Đề thi HSG các cấp

Lưu Hải An sưu tầm Tuyển tập các đề thi Olipiad Nga các năm 1987 - 2007 [1]. Một quả cầu nhỏ C có khối lợng m trợt không ma sát theo một thanh AB nằm ngang. Quả cầu đợc gắn vào đầu một lò xo có độ cứng k, có độ dài tự nhiên a và có khối lợng không đáng kể. Đầu còn lại của lò xo móc vào một điểm cố định D, cách thanh AB một khoảng b. Lò xo có thể quay tự do quanh điểm D và không bị uốn cong. Ta lập một trục toạ độ Ox dọc theo thanh AB, có gốc O là hình chiếu của D lên thanh. 1. Xác định lực tác dụng lên quả cầu khi nó có toạ độ x. 2. Xác định biểu thức của thế năng quả cầu. 3. Khảo sát và vẽ sơ lợc đồ thị của thế năng quả cầu theo toạ độ x của nó trong các trờng hợp: a/ a < b (thí dụ a =15 cm, b =20 cm) b/ a = b (thí dụ a = b = 15 cm) c/ a > b (thí dụ a =15 cm, b =10 cm) Từ đó, có nhận xét gì về các vị trí cân bằng của quả cầu ? 4. Tính tần số dao động nhỏ của quả cầu quanh các vị trí cân bằng trong hai trờng hợp sau: a/ a = 15 cm ; b = 20 cm b/ a = 15 cm ; b = 10 cm Cho m = 0,1 kg ; k = 400 N.m -1 . 5. Trong trờng hợp ở câu 4b, ngời ta kéo quả cầu đến vị trí có toạ độ x = c rồi thả ra. Hãy khảo sát chuyển động tiếp theo của quả cầu. 6. Nếu hệ nằm trong mặt phẳng thẳng đứng và thanh AB lập với phơng nằm ngang một góc , thì thế năng và các vị trí cân bằng của quả cầu thay đổi thế nào ? [2]. Một khí cầu đợc bơm bằng khí hiđrô có tỉ trọng so với không khí là . Vỏ khí cầu mềm, không co giãn, dẫn nhiệt rất tốt và có thể tích tối đa là V M . Khối lợng của vỏ và các phụ tùng mang theo là M. Trên vỏ có một van an toàn giữ cho khí hiđrô trong khí cầu luôn luôn có cùng áp suất với không khí bên ngoài. Khí bên trong luôn có cùng nhiệt độ với không khí bên ngoài. Khí quyển bên ngoài ở trạng thái cân bằng đoạn nhiệt, với = vP C/C . ở độ cao Z = 0, áp suất khí quyển là P 0 , khối lợng riêng của không khí là 0 , vỏ khí cầu cha căng và có thể tích V 0 < V M . 1. Khảo sát lực nâng khí cầu và chứng tỏ rằng khí cầu chỉ có thể lên tới một độ cao tối đa gọi là độ cao trần của khí cầu. 2. Tính giá trị bằng số của độ cao trần của khí cầu, cho biết : = 1,4 ; g = 9,81 m/s 2 ; P 0 = 10 5 Pa ; 0 = 1,2 kg/m 3 V M = 950 m 3 ; M = 650 kg ; = 0,07 ; V 0 = 750 m 3 . 3. Nếu vỏ khí cầu không có van an toàn và chịu đựng đợc chênh lệch áp suất với môi trờng bên ngoài, nhiệt độ khí hiđrô trong khí cầu bằng nhiệt độ khí quyển thì độ cao trần của khí cầu bằng bao nhiêu ? b O x D A B a, k C x A 10 Условия задач 1.5. [8–9] (1999, 8–1) На прямой дороге находятся велосипедист, мотоциклист и пешеход между ними. В начальный момент времени рас стояние от пешехода до велосипедиста в 2 раза меньше, чем до мото циклиста. Велосипедист и мотоциклист начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями 20 км/ч и 60 км/ч соответственно. В какую сторону и с какой скоростью должен идти пешеход, чтобы встретиться с велосипедистом и мотоциклистом в месте их встречи? 1.6. [8–9] (1991, 8–1) В межзвёздном пространстве навстречу друг другу двигаются два космических корабля: один со скоростью v 1 = 2 · 10 7 м/с, а второй — со скоростью v 2 = 3 · 10 7 м/с. В некото рый момент времени первый корабль посылает короткий радиосигнал, который отражается от второго и принимается первым кораблём через t = 2,4 с после отправления. Радиосигналы распространяются со скоро стью c = 3 · 10 8 м/с, которая не зависит от скорости источника, посы лающего сигнал. Какое расстояние было между кораблями в момент: 1) посылки сигнала? 2) приёма сигнала первым кораблём? 1.7*. [9–10] (2003, 10–1) В автомобиле спидометр и счётчик прой денного пути регистрируют скорость автомобиля и пройденный им путь относительно поверхности, по которой движется автомобиль. Авто мобиль последовательно проехал по двум конвейерам (движущимся дорожкам) длиной L = 500 м каждый. Полотна конвейеров движутся в одну сторону с постоянными скоростями v 1 = 20 км/ч и v 2 = 30 км/ч. По первому конвейеру автомобиль ехал с некоторой постоянной скоро стью, а по второму конвейеру — с другой постоянной скоростью. Что показывал спидометр во время движения по каждому из конвейеров, если с момента въезда на первый конвейер до съезда со второго про шло время t = 72 с, а счётчик пути показал, что при этом был пройден путь L. Расстоянием между конвейерами и временем переезда с первого конвейера на второй пренебречь. 1.8. [8–9] (2004, 8–2) На длинном шоссе на расстоянии 1 км друг от друга установлены светофоры. Красный сигнал каждого светофора горит в течение 30 секунд, зелёный — в течение следующих 30 секунд. При этом все автомобили, движущиеся со скоростью 40 км/ч, проехав один из светофоров на зелёный свет, проезжают без остановки, то есть тоже на зелёный свет, и все следующие светофоры. С какими другими скоростями могут двигаться автомобили, чтобы, проехав один светофор на зелёный свет, далее нигде не останавливаться? 1.9*. [8–9] (1997, 10–2) Мэр одного городка начал получать жало бы на большую автомобильную пробку перед светофором на главной улице. Скорость машин при движении составляла 6 м/c, а средняя ско Механика 11 рость продвижения по пробке — всего 1,5 м/с. При этом время свечения светофора зелёным светом было равно времени свечения красным (вре мя свечения жёлтым светом мал´о). Мэр распорядился увеличить время свечения светофора зелёным светом в два раза, а время свечения крас ным светом оставить прежним. Чему станет равна средняя скорость продвижения машин по пробке? Считайте, что скорость машин при движении не изменилась. Учтите, что при включении зелёного света автомобили начинают двигаться не одновременно. ♦ 1.10. [8–9] (2005, 8–2) На длинном прямом шоссе автомобили дви жутся с постоянной скоростью V 1 всюду, за исключением моста, на кото ром автомобили движутся с другой постоянной скоростью V 2 . На рисун ке изображён график зависимости расстояния l между двумя едущими друг за другом автомобилями от времени t. Найдите скорости V 1 и V 2 , а также длину моста. К задаче 1.10. К задаче 1.11. ♦ 1.11. [9–10] (1997, 9–1) Тело движется по прямой. Гра фик зависимости его скоро сти v от координаты x приве дён на рисунке. Найдите уско рение тела в точке с координа той x = 3 м. Найдите также мак симальное ускорение тела на отрезке от 0 до 5 м. ♦ 1.12. [9–10] (2001, 9–1) Автомобиль проехал по пятики лометровому участку дороги. Специальный прибор при этом записывал показания спидометра через каждые 10 метров. В результате получи 12 Условия задач лась зависимость скорости автомобиля v от пройденного пути x, пока занная на рисунке. Оцените, за какое время t автомобиль проехал эти пять километров. К задаче 1.12. ♦ 1.13. [9–10] (2000, 9–1 и 10–1) Материальная точка движется вдоль прямой. Постройте графики зависимостей скорости и координа ты точки от времени, если график зависимости её скорости v от коор динаты x представляет собой: а) прямоугольник; б) окружность (при определённом выборе масштабов осей). К задаче 1.13. Механика 13 ♦ 1.14. [9] (1989, 8–1) Автобус движется с постоянной скоростью u = 60 км/ч, подолгу стоя на остановках. Идёт дождь с ветром. Дожде вые капли образовали на боковом стекле автобуса следующую картину (см. рисунок). Скорость и направление ветра не меняются. Какова ско рость падения капель дождя v? Что можно сказать о скорости ветра w? Дорога прямая, автобус не разворачивается. К задаче 1.14. 1.15. [9] (1988, 8–1) Осколочный снаряд летит со скоростью u по направлению к плоской стенке. На расстоянии l от неё снаряд взрыва ется и распадается на множество осколков, летящих во все стороны и имеющих скорость v относительно центра масс снаряда. Какая область на поверхности стенки будет поражена осколками? Силой тяжести и сопротивлением воздуха пренебречь. К задаче 1.16. ♦ 1.16. [9–10] (1990, 9–1) Колобок, имею щий форму шара, застигнут дождём в точке A (см. рисунок). Капли дождя имеют верти кальную скорость, равную V , а горизонталь ную — равную v и направленную под углом ϕ к направлению AB (в точке B находится дом Колобка). С какой скоростью Колобок должен бежать по линии AB, чтобы как можно меньше промокнуть? 1.17. [9–10] (1991, 9–1) Во время сильного снегопада лыжник, бегущий по полю со скоростью v = 20 км/ч, заметил, что ему в откры тый рот попадает N 1 = 50 снежинок в минуту. Повернув обратно, он обнаружил, что в рот попадает N 2 = 30 снежинок в минуту. Оцените дальность прямой видимости в снегопад, если площадь рта спортсмена S = 24 см 2 , а размер снежинки l = 1 см. 1.18*. [9–10] (1998, 9–2) Автобус и велосипедист едут по одной прямой дороге в одном направлении с постоянными скоростями 63 км/ч 14 Условия задач и 33 км/ч. Грузовик едет по другой прямой дороге с постоянной ско ростью 52 км/ч. Расстояние от грузовика до автобуса всё время равно расстоянию от грузовика до велосипедиста. Найдите скорость грузови ка относительно автобуса. ♦ 1.19. [8–9] (2004, 8–1) На вездеходе установлен курсограф — само писец, записывающий зависимости от времени текущей скорости (верх ний график) и направления движения этого вездехода (нижний гра фик). На рисунке показаны такие записи для некоторого маршрута, пройденного вездеходом. Определите с точностью до километра, где (относительно начала пути) вездеход оказался в конце маршрута. К задаче 1.19. Механика 15 ♦ 1.20*. [9–10] (2001, 9–1) Две материальные точки 1 и 2 и точечный источник света S совершают равномерное прямолинейное движение по горизонтальной плоскости. Тени от материальных точек 1 и 2 движутся со скоростями u вдоль вертикальных стенок, которые перпендикулярны друг другу. Скорости материальных точек равны v = 2u/ √ 3 и направ лены под углом α = 30 ◦ к соответствующим стенкам (см. рисунок). Чему равна и куда направлена скорость источника S? К задаче 1.20. К задаче 1.22. 1.21. [9] (2003, 9–1) Два корабля находятся в море и движутся рав номерно и прямолинейно. Первый в полдень был в 40 милях севернее маленького острова и двигался со скоростью 15 миль в час в направ лении на восток. Второй в 8 часов утра этого же дня был в 100 милях восточнее того же острова и двигался со скоростью 15 миль в час в направлении на юг. На каком минимальном расстоянии друг от друга прошли корабли и в какой момент времени это случилось? ♦ 1.22. [9–10] (2003, 9–2) Один корабль идёт по морю на север с постоянной скоростью 20 узлов, а другой — навстречу ему, на юг, с такой же скоростью. Корабли проходят на очень малом расстоянии друг от друга. Шлейф дыма от первого корабля вытянулся в направлении на запад, а от второго — на северо-запад (см. рисунок). Определите величину и направление скорости ветра. 1 узел = 1 морская миля в час, 1 морская миля = 1852 м. 1.23. [10] (1993, 10–2) По двум пересекающимся под углом α = 30 ◦ дорогам движутся к перекрёстку два автомобиля: один со скоростью v 1 = 10 м/с, второй — с v 2 = 10 √ 3 ≈ 17,3 м/с. Когда расстояние между автомобилями было минимальным, первый из них находился на рассто янии S 1 = 200 м от перекрёстка. На каком расстоянии S 2 от перекрёстка в это время находился второй автомобиль? 16 Условия задач ♦ 1.24*. [10–11] (1999, 11–1) Две материальные точки A и B дви жутся в пространстве. На рисунке приведены графики зависимости их декартовых координат от времени. Определите, в какой момент време ни материальные точки находились на минимальном расстоянии друг от друга, и найдите это расстояние. К задаче 1.24. ♦ 1.25. [9–10] (2004, 9–1) Тело бросили вертикально вверх с поверх ности земли. Расстояние l между этим телом и неподвижным наблю дателем изменяется со временем t по закону, показанному на графике (см. рисунок). На какой высоте над землёй и на каком расстоянии от линии, по которой движется тело, находится наблюдатель? Чему равна начальная скорость тела? Величины l 0 , l 1 и l 2 считайте известными, ускорение свободного падения равно g. К задаче 1.25. Механика 17 ♦ 1.26. [9–10] (2001, 9–2) Один автомобиль движется с постоянной скоростью по прямолинейному участку дороги. Другой автомобиль рав номерно движется по дуге окружности радиусом R = 200 м. График зависимости модуля относительной скорости автомобилей от времени изображён на рисунке. Найдите величины скоростей автомобилей. К задаче 1.26. 1.27. [9–10] (2004, 10–2) Две одинаковые дощечки плывут вдоль берега по прямому широкому каналу, вода в котором течёт с постоян ной скоростью, одинаковой по всей ширине канала. В некоторый момент времени им сообщили скорость относительно воды, равную по величине V 0 = 1 м/с. При этом скорость первой дощечки оказалась перпендику лярной берегу в связанной с ним неподвижной системе отсчёта, а ско рость второй дощечки оказалась перпендикулярной берегу в системе отсчёта, связанной с водой. Через достаточно большое время, когда дви жение дощечек относительно воды прекратилось, расстояние от первой дощечки до берега увеличилось на S 1 = 4 м, а от второй — на S 2 = 5 м. Найдите скорость течения воды в канале. ♦ 1.28*. [9–10] (1999, 9–2) На рисунке вы видите изображение идущих часов, полученное с помощью компьютерного сканера. Прин цип его работы прост. Мощная лампа создаёт на сканируемом объекте узкую освещённую полоску, а отражённый свет попадает на набор фото датчиков, которые расположены в виде линейки, параллельной этой полоске. И лампа, и линейка датчиков расположены на подвижной каретке. Каретка движется с постоянной скоростью, и датчики через равные интервалы времени передают в компьютер изображение. Таким образом, при перемещении каретки получается много «срезов» объекта, из которых и состоит изображение. Пользуясь данным изображением, определите направление и скорость движения каретки сканера, если длина секундной стрелки (от оси до острия) составляет 15 мм. . Lưu Hải An sưu tầm Tuyển tập các đề thi Olipiad Nga các năm 1987 - 2007 [1]. Một quả cầu nhỏ C có khối lợng m trợt không ma sát theo một. x của nó trong các trờng hợp: a/ a < b (thí dụ a =15 cm, b =20 cm) b/ a = b (thí dụ a = b = 15 cm) c/ a > b (thí dụ a =15 cm, b =10 cm) Từ đó, có nhận xét gì về các vị trí cân bằng. dài tự nhiên a và có khối lợng không đáng kể. Đầu còn lại của lò xo móc vào một điểm cố định D, cách thanh AB một khoảng b. Lò xo có thể quay tự do quanh điểm D và không bị uốn cong. Ta lập