GTLN-GTNN nâng cao (hay)

Trang 1 VỀ MỘT CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA HAI BIẾN SỐ Đỗ Bá Chủ - Thái Bình tặng www.mathvn.com Bài viết này chúng tôi xin trao đổi về một phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức chứa hai biến số nhờ tập giá trị, trong đó hai biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước . Bài toán : Cho các số thực x , y thoả mãn điều kiện : G(x ; y) = 0 . Tìm GTLN , GTNN (nếu có) của biểu thức P = F(x ; y). Phương pháp giải : Gọi T là tập giá trị của P. Khi đó, m là một giá trị của T khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm (x; y): G(x;y) 0 F(x;y) m      Sau đó tìm các giá trị của tham số m để hệ trên có nghiệm . Từ đó suy ra tập giá trị T của P , rồi suy ra GTLN , GTNN (nếu có) của P. Sau đây là các bài toán minh hoạ . Bài toán 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn điều kiện :   3 3 3 3 3 x( x 1) y y 1 xy    Tìm GTLN , GTNN của biểu thức 3 3 3 F x y xy   . Lời giải : Gọi T 1 là tập giá trị của F . Ta có 1 m T  hệ sau có nghiệm:   3 3 3 3 3 3 3 3 x( x 1) y y 1 xy x y xy m             (I) Đặt 3 3 3 S x y P xy         thì x,y  S,P : 2 S 4P Hệ (I) trở thành 2 2 S S 3P 0 S 2S 3m 0 (II) S P m P m S                  Ta có : 2 2 2 2 4(S S) S 4P S S 4S 0 0 S 4 3           Từ đó , hệ (I) có nghiệm  hệ (II) có nghiệm ( S ; P ) thoả mãn 2 S 4P  phương trình 2 S 2S 3m 0   có nghiệm S : 0 S 4  , điều này xảy ra khi và chỉ khi S 1 2 1 3m 0 1 m 3 0 S 1 1 3m 4 1 1 3m 5 0 S 1 1 3m 4                                        0 m 8   . Do đó :    1 T 0;8 Vậy : minF = 0 , maxF = 8. Bài toán 2 : Cho các số thực x, y thoả mãn : 3 2 2 x - xy + y Tìm GTLN , GTNN của biểu thức 2 2 G = x + xy - 2y Lời giải : Gọi T 2 là tập giá trị của G . Ta có   2 m T hệ sau có nghiệm: 3     2 2 2 2 x - xy + y x + xy -2y = m (III) Trang 2 Nếu y = 0 thì hệ (III) trở thành        2 2 3x x m          3 3 x m Nếu y  0 thì đặt x = ty ta có hệ : 2 2 2 2 2 2 2 2 3 y y (t t 1) 3 t t 1 y (t t 2) m 3(t t 2) m t t 1                              2 2 3 y t t 1 (m 3)t (m 3)t m 6 0                 (IV) Trường hợp này hệ (III) có nghiệm  hệ (IV) có nghiệm y  0  phương trình 2 (m 3)t (m 3)t m 6 0      (2) có nghiệm :  Nếu m = 3 thì (2) có nghiệm t = 3 2  Nếu m  3 thì (2) có nghiệm  2 t 3m 6m 81 0      1 2 7 m 1 2 7       (m  3 ) Kết hợp các trường hợp trên ta được các giá trị của m để hệ (III) có nghiệm là : 1 2 7 m 1 2 7      . Do đó:          2 T 1 2 7 ; 1 2 7 Vậy : minG = 1 2 7  , maxG = 1 2 7  Bài toán 3 : (Tuyển sinh đại học khối A năm 2006 ) Cho hai số thực thay đổi x  0 , y  0 thoả mãn : 2 2 (x y)xy x y xy    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 1 1 A x y   Lời giải : Gọi T 3 là tập giá trị của A . Ta có   3 m T hệ sau có nghiệm x  0 , y  0 : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 (x y)xy x y xy (x y)xy x y xy (x y)xy x y xy 1 1 (x y)(x y xy) xy(x y) m m m x y (xy) (xy)                                      2 2 (x y)xy (x y) 3xy x y ( ) m xy             (V) Đặt S x y P xy       ( 2 S 4P ) , ta có hệ : 2 2 SP S 3P S ( ) m P         (VI) Hệ (V) có nghiệm x  0 , y  0  hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả mãn 2 S 4P . Vì 2 2 2 2 1 3 SP x y xy (x y) y 0 2 4        với mọi x  0 , y  0 S 0 P   với mọi x  0 , y  0 Từ đó :  Nếu m 0 thì hệ (V) vô nghiệm  Nếu m > 0 thì từ phương trình 2 S S ( ) m m P P    S m.P  thay vào phương trình đầu của hệ (VI) được : 2 2 mP mP 3P (m m)P 3     ( vì SP > 0 nên P  0 ) Trang 3 Để có P từ phương trình này thì m m 0 m 1    ( m > 0 ) và ta được 3 P m( m 1)   , do đó 3 S m 1   . Trường hợp này hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả mãn 2 S 4P khi và chỉ khi : 2 3 12 ( ) m 1 m( m 1)    2 4( m 1) 3 3 m 4( m 1) m 4 m( m 1)          0 m 16 (m 1)    Tóm lại các giá trị của m để hệ (V) có nghiệm x  0 , y  0 là : 0 m 16 ,m 1   Do đó :     3 T 0;16 \ 1 Vậy : maxA = 16 ( chú ý không tồn tại minA ) Bài toán 4 : ( HSG quốc gia - Bảng A + B năm 2005 ) Cho hai số thực x, y thoả mãn : x 3 x 1 3 y 2 y     Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức K x y  Lời giải : ĐKXĐ : x 1,y 2    Gọi T 4 là tập giá trị của K . Ta có 4 m T  hệ sau có nghiệm: 3( x 1 y 2) m x 3 x 1 3 y 2 y (VII) x y m x y m                         Đặt u x 1  và v y 2  thì u,v 0 và hệ (VII) trở thành : 2 2 2 m u v 3(u v) m 3 u v m 3 1 m uv ( m 3) 2 9                       u , v là hai nghiệm của phương trình : 2 2 2 2 m 1 m t t ( m 3) 0 18t 6mt m 9m 27 0 3 2 9            (3) Từ đó , hệ (VII) có nghiệm ( x ; y ) sao cho x 1,y 2    khi và chỉ khi (3) có hai nghiệm không âm và điều kiện là : 2 t t 2 t 9(m 18m 54) 0 m 9 3 21 S 0 m 9 3 15 3 2 m 9m 27 P 0 18                            . Do đó 4 9 3 21 T ;9 3 15 2          Vậy : minK = 9 3 21 2  , maxK = 9 3 15 Bình luận: Ưu thế của phương pháp trên là quy bài toán tìm GTLN, GTNN về bài toán tìm tham số để hệ có nghiệm , vì vậy không cần chỉ rõ giá trị của biến số để biểu thức đạt GTLN, GTNN . Nếu dùng các bất đẳng thức để đánh giá thì nhất thiết phải chỉ rõ các giá trị của biến số để tại đó biểu thức đạt GTLN, GTNN. Các bạn có thể mở rộng phương pháp này cho biểu thức có nhiều hơn hai biến số . Cuối cùng là các bài tập minh hoạ phương pháp trên : Bài 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn : 2 2 2( ) 7x y x y    . Trang 4 Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức     3 3 P x(x 2) y(y 2) Bài 2 : Cho các số thực x, y thoả mãn : 2 2 4x - 3xy + 3y = 6 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2 2 F x xy 2y   Bài 3 : Cho các số thực không âm x , y thoả mãn : x y 4  . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 1 9Q x y    Bµi 4 : Cho các số dương x , y thoả mãn : xy x y 3   Tìm GTLN của biểu thức 2 2 3x 3y G x y y 1 x 1       Bµi 5 : (Cao đẳng kinh tế kỹ thuật năm 2008) .Cho hai số x , y thoả m ãn : 2 2 x y 2  Tìm GTLN , GTNN c ủa biểu thức 3 3 P 2(x y ) 3xy   Bài 6 : (Đại học Khối B năm 2008). Cho hai số thực x , y thay đổi và thoả mãn hệ thức: 2 2 x y 1  Tìm GTLN , GTNN c ủa biểu thức 2 2 2(x 6xy) P 1 2xy 2y     H ết [...]... sự , biểu cảm đã học Tuần: Tiết: LÃO HẠC (Nam Cao) Ngày soạn: Ngày dạy: A.Mục tiêu cần đạt: * Giúp hs - Thấy được tình cánh khốn cùng và nhân cách cao quý của nhân vật lão Hạc , qua đó hiểu thêm về số phận đáng thương và vẻ đẹp tâm hồn đáng trọng của người nông dân Việt Nam trước cách mạng tháng tám - Thấy được lòng nhân đạo sâu sắc của nhà văn Nam Cao ( thể hiện chủ yếu qua nhân vật ông giáo ) ;... cho ta biết được điều cao quý nào trong tâm hồn ông giáo? ( Trong nhân cách , không mất lòng tin vào những điều tốt đẹp ở con người ) III, Tổng kết (?) Học qua vb này em hiểu được điều sâu sắc nào về số phận và phẩm chất của người nông dân lao động trong xh cũ ? (Số phận đau thương , cùng khổ Nhân cách cao q ) (?) nhân vật ông giáo trong vb Lão Hạc là hình ảnh của nhà văn Nam Cao Từ nhân vật này em... cho kì nát vụn mới thôi Tương phản để làm nổi bật tính cách của người cô, khẳng đònh tình mẫu tử , cao cả của bé Hồng b, Tình yêu thương mẹ + Tiếng gọi : Mợ ơi ! + Hàng động :Tôi thở hòng hộc trán đẩm mồ hôi và khi Giáo án Ngữ Văn 8 bé Hồng - Làm nổi bật tính cách của người cô và khẳng đònh tình mẫu tử , cao cả của bé Hồng b, Bé Hồng yêu thương mẹ: Gọi hs đọc phần 2 (?) Hình ảnh người mẹ của bé Hồng... ngang : phần tiếng việt bài Từ láy , từ tượng hình , từ tượng thanh ; phần tập làm văn ở bài Chuyển đoạn trong vb - Tích hợp dọc : qua các bài Trong lòng mẹ , Tức nước vở bờ đã học - nh chân dung Nam Cao , Nam Cao tác phẩm tập 1 2.HS: Đọc, tìm hiểu và soạn bài C.Tiến trình lên lớp : 1, n đònh tổ chức 2, Kiểm tra bài cũ : Từ các nhân vật chò Dậu , anh Dậu và bà lão hàng xóm , em có thể khái quát điều gì... cảnh ) Chỉnh thể bộ phận ( tả người , vật , con vật ) hoặc tình cảm , cảm xúc ( tả người) (?) Phân tích trình tự sắp xếp các sự việc ở phần thân bài trong vb Người thầy đạo cao đức trọng ?( Các sự việc nói về Chu Văn An là người tài cao Các sự việc nói về CVA là người đạo đức , được học trò kính trọng ) (?) Việc sắp xếp nội dung phần thân bài tuỳ thuộc vào những yếu tố nào ? Các ý trong phần thân bài... biến hơn ? Tại sao ? - Từ ngô được dùng phổ biến hơn vì nó nằm trong vốn từ vựng toàn dân , có tính chẩn mực văn hoá cao (?) Trong 3 từ trên từ nào là từ đòa phương ? tạo sao - Hai từ bắp , bẹ là những từ đòa phương vì nó chỉ được dùng trong phạm vi hẹp , chưa có tính chuẩn mực văn hoá cao (?) Vậy từ toàn dân khác từ đòa phương ở điểm nào? ( Hs đọc ghi nhớ sgk) (?) Em hãy tìm một số vd minh hoạ ?  Bài... sắc của nhà văn Nam Cao ( thể hiện chủ yếu qua nhân vật ông giáo ) ; thương cảm đến xót xa và thật sự trân trọng đối với người nông dân nghèo khổ - Bước đầu hiểu được đặc sắc nghệ thuật truyện ngắn Nam Cao : khắc hoạ nhân vật tài tình , cách dẫn truyện tự nhiên , hấp dẫn ,sự kết hợp giữa tự sự , triết lí với trữ tình - Rèn kó năng : tìm hiểu và phân tích nhân vật qua ngôn ngữ đối thoại , độc thoại ,... (Luôn gắn bó chặt chẽ với nhau , phần trước là tiền đề cho phần sau , còn phần sau là sự tiếp nối phần trước Các phần đầu tập trung làm rõ cho chủ đề của vb là ngøi thầy đạo 2, Cách bố trí , sắp xếp cao đức trọng nội dung phần thân bài (?) Từ việc phân tích trên , hãy cho biết một cách khái của vb: quát : Bố cục của vb gồm mấy phần ? Nhiệm vụ của từng - Nội dung phần thân bài phần ? Các phần của vb... nghèo , sống cô độc , chỉ có con chó lão nuôi làm bạn , được gọi thân mật là cậu vàng (?) Lí do gì khiến lão Hạc phải bán cậu vàng ? - Sau khi bò ốm , cuộc sống của lão Hạc quá khó khăn , lại gặp kì thóc cao gạo kém , lão nuôi thân không nổi (?) Cuộc bán cậu vàng , đã lưu lại trong tâm trí lão Hạc ntn? - Nó có biết gì đâu … thế mà lão xử với tôi như thế à? (?) Bộ dạng của lão Hạc khi nhớ lại sự việc này... đó thơm tho lạ thường (?) Cacùh gọi mẹ tôi trong tật cả các chi tiết ấy có ý nghóa gì ? (Khẳng đònh đó là người mẹ của riêng bé Hồng Tình mẹ con gắn bo) (?) Từ đó bé Hồng cómột người mẹ ntn? - đẹp đẽ, cao quý , vô cùng yêu con (?)Trong phần vb này , tình yêu thương của bé Hồng được trực tiếp bộc lộ đâu là những biểu hiện cụ thể của tình yêu thương đó ? +Tiếng gọi : Mợ ơi! Mợ ơi!Mợ ơi !… +Hành động : . y thoả mãn : xy x y 3   Tìm GTLN của biểu thức 2 2 3x 3y G x y y 1 x 1       Bµi 5 : (Cao đẳng kinh tế kỹ thuật năm 2008) .Cho hai số x , y thoả m ãn : 2 2 x y 2  Tìm GTLN , GTNN c