BÀI TOÁN HAY LUYỆN THI HS GIỎI TOÁN LỚP 5 Ứng dụng tính diện tích và tỷ lệ cạnh/ chiều cao tam giác I.-Vấn đề đặt ra Có nhiều bài toán tính diện tích, tỷ lệ hoặc độ dài cạnh hoặc chiề
Trang 1BÀI TOÁN HAY LUYỆN THI HS GIỎI TOÁN LỚP 5 Ứng dụng tính diện tích và tỷ lệ cạnh/ chiều cao tam giác
I.-Vấn đề đặt ra
Có nhiều bài toán tính diện tích, tỷ lệ ( hoặc độ dài) cạnh hoặc chiều cao tam giác rất khó với HS tiểu học, kể cả HS THCS & PTTH cũng khó giải Nhưng nếu biết tận dụng những kiến thức đã học cộng với động não một chút thì HS Giỏi tiểu học hoàn thoàn có thể giải được
Vận dụng công thức tính diện tich tam giác và lý thuyết tỷ lệ, phân số ta có:
Diện tich tam giác = 1/2 chiều cao x cạnh đáy hạ chiều cao
hoặc: S∆1 = 1/2 x a1 x h1 ; S∆2 = 1/2 a2 x h2
suy ra tính chất để so sánh:
1/- Nếu S∆1 = S∆2 thì a1 = a2 ; h1 = h2
2/- Nếu S∆1 & S∆2 khác nhau nhưng có cùng chiều cao thì cạnh đáy tương ứng
a1 / a2 = S∆1 / S∆2
3/- Nếu S∆1 & S∆2 khác nhau nhưng có cùng cạnh đáy thì chiều cao cùng hạ
xuống đáy h1 / h2 = S∆1 / S∆2
II.- Bài toán mẫu
Bài 1:
Cho ∆ ABC, Trên cạnh AC lấy diểm M sao cho
AM=MC; trên AM lấy điểm N sao cho AN=NB Nối CN
và nối BM cát nhau tại O Hãy so sánh OB với MB, so
sánh OC với NC (Hình 1)
Tóm tắt cách giải bài 1
a/ Xét S∆MNC = 1/2 S∆ANC; S∆ANC = 1/2 S∆ABC
Do đó S∆MNC = 1/2 x 1/2 = 1/4 S∆ABC
Vì có BN=1/2 AB nên S∆NBC= 1/2 S∆ABC
Suy ra S∆MNC = 1/2 S∆NBC
Hai tam giác ∆MNC và ∆NBC có chung đáy CN, nếu hạ đường cao MI và BH xuống CN thì MI = 1/2 BH
Hai tam giác ∆MNO và ∆NBO cũng có chung đáy CN, hai đường cao MI và BH xuống
CN
Mà MI = 1/2 BH ; nên S∆MNO = 1/2 S∆NBO
Hai tam giác ∆MNO và ∆NBO lại có chung đỉnh N (nghĩa là nếu hạ đường cao từ N xuống MB thì chúng bằng nhau) nếu S∆MNO = 1/2 S∆NBO thìcạnh đáy OM=1/2 OB
Vậy OB = 2/3 MB ( Đáp án)
b/ Xét S∆MNB = 1/2 S∆AMB; S∆AMB = 1/2 S∆ABC
Do đó S∆MNB = 1/2 x 1/2 = 1/4 S∆ABC
Vì có CM=1/2 AC nên S∆ MBC= 1/2 S∆ABC
Trang 2Suy luận tương tự như phần trờn ta cú CO = 2/3 CN ( Đỏp ỏn)
Bài 2:
Cho ∆ ABC Trờn cạnh AC lấy diểm M sao cho
AM=2/3 MC; trờn AM lấy điểm N sao cho
AN=1/3 NB Nối CN và nối BM cỏt nhau tại O
Hóy so sỏnh OB với MB, so sỏnh OC với NC
(Hỡnh 2)
Nhận xột : Bài 2 tương tự bài 1, chỉ khỏc cỏc tỷ lệ
lấy điểm M và N
Hướng giải : cũng tương tự như trờn nhưng phộp tớnh phõn số phức tạp hơn
Kết quả được: OM=1/6 OB OB = 6/7 MB
ON= 4/3 OC OC= 3/7 NC
( trờn đõy chỉ nờu túm tắt hướng giải, cỏc bạn cú thể tớnh cụ thể để kiểm tra kết quả)
Bài thực hành:
Dưới đõy là một số bài tập cho cỏc số đo cụ thể giỳp bạn rốn luyện thờm kỹ năng tớnh toỏn
Bài 1
Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = DC; trên cạnh AC lấy
điểm E sao cho AE = EC Nối DE, trên DE lấy điểm M sao cho
DM = ME.
Tính S ∆AME biết S ∆ABC = 180 cm2.
(Gợi ý: Sau khi vẽ đúng hình, nối thêm CM, Hãy chứng tỏ S ∆AME = S ∆ EMC)
Bài 2:
Cho hình tam giác ABC có đáy BC= 36cm Trên AB lấy điểm M sao cho
AM =
3
1
AB Trên AC lấy điểm N sao cho AN =
3
1
AC Trên BC lấy điểm P sao cho CP =
3
1
CB.
Biết diện tích tam giác ABC = 216cm2 Tính:
a, Diện tích MNB P
b, Đoạn thẳng MN
Gợi ý: Sau khi vẽ đúng hình, nối thêm NP, Hãy chứng tỏ MN //BC; MP//AC;
S ∆ NPC = S ∆ NMP
Trang 3Bài 3:
Cho tứ giác ABCD M là điểm trên cạnh AB sao cho AM = 1
4 AB Tính diện tích tam giác MDC, biết diện tích tam giác ADC là 24 cm2 và diện tích tam giác BCD là 16cm2.
Gợi ý: Trên AB lấy thêm P, và Q sao cho MP = PQ = QM = MA = 1/4 AB, lần lợt kẻ
các đờng vuông góc với BC qua các điểm A, M, P, Q, B Dựa vào tỷ lệ đờng cao để tính diện tich tam giác phải tìm)
Bài 4:
Trong hình vẽ bên, biết: ABCD là hình chữ nhật có DC = 6 cm, BC = 4cm.
Điểm M nằm trong đoạn thẳng AB, MC cắt BD ở O.
a) So sánh diện tích hai tam giác MOD và BOC.
b) Hãy xác định độ dài của đoạn thẳng AM để diện tích hình thang MBCD bằng 20 cm2
A M B
D C
c) Với AM = 2cm, hãy so sánh độ dài hai đoạn thẳng MO và OC.
Tính diện tích tứ giác AMOD.
Bài 5:
Cho tam giác ABC và hình thang MNCB nh hình vẽ Biết BC bằng 2 lần MN ,
BN cắt MC tại O, diện tích tam giác ABC bằng 120cm2.
a Điểm M có là điểm chính giữa AB không? Vì sao?
b Tính diện tích tam giác OMN.
A
M N
B C
O
O