = n) x + + x + 10 = x + + x + ( x − 1) ( x − 3x + ) = − 2x p) 2x + + x + + 2x + − x + = + x + q) 2x − 9x + + 2x − = 2x + 21x − 11 ( 143 Rút gọn biểu thức : A = 2 − + )( ) 18 − 20 + 2 144 Chứng minh rằng, ∀n ∈ Z+ , ta ln có : 1 + + + >2 n 1+ ( ) n +1 −1 145 Trục thức mẫu : a) 1+ + b) x + x +1 146 Tính : − − 29 − 20 a) b) + − 13 + 48 ( 147 Cho a = − + 148 Cho b = 3− 2 17 − 12 − )( ( c) ( − x) ) 3+ 2 17 + 12 ) −1 x − x + − = − x + ( x − 3) x − 5−x + x −3 − − 29 − 12 10 − Chứng minh a số tự nhiên b có phải số tự nhiên khơng ? 149 Giải phương trình sau : a) c) b) =2 ( ) −1 x = ( ) +1 x − 3 d) x + x − = 150 Tính giá trị biểu thức : M = 12 − 29 + 25 + 21 − 12 + 29 − 25 − 21 151 Rút gọn : A = 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ n −1 + n Trang: 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 1 1 − + − + 152 Cho biểu thức : P = 2− 3− 4− 2n − 2n + a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ khơng ? 1 1 + + + + +1 + + 100 99 + 99 100 1 + + + > n 154 Chứng minh : + n 155 Cho a = 17 − Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 153 Tính : A = 18a 17)2000 156 Chứng minh : a − a − < a − − a − (a 3) 157 Chứng minh : x − x + > (x 0) 158 Tìm giá trị lớn S = x − + y − , biết x + y = + 2a − 2a : A= + + + 2a − − 2a 159 Tính giá trị biểu thức sau với a = 160 Chứng minh đẳng thức sau : ( ) ( 10 − ) − 15 = ( + ) ( 10 − ) = d) a) + 15 c) − b) + = + 48 = 2 ( ( ) +1 ) + e) 17 − + = − 161 Chứng minh bất đẳng thức sau : 5+ 5− + − 10 < 5− 5+   +1 −  c)  + + ÷ 0, − 1,01 > ÷ −  + + + −   + −1 2− 3 3  d) + + + 3− >  ÷− 2+ 6 2− 2+  27 + > 48 a) 2+2 e) h) ( 3+ b) −1 + 5+ −2 ) − ( − > 1,9 ) g) 3+ 5+ − + + 2− < 0,8 < n − n − Từ suy ra: n 1 + + + < 2005 1006009 2+ 3+ 163 Trục thức mẫu : a) 2+ 3+ 6+ 8+4 3+ 3− y= 164 Cho x = 3− 3+ 2004 < + Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 Trang: 10 b) 2+ + 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS  (x + 2) − 8x ≥  x >  ⇔ b) Điều kiện :  x > Với điều kiện : x ≠   x− ≠0  x  B= (x + 2) − 8x (x − 2) x x − x = = x−2 x−2 x− x  Nếu < x < | x | = -(x 2) B =  Nếu x > | x | = x B = x 89 Ta có : a + = 2 ( ) a2 +1 +1 a +1 x a +1 = a2 +1 + Áp dụng bất đẳng thức a +1 Cauchy: a2 +1 + a2 +1 ≥2 a + 1 a2 +1 = Vậy a2 + a2 +1 ≥ Đẳng thức xảy : a2 +1 = 93 Nhân vế pt với a2 +1 ⇔ a = , ta : 2x − + + 2x − − = ⇔ x ≥ 5/2 94 Ta chứng minh qui nạp toán học : 1 < (*) 1.3.5 (2k − 1) ⇔ < b) Giả sử : Pk < 2.4.6 2k 2k + 2k + a) Với n = ta có : P1 = (1) c) Ta chứng minh (*) n = k + , tức : 1.3.5 (2k + 1) ⇔ < (2) 2.4.6 (2k + 2) 2k + 2k + 2k + 2k + < Với số nguyên dương k ta có : (3) 2k + 2k + Pk +1 < Nhân theo vế bất đẳng thức (1) (3) ta đợc bất đẳng thức (2) Vậy ∀ n ∈ Z+ Ta có Pn = 1.3.5 (2n − 1) < 2.4.6 2n 2n + 95 Biến đổi tơng đơng : ⇔ a+ b≤ a+ b≤ a2 b2 a + b3 + ⇔ a+ b≤ b a ab ( a + b)(a − ab + b) ⇔ ab ≤ a − ab + b ⇔ ab (đúng) Trang: 28 ( a− b ) ≥0 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS  x − 4(x − 1) ≥  1 < x <  x + 4(x − 1) ≥ ⇔ 96 Điều kiện :  x >  x − 4(x − 1) >  x − ≠ Xét hai khoảng < x < x > Kết : A = 2 A= 1− x x-1 105 Cách : Tính A Cách : Tính A2 Cách : Đặt 2x − = y 0, ta có : 2x = y2 y + + 2y y + − 2y y + y − 2x + 2x − 2x − 2x − A= − = − = − 2 2 2 (y + − y + 1) = Với y (tức x 1), A = 2y (y + + y − 1) = = y = 4x − Với y < (tức x < 1), A = 2 108 Nếu x A = 2 Nếu x A = x − 109 Biến đổi : x + y − + = x + y Bình phương hai vế rút gọn, ta đợc : 2(x + y − 2) = xy Lại bình phương hai vế rút gọn : (2 y)(x 2) = Đáp : x = , y , x , y = 110 Biến đổi tương đương : (1) ⇔ a2 + b2 + c2 + d2 + ⇔ (a (a + b2 ) ( c2 + d ) ac + bd + b2 ) ( c2 + d ) a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd (2) * Nếu ac + bd < 0, (2) chứng minh * Nếu ac + bd 0, (2) tơng đơng với : (a2 + b2)(c2 + d2) a2c2 + b2d2 + 2abcd ⇔ a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 + 2abcd ⇔ (ad bc)2 (3) Bất đẳng thức (3) đúng, bất đẳng thức (1) đợc chứng minh 111 Cách : Theo bất đẳng thức Cauchy : a2 b+c a2 b + c a a2 b+c + ≥2 = = a ⇒ ≥ a− b+c b+c b+c b2 a+c c2 a+b ≥ b− ; ≥ c− Tơng tự : a+c a+b Cộng vế bất đẳng thức : a2 b2 c2 a+b+c a+b+c + + ≥ ( a + b + c) − = b+c c+a a+b 2 Cách : Theo BĐT Bunhiacôpxki : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) (ax + by + cz)2 Ta có : Trang: 29 270 BÀI TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS  a   b 2  c    2  + +   X b + c + c+ a + a+ b  ≥ ÷ ÷ ÷    b + c   c + a   a + b     ( ) ( ) ( ) b c  a  b+c + c+a + a+ b÷ ⇒  c+a a+ b  b+c  2 2  a b c  a b c2 a+b+c + + + + ≥  ÷.[ 2(a + b + c)] ≥ (a + b + c) ⇒ b+c c+a a+b  b+c c+a a+ b 112 a) Ta nhìn tổng a + dạng tích 1.(a + 1) áp dụng bđt xy ≤ Cauchy : x+y (a + 1) + a = +1 2 b c Tơng tự : b + = + ; c + = + 2 a+b+c + = 3,5 Cộng vế bất đẳng thức : a + + b + + c + ≤ a + = 1.(a + 1) ≤ Dấu = xảy ⇔ a + = b + = c + ⇔ a = b = c = 0, trái với giả thiết a + b + c = Vậy : a + + b + + c + < 3,5 b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki với hai ba số : ( a + b + b + c + c + a ⇒ ( ) a+ b + b+c + c+a ) ≤ (1 + + 1)X    ( a+b ) +( b+c ) +( ) c+a    3(a + b + b + c + c + a) = 6⇒ a+b + b+c + c+a ≤ C 113 Xét tứ giác ABCD có AC ⊥ BD, O giao điểm hai đờng chéo OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d với a, b, c, d > Ta có : B AB = a2 + c2 ; BC = b + c2 ; AD = a2 + d ; CD = b + d a A AC = a + b ; BD = c + d Cần chứng minh : AB.BC + AD.CD AC.BD Thật ta có : AB.BC 2SABC ; AD.CD 2SADC Suy : Suy : AB.BC + AD.CD 2SABCD = AC.BD Vậy : (a + c ) ( b + c2 ) + (a + d ) ( b2 + d ) ≥ (a + b)(c + d) Chú ý : Giải cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : (m2 + n2)(x2 + y2) (mx + ny)2 với m = a , n = c , x = c , y = b ta có : (a2 + c2)(c2 + b2) (ac + cb)2 ⇒ Tơng tự : (a + d ) ( d + b2 ) (a + c2 ) ( c2 + b ) ac + cb (1) ad + bd (2) Cộng (1) (2) suy đpcm 1 1  114 Lời giải sai : A = x + x =  x + ÷ − ≥ − Vaäy A = − 2 4  Trang: 30 b c O d D 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TỐN THCS Phân tích sai lầm : Sau chứng minh f(x) - , chia trường hợp xảy f(x) = Xảy dấu đẳng thức x = − Vơ lí Lời giải : Để tồn x phải có x Do A = x + x A = ⇔ x = (x + a)(x + b) x + ax + bx + ab  ab  = =  x + ÷+ (a + b) x x x   ab Theo bất đẳng thức Cauchy : x + ≥ ab nên A ab + a + b = x ab  2 x = a + b A = a + b chi  x ⇔ x = ab x >  115 Ta có A = ( ) ( ) 116 Ta xét biểu thức phụ : A2 = (2x + 3y)2 Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacôpxki : (am + bn)2 (a2 + b2)(m2 + n2) (1) Nếu áp dụng (1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có : A2 = (2x + 3y)2 (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2) Vói cách ta không đợc số mà A2 Bây giờ, ta viết A2 dới dạng : A2 = ( A2 =    Do A2 2x + 3y ) áp dụng (1) ta có : ( ) + ( )  ( x ) + ( y )   2 2  = (2 + 3)(2x + 3y ) ≤ 5.5 = 25   x = y ⇔ x = y = −1 25 nên -5 A A = -5 ⇔  2x + 3y =  x = y ⇔ x = y =1 max A = ⇔  2x + 3y = 117 Điều kiện x Đặt − x = y 0, ta có : y2 = x 1 9  a = − y + y = −  y − ÷ + ≤ ⇒ max A = ⇔ y = ⇔ x = 2 4 4  118 Điều kiện x ; x 1/5 ; x 2/3 ⇔ x Chuyển vế, bình phương hai vế : x = 5x + 3x + 15x − 13x + (3) Rút gọn : 7x = 15x − 13x + Cần có thêm điều kiện x 2/7 Bình phơng hai vế : 28x + 49x2 = 4(15x2 13x + 2) ⇔ 11x2 24x + = (11x 2)(x 2) = ⇔ x1 = 2/11 ; x2 = Cả hai nghiệm không thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình cho vơ nghiệm 119 Điều kiện x Phương trình biến đổi thành : Trang: 31 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS x −1 + 1+ x −1 −1 = ⇔ x −1 + x −1 −1 = * Nếu x > : x − + x − − = ⇔ x − = x = , không thuộc khoảng xét * Nếu x : x − + − x − + = Vô số nghiệm x Kết luận : x 2 120 Điều kiện : x + 7x + Đặt x + 7x + = y ⇒ x2 + 7x + = y2 Phơng trình cho trở thành : 3y2 + 2y = ⇔ 3y2 + 2y = ⇔ (y 1) (3y + 5) = ⇔ y = - 5/3 (loại) ; y = Với y = ta có x + 7x + = ⇒ x2 + 7x + = ⇔ ⇔ (x + 1)(x + 6) = Các giá trị x = - 1, x = - thỏa mãn x2 + 7x + nghiệm (1) 121 Vế trái : 3(x + 1)2 + + 5(x + 1)2 + ≥ + = Vế phải : 2x x2 = (x + 1)2 Vậy hai vế 5, x = - Với giá trị hai bất đẳng thức trở thành đẳng thức Kết luận : x = - 122 a) Giả sử − = a (a : hữu tỉ) ⇒ - = a ⇒ − a2 6= Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ Vơ lí Vậy − số vô tỉ b) Giải tơng tự câu a 123 Đặt x − = a, − x = b, ta có a2 + b = Sẽ chứng minh a + b a2 + b2 + ; b≤ Cộng vế bất đẳng thức : a ≤ 2 A 124 Đặt đoạn thẳng BH = a, HC = c đờng thẳng b Kẻ HA ⊥ BC với AH = b Dễ thấy AB.AC 2SABC = BC.AH c a B 125 Bình phương hai vế rút gọn, ta đợc bất đẳng thức tương đương : (ad bc)2 Chú ý : Cũng chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki 126 Giả sử a b c > Theo đề : b + c > a Suy : b + c + bc > a ⇒ ⇒ ( b+ c ) > ( a) 2 ⇒ b+ c> a Vậy ba đoạn thẳng có độ dài b , c , a lập thành tam giác 127 Ta có a, b Theo bất đẳng thức Cauchy : (a + b)2 a + b a + b  1 1  + =  a + b + ÷ ≥ ab  a + b + ÷  2 2  1  Cần chứng minh : ab  a + b + ÷ a b + b a Xét hiệu hai vế : 2  Trang: 32 C 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 1    ab  a + b + ÷ - ab a + b = ab  a + b + − a − b ÷ = = 2    2  1  1  ab  a − ÷ +  b − ÷  2  2     Xảy dấu đẳng thức : a = b = a = b = b+c b+c+a b+c  ≤  + ÷: = 128 Theo bất đẳng thức Cauchy : a 2a  a  ( ) a 2a b 2b c 2c ≥ ≥ ; ≥ Tương tự : b+c a+b+c a+c a+b+c a+b a+b+c a b c 2(a + b + c) + + ≥ = Cộng vế : b+c c+a a+b a+b+c a = b + c  Xảy dấu đẳng thức :  b = c + a ⇒ a + b + c = , trái với giả thiết a, b, c > c = a + b  Do : Vậy dấu đẳng thức khơng xảy 129 Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacơpxki Ta có : ( x − y2 + y − x2 ) ≤ ( x2 − y2 ) ( − y2 + − x2 ) Đặt x2 + y2 = m, ta đợc : 12 m(2 - m) ⇒ (m 1)2 ⇒ m = (đpcm) Cách : Từ giả thiết : x − y = − y − x Bình phương hai vế : x2(1 y2) = 2y − x + y2(1 x2) ⇒ x2 = 2y − x + y2 = (y - − x )2 ⇒ y = − x ⇒ x2 + y2 = 130 Áp dụng | A | + | B | | A + B | A = ⇔ x 131 Xét A2 = + − x Do − x ⇒ 2 + − x ⇒ A2 A = với x = , max A = với x = 132 Áp dụng bất đẳng thức : a2 + b2 + c2 + d ≥ (a + c)2 + (b + d)2 (bài 23) A = x + 12 + (1 − x)2 + 2 ≥ (x + − x)2 + (1 + 2)2 = 10 1− x A = 10 ⇔ =2 ⇔ x= x −x + 4x + 12 ≥ (x + 2)(6 − x) ≥  ⇔  ⇔ −1 ≤ x ≤ 133 Tập xác định :  −x + 2x + ≥ (x + 1)(3 − x) ≥  (1) Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + Do (1) nên 2x + > nên A > Xét : A = ( ) (x + 2)(6 − x) − (x + 1)(3 − x) Hiển nhiên A2 ≥ dấu = khơng xảy (vì A > 0) Ta biến đổi A dới dạng khác : Trang: 33 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS A2 = (x + 2)(6 x) + (x + 1)(3 x) - (x + 2)(6 − x)(x + 1)(3 − x) = = (x + 1)(6 x) + (6 x) + (x + 2)(3 x) (3 x) - (x + 2)(6 − x)(x + 1)(3 − x) = (x + 1)(6 x) + (x + 2)(3 x) - (x + 2)(6 − x)(x + 1)(3 − x) + = ( (x + 1)(6 − x) − (x + 2)(3 − x) ) +3 A2 Do A > nên A = với x = 134 a) Điều kiện : x2 * Tìm giá trị lớn : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : A2 = (2x + − x )2 (22 + 11)(x2 + x2) = 25 ⇒ A2 25 x ≥ x   = 5−x A = 25 ⇔  ⇔ x = 4(5 − x ) ⇔ x = x2 ≤ x2 ≤   Với x = A = Vậy max A = với x = * Tìm giá trị nhỏ : Chú ý từ A2 25, ta có x 5, không xảy A2 = - Do tập xác định A, ta có x2 ⇒ - x Do : 2x - − x Suy : A = 2x + − x - Min A = - với x = - b) Xét biểu thức phụ | A | áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cauchy : A =x ( ) 99 99 + 101 − x ≤ x (99 + 1)(99 + 101 − x ) = x 10 200 − x < x + 200 − x = 1000 x ≤ 101  99  99 A = 1000 ⇔  = ⇔ x = ±10 Do : - 1000 < A < 1000 101 − x  x = 200 − x  < 10 A = - 1000 với x = - 10 ; max A = 1000 với x = 10 a b ay bx 135 Cách : A = x + y = 1.(x + y) =  + ÷( x + y ) = a + + + b x y x y Theo bất đẳng thức Cauchy với số dơng : Do A ≥ a + b + ab = ( ) ay bx ay bx + ≥2 = ab x y x y a+ b Trang: 34 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS  ay bx x = y   x = a + ab a b  A = a + b với  + = ⇔   y = b + ab x y   x, y >   ( ) Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : a b  a b A = (x + y).1 = (x + y)  + ÷ ≥  x + y ÷ = x y x y  ( ) a+ b Từ tìm đợc giá trị nhỏ A 136 A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz ≥ xyz(x + y + z) = A = chẳng hạn y = z = , x = - xy yz xy yz + ≥2 = 2y z x z x 137 Theo bất đẳng thức Cauchy : yz zx zx xy + ≥ 2z ; + ≥ 2x Suy 2A 2(x + y + z) = x y y z A = với x = y = z = 2 x y z x+y+z + + ≥ 138 Theo tập 24 : Theo bất đẳng thức x+y y+z z+x Tơng tự : Cauchy : xy + yz + zx x+y y+z z+x x+y+z ≥ xy ; ≥ yz ; ≥ zx nên ≥ = 2 2 2 1 ⇔ x=y=z= A = 139 a) A = a+ b ) ≤( a+ b ) +( a− b ) = 2a + 2b ≤  a= b  max A = ⇔  ⇔ a=b= a + b =  ) ≤ ( a + b ) + ( a − b ) = 2(a ( a + c ) ≤ 2(a + c + 6ac) ; ( a + d ) Tơng tự : ( b + c ) ≤ 2(b + c + 6bc) ; ( b + d ) ( c + d ) ≤ 2(c + d + 6cd) b) Ta có : ( ( a+ b 4 4 2 2 2 + b + 6ab) ≤ 2(a + d + 6ad) ≤ 2(b + d + 6bd) Suy : B 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 Trang: 35 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS  a= b= c= d  max B = ⇔  ⇔ a=b=c=d= a + b + c + d =  140 A = 3x + 3y ≥ 3x.3y = 3x + y = 34 = 18 A = 18 với x = y = 141 Khơng tính tổng qt, giả sử a + b c + d Từ giả thiết suy : a+b+c+d b c b+c  c c  a +b+c+d c+d c+d  A= + = − − − − ÷≥ ÷ c+d a +b c+d c+d a+b 2(c + d) c+d a +b b+c≥ Đặt a + b = x ; c + d = y với x y > 0, ta có : A≥ x+y y y x y  x y x y 1 − + = + −1+ =  + ÷− ≥ − = 2− 2y y x 2y x  2y x  2y x 2 A = − ⇔ d = , x = y , b + c ≥ a + d ; chẳng hạn a = + 1, b = − 1,c = 2,d = 142 a) (x − 3) + ( x − 3) = Đáp số : x = b) Bình phơng hai vế, đa : (x2 + 8)(x2 8x + 8) = Đáp số : x = + 2 c) Đáp số : x = 20 d) x − = + x + Vế phải lớn vế trái Vô nghiệm e) Chuyển vế : x − x − = + x − Bình phương hai vế Đáp số : x = 1 x h) Đặt x − = y Đa dạng y − + y − = Chú ý đến bất đẳng thức : y − + − y ≥ y − + − y = Tìm đợc y Đáp số : x 11 g) Bình phương hai vế Đáp số : i) Chuyển vế : x + − x = − x , bình phương hai vế Đáp : x = (chú ý loại x = 16 ‌) 25 k) Đáp số : 16 25 l) Điều kiện : x x = - Bình phương hai vế rút gọn : 2(x + 1) (x + 3)(x − 1) = x − Bình phương hai vế : 8(x + 1)2(x + 3)(x 1) = (x + 1)2(x 1)2 ⇔ (x + 1)2(x 1) (7x + 25) = 0; x = − 25 loại Nghiệm : x = m) Vế trái lớn x, vế phải không lớn x Phương trình vơ nghiệm n) Điều kiện : x - Bình phương hai vế, xuất điều kiện x - Nghiệm : x = - o) Do x nên vế trái lớn 2, vế phải nhỏ Suy hai vế 2, x = 1, thỏa mãn phương trình Trang: 36 270 BÀI TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS p) Đặt 2x + + x + = y ; 2x + − x + = z (1) Ta có : y − z = + x + ; y + z = + x + Suy y z = Từ z = x + (2) Từ (1) (2) tính đợc x Đáp số : x = (chú ý loại x = - 1) q) Đặt 2x2 9x + = a ; 2x b Phương trình : a + b = a + 15b Bình phương hai vế rút gọn ta đợc : b = b = a Đáp số : 144 Ta có : 2 = > = k k k + k +1 ( ( k +1 − k k +1 + k )( ) k +1 − k ) =2 ( ;5 ) k +1 − k Vậy : 1+ 1 + + + > 2( − 1) + 2( − 2) + 2( − 3) + + 2( n + − n ) = n = 2( n + − 1) (đpcm) 150 Đa biểu thức dới dấu dạng bình phương M = -2 151 Trục thức mẫu hạng tử Kết : A = n - 1 152 Ta có : a − a +1 = −( a + a + 1) ⇒ P = −( + 2n + 1) P số hữu tỉ (chứng minh phản chứng) 1 = − ⇒ A= 10 (n + 1) n + n n + n n +1 1 1 + + + + > n = n 154 + n n 155 Ta có a + = 17 Biến đổi đa thức ngoặc thành tổng lũy thừa 153 Ta chứng minh : số a + A = [(a + 1)5 3(a + 1)4 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 14(a + 1)]2000 = (259 17 - 225 17 - 34 17 - 1)2000 = 156 Biến đổi : a − a −1 = a + a −1 ; a −2 − a −3 = a −2 + a −3 1  1  1 157 x − x + = x − x + + x − x + =  x − ÷ +  x − ÷ ≥ 4  2  2 1 Dấu = khơng xảy khơng thể có đồng thời : x = x = 2 168 Trớc hết ta chứng minh : a + b ≤ 2(a + b ) (*) (a + b 0) Áp dụng (*) ta có : S = x − + y − ≤ 2(x − + y − 2) = Trang: 37 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS  x = x −1 = y −  max S = ⇔  ⇔ x + y = y =   * Có thể tính S2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy 180 Ta phải có | A | Dễ thấy A > Ta xét biểu thức : B= = − − x Ta có : A ≤ − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ = 2+ ⇔ B = − ⇔ = − x ⇔ x = Khi max A = 2− ⇔ max B = ⇔ − x = ⇔ x = ± Khi A = 2x − x + 181 Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : B = 1− x x Khi :  2x − x = (1) 2x − x  B≥2 = 2 B = 2 ⇔ 1 − x x 1− x x 0 < x < (2)  2 Giải (1) : 2x = (1 x) ⇔ | x | = | x | Do < x < nên x = x ⇔ = − +1 Nh B = 2 ⇔ x = -  x= Bây ta xét hiệu :   2x − x  − 2x − + x  A−B= + ÷−  + + = +1 = ÷= x  1− x x 1− x x  1− x Do A = 2 + x = - 182 a) Điều kiện : x , y Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng : a+b ≥ ab Ở ta muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức : a + b ≤ 2(a + b ) A = x − + y − ≤ 2(x − + y − 3) = x − = y −  x = 1,5 max A = ⇔  ⇔  x + y =  y = 2,5 Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy b) Điều kiện : x , y Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích : ab ≤ a+b Trang: 38 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Ta xem biểu thức x − , y − tích : x − = 1.(x − 1) , y − = 2(y − 2) x − 1.(x − 1) + x − 1 = ≤ = Theo bất đẳng thức Cauchy : x x 2x y−2 2.(y − 2) + y − 2 = ≤ = = y y 2y 2 x − = x = 2 2+ max B = + = ⇔  ⇔  4 y − = y = 1 ,b= Ta thấy 1997 + 1996 1998 + 1997 1997 + 1996 < 1998 + 1997 183 a = Nên a < b 184 a) A = - với x = max A = b) B = với x = max B = với x = với x = x + (1 − x ) = 185 Xét x A Xét x A = x (1 − x ) ≤ 2 2 x = − x max A = ⇔  ⇔ x= 2 x > 2 186 A = | x y | 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki :    1 A = (x − y) = 1.x − 2y ÷ ≤ 1 + ÷(x + 4y ) =    4 2   5  2y x = − x =  =−   5 max A = ⇔ x ⇔    x + 4y = y = y = −    10 10   187 a) Tìm giá trị lớn : Từ giả thiết :  0 ≤ x ≤ x ≤ x ⇔  ⇔ x + y3 ≤ x + y =  y ≤ y 0 ≤ y ≤  x = x  max A = ⇔  ⇔ x = 0, y = V x = 1, y = y = y  b) Tìm giá trị nhỏ : (x + y)2 2(x2 + y2) = ⇒ x + y Do : Trang: 39 ⇒ x+y ≤ 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS ( x + y3 ) ( x + y ) Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki : 3 x +y ≥ 2 2 2   (x + y3 )(x + y) =  x + y   x + y  ≥ x x + y y = (x2      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + y2) = A = ⇔ x=y= 2 188 Đặt x = a ; y = b , ta có a, b 0, a + b = A = a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) = a2 ab + b2 = (a + b)2 3ab = 3ab Do ab nên A max A = ⇔ a = b = ⇔ x = x = 1, y = Ta có ab ≤ (a + b) 1 1 = ⇒ ab ≤ ⇒ − 3ab ≥ A = ⇔ x = y = 4 4 4 189 Điều kiện : x , x nên x Ta có : x −1 =3 x−2 − x + (x − 1)(x − 2) − (x − 1)(x − 2) = ⇔ − x = ⇔ x = −8 − x + (x − 1)(x − 2) − x − ⇔ 190 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phơng trình xác định với giá trị x Đặt x + 2x + = y 0, phơng trình có dạng : y = y2 - y - 12 = ⇔ (y - )(y + 2 ) = ⇔   y = −2 (loai y ≥  Do x + 2x + = ⇔ x2 + 2x + = 18 ⇔ (x 3)(x + 5) = ⇔ x = ; x = -5 191 Ta có : 1   1   1 = k = k − + − ÷= k  ÷ ÷ (k + 1)k (k + 1) k k +  k k +1   k k +1  k  k  1  1   − < 2 − = 1 + ÷ Do : ÷ ÷ k +1  k k +1  (k + 1) k k +1   k  Vậy : 1 1       + + + + < 1 − − − ÷+  ÷ ÷+ +  (n + 1) n 2 3 n +1    n    = 1 − ÷ < (đpcm) n +1   > 192 Dùng bất đẳng thức Cauchy (a, b > ; a 0) ab a + b 193 Đặt x y = a , x + y = b (1) a, b ∈ Q a) Nếu b = x = y = 0, x , y ∈ Q Trang: 40 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS x−y a a = ⇒ x − y = ∈ Q (2) b) Nếu b b x+ y b 1 a x = b + ÷ ∈ Q ; 2 b Từ (1) (2) : 199 Nhận xét : ( x+ x +a 2 )≤ ( x2 + a2 + x )( ) x + a − x = a Do : ( 5a 1 a y = b− ÷∈ Q 2 b (1) ⇔ x + x + a x2 + a2 2 )≤ ( x2 + a2 + x x + a + x > x + x = x + x ≥ Suy : Do a nên : )( x2 + a2 − x x2 + a2 x + a + x > , ∀x Vì : (1) ⇔ x2 + a2 ≤ ( x ≤  x + a − x ⇔ 5x ≤ x + a ⇔   x >  25x ≤ 9x + 9a  ) x ≤ ⇔ ⇔ x≤ a 0 < x ≤ a  − 2a 207 c) Trước hết tính x theo a đợc x = Sau tính + x a(1 − a) a(1 − a) Đáp số : B = d) Ta có a + = a + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tơng tự : b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp số : M = 2 2x + Suy điều phải chứng minh x 1 209 Ta có : a + b = - , ab = - nên : a2 + b2 = (a + b)2 2ab = + = 2 17 a4 + b4 = (a2 + b2)2 2a2b2 = − = ; a3 + b3 = (a + b)3 3ab(a + b) = - =− 4 17   239 Do : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) a3b3(a + b) = − −  − ÷( −1) = −  64  64 208 Gọi vế trái A > Ta có A = 210 a) a = ( − 1) = − 2 = − a = ( − 1)3 = 2 − + − = − = 50 − 49 b) Theo khai triển Newton : (1 - )n = A - B ; (1 + )n = A + B với A, B ∈ N Suy : A2 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + )(1 - )]n = (- 1)n Nếu n chẵn A2 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 2B2 = - (2) Trang: 41 ) 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Bây ta xét an Có hai trường hợp : * Nếu n chẵn : an = ( - 1)n = (1 - )n = A - B = A − 2B2 Điều kiện A2 2B2 = đợc thỏa mãn (1) * Nếu n lẻ : an = ( - 1)n = - (1 - )n = B - A = 2B2 − A Điều kiện 2B2 A2 = đợc thỏa mãn (2) 211 Thay a = vào phương trình cho : 2 + 2a + b + c = (b + 2) = -(2a + c) ⇔ Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình cho : x3 + ax2 2x 2a = ⇔ x(x2 2) + a(x2 2) = ⇔ (x2 2)(x + a) = Các nghiệm phương trình cho là: - a 1 + + + n a) Chứng minh A > n − : Làm giảm số hạng A : 2 = > = k +1 − k k k+ k k +1 + k Do A >  − + + − + + + − n + n +  =   212 Đặt A = ( =2 ( ( ) ) ( ) ) ( ) n +1 − = n +1 − 2 > n +1 − > n − b) Chứng minh A < n − : Làm trội số hạng A : ( ) ( ) 2 = < = k − k −1 k k+ k k + k −1 Do : A <  n − n − + + − + −  = n −   ( ) ( ) 213 Kí hiệu a n = + + + + có n dấu Ta có : a1 = < ; a = + a1 < + = ; a = + a < + = a100 = + a 99 < + = Hiển nhiên a100 > > Nh < a100 < 3, [ a100 ] = 214 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + )2 = + Ta có = 48 nên < < ⇒ 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + )2 x = + Xét biểu thức y = (2 - )2 y = - Suy x + y = 14 Dễ thấy < - < nên < (2- )2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 b) Đáp số : [ a3 ] = 51 215 Đặt x y = a ; x + y = b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : Trang: 42 ... x − = 120 Giải phương trình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 121 Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : − ; 2+ 123 Chứng minh x − + − x ≤ 124 Chứng... 2+ + 2− − 2− ; b) 3−2 17 − 12 2 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : Trang: − 3+ 2 17 + 12 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS a) A = b) B = xy −... giá trị biểu thức : M = 12 − 29 + 25 + 21 − 12 + 29 − 25 − 21 151 Rút gọn : A = 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ n −1 + n Trang: 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 1 1 − + − + 152