Bode + dan Toan Tsinh Lop10 BThuan.doc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO Năm học : 2007 – 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (hệ số 2) (Dành cho lớp chuyên Toán) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ: Bài 1: ( 2 điểm) a/ Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc b/ Giải phương trình: (x 2 – 3x) 3 + (2x 2 + 5x + 3) 3 + (-3x 2 – 2x – 3) 3 = 0 Bài 2: ( 2 điểm) Tìm một số có ba chữ số biết rằng nó thỏa đồng thời các điều kiện sau: - Bình phương chữ số hàng chục bằng tích hai chữ số kia. - Chữ số hàng đơn vị bằng tích của hai chữ số kia. - Nghịch đảo của chữ số hàng trăm bằng tổng của nghịch đảo chữ số hàng chục và 2 lần nghịch đảo của chữ số hàng đơn vị Bài 3: ( 2 điểm) Cho các số thực a, b, c, x, y, z thoả các điều kiện sau: a 2 + b 2 + c 2 =25 ; x 2 + y 2 + z 2 = 36 và ax + by + cz = 30. Tính giá trị biểu thức: P = zyx cba ++ ++ Bài 4: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A = 60 0 . Gọi I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm các đường cao BM và CN. 1/ Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn. 2/ Tính tỉ số BC MN 3/ Chứng minh OA ⊥ MN Bài 5: (1.0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A và AB+AC không đổi. Chứng minh rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi AB = AC. HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO Năm học : 2007 – 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (hệ số 2) (Dành cho lớp chuyên Tin) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ: Bài 1: ( 2 điểm) a/ Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc b/ Giải phương trình: (x 2 – 3x) 3 + (2x 2 + 5x + 3) 3 + (-3x 2 – 2x – 3) 3 = 0 Bài 2: ( 2 điểm) Tìm một số có ba chữ số biết rằng nó thỏa đồng thời các điều kiện sau: - Bình phương chữ số hàng chục bằng tích hai chữ số kia. - Chữ số hàng đơn vị bằng tích của hai chữ số kia. - Nghịch đảo của chữ số hàng trăm bằng tổng của nghịch đảo chữ số hàng chục và 2 lần nghịch đảo của chữ số hàng đơn vị Bài 3: ( 2 điểm) Cho .3)3)(3( 22 =++++ yyxx Tính giá trị của x + y Bài 4: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A = 60 0 . Gọi I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm các đường cao BM và CN. 1/ Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn. 2/ Tính tỉ số BC MN 3/ Chứng minh OA ⊥ MN Bài 5: (1.0 điểm) Trong mặt phẳng cho 6 hình tròn sao cho tâm mỗi hình tròn nằm ngoài tất cả các hình tròn khác. Chứng minh 6 hình tròn trên không có điểm nào chung. HẾT Thi tuyển sinh Trần Hưng Đạo – Đáp án ( Hệ số 2 ) Năm học 2007 – 2008 Chuyên Toán Lời giải tóm tắt, hướng dẫn chấm Điểm Bài 1: 1/ Chứng minh: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc khi a + b + c = 0 Từ a+b+c = 0 suy ra a = - ( b+c) a 3 = -(b+c) 3 = - (b 3 + c 3 + 3bc(b+c) ) nên a 3 + b 3 + c 3 = 3a( - (b+c)) = 3abc. 2/ áp dụng trên ta đặt : a = x 2 – 3x ; b = x 2 + 5x + 3 và c = -2x 2 – 2x – 3 thì a+b+c = 0 khi đó phương trình viết lại : (x 2 – 3x)(x 2 + 5x + 3)(-2x 2 – 2x – 3) = 0 Giải ra có: x = 0; x = 3; x = -1 và x –3/2 Bài 2: Gọi x; y ; z lần lượt là ba chữ số hàng trăm, chục và đơn vị của số cần tìm. Theo đề bài ta có:          += = = zyx xyz xzy 211 2 Giải hệ trên được : x – 2; y = 4 và z = 8. Vậy số cần tìm : 248 Bài 3: 2 ) 5 ( a + 2 ) 5 ( b + 2 ) 5 ( c = 1 2 ) 6 ( x + 2 ) 6 ( y + 2 ) 6 ( z = 1 Cộng các điều kiện của đề bài ta có 2 ) 5 ( a + 2 ) 5 ( b + 2 ) 5 ( c + 2 ) 6 ( x + 2 ) 6 ( y + 2 ) 6 ( z - 2( 303030 czbyax ++ ) = 0 ⇔ ( 65 xa − ) 2 + ( 65 yb − ) 2 ( 65 zc − ) 2 = 0 65 xa = ; ; 65 yb = , 65 zc = Giải ra được P = 6 5 Bài 4: 1/ BOC = 120 0 BIC = 180 0 – ( 2 CB + ) = A + ( 2 CB + ) = 120 0 Tứ giác ANHM nội tiếp suy ra BHC = MHN = 120 0 Vậy các điểm B, C,H, I, O cùng thuộc cung chứa góc 120 0 nên cùng thuộc một đường tròn. 2/ Tứ giác BCMN nội tiếp nên góc AMN = ABC, góc A chung nên tam giác AMN 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 đồng dạng với tam giác ABC suy ra BC MN AB AM = = cos A = cos60 0 = 1/2 3/ Vẽ tiếp tuyến At của (O) tại A ta có ABC = CAt ( góc giữa tt và dây cung ) và ABC = AMN suy ra At // MN, At ⊥ OA nên MN ⊥ OA Bài 5: Tam giác ABC có AB = AC và Tam giác AMN có M ∈ AB và N ∈ AC sao cho AM + AN = AB + AC so sánh BC và MN Gọi M là điểm thuộc cạnh AB trên cạnh AC lấy D sao cho CD = BM suy ra tứ giác MBCD là hình thang cân nên có BD = CM. Và CN = CD Ta có tam giác BDN và tam giác MNC có MC = BD và CD = CN góc BDC < MCN vì BDC < BCN < MCN nên BC < MN suy ra tam giác ABC cân tại A có chu vi nhỏ nhất. 1.0 1.0 Thi tuyển sinh Trần Hưng Đạo – Đáp án ( Hệ số 2 ) Năm học 2007 – 2008 Chuyên Tin Lời giải tóm tắt, hướng dẫn chấm Điểm Bài 1: 1/ Chứng minh: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc khi a + b + c = 0 Từ a+b+c = 0 suy ra a = - ( b+c) a 3 = -(b+c) 3 = - (b 3 + c 3 + 3bc(b+c) ) nên a 3 + b 3 + c 3 = 3a( - (b+c)) = 3abc. 2/ áp dụng trên ta đặt : a = x 2 – 3x ; b = x 2 + 5x + 3 và c = -2x 2 – 2x – 3 thì a+b+c = 0 khi đó phương trình viết lại : (x 2 – 3x)(x 2 + 5x + 3)(-2x 2 – 2x – 3) = 0 Giải ra có: x = 0; x = 3; x = -1 và x –3/2 Bài 2: Gọi x; y ; z lần lượt là ba chữ số hàng trăm, chục và đơn vị của số cần tìm. Theo đề bài ta có:          += = = zyx xyz xzy 211 2 Giải hệ trên được : x – 2; y = 4 và z = 8. Vậy số cần tìm : 248 Bài 3: (x+ 3 2 +x )(x - 3 2 +x )(y+ 3 2 +y ) = 3(x- 3 2 +x ) - 3 (y+ 3 2 +y ) = (x- 3 2 +x ) (*) Tương tự: - 3 (x+ 3 2 +x ) = (y- 3 2 +y ) (**) Cộng theo vế hai ohương trình tìm đượcc Suy ra: -3x – 3y = 3x + 3y nên x + y - 0 Bài 4: 1/ BOC = 120 0 BIC = 180 0 – ( 2 CB + ) = A + ( 2 CB + ) = 120 0 Tứ giác ANHM nội tiếp suy ra BHC = MHN = 120 0 Vậy các điểm B, C,H, I, O cùng thuộc cung chứa góc 120 0 nên cùng thuộc một đường tròn. 2/ Tứ giác BCMN nội tiếp nên góc AMN = ABC, góc A chung nên tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC suy ra BC MN AB AM = = cos A = cos60 0 = 1/2 3/ Vẽ tiếp tuyến At của (O) tại A ta có ABC = CAt ( góc giữa tt và dây cung ) và ABC = AMN suy ra At // MN, At ⊥ OA nên MN ⊥ OA Bài 5: Tam giác ABC có AB = AC và Tam giác AMN có M ∈ AB và N ∈ AC sao cho AM + AN = AB + AC so sánh BC và MN Gọi M là điểm thuộc cạnh AB trên cạnh AC lấy D sao cho CD = BM suy ra tứ giác MBCD là hình thang cân nên có BD = CM. Và CN = CD Ta có tam giác BDN và tam giác MNC có MC = BD và CD = CN góc BDC < MCN vì BDC < BCN < MCN nên BC < MN suy ra tam giác ABC cân tại A có chu vi nhỏ nhất. 1.0 0.5 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 S GIO DC V O TO K THI TUYN SINH VO LP 10 BèNH THUN TRNG THPT CHUYấN TRN HNG O Nm hc : 2007 2008 CHNH THC Mụn: Toỏn (h s 1) Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) ẹE: Baứi 1: ( 2 ủieồm) Cho phng trỡnh x 2 + (m 2)x - (m 2 + 1) = 0 a/ Chng minh rng phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit x 1 , x 2 vi mi giỏ tr ca m. b/ Tỡm m 2 2 2 1 xx + = 10 Baứi 2: ( 2 ủieồm) Cho x 1, hóy rỳt gn biu thc: y = 1212 ++ xxxx . Baứi 3: ( 2 ủieồm) Gii phng trỡnh: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 8 Baứi 4: ( 1 ủieồm) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Chng minh tg 2 C = BCAC AB + Baứi 5: ( 3 ủieồm) Cho hai ng trũn (O,R) v (O / , R / ) vi R / > R > 0 tip xỳc ngoi nhau ti A v cú tip tuyn chung ngoi l BC ( B (O); C (O / ) ) 1/ Chng minh OO / l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh BC. 2/ Tớnh theo R v R / din tớch t giỏc OBCO / . 3/ Gi I l tõm ng tip xỳc vi (O), (O / ) v BC. Tớnh din tớch hỡnh gii hn bi ba ng trũn trờn v ng thng BC khi R / = 3R. HT Thi tuyn sinh trng Trn Hng o - P N ( h s 1) Nm hc 2007 - 2008 Lời giải tóm tắt, hướng dẫn chấm Điểm Bài 1: 1/ ∆ = (m-2) 2 + 4(m 2 +1) 2 > 0 với mọi m 2/ x 2 1 + x 2 2 = ( x 1 +x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 = (-m+2) 2 + 2(m 2 +1) = 10 ⇔ 3m 2 -4m-4 = 0 ⇔ m = 2 hoặc m = - 3 2 Bài 2: y = 1212 −−+−+ xxxx = 2 )11( +−x + 2 )1)1( −−x Khi 1 ≤ x ≤ 2 thì y = 2 Khi x> 2 thì 2 1−x Bài 3: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 8 ⇔ (x 2 + 5x + 4)(x 2 +5x + 6) = 8 ⇔ y(y+2) = 8 với y = x 2 +5x +4 Giải được y = - 4 hoặc y = 2 * x 2 + 5x + 4 = - 4 phương trình vô nghiệm * x 2 + 5x + 4 = 2 ta được x = 2 175 ±− Bài 4: Trên tia AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB Trong tam giác vuông ABD ta có tgD = AD AB = CBAC AB + = tg 2 C Bài 5: a/ Qua A vẽ tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC tại D suy ra BD = CD = AD (t/c tiếp tuyến) và tam giác ABC vuông tại A và AD ⊥ OO / nên OO / là tiếp tuyến đường tròn đường kính BC. b/ Tứ giác OBCO / là hình thang vuông tại B và C. Từ O vẽ OK // BC cắt O / C tại K tứ giác OBCK là hình chử nhật Trong tam giác vuông OO / K tại K ta có OK 2 = (R+R / ) 2 – (R / -R) 2 = 4RR / Nên BC = 2 / RR S là Diện tích hình thang OBCO / thì S = 2 1 (R+R / ).2 / RR c/ R / = 3R Gọi I là tâm đường tròn tiếp xúc BC, (O), (O / ) có bán kính r. E là tiếp điểm của CB và (I) Theo b/ ta có EB = 2 Rr và EC = 2 Rr3 vậy 2 / RR = 2 Rr + 2 Rr3 suy ra : r = 324 3 + R Diện tích cần tìm S = S hình thang – ( S (I) + S quat(O, 120 0 ) + S quạt(O / , 60 0 ) ) S = 4R 2 3 - ( π 3 1 R 2 + π 2 3 R 2 + π ( 324 3 + R ) 2 ) 1.0 1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.0 1.0 1.0 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT BÌNH THUẬN Năm học 2007 – 2008 Khóa ngày: 11/7/2007 Đề chính thức Môn: TOÁN (Đề này có 01 trang) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI Bài 1: ( 3 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 1/ x 4 – 2x 2 – 8 = 0 2/ )2)(3( 123 3 2 2 +− ++ = − xx xx x x 3/    −=− =+ 53 432 yx yx Bài 2: ( 2 điểm) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng nhỏ hơn chiều dài 3 m và diện tích bằng 270 m 2 . Hãy tính chu vi của mảnh đất. Bài 3: ( 4 điểm) Trên đường tròn tâm O bán kính R = 7 cm lấy cung AB cố định có số đo bằng 120 0 . Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M. 1/ Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp. 2/ Tính diện tích tứ giác MAOB. 3/ Gọi (d) là một cát tuyến tùy ý đi qua điểm M và cắt (O) tại C và D. a/ Tính MC.MD b/ Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng CD khi (d) quay quanh M. Bài 4: ( 1 điểm) Cho a > 0, b > 0 và 1 11 =+ ba Chứng minh rằng : ba + = 1−a + 1−b HẾT Lưu ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT KHOÁ NGÀY 11/7/2007 – MÔN TOÁN Bài 1: ( 3 điểm) 1/ x 4 – 2x 2 – 8 = 0 đặt t = x 2 ≥ 0 Phương trình đã cho được viết thành : t 2 – 2t – 8 = 0 ⇔ t = 4 ; t = – 2 ( loại ) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 và x = – 2 2/ đk: x ≠ 3 và x ≠ - 2 )2)(3( 123 3 2 2 +− ++ = − xx xx x x ⇔ 2x(x+2) = x 2 + 3x + 12 ⇔ x 2 + x – 12 = 0 ⇔ x = – 4; x = 3 (loại ) 3/    −=− =+ 53 432 yx yx ⇔    −=− =+ 1539 432 yx yx ⇔ x = – 1; y = 2 Bài 2: ( 2 điểm) Gọi x (m) là chiều rộng mảnh đất ( x > 0 ) Ta có phương trình: x(x+3) = 270 ⇔ x 2 + 3x – 270 = 0 ⇔ x = 15 ; x = - 18 ( loại) Chiều dài mảnh đất: 15 + 3 = 18 (m) Vậy chu vi mảnh đất (15 + 18 ) . 2 = 66 (m) Bài 3: ( 4 điểm) Vẽ hình đến câu 1 1. Ta có: OA ⊥ AM và OB ⊥ BM ( tctt) Tứ giác MAOB nối tiếp trong đường tròn đường kính OM. 2. Tam giác OAM vuông tại A và MOA = 60 0 AM = OA .tg60 0 = 7 3 S MAOB = 2 S ∆ OAM = OA.AM = 49 3 (cm 2 ) 3. a/ Ta có: ∆ MAC đồng dạng với ∆ MDA Nên MA MC MD MA = ⇔ MC.MD = MA 2 = 147 (cm 2 ) b/ I là trung điểm đoạn CD suy ra OI ⊥ CD tại I ; O và M cố định Do đó I thuộc đường tròn đường kính OM Giới hạn: I chỉ chạy trên cung tròn AB nằm bên trong đường tròn (O) Bài 4: ( 1 điểm) Ta có: a > 0 và b > 0 và 1 11 =+ ba suy ra a > 1 và b > 1 Mặt khác ta có : 1 11 =+ ba ⇔ ab – a – b + 1 = 1 ⇔ ( a – 1) ( b – 1) = 1 ⇔ 2 1) - b ( 1) - a ( = 2 a + b = a – 1 + b – 1 + 2 1) - b ( 1) - a ( = 2 )11( −+− ba nên: ba + = 1−a + 1−b 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 1.0 0.25 1.0 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.25 0.5 0.5 M A B O C D I SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT BÌNH THUẬN Năm học 2006 – 2007 **** Khóa ngày: 6/7/2006 Đề chính thức Môn: Toán (Đề này có 01 trang) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ Bài 1 (3 điểm) Cho hàm số y = x 2 và y = x + 2. 1/ Vẽ đồ thị các hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy. 2/ Tìm toạ độ các giao điểm A, B cuả hai đồ thị trên. 3/ Tính diện tích tam giác OAB. Bài 2:(2 điểm) 1/ Chứng minh rằng : 35 35 35 35 + − + − + = -7 2/ Rút gọn biểu thức: A = a aa 23 )4()1( 22 + +−− . Bài 3: (1 điểm) Giải phương trình: x 4 + x 2 – 20 = 0 Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A ( góc A < 90 0 ) nội tiếp trong đường tròn (O;R). Gọi M, N, P lần lượt là điểm chính giữa của các cung BC, CA, AB và I là giao điểm của AM và CP. 1/ Chứng minh: a/ Tam giác AIP cân. b/ MN ⊥ CP. 2/ Gọi (d) là đường thẳng thay đổi đi qua A. Tìm tập hợp các điểm K thuộc (d) để KB + KC nhỏ nhất. 3/ Khi  = 60 0 ; AB = 5cm. Tính thể tích của hình tạo thành khi quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC. Hết . 154 154 154 154 + − + − + =A = )154)(154( )154()154( 22 + ++ = 1 )15831(15831 ++ = 62 2/ Điều kiện a > 0 và a ≠ 1 ) 2 2 1)( 1 1( a aa a aa B + + + − − += = ( 1+ ) 2 )2( 1)( 1 )1( a aa a aa + + + − − . 1: 1/ Chứng minh: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc khi a + b + c = 0 Từ a+b+c = 0 suy ra a = - ( b+c) a 3 = -(b+c) 3 = - (b 3 + c 3 + 3bc(b+c) ) nên a 3 + b 3 + c 3 = 3a( - (b+c)) = 3abc. 2/ áp dụng. 1: 1/ Chứng minh: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc khi a + b + c = 0 Từ a+b+c = 0 suy ra a = - ( b+c) a 3 = -(b+c) 3 = - (b 3 + c 3 + 3bc(b+c) ) nên a 3 + b 3 + c 3 = 3a( - (b+c)) = 3abc. 2/ áp dụng