SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2011 - 2012 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang) Môn: TOÁN CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 7,0 a 3,5 Điều kiện: 5 5 8 x≤ ≤ (*) 0,5 Phương trình đã cho tương đương với: 2 3 15 3 2 45 9 8 5x x x x x+ − + − = − 2 45 9 4 10x x x⇔ − = − 0,5 2 2 5 2 45 9 16 80 100 x x x x x ≥ ⇔ − = − + 0,5 2 5 2 5 4 0 x x x ≥ ⇔ − + = 0,5 5 2 1 4 x x x ≥ ⇔ = = 0,5 4x ⇔ = 0,5 Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là 4x = 0,5 b 3,5 Hệ đã cho ⇔ ( ) ( ) 2 2 1 ( 1) 4 1 1 2 ( 1) 1 3 1 1 x y x y + + = + = + − + − 0,5 Đặt 1, 1u x v y= + = + Hệ đã cho trở thành 2 2 4 1 1 2 1 1 3 uv u v = + = − − , ĐK : 1 1 u v ≠ ± ≠ ± (*) 1,0 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 1 uv u v u v u v = ⇔ + − = − − + 2 2 4 8 uv u v = ⇔ + = 0,5 4 4 uv u v = ⇔ + = ± 0,5 2 2 u v u v = = ⇔ = = − ( TM(*)) 0,5 Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là: 1 3 ; 1 3 x x y y = = − = = − . 0,5 Trang 1/4 2 3,0 Ta có 2 2 5 2 4 40 0x xy y x+ + − − = ( ) ( ) 2 2 2 1 41x x y⇔ − + + = 0,5 Vì ,x y ∈¢ , 2 1x − là số nguyên lẻ và 2 2 41 5 4= + nên 0,5 ( ) ( ) 2 2 2 1 25 16 x x y − = + = 2 1 5 4 x x y − = ± ⇔ + = ± 1,0 Từ đó suy ra các cặp ( ) ;x y cần tìm là ( ) ( ) ( ) ( ) 3;1 ; 3; 7 ; 2;6 ; 2; 2− − − − 1,0 3 6,0 a 4,0 Xét tam giác IAC và tam giác BDC có · · IAC BDC= 0,5 · · ICA BCD= 0,5 Suy ra IAC ∆ đồng dạng với BDC ∆ (g.g) 0,5 IC BC IA BD ⇒ = (1) 0,5 Tương tự ta cũng có IC AC IB AD = (2) 0,5 Ta có MBC ∆ đồng dạng với MDB∆ (g.g) MC BC MB BD ⇒ = (3) 0,5 Tương tự ta có: MC AC MA AD = (4) 0,5 Trang 2/4 M H d A B D N C I O K Vì MA = MB nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra IA = IB 0,5 b 2,0 Kẻ OH d⊥ tại H. Gọi K là giao điểm của OH và AB. Ta có M, O, I thẳng hàng và OI ⊥ AB. 0,5 ⇒ ∆ OIK đồng dạng với OHM ∆ suy ra OK.OH = OI.OM 0,5 Mà OI.OM = OB 2 2 OB OK OH ⇒ = (không đổi) suy ra K cố định. 0,5 Vì OI ⊥ AB và O, K cố định nên I thuộc đường tròn đường kính OK cố định (ĐPCM). 0,5 4 2,0 BĐT cần chứng minh tương đương với 2 2 2 3 1 1 1 1 a b c b c a a b c c a b c a b bc ca ab + + + + ≥ + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ (1) 0,25 Đặt , , , , 0; 1 a b c x y z x y z xyz b c a = = = ⇒ > = 0,25 Khi đó (1) trở thành: ( ) ( ) 3 1 1 1 1 x y z xy yz zx x y z z x y + + + + ≥ + + + + ÷ ÷ ÷ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 x y y z z x x y y z z x xyz xyz + + + ⇔ + + + + ≥ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1x y y z z x x y y z z x⇔ + + + + ≥ + + + + (2) (do xyz = 1) 0,75 Đặt ( ) ( ) ( ) 3 x y y z z x t+ + + = 2t ⇒ ≥ 0,25 Khi đó (2) trở thành 3 1 1t t+ ≥ + 3 2 1 1 2t t t⇔ + ≥ + + ( ) ( ) 2 1 0t t t⇔ − + ≥ (luôn đúng do 2t ≥ ). Suy ra ĐPCM. Đẳng thức xảy ra ⇔ a b c= = . 0,5 5 2,0 Gọi A, B là 2 điểm thuộc cạnh của đa giác sao cho A, B chia biên đa giác thành 2 đường gấp khúc có độ dài bằng nhau và bằng 1 2 . 0,5 Gọi O là trung điểm của AB. Xét hình tròn tâm O bán kính 1 4 R = . 0,25 Ta sẽ chứng minh hình tròn này chứa đa giác đã cho. Thật vậy, giả sử tồn tại một điểm M thuộc cạnh đa giác và M nằm ngoài hình tròn tâm O bán kính 1 4 R = . 0,25 Trang 3/4 N A B O M Khi đó 1 2 MA MB+ ≤ ( Độ dài đường gấp khúc chứa M ) (1). 0,5 Gọi N là điểm đối xứng với M qua O. Ta có 1 2 2 MA MB MN R+ ≥ > = (2). Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM. 0,5 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Trang 4/4 . GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2011 - 2012 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang) Môn: TOÁN CÂU. 0,5 Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là: 1 3 ; 1 3 x x y y = = − = = − . 0,5 Trang 1/4 2 3,0 Ta có 2 2 5 2 4 40 0x xy y x+ + − − = ( ) ( ) 2 2 2 1 41x x y⇔ − + + = 0,5 Vì. đồng dạng với MDB∆ (g.g) MC BC MB BD ⇒ = (3) 0,5 Tương tự ta có: MC AC MA AD = (4) 0,5 Trang 2/4 M H d A B D N C I O K Vì MA = MB nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra IA = IB 0,5 b 2,0 Kẻ