1) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A ( µ A = 90 o ), AB=AC=a. Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc 60 o . Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABC. Gi ải : Kẻ SH vuông góc với BC. Suy ra SH ⊥ mp (ABC) Kẻ SI vuông góc với AB và SJ ⊥ AC ⇒góc SIH=góc SJH = 60 o ⇒ tam giác SHI = tam giác SHJ ⇒ HI = HJ ⇒ AIHJ là hình vuông ⇒ I là trung điểm AB ⇒ IH = a/2 Trong tam giác vuông SHI ta có SH = a 3 2 V (SABC) = 3 1 a 3 SH.dt(ABC) 3 12 = (đvtt) 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 60 0 .Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = 3 3 a , mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N .Tính thể tích khối chóp S.BCNM Gi ải : Tính thể tích hình chóp SBCMN ( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD Ta có : BC AB BC BM BC SA ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ . Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao Ta có SA = AB tan60 0 = a 3 , 3 3 2 3 2 3 3 a a MN SM MN AD SA a a − = ⇔ = = Suy ra MN = 4 3 a . BM = 2 3 a Diện tích hình thang BCMN là : S = 2 4 2 2 10 3 2 2 3 3 3 a a BC MN a a BM + ÷ + = = ÷ ÷ Hạ AH ⊥ BM . Ta có SH ⊥ BM và BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH . Vậy SH ⊥ ( BCNM) ⇒ SH là đường cao của khối chóp SBCNM Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM SB MS = = 1 2 . Vậy BM là phân giác của góc SBA ⇒ · 0 30SBH = ⇒ SH = SB.sin30 0 = a I H J S B C A Gi V l th tớch chúp SBCNM ta cú V = 1 .( ) 3 SH dtBCNM = 3 10 3 27 a 3) Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (C) tâm O đờng kính AB = 2R.Trên đờng thẳng vuông góc với (P) tại O lấy điểm S sao cho OS = R 3 . I là điểm thuộc đoạn OS với SI = 2 3 R . M là một điểm thuộc (C). H là hình chiếu của I trên SM. Tìm vị trí của M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó. Gi i : Tứ giác IHMO nội tiếp nên SH.SM = SI.SO mà OS = R 3 , SI = 2 3 R , SM = 2 2 2SO OM R + = SH = R hay H là trung điểm của SM Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên mp(MAB) thì HK = 1 2 SO= 3 2 R , (không đổi) V BAHM lớn nhất khi dt( MAB) lớn nhất M là điểm giữa của cung AB Khi đó V BAHM = 3 3 6 R (đvtt) A S B C M N D S H I O B M A 4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA=a .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SD;I là giao điểm của SD và mặt phẳng (AMN). Chứng minh SD vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI. Giải : Ta có ,( , ) ,( ) AM BC BC SA BC AB AM SB SA AB ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ = AM SC ⇒ ⊥ (1) Tương tự ta có AN SC⊥ (2) Từ (1) và (2) suy ra AI SC ⊥ Vẽ IH song song với BC cắt SB tại H. Khi đó IH vuông góc với (AMB) Suy ra 1 . 3 ABMI ABM V S IH= Ta có 2 4 ABM a S = 2 2 2 2 2 2 2 . 1 1 1 2 3 3 3 IH SI SI SC SA a IH BC a BC SC SC SA AC a a = = = = = ⇒ = = + + Vậy 2 3 1 3 4 3 36 ABMI a a a V = = 5) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với ®¸y hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vu«ng gãc của A lên SB, SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK) và tính thể tích khèi chóp OAHK. Giải : Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên SI (ABCD)⊥ . Ta có IB a 5;BC a 5;IC a 2;= = = Hạ IH BC ⊥ tính được 3a 5 IH 5 = ; Trong tam giác vuông SIH có 0 3a 15 SI = IH tan 60 5 = . 2 2 2 ABCD AECD EBC S S S 2a a 3a= + = + = (E là trung điểm của AB). 3 2 ABCD 1 1 3a 15 3a 15 V S SI 3a 3 3 5 5 = = = . Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a; cạnh bên AA’ = b. Gọi α là góc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC). Tính tan α và thể tích chóp A’.BCC’B’ Gi ải : Gọi O là tâm đáy suy ra ( ) 'A O ABC ⊥ và góc · 'AIA α = *)Tính tan α ' tan A O OI α = với 1 1 3 3 3 3 2 6 a a OI AI= = = 2 2 2 2 2 2 2 3 ' ' 3 3 a b a A O A A AO b − = − = − = 2 2 2 3 tan b a a α − ⇒ = *)Tính '. ' 'A BCC B V ( ) '. ' ' . ' ' ' '. 2 2 2 2 2 1 ' . ' . 3 2 3 1 3 3 . . . 3 2 2 6 3 A BCC B ABC A B C A ABC ABC ABC V V V A O S A O S b a a a b a a dvtt = − = − − − = = 6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3 4 a , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Gi ải : Từ giả thiết AC = 2 3a ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = 3a ; BO = a , do đó · 0 60A DB = Hay tam giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD). Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH AB⊥ và DH = 3a ; OK // DH và 1 3 2 2 a OK DH= = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB). Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒ 2 2 2 1 1 1 2 a SO OI OK SO = + ⇒ = Diện tích đáy 2 4 2. . 2 3 D S ABC ABO S OA OB a ∆ = = = ; đường cao của hình chóp 2 a SO = . Thể tích khối chóp S.ABCD: 3 . 1 3 . 3 3 D DS ABC ABC a V S SO= = 7) Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng SH = S’K =h. Gi ải : SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung điểm SB, S’D : . .S ABCD S AMND V V V= − S A B K H C O I D 3a a . . .S AMND S AMD S MND V V V= + ; . . . . 1 1 ; . ; 2 4 S AMD S MND S ABD S BCD V V SM SM SN V SB V SB SC = = = = . . . 1 2 S ABD S ACD S ABCD V V V= = ; . . . 3 5 8 8 S AMND S ABCD S ABCD V V V V= ⇒ = 2 5 24 V a h⇒ = M N A B D C S S' H K 8) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC = 2 a . 3aSA = , · · 0 30= =SAB SAC . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Giải : Theo định lí côsin ta có: · 2 2 2 2 2 0 2 SB SA AB 2SA.AB.cosSAB 3a a 2.a 3.a.cos30 a= + − = + − = Suy ra aSB = . Tương tự ta cũng có SC = a. Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB ⊥ SA, MC ⊥ SA. Suy ra SA ⊥ (MBC). Ta có MBCMBCMBCMBC.AMBC.SABC.S S.SA 3 1 S.SA 3 1 S.MA 3 1 VVV =+=+= Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau. Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân tại M. Gọi N là trung điểm của BC suy ra MN ⊥ BC. Tương tự ta cũng có MN ⊥ SA. 16 a3 2 3a 4 a aAMBNABAMANMN 2 2 2 2222222 = − −=−−=−= 4 3a MN =⇒ . Do đó 16 a 2 a . 4 3a .3a 6 1 BC.MN 2 1 .SA 3 1 V 3 ABC.S === S A B C M N 9) Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất . Gi ải: ( với 0 < 2 π ϕ < ) 10) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên các cạnh AB, AC sao cho ( ) ( ) DMN ABC⊥ . Đặt AM = x, AN = y. Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y. Chứng minh rằng: 3 .x y xy+ = Gi ải: Dựng DH MN H ⊥ = Do ( ) ( ) ( ) DMN ABC DH ABC⊥ ⇒ ⊥ mà .D ABC là tứ diện đều nên H là tâm tam giác đều ABC . Trong tam giác vuông DHA: 2 2 2 2 3 6 1 3 3 DH DA AH = − = − = ÷ ÷ Diện tích tam giác AMN là 0 1 3 . .sin 60 2 4 AMN S AM AN xy= = Thể tích tứ diện .D AMN là 1 2 . 3 12 AMN V S DH xy= = Ta có: AMN AMH AMH S S S= + 0 0 0 1 1 1 .sin 60 . .sin30 . .sin 30 2 2 2 xy x AH y AH⇔ = + ⇔ 3 .x y xy+ = Gọi ϕ là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC) . Ta có : · SCAϕ = ; BC = AC = a.cos ϕ ; SA = a.sin ϕ Vậy ( ) 3 2 3 2 SABC ABC 1 1 1 1 V .S .SA .AC.BC.SA a sin .cos a sin 1 sin 3 6 6 6 = = = ϕ ϕ = ϕ − ϕ Xét hàm số : f(x) = x – x 3 trên khoảng ( 0; 1) Ta có : f’(x) = 1 – 3x 2 . ( ) 1 f ' x 0 x 3 = ⇔ = ± Từ đó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục và có một điểm cực trị là điểm cực đại, nên tại đó hàm số đạt GTLN hay ( ) ( ) x 0;1 1 2 Max f x f 3 3 3 ∈ = = ÷ Vậy MaxV SABC = 3 a 9 3 , đạt được khi sin ϕ = 1 3 hay 1 arcsin 3 ϕ = A B C S ϕ D A BC H M N 11) Cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD cú ỏy l hỡnh ch nht vi SA vuụng gúc vi ỏy, G l trng tõm tam giỏc SAC, mt phng (ABG) ct SC ti M, ct SD ti N. Tớnh th tớch ca khi a din MNABCD bit SA=AB=a v gúc hp bi ng thng AN v mp(ABCD) bng 0 30 . Gi i : + Trong mp(SAC) k AG ct SC ti M, trong mp(SBD) k BG ct SD ti N. + Vỡ G l trng tõm tam giỏc ABC nờn d cú 2 3 SG SO = suy ra G cng l trng tõm tam giỏc SBD. T ú suy ra M, N ln lt l trung im ca SC, SD. + D cú: . . . 1 1 2 2 S ABD S BCD S ABCD V V V V= = = . Theo cụng thc t s th tớch ta cú: . . . 1 1 1 . . 1.1. 2 2 4 S ABN S ABN S ABD V SA SB SN V V V SA SB SD = = = = . . . 1 1 1 1 . . 1. . 2 2 4 8 S BMN S ABN S BCD V SB SM SN V V V SB SC SD = = = = T ú suy ra: . . . 3 . 8 S ABMN S ABN S BMN V V V V= + = + Ta cú: 1 . ( ) 3 V SA dt ABCD= ; m theo gi thit ( )SA ABCD nờn gúc hp bi AN vi mp(ABCD) chớnh l gúc ã NAD , li cú N l trung im ca SC nờn tam giỏc NAD cõn ti N, suy ra ã ã 0 30 .NAD NDA= = Suy ra: 0 3 tan30 SA AD a= = . Suy ra: 3 1 1 3 . ( ) . . 3 3 3 3 V SA dt ABCD a a a a= = = . Suy ra: th tớch cn tỡm l: 3 . . 3 5 8 8 5 3 . 24 = = = = MNABCD S ABCD S ABMN a V V V V V V 12) Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và aCDBCAB === . Gọi C và D lần lợt là hình chiếu của điểm B trên AC và AD. Tính thể tích tích tứ diện ABC D Gi i : Vì ABCDBCCD , nên )(ABCmpCD và do đó )()( ACDmpABCmp .Vì ACBC ' nên )(ACDmpBC . Suy ra nếu V là thể tích tứ diện ABCD thì ').''( 3 1 BCDACdtV = . Vì tam giác ABC vuông cân nên 2 2 ''' a BCCCAC === . M N O C A D B S G Ta có 2222222 3aCDBCABBDABAD =++=+= nên 3aAD = . Vì BD là đờng cao của tam giác vuông ABD nên 2 '. ABADAD = , Vậy 3 ' a AD = . Ta có 12 2 3 1 3 3 2 2 2 1 '.'. 2 1 sin''. 2 1 )''( 2 aaa AD CD ADACDACADACDACdt ==== . Vậy == 2 2 . 12 2 3 1 2 aa V 36 3 a 13) Trờn cnh AD ca hỡnh vuụng ABCD cú di l a, ly im M sao cho AM = x (0 < x a). Trờn ng thng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ti A, ly im S sao cho SA = 2a. a) Tớnh khong cỏch t im M n mt phng (SAC). b) Kẻ MH vuông góc với AC tại H . Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất ( ) ( ) ( ) ( , ) .sin 45 2 o MH AC SAC ABCD x MH SAC d M SAC MH AM = = = = Ta có 0 . 45 2 2 2 1 1 . ( 2 ) 2 2 2 2 1 1 . 2 ( 2 ) 3 6 2 2 MHC SMCH MCH x x AH AM cos HC AC AH a x x S MH MC a x x V SA S a a = = = = = = = = Từ biểu thức trên ta có: [ ] 3 2 2 1 2 2 3 2 6 2 2 2 SMCH x x a a V a x x a x a + = = = M trùng với D 14) Gi i: Do ( ) ( ) ( ) ( ) SA ABCD SAC ABCD SA SAC Lai có . khối chóp S.BCNM Gi ải : Tính thể tích hình chóp SBCMN ( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD Ta có : BC AB BC BM BC SA ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ . Tứ giác BCMN là hình thang. (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3 4 a , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Gi ải : Từ giả thiết AC = 2 3a ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O. AB = AC = a. BC = 2 a . 3aSA = , · · 0 30= =SAB SAC . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Giải : Theo định lí côsin ta có: · 2 2 2 2 2 0 2 SB SA AB 2SA.AB.cosSAB 3a a 2.a 3.a.cos30 a= + − = + −