Bộ đề thi HSG toán cấp tỉnh và quốc gia các tỉnh năm 2019 2020

NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT BẾN TRE ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN – Hệ : THPT Thời gian: 180 phút Ngày thi : 27/02/2019 Họ tên: SBD:     2.sin  x    6.sin  x    4 4    y   x   x y   b) Giải hệ phương trình:  với x, y  x  y    y  3  x  y  3x   x 1 c) Cho hàm số y  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  d  đồ thị  C  biết 2x 1  d  cắt trục Ox , Oy A , B cho AB  10.OA (với O gốc tọa độ) a) Giải phương trình:     NHĨM TỐN VD – VDC Câu (8 điểm) Câu (4 điểm) a) Bạn An có đồng xu mà tung có xác suất xuất mặt ngửa bạn Bình có đồng xu Hai bạn An Bình chơi trò chơi tung đồng xu đến có người mặt ngửa mặt ngửa trước thắng Các lần tung p p q số độc lập với bạn An chơi trước Xác suất bạn An thắng q nguyên tố nhau, tìm q  p mà tung có xác suất xuất mặt ngửa dương thỏa: Cn1  2Cn2  3Cn3    n 1 Cnn1  nCnn  64n Câu (4 điểm) a) Trong không gian cho điểm A, B, C, D thỏa mãn AB  3, BC  7, CD  11, DA  Tính AC.BD b) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2  b2  c2  3b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    2  a  1  b    c  3 Câu (4 điểm) Cho hình chóp S ABC , có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  2a tam giác ABC vuông C với AB  2a BAC  30 Gọi M điểm di động cạnh AC , đặt AM  x,   x  a  Tính khoảng cách từ S đến BM theo a x Tìm giá trị x để khoảng cách lớn - HẾT https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM TỐN VD – VDC n   b) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhi thức  x   biết n số ngun x  NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT BẾN TRE HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỀ CHÍNH THỨC CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019 Câu (8 điểm)     Lời giải     2.sin  x    6.sin  x     sin x  cos x   sin x  cos x    4 4   a) Ta có:  NHĨM TỐN VD – VDC     2.sin  x    6.sin  x    4 4    y   x   x y   với x, y  b) Giải hệ phương trình:  x  y   y   x  y  x     x 1 c) Cho hàm số y  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  d  đồ thị  C  biết 2x 1  d  cắt trục Ox , Oy A , B cho AB  10.OA (với O gốc tọa độ) a) Giải phương trình:    sin x  cos x    sin x  cos x    sin x  cos x     sin x  cos x  2sin x     x   k     sin  x      sin x  cos x   4       x   k 2    2sin x    sin x    x  2  k 2    k , x    k 2 , x  2  k 2 , với k   y   x   x y  1  b) Giải hệ phương trình:  x  y    y  3  x  y  3x      x  1  * Điều kiện:  y   x  y  3x   a  x     x  a2   - Đặt   y  b b  y      Khi 1 trở thành:  b2  2 a  b  a2  2   ab b  a   b  a         b  a  ab     a  b  ab     x2  y  y  x2 - Thay vào phương trình   ta phương trình: x     x     x  1  x  x    x  1     x  1     x  1   x  1 - Nếu x   3 vơ nghiệm 1 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc   3 Trang NHĨM TỐN VD – VDC Vậy phương trình có họ nghiệm là: x  NHĨM TOÁN VD – VDC   - Với x  , xét hàm số: f  t   t   t 0;   Có: f   t     t  t2 1 t  0, t  0;   , hàm số f  t  đồng biến 0;   x  x   f  x  1  x   x   x  3x     x  (do x  ) x  Vậy hệ có nghiệm  x; y    3;5   3  f Ta có: y   1  \  2 3  x  1 - Giả sử tiếp tuyến  d   C  cắt Ox , Oy A B thỏa mãn AB  10.OA Khi tam giác OAB vng O có AB  10.OA  OB  3.OA OB  tan OAB    k  3 , với k hệ số góc tiếp tuyến  d  OA 2 x 1  x  3  y  3   3   x  1      x  1  x   1  x  NHĨM TỐN VD – VDC c) TXĐ:   M 1;  tiếp điểm   M  0; 1 Vậy có tiếp tuyến  d  thỏa mãn yêu cầu toán : y  3x  y  3x 1 Câu (4 điểm) bạn Bình có đồng xu Hai bạn An Bình chơi trò chơi tung đồng xu đến có người mặt ngửa mặt ngửa trước thắng Các lần tung p độc lập với bạn An chơi trước Xác suất bạn An thắng p q số q nguyên tố nhau, tìm q  p mà tung có xác suất xuất mặt ngửa n   b) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhi thức  x   biết n số nguyên x  dương thỏa: Cn1  2Cn2  3Cn3    n 1 Cnn1  nCnn  64n Lời giải a) Giả sử lần gieo thứ n bạn An thắng cuộc, n  lần gieo trước bạn An gieo mặt sấp bạn Bình gieo n  lần có kết mặt sấp n 1  2 13 Xác suất để có điều lần gieo thứ n      3 3 5 Do đó, điều kiện thuận lợi để bạn An thắng n  1 p 1 2 2 2  1               q      5   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc n 1 1 2    3  n 1 Trang NHĨM TỐN VD – VDC a) Bạn An có đồng xu mà tung có xác suất xuất mặt ngửa NHĨM TỐN VD – VDC Suy q  p    n b) Ta xét khai triển 1  x    Cnk x k Lấy đạo hàm vế ta được: n 1  x  n n 1 k 0 n   kCnk x k 1 k 1 Chọn x   Cn1  2Cn2  3Cn3    n  1 Cnn1  nCnn  n.2n1 NHĨM TỐN VD – VDC Do Cn1  2Cn2  3Cn3    n  1 Cnn1  nCnn  64n  n2n1  64n  n  Tiếp tục khai triển 7   x   C7k    x  k 0   x k     2 x 7k 1    k 0   7k k C x x Do để tìm số hạng chứa x ta cần tìm k để 1 Vậy hệ số số hạng chứa x   2 5 C75  k k 7 1    k 0   7k k C x 3k 7 3k    k 5 21 Câu (4 điểm) a) Trong không gian cho điểm A, B, C, D thỏa mãn AB  3, BC  7, CD  11, DA  Tính AC.BD b) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2  b2  c2  3b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    2  a  1  b    c  3 Lời giải a) Ta có AB  BC  CD  DA  AB  BC AB  BC  CD  DA CD  DA  Do AC.BD   2      49  121  81  b) Cách 1: Áp dụng BĐT A-G: a   2a; b   4b; c   2c suy 2a  4b  2c   a  b2  c  2a  b  2c  1 Dấu "  " xảy a  c   b   1 2 Ta lại có với x, y số thực dương:  x  y         , dấu "  " xảy y  x y  x  y x x  y Do 1 8 64 256 P       2 2 2  a  1  b  1  c  3  a  b    c  3  a  b  c    2a  b  2c  10        2 2      a  c  Kết hợp 1 suy P  Vậy P    b  Cách 2: Ta có: a2  b2  c2  3b   b2  3b  a2  c2    b  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC      AB  BC  AC   CD  DA  CA  AC  AB  BC  CD  DA   AC.DB NHĨM TỐN VD – VDC Ta có  a  1   c  3   a  1   c  3 Lại có 4a   a  1 6c   c  1   a  1   c  3  18 1 2a  4a  c  6c  11 2  2a2  4a  c2  6c  11  2a2   a2  1  c2   c2  1  11 Từ 1   ta có  a  1   c  3  2a  2c   3 Lại có từ giả thiết a2  b2  c2  3b   a2  b2  c2  3b  a2  c2  b2   3b  b2   4b  a2  c2  4b  3b   a2  c2   b  2a2  2c2   2b   Từ  3   ta có P  a  1   a  1 b  2 Xét hàm số f  b    b  2 2   c  3  c  3    mà 16  2b b  2  16  2b NHĨM TỐN VD – VDC  2a2  4a  c2  6c  11  4a2  4c2  16   với  b  16  2b a  c  Ta có f  b   b   P  f  b   f  b   P    b 0;3 b 0;3 b  Câu (4 điểm) Cho hình chóp S ABC , có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  2a tam giác ABC vuông C với AB  2a BAC  30 Gọi M điểm di động cạnh AC , đặt AM  x, cách lớn Lời giải Cách https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC   x  a  Tính khoảng cách từ S đến BM theo a x Tìm giá trị x để khoảng NHĨM TỐN VD – VDC Gọi H hình chiếu vng góc S BM Suy BM   SAH  Ta có MAH MBC  AH  BC AM a.x  BM 4a  x  xa x  xa  16a x  xa  4a hình  SH  SA2  AH  a Ta có SM  SA2  AM  4a  x , SB  SA2  AB  2a 2, BM  BA2  AM  AB.AM cos BAM  4a2  x2  xa 3, p  SM  SB  BM Diện tích tam giác SBM SSBM  p  p  SB  p  MB  p  SM   a x  xa  16a 2 Gọi H hình chiếu vng góc S BM Ta có S SBM   SH  SH BM 2 S SBM x  xa  16a x  xa  16a  d S , BM  SH a  a   BM x  xa  4a x  xa  4a NHĨM TỐN VD – VDC Cách Cách Ta có BC  a, AC  a    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho C  0;0;0  , B  a;0;0  , A 0; a 3;0 , S 0; a 3; 2a  Do H thuộc AC , AM  x nên M 0; a  x;0     MB, BS    2ax  2a 3; 2a ; xa       Ta có MB  a; x  a 3;0 , BS  a; a 3; 2a NHĨM TỐN VD – VDC 2 Khoảng cách từ S đến BM d  S , BM    MB, BS  x  xa  16a   a x  xa  4a MB * Tìm giá trị x để khoảng cách lớn x  xa  16a 0 xa Xét hàm số f  x   x  xa  4a  f  x   2a x  xa x  xa  4a   x  , f  x    Có f    4, f  x  3a  0; a        - HẾT - https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 50 câu, 04 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Học sinh làm cách chọn tơ kín ô tròn Phiếu trả lời trắc nghiệm tương ứng với phương án trả lời câu Mã đề: 169 Họ tên học sinh: Số báo danh: Phòng thi Câu 1: Một hình trụ có bán kính đáy R chiều cao R diện tích xung quanh B  R A 3 R C 2 R D Câu 2: So sánh ba số a  0, 22019 ; b  e 2019 c   2019 A b  a  c B a  b  c C a  c  b x4 Câu 3: Đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  có phương trình 2x A y  2 B x  C y  1 2 x x B  ;0    2;   3 R D c  b  a D x  Câu 4: Tập xác định hàm số y  log A  0;2 C  ;0    2;   D  0;2  Câu 5: Đường sinh khối nón có độ dài 2a hợp với đáy góc 600 Thể tích khối nón 3 A B  a3 C  a3 D 3 a a 3 Câu 6: Hàm số y  x  x3 đồng biến khoảng B  3;   A (; ) C (1; ) D (;0) Câu 7: Cho hàm số f  x  liên tục  Mệnh đề sau đúng? A  f  x  dx  C  1 f  x  dx 0 B 1 1 f  x  dx   f 1  x  dx  f  x  dx  D  f  x  dx   f  x  dx 1 Câu 8: Nếu tăng bán kính khối cầu lên lần thể tích khối cầu tăng lên A 125 lần B 25 lần C lần Câu 9: Giả sử dx D 10 lần a  x   ln b , với a, b số tự nhiên có ước chung lớn Khẳng định sau đúng? A a  b  B a  b2  41 C a  2b  14 D 3a  b  12 Câu 10: Trong khơng gian cho hình vng  H  Hỏi hình  H  có trục đối xứng? A B C D Câu 11: Một cấp số nhân với cơng bội 2, có số hạng thứ ba số hạng cuối 1024 Hỏi cấp số nhân có số hạng? A 11 B 10 C D         Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a, b thỏa a  3, b  ( a, b )  300 Độ dài vectơ 3a  2b A B C D 54 Câu 13: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có chiều cao a hai đường thẳng AB ', BC ' vng góc với Tính theo a thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' 5a 9a A V  6a3 B V  C V  a3 D V  2 Trang 1/4 - Mã đề : 169 - Mơn : TỐN - HSG 12 NH: 2018-2019 Câu 14: Tất giá trị tham số m để hàm số y  A m  B m  2x  m đồng biến  0;  x2  C m  D m  Câu 15: Một khối chóp tam giác có đường cao 10cm cạnh đáy 20cm, 21cm, 29cm Thể tích khối chóp A 700cm B 2100cm3 C 20 35 cm3 D 700 cm3 16 Câu 16: Giả sử  f  x  dx  2020, giá trị A 20204 Câu 17:  x f x  dx B 2020 C 8080 Cho số thực dương a, b, c thỏa a log3  27, 2 log log 11 log 25 S  a   b   c 11  A S  25 B S  20 D 505 b log 11  49, clog11 25  11 Tính giá trị biểu thức C S  22 D S  23 Câu 18: Một khối cầu ngoại tiếp khối lập phương Tỉ số thể tích khối cầu khối lập phương 3  3 A B C D 8 2 Câu 19: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa  x     y    xy  32 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức x  y A B C D 12 Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M (1;1;1), N  1; 1;0  , P  3;1; 1 Tìm tọa độ điểm I thuộc mặt phẳng  Oxy  cho I cách ba điểm M , N , P A I  2;1;0    B I   ;2;0      C I  2; ;0      D I  2;  ;0    Câu 21: Cho hình trụ (T ) có hai hình tròn đáy (O) (O ') Xét hình nón ( N ) có đỉnh O ', đáy hình tròn  O  đường sinh hợp với đáy góc  Biết tỉ số diện tích xung quanh hình trụ (T ) diện tích xung quanh hình nón ( N ) Tính số đo góc  A   450 B   600 C   300 D   750 Câu 22: Trên ba cạnh OA, OB, OC khối chóp O ABC lấy điểm A, B , C  cho 2OA  OA, 4OB  OB 3OC   OC Tỉ số thể tích hai khối chóp O ABC  O ABC 1 1 A B C D 12 24 32 16 x   x Câu 23: Cho số thực a hàm số f  x    Tính  f  x  dx x   a x  x 1 a 2a a 2a   A  B C  D 6   Câu 24: Cho log  a log  b Biểu diễn log 560 dạng log 560  m.a  n.b  p , với m, n, p số nguyên Tính S  m  n p A S  B S  C S  D S  Câu 25: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  x  điểm có hồnh độ 1 A y  x  B y  x  C y  x  D y  7 x  12 Câu 26: Số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  A B C 9x2   x2  x  3x D Câu 27: Có số tự nhiên chẵn, có ba chữ số đơi khác lấy từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6? A 180 B 720 C 60 D 120 Trang 2/4 - Mã đề : 169 - Mơn : TỐN - HSG 12 NH: 2018-2019 Câu 28: Giá trị nhỏ hàm số y  x  x  x  đoạn  0;2 A 2 C  B 74 27 D 1 Câu 29: Điều kiện cần đủ để hàm số y  ax  bx  c (với a, b, c tham số) có ba cực trị A ab  B ab  C ab  D ab  Câu 30: Cho cấp số cộng  un  có u1  1 u5  Tìm u3 A u3  B u3  C u3  D u3  Câu 31: Có giá trị nguyên tham số m   8;   để phương trình sau có nhiều hai nghiệm phân biệt?   x  x  x  1 x  m  m  x  x  m x  x A B C D   1200 Gọi M điểm thay đổi thuộc mặt Câu 32: Trong không gian cho tam giác ABC có AB  R , AC  R , CAB cầu tâm B, bán kính R Giá trị nhỏ MA  MC A R C R 19 B R  D R  Câu 33: Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định  f '  x   x x  x  Giả sử a, b hai số thực thay đổi cho a  b  Giá trị nhỏ f  a   f  b  A  64 15 B 33  64 15 C  D  11 Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho điểm A  5;3;1 , B  4; 1;3 , C  6;2;4  D  2;1;7  Biết tập hợp       điểm M thỏa 3MA  MB  MC  MD  MA  MB mặt cầu  S  Xác định tọa độ tâm I tính bán kính R mặt cầu  S  4 2 A I  ;1;  , R  3 3 21  14  B I  ; ;  , R  3 3 21  14  C I 1; ;  , R   3   10  D I  ; ;  , R  3 3  Câu 35: Tập tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  x3  3mx  m  x   m2 có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ A  ; 1   0;1 B  0;   C  1;   D  1;0   1;   Câu 36: Cho hình chóp S ABC có góc mặt bên mặt đáy  ABC  600 Biết khoảng cách hai đường thẳng SA BC A V  a3 12 3a , tính theo a thể tích V khối chóp S ABC 14 a3 a3 B V  C V  16 18 Câu 37: Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa  2 A 15 B 2 f   x   x dx  1, C 13  f  x x2 D V  a3 24 dx  Tính  f  x  dx D Câu 38: Cho hình chóp tứ giác có độ dài cạnh đáy a chiều cao a Tính theo a thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh hình chóp cho 5a 5a a3 3a A B C D 24 12 12 Câu 39: Cho khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' tích V Gọi M , N , P trung điểm AB, B ' C ' DD ' Thể tích khối tứ diện C ' MNP V V V V A B C D 32 16     m có nghiệm phân biệt thuộc   ;  Câu 40: Tất giá trị tham số m để phương trình tan x  cos x  2 A m  B  m  C  m  D m  Trang 3/4 - Mã đề : 169 - Mơn : TỐN - HSG 12 NH: 2018-2019 Câu 41: Tổng tất giá trị tham số m để phương trình 3x nghiệm phân biệt A B  x 1  x  m  log x2  x  1 x có ba D C Câu 42: Cho phương trình 251 1 x   m   51 tham số m để phương trình có nghiệm A B 26  x  m  2  2m   0, với m tham số Giá trị nguyên dương lớn C 25 D cos x  Câu 43: Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  cos x  cos x  Khẳng định sau đúng? A M  3m B M  m  3 D M  m  C M  m  Câu 44: Cho hàm số f  x   x3  x Hỏi hàm số g  x   f  x  1 có cực trị? A B C D Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S1  có tâm I1 1;0;1 , bán kính R1  mặt cầu I  1;3;5  , bán kính R2  Đường thẳng d thay đổi tiếp xúc với  S1  , M , m giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn AB Tính P  M m A P  B P   S2  C P   S2  có tâm A B Gọi D P  Câu 46: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  4mx3   m  1 x  có cực tiểu mà khơng có cực đại  1  A m   ;    1   C m   ;     1   B m   ;1  1   1    D m   ;   1   64 Câu 47: So sánh ba số a  10001001 , b  22 c  11  22  33   10001000 A c  a  b B b  a  c C c  b  a   Câu 48: Cho hàm số f  x   x  x  m g  x   x  x  2  x D a  c  b   Tập tất giá trị tham số m để hàm số g  f  x   đồng biến  3;  A 3;4  B  0;3 C  4;   Câu 49: Cho hàm số y  f  x  xác định tập  thỏa f   x   f    x   D 3;   2x x6  x  f    m, f  3  n Tính giá trị biểu thức T  f  2   f  3 A T  m  n B T  n  m C T  m  n Câu 50: T  log 2x y A 19 với số thực x Giả sử D T   m  n Cho số thực dương x, y thay đổi thỏa điều kiện x  y  Giá trị nhỏ biểu thức x x  3log y y   B 13 C 14 D 15 - Hết - Trang 4/4 - Mã đề : 169 - Mơn : TỐN - HSG 12 NH: 2018-2019 SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC Họ tên: …………………… SBD: ……………………… KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2018-2019 Khóa ngày 14 tháng năm 2019 Mơn thi: TỐN LỚP 12 THPT Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang Câu (2.0 điểm) ỉ 5ư có đồ thị đường cong (C ) điểm I çç- ; ÷÷ Viết phương x è 4ø trình đường thẳng d qua I cắt (C ) hai điểm M , N cho I trung điểm MN b Cho hàm số y = x + x - x + m , với m tham số Tìm m để hàm số có cực đại a Cho hàm số y = Câu (2.0 điểm) a Giải phương trình sau tập số thực  : x3  x  x  12   x  3 x   x     x  1 b Cho sáu thẻ, thẻ ghi số tập E = {1;2;3;4;6;8} (các thẻ khác ghi số khác nhau) Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất để rút ba thẻ ghi ba số số đo ba cạnh tam giác có góc tù t Câu (2.0 điểm) Cho tích phân I  t     x sin x  dx a Tính I (t ) t = p b Chứng minh I (t ) + I (-t ) = 0, "t Ỵ  Câu (3.0 điểm) Cho khối tứ diện SABC hai điểm M, N thuộc cạnh SA, SB cho SM SN = , = Gọi (P) mặt phẳng qua hai điểm M, N song song với đường MA NB thẳng SC a Trong trường hợp SABC tứ diện cạnh a, xác định tính theo a diện tích thiết diện khối tứ diện SABC với mặt phẳng (P) b Trong trường hợp bất kì, mặt phẳng (P) chia tứ diện SABC thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Câu (1.0 điểm) Chứng minh với số nguyên dương n > ta ln có: log n ( n +1) > log n + 2) n+1 ( -HẾT - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN - ĐỐNG ĐA (Đề gồm 01 trang) ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12 MƠN: TỐN NĂM HỌC: 2019 - 2020 Thời gian làm 180 phút Câu (4 điểm) Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  x  mx   m cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm A, B, C Câu (6 điểm) a Giải phương trình: sin x  cos x    sin x.cos x  sin x  cos x   x3   y   x  xy  b Giải hệ phương trình:   x  x  y   Câu (4 điểm) Cho dãy số  un  Đặt S n  2020  u1  xác định  , n  * 2019 2u  u  2u  n 1 n n 1 Tính lim Sn    u1  u2  un  Câu (4 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy Gọi M , N hai điểm thay đổi thuộc cạnh AB , AC cho mặt phẳng  SMN  ln vng góc với mặt phẳng  ABC  Đặt AM  x, AN  y a Chứng minh x  y  xy b Tìm x , y để SMN có diện tích bé nhất, lớn Câu (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P abc abc  3  ab  bc  ca 1  a 1  b 1  c  - HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12 CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  x  mx   m cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm A, B, C Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình x3  x  mx   m  (1) có nghiệm phân biệt 1,0 x3  x  mx   m   ( x  1)( x  x  m  2)  Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  x  x  m   (2) có hai nghiệm phân  '   m  biệt khác    m  (*) 1   m   1,0 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (2), suy tổng hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm A, B, C là: 1,5 y '(1)  y '( x1 )  y '( x2 )  3( x1  x2 )  x1 x2  6( x1  x2 )  3m    3m Tổng HSG tiếp tuyến   3m   m  (t/m đk (*)) 0.5 ĐS: m  Giải phương trình: sin x  cos x    sin x.cos x  sin x  cos x  a 1,0    2cos x   sin 2x  2cosx -1  s inx  2cosx -1    cos2x =    sin 2x.cosx - sin2x   2cosx -1 sin x - sin2x  2cosx - 2 1,0    2cosx +1   2cosx -1   1  cosx =    s inx + cosx   2sinx.cosx - = + (1)  x   + (2)  x      2cosx -1 sin 2x - s inx +2  0.5  2  k 2 0.5  k  x    k 2 , Kết luận phương trình có họ nghiệm : ……… b  x3   y   x  xy  Giải hệ phương trình:   x  x  y  2  x  x   x  y   Viết lại hệ:   x  x  x  y  2 1,0 Đặt u  x  x, v  x  y Dễ có: u  1 u.v  Hệ trở thành:  u  v  2 0.5 u  1 Suy ra:   v  1 0.5  x  x  1 Ta có   x  y  1 0.5  x  1  y  0.5 Cho dãy số  un  2020  u1  xác định bởi:  , n  * 2019 2u  u  2u  n 1 n n Đặt S n  1 Tính: lim Sn    u1  u2  un  Ta chứng minh un  1, n  * (1) phương pháp qui nạp toán học Với n  1, u1  2020   (1) với n  2019 Giả sử (1) với n  k (k  1) ta có uk  1 gtqn  Ta phải chứng minh (1) với n  k  tức phải chứng minh uk 1  Thật uk 1   uk2  2uk u  2(uk  1) uk2 1  k     uk 1    uk 1  2 2 Theo ngun lý qui nạp tốn học ta có un  1, n  * Mặt khác un 1  un  un2  un  0, n  * dãy số un  nên dãy số  un  dãy số tăng 1,0 Với k  N*, ta có : 2uk 1  uk (uk  2)   (u  2)  uk 1 1   k     uk (uk  2) uk 1 uk (uk  2) uk 1 uk uk  uk 1 1,0 1 1    Sn   uk  uk uk 1 u1 un 1 Ta chứng minh dãy số  un  dãy số không bị chặn Giả sử phản chứng dãy số (un) bị chặn Do dãy số  un  dãy tăng (cmt) nên ta có dãy  un  tăng bị chặn dãy số  un  có giới hạn hữu hạn Giả sử lim  un   a Vì un  Nên ta có a  Từ định nghĩa 2un 1  un2  2un Chuyển qua giới hạn ta có: 1,0  2a = a2 + 2a  a = Mâu thuẫn với a ≥1 Vậy giả sử sai, suy dãy  un  không bị chặn  un  dãy tăng nên lim  un     lim 1 1 2019   lim S n  lim (  )  un u1 un 1 u1 2020 1,0 S M B A O H N C Chứng minh x  y  xy Kẻ SO  MN , O  MN  SMN    ABC   SO   ABC  a Do hình chóp S ABC hình chóp nên O tâm đương tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi H trung điểm BC Và O trọng tâm tam giác ABC 1,0     AB  AC     Ta có AB  AC  AH  AM  AN  AH  AM  AN  AO AM AN x y Vì  M  AB, N  AC  1,0    x AM  y AN  xy AO Do M , N , O thẳng hàng nên x  y  xy (đpcm) 1 SO.MN  SSMN nhỏ MN nhỏ SSMN  SO.MN  SSMN 2 lớn MN lớn S SMN  2 Ta có MN  x  y  xy.cos600  x  y  xy   x  y   xy   xy   xy 1,0 Từ giả thiết ta có  x; y  Từ (1) ta có xy  x  y  xy  xy   x  1 y  1   xy   x  y  xy   xy  xy  0.5 4 1 Đặt t = xy, t   ;   MN  9t  3t 9 2 4 1 Lập bảng biến thiên hàm số f  t   9t  3t ; t   ;  ta 9 2 MN nhỏ t  x  y  x    x  MN lớn t    y    y 1 0,5 Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: abc abc  3 1  ab  bc  ca 1  a 1  b 1  c  Đặt : P  abc abc  3  ab  bc  ca 1  a 1  b 1  c  0.5 Áp dụng bất đẳng thức:  x  y  z    xy  yz  zx  x, y, z   0.5 Với a, b, c  ta có:  ab  bc  ca   3abc  a  b  c   9abc   ab  bc  ca  abc  Ta có: 1  a 1  b 1  c    abc  a, b, c  Thật vậy: 1  a 1  b 1  c     a  b  c    ab  bc  ca   abc    3 abc  3  abc   abc   abc Khi đó: P   Đặt: 3  abc    abc abc   abc abc  t  abc  t , 0.5 abc  t  abc Vì a, b, c  nên  abc    1  t 1   Xét hàm số f (t )  f '(t)  t2   t , t   0; 1 1  t   t  t 2t 2t t2  t2    t    2  (1  t ) (1  t ) 2  (1  t ) (1  t )  0.5 (1  t )(1  t ) t2  2t   0, t  (0;1] (1  t ) (1  t ) 2 Suy f (t ) đồng biến f (t ) (0;1] ta có f (t )  f (1)  1, t  (0;1]  abc abc  3 1  ab  bc  ca 1  a 1  b 1  c  Dấu ‘=’ xảy a  b  c  Vậy MaxP  a  b  c  Lưu ý: Học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa 0.5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2019 Mơn: TỐN Ngày thi: 12/7/2018 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề   ĐỀ CHÍNH THỨC  (Đề gồm có 05 trang)    Câu (4,0 điểm)  a) Cho các số thực  x, y, z  thỏa mãn:  x 1  y   z     y z x Tính giá trị biểu thức  P  x y   y z   z x    b) Cho các số thực dương  a, b  thỏa mãn  a  a3  b  b3  Chứng minh rằng  a  b    Câu (4,0 điểm) Giải hệ phương trình  8( x  y  xy )  x   8( y  x  yx )  y  Câu (4,0 điểm)  Xét phương trình  x 31  y  z 2018 a) Chứng minh rằng tồn tại vô số bộ ba số nguyên  x, y, z  thỏa mãn phương trình trên.  b) Có tồn tại hay khơng bộ ba số ngun dương  x, y, z  thoả mãn phương trình trên?  Câu (6,0 điểm)  Cho đường thẳng  d  và điểm  A  cố định khơng thuộc  d , H  là hình chiếu của  A  trên  d   Các  điểm  B , C   thay  đổi  trên  d    sao  cho  HB.HC  1   Đường  tròn  đường  kính  AH   cắt  AB , AC  lần lượt tại  M , N a) Chứng minh đường thẳng  MN  đi qua một điểm cố định.  b)  Gọi  O   là  tâm  đường  tròn  ngoại  tiếp  tam  giác  BMC   Chứng  minh  O   chạy  trên  một  đường thẳng cố định.  Câu (2,0 điểm) Cho bảng ơ vng gồm  m  hàng và  n  cột. Tại ơ góc trên bên trái của bảng người ta đặt  một quân cờ. Hai người chơi luân phiên di chuyển quân cờ, mỗi lượt di chuyển chỉ di chuyển  quân  cờ  sang  phải  một  ô  hoặc  xuống  dưới  một  ơ.  Người  chơi  nào  đến  lượt  mình  khơng  di  chuyển được qn cờ thì thua. Xác định điều kiện của  m, n  để người thực hiện lượt chơi đầu  tiên ln là người thắng -HẾT- II Đáp án thang điểm  Câu Ý a Nội dung   Tính giá trị biểu thức  P  x y   y z   z x    Điểm    x  y  1  1   Từ giả thiết ta có:  y   1       z    z  x  1   3  Suy ra  x , y , z      Nếu  x  y  thì từ (1) và (2) suy ra  y  z    Từ (2) và (3) suy ra  x  z  Từ (1) và (3) suy ra  y  x , vô lý.   Tương tự, nếu  x  y  ta cũng dẫn đến điều vô lý.   Suy ra  x  y  Từ đó có  x  y  z         0,25  Thay  x  y  z  vào giả thiết ta có  x3  x2     b 2,0 0,25  0,25  0,25  0,25  0,25  0,25  Do đó  P  3x x   x3  x    Chứng minh  a2  b2    Do  a  a3  b  b3   nên   a     Do đó,  b  b3  1. Suy ra   b    Giả sử  a2  b2   Từ giả thiết ta có:    a  b   a  b   a  b  ab    a  b 1  ab    0,25  Suy ra:  a  a  b   , vơ lý (vì   a, b  ).  0,5  2,0 0,5  0,5  0,5  8( x  y  xy )  x  Giải hệ     8( y  x  yx )  y  Dễ thấy cặp  (0;0) là một nghiệm   Nếu x = 0 thì y = 0  0,25  Nếu y = 0 thì x = 0  0,25  4,0 Câu Ý Nội dung x , y Xét   đều khác 0. Lúc đó hệ trên tương đương với  Điểm 8( x y  y  xy )  xy     4 8( xy  x  x y )  xy  Trừ theo từng vế hai phương trình của hệ ta được  0,75  2 xy  x3  y3    x3  y3      3 Tức  ( x  y )(2 xy  1)    0,25  TH1.  x  y : Thay vào hệ đã cho ta được  x  y    a  1 1  TH2.  xy  :  Thay vào hệ đã cho ta được các nghiệm  1;  ;  ;1    2 2  9 9 1   1 Vậy hệ có nghiệm là:   0;  ;  ;  ;  ;1 ;  1;    8 8 2   2 31                         x  y  z 2018 Chứng minh rằng tồn tại vô số bộ ba số nguyên  x, y, z  thỏa mãn phương  trình trên.  Cho  x   phương trình trở thành: y  z 2018   1,0  1,0  0,25  2,0 0,5   ( a  là số nguyên tùy ý). Suy ra  z  a   0,5  Khi đó   x, y, z    0; a 2018 ; a   thoả mãn phương trình.  0,5  Chọn  y  a b 2018 0,25  Vì  a  ngun tuỳ ý nên tồn tại vơ số bộ ba   x, y, z   ngun thoả mãn  phương trình.  Có tồn tại hay khơng các số ngun dương  x, y, z  thoả mãn phương trình  trên?  Tồn tại Xét  x  25 m , y  231m    m      Khi đó:  x31  y  2155 m1   0,5  2,0 0,5  Ta cần chọn  m  sao cho  155m   2018n   n      1     Khi đó  z  2n  Từ (1) suy ra 2018n  1  chia hết cho  155       3n 1 chia hết cho 155.  Đặt  3n   155k   k      ta suy ra  156 k  1  k   chia hết cho 3  0,5  0,25  0,25   k   chia hết cho 3.  Do đó  k  3q  1  q      Từ đó ta có:  m  2018 q  677   5 2018 q 677  Như vậy tất cả các bộ  x  nghiệm của phương trình đã cho.  31 2018 q 677  , y  , z  2155q52   đều là  0,25  0,25  Câu   Ý Nội dung (Phương trình 1 giải cách nghiệm riêng Điểm  m0 ; n0    677;52  sử dụng công thức nghiệm:   m  2018q  677 )   n  155 q  52  a Chứng minh đường thẳng  MN  đi qua một điểm cố định  A N E M 3,0                 0,25  d B C H D   Gọi D là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường  thẳng AH.   Ta có:     HA.HD  HB.HC  1   Do đó  D  cố định.  Gọi E là giao của MN với AH. Ta có tứ giác AMHN nội tiếp nên:   AMN   AHN   ACB   ADB     b Do đó, tứ giác MBDE nội tiếp.    Suy ra:  AE AD  AM AB  AH     Vậy E cố định.  Chứng minh  O  chạy trên một đường thẳng cố định  0,75  0,25    0,75  0,25  0,5  0,25  3,0 A P N 0,5  M d B H C Q   Câu   Ý Nội dung Do  AM AB  AN AC  AH  nên tứ giác BMNC nội tiếp. Do đó, O là  tâm đường trong ngoại tiếp tứ giác BMNC.  Giả sử đường tròn   BMNC   cắt đường thẳng AH tại P và Q. Ta có:               HP.HQ  HB.HC  1   Điểm   0,75  0,75                    AP AQ  AM AB  AH   Từ đó suy ra P, Q cố định.   0,5  Vậy O thuộc trung trực của PQ cố định.  0,5  Xác định điều kiện  m, n  để người chơi đầu tiên ln thắng.  2,0 Ta tơ màu các ơ của bảng ơ vng lần lượt bằng hai màu trắng và đen với  ơ trên cùng bên trái của bảng là màu trắng (tơ đan xen như bàn cờ).   Ta gọi người thứ nhất là người thực hiện di chuyển đầu tiên và người còn  0,25  lại là người thứ hai.  Gọi ô thuộc hàng  p  cột  q  là ô   p; q    Khi đó:  + Nếu  m, n  cùng tính chẵn lẻ thì ơ  1;1  có cùng màu với ơ   m; n     0,25  + Nếu  m, n  khác tính chẵn lẻ thì ơ  1;1  khác màu với ơ   m; n     Ta thấy mỗi lượt di chuyển (theo quy tắc di chuyển của bài tốn) cả hai  0,25  người chơi điều phải di chuyển cờ sang ơ khác màu với ơ cờ đang đứng.  Vì quy  luật di chuyển của bài tốn là hoặc chỉ xuống 1 ơ hoặc chỉ  sang  phải 1 ơ nên:  + Ở lượt di chuyển đầu tiên, người thứ nhất sẽ di chuyển cờ sang ơ đen,  người thứ hai sẽ di chuyển cờ sang ơ trắng và đây là bất biến của bài tốn.  +  Cờ  ln  được  đưa  về  ơ   m, n    điều  này  có  nghĩa  người  thắng  phải  là  0,5  người  trong  lượt  chơi  của  mình  phải  đặt  cờ  vào  ơ   m, n    (và  như  vậy  người còn lại khơng di chuyển cờ được).  Do đó để người thứ nhất ln thắng thì ơ   m, n   phải trùng màu với ô mà  người  thứ  nhất  di  chuyển  lần  đầu  tiên  (tức  ơ  đen).  Hay  nói  cách  khác  ơ  0,25   m, n   phải khác màu với ơ  1;1  thì người thứ nhất ln thắng.  Điều đó có nghĩa  m, n  phải khác tính chẵn lẻ.  Ngược  lại,  nếu  m, n   có  cùng  tính  chẵn  lẽ.  Theo  lập  luận  trên  người  thứ  0,25  hai ln thắng (dù người thứ nhất có di chun như thế nào).  Vậy  m, n  phải khác tính chẵn lẻ thì người thứ nhất ln thắng.  -HẾT- 0,25  ... coi thi số 1…………………… Người coi thi số 2.……………… UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: TỐN - Lớp 12 Thời gian... DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 50 câu, 04 trang) ĐỀ... Mã đề : 169 - Mơn : TỐN - HSG 12 NH: 2018 -2019 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC: 2018 - 2019 Mơn: Tốn – Lớp 12 Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề