Phuong trinh vo ti

A . Đặt vấn đề I . Cơ sở lý luận Xét về phơng diện phát triển tính tự lực của học sinh đặc biệt là rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức lĩnh hội dợc thì vai trò của việc giải bài tập trong quá trình học có giá trị rất lớn .Giải bài tập giúp học sinh rèn luyện : ý chí, tính kiên trì vợt khó, phát triển t duy lô gíc, sự nhanh trí .Trong các yêu cầu củ việc giải bài tập toán nói chung và việc giải bài tập đại số nói riêng thì việc đa ra các phơng pháp ,từ đó học sinh tổng quát hoá đợc phơng pháp giải cho từng dạng bài tập là mục tiêu lớn. Bởi vì tổng quát hoá càng cao làm cho học sinh nắm vững kiến thức đã học và biết huy động chúng một cách linh hoạt , sáng tạo, đồng thời phát triển năng lực nghiên cứu của các em. Qua đó các em nắm vững đợc vấn đề có tính khái quát hơn. Phơng trình vô tỉ là một bộ phận quan trọng trong chơng trình dạy toán ở trờng phổ thông với định nghĩa là :" Phơng trình có ẩn số nằm dới dấu căn thức ". Trong chơng trình lớp 9 học sinh đã bắt đầu làm quen với những bài giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai . Lên lớp 10 học sinh đợc học phơng trình chứa căn thức bậc hai trong thời gian 1,5 tiết . Chính vì vậy việc trang bị cho học sinh kiến thức về các phép biên đổi để giải phơng trình vô tỉ là hết sức quan trọng . Nó là cơ sở để giải các phơng trình vô tỉ phức tạp hơn và đắc biệt là phơng trinh vô tỉ siêu việt. Khi giải phơng trình vô tỉ ta phải thực hiện các phép biến đổi tách căn thức và khử nó để đa về phơng trình đã biết cách giải do đó nó quan hệ mật thiết với nhiều loại phơng trình cụ thể là : +Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối +Phơng trình bậc hai +Phơng trình bậc cao +Phơng trình : lợng giác ,mũ, lôgarit ( sau này) II . Cơ sở thực tiễn Trong quá trình giải phơng trình vô tỉ học sinh cha phân biệt đợc khi nào là biến đổi tơng đơng khi nào là biến đổi hệ quả ,dẫn tới việc xuất hiện nghiệm ngoại lai Đối với phơng trình chứa ẩn dới dấu căn bậc chẵn khi nâng luỹ thừa bậc chẵn hai vế muốn tơng đơng thì hai vế phải không âm .Do đó khi giải ra 1 nghiệm ta chỉ cần kết hợp với ĐK rồi lấy nghiệm . Còn khi nâng luỹ thừa bậc lẻ khi nâng luỹ thừa bậc lẻ ta luôn đợc phơng trình tơng đơng . Với cơ sơ đó tôi xin đợc đa ra "một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ" B . Giải quyết vấn đề I. Một số sai lầm của học sinh khi giải phơng trình vô tỉ và biện pháp khắc phục Trong quá trình giải phơng trình bậc hai sai lầm mà học sinh vẫn thờng mắc phải là phép biến đổi không tơng đơng dẫn tới làm mở rộng hoặc thu hẹp miền xác định của phơng trình đó,và dẫn tới miền nghiệm không chính xác nó có thể mất nghiệm hoặc thêm nghiệm Khi giải phơng trình học sinh thờng mắc những sai lầm sau : Thứ nhất : Sai lầm điều kiện : Ví dụ : Giải phơng trình : 1 2 x - 1+x = x+1 (1) Có học sinh giải nh sau: ĐK : + 01 01 2 x x + + 01 0)1)(1( x xx 1 x (1) )1)(1( + xx - 1+x = x+1 Do x 1 nên chia cả hai vế cho 1+x Ta có: 1x -1 = 1+x Với x 1 1 x 1+< x 1x -1< 1+x Phơng trình vô nghiệm Sai lầm học sinh là do học sinh lầm tởng rằng : 0 0 0 0. B A A BA Cho nên học sinh đã giải sai điều kiện Học sinh phải nhớ rằng = > B A B A A BA 0 0 0 0 0. Lời giải đúng: 2 ĐK : + 01 01 2 x x = 1 1 1 1 1 x x x x x * Với x=-1 là nghiệm đúng của phơng trình *Với 1 x làm nh lời giải trên Vậy nghiệm của phơng trình là x=-1 Thứ hai :Sai lầm khi đặt điều kiện Trong khi giải PT dạng : )(xf = g(x) (1) Học sinh thờng biến đổi nh sau : (1) = = )3)(()( )2( 0)( )()( 2 2 xgxf xf xgxf Sau khi giải đợc nghiệm học sinh không thử lại với phơng trình (1) mà khẳng định ngay nghiệm của (3) là nghiệm của (1) hoặc nếu kiểm tra thì chỉ kiểm tra điều kiện f(x) 0 Để khắc phục sai lầm cho học sinh ta hớng dẫn học sinh giải theo phơng pháp sau : n xf 2 )( =g(x) = )()( 0)( 0)( 2 xgxf xg xf n (n N) Ví dụ :Giải phơng trình 1 2 x = 2-x (1) (1) 4 5 5 21 1 )2(1 02 01 22 2 = = = x x x x xx x x * Đối với phơng trình bậc lẻ )()()( 33 xhxgxf =+ (1) Học sinh thờng biến đổi nh sau : (1) )())()(()().(3)()( 3 333 xhxgxfxgxfxgxf =+++ )()()().(3)()( 3 3 xhxhxgxfxgxf =++ (2) Sau khi giải xong PT học sinh kết luận luôn nghiệm của (2) chính là nghiệm của (1) . Sai lầm của HS là coi rằng (1) và (2) là hai phơng trình tơng đ- 3 ơng nhng thực ra chúng không tơng đơng vì đã thay thế h(x) bởi 33 )()( xgxf + Để khắc phục sai lầm cho học sinh ta nhấn mạnh rằng (1) và (20 không t- ơng đơng .PT (2) là hệ quả của PT (1) nên khi giải xong phải thử lại nghiệm vào PT (1) Ví dụ 2 : Giải 333 13121 +=+ xxx (1) (1) ()12)(1(3121 3 ++ xxxx 13)121 33 +=+ xxx 3)13)(12)(1(3 3 =+ xxx 076 23 = xx = = 6 7 0 x x Thử lại (1) chỉ có x= 6 7 là thoả mãn Vậy nghiệm của phơng trình là : x= 6 7 * Đối với phơng trình dạng : )()()( xhxgxf = (1) HS thờng biến đổi nh sau (1) = )())()(( 0)( 0)( 2 xhxgxf xg xf Do đó để khắc phục sai lầm cho HS ta cần nhấn mạnh rằng muốn bình chơng hai vế thì hai vế phải không âm thì mới có hai phơng trình tơng đơng Thực chất (1) += 2 ))()(()( 0)( 0)(;0)( xhxgxf xh xgxf Nhiều HS còn mắc sai lầm ngây thơ )()()()()()( xhxgxfxhxgxf +=+= Thứ ba : Sai lầm trong khi đặt ẩn phụ +Học sinh sau khi đặt ẩn phụ thờng quên không đặt ĐK cho ẩn phụ Ví dụ 3: Tìm m để PT sau có nghiệm m-x = 2 1 + x (1) 4 Giải : Đặt 1 + x = t 1 2 = tx Vậy (1) ttm 21 2 =+ 012 2 =+ mtt (2) HS mắc sai lầm :PT (1) có nghiệm PT (2) có nghiệm 202 ' += mm Mà thực chất PT (1) có nghiệm khi PT(2) có nghiệm t 0 + Học sinh có đặt ĐK cho ẩn phụ nhng mới chỉ là ĐK cần cha phải là ĐK đủ Ví dụ 4: Tìm m để cho phơng trình sau có nghiệm : 2x- 012 22 =++ mxxx (1) Giải : Đặt 01)1(02 22 =++= mtttxx (2) Học sinh thờng mắc sai lầm PT(1) có nghiệm khi PT (2) có nghiệm t 0 là đủ . Nhng đó chỉ là ĐK cần Ta phải tìm ĐK của t Ta có : t = 1 2 2 )2(2 2 = + = xx xxxx ][ 1;0 t Vậy PT (1) có nghiệm khi PT (2) có nghiệm ][ 1;0t II. Hệ thống một số ph ơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ Khi giải PT vô tỉ trớc hết ta phải đặt những ĐK cho bài toán có nghĩa rồi thông thờng phải tìm cách tách căn thức và khử nó .Ta có một số phép biến đổi tơng đơng quan trọng áp dụng cho trờng hợp có căn thức : + = = )()( 0)();( )()( 2 2 xgxf xgxf xgxf n n + )()()()( 12 12 xgxfxgxf n n + + == + = = )()( 0)(0)( )()( 22 xgxf xgxf xgxf nn + )()()()( 1212 xgxfxgxf nn == ++ + )()( 2 xfxf = Tôi xin đa ra một số phơng pháp sau : <1> Phơng pháp sử dụng phép biến đổi tơng đơng 5 Ví dụ 1: Giải PT 02 2 4 =++ + x x x (1) PT (1) = = =+ =+++ 3 2 3 2 20 2)2( 0 024)2( 0 x x x xxx x xxx x Vậy nghiệm của PT là x=2/3 Ví dụ 2 : Giải PT 2 3 1 1 1 1 = + + x x x x (1) ĐK : < > + + 1 1 0 1 1 0 1 1 x x x x x x (2) Từ (1) suy ra 4 9 1 1 1 1 2 = + + x x x x (3) 4 9 1 1 )1)(1( )1)(1( 2 1 1 = + + + + + x x xx xx x x 3 5 9/25 4 9 1 1 1 1 2 === + + + xx x x x x Kiểm tra lại ĐK ta có x=5/3 là nghiệm của PT đã cho Chú ý do PT (1) và PT (3) không tơng đơng nên khi giải xong (3) ta phải kiểm tra lại ĐK và thử nghiệm với PT đã cho. Ví dụ 3 : Giải phơng trình: 0232 3 =++ xx (1) Giải PT (1) 3 232 +=+ xx (2) ĐK: 3 2 2 3 2 x x x PT (2) = = =++=+ 2 1 043)23()2( 2322 x x xxxx Với x=-1 (loại) x=2 TM . Vậy nghiệm của PT là x= 2 Kết luận 6 Phơng pháp biến đổi tơng đơng là phơng pháp quan trọng và đặt nền móng cho các phơng pháp khác .Nó dễ hiểu ,dễ nhớ , học sinh ở các mức độ đều có thể vận dụng vào để giải PT .Mọi PT ở dạng phức tạp đều có thể đa về dạng PT vô tỉ đơn giản hơn bằng phép biến đổi tơng đơng . Tuy nhiên nhiều bài toan nếu làm theo phơng pháp náypẽ trở nên phức tạp ,thậm chí còn không giải đợc . <2>. Phơng pháp đặt ẩn phụ Mục đích chính của phơng pháp dặt ẩn phụ là nhằm đa PT đang xét về dạng đơn giải hơn và đã biết cách giải .Ta có thể gặp các trờng hợp sau : Dạng 1: axgxf n += )()( ( Với g(x) = k.f(x) +b ) Cách giải : Đặt = txf n )( ĐK của t Ta đa về PT 0 =++ batt n Các ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1 : Giải phơng trình : 562233 2 3 2 +=+ xxxx (1) Giải : Đặt 32 3 2 23233 txxtxx =+=+ Vậy (1) = + = = =+=+ 2 31 2 31 1 0)122)(1(0132 3 2 1 23 t t t ttttt các trờng hợp của 21 ;tt dẫn tơi PT ẩn x có nghiệm . Trờng hợp 3 t dẫn tới PT ẩn x vô nghiệm Dạng 2 : cxgbxfa nn =+ )()( ( ),, Rcba Với f(x) .g(x) = k = const 7 Cách giải : Vì f(x) .g(x) = k nên đặt txf mn = )( Vậy PT (1) c t bat n m =+ 1 Ví dụ minh hoạ : Giải Phơng trình : 2 5 212 1 1 212 44 = + x x x x (1) Ta thấy 1 212 1 . 1 212 = x x x x nên ta đặt 2 51 )1(0 1 212 4 =+>= t tt x x = = =+ 2 2/1 0252 2 t t tt + Với t = 1/2 33 193 16 1 1 212 == x x x + Với t = 2 9 14 16 1 212 == x x x Vậy tập nghiệm của phơng trình là :S = 9 14 ; 33 193 Dạng 3: n nn xgxfcxgbxfa )().()()( 22 =+ (1) Cách giải : Xét f(x) = 0 f(x) 0 chia cả hai vế cho n xf )( 2 (1) n n xf xg c xf xg ba )( )( )( )( 2 2 =+ Đặt t xf xg n = )( )( ta đa về PT 0 2 =+ actbt Ví dụ : Giải Phơng trình : 3 3 2 3 2 )3)(2(5)3(4)2( =+ xxxx Giải : x = 3 không là nghiệm của PT nên chia cả hai vế cho 3 2 )3( x ta đợc 3 3 2 2 3 2 54 )3( )2( =+ x x x x Đặt = = =+= 4 1 045 3 2 2 3 t t ttt x x - HS giải tiếp Dạng 4 : cbxgaxf mn =+++ )()( Với ( f(x) +a) ( g(x) +b) = a b Cách giải : Đặt uaxf n =+)( vbxg m =+)( 8 Ta có hệ = =+ bavu cvu mn Giải hệ thay vào tính đợc x Ví dụ minh hoạ : Giải phơng trình : 6 2020 = + + x x x x Đặt 0 20 >= + u x x 0 20 >= v x x = = = = =+ = =+ 12 6 2 6 4 6 2 6 2 6 22 x v u vu vu vu vu Vậy nghiệm của phơng trình là x = 12 Ví dụ 2: Giải phơng trình : 21412 33 =++ xx Đặt : ux = 3 12 : vx =+ 3 14 Ta có (1) = = = = = = =+ =+ =+ 3 1 1 3 3. 2 26 2 33 x v u v u vu vu vu vu Kết luận : Khi giải PT vô tỉ theo phơng pháp đặt ẩn phụ chúng ta phải nhớ đặt ĐK của ẩn phụ , chuyển ĐK của ẩn số sang ẩn số phụ . Tuỳ theo từng bài toán và dạng toán mà ta có cách đặt ẩn phụ thích hợp với PT đang xét . Nhiều bài toán ta không thể nhìn thấy ngay cách đặt ẩn phụ mà phải qua một số phép biến đổi thì mới có thể làm đợc . Do đó việc đặt ẩn phụ đòi hỏi phải t duy linh hoạt , khéo léo nh nghệ thuật giải toán . Ngoài hai phơng pháp thờng dùng tôi đã trình bày ở trên còn một số phơng pháp khác cũng rất thuận lợi nh : " Phơng pháp đạo hàm ; Phơng pháp đồ thị ; phơng pháp hình học ; phơng pháp đánh giá . Tuy nhiên với hạn chế của SK KN tôi xin cha trình bày ở đây . III . Một số bài toán với các cách giải khác nhau . Theo tôi khi giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau trớc hết sẽ kích thích gợi động cơ , gây hng phấn cho HS từ đó HS có niềm say mê tìm hiểu và đi sâu vào toán học . Thứ hai ,học sinh sẽ nhìn đợc một số vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau ,do đó kiến thức đợc sử dụng nhiều ,học sinh sẽ đợc mở mang trí tuệ ,ôn tập ,củng cố kiến thức rèn luyện óc t duy sáng tạo linh hoạt . Cuối cùng 9 học sinh chọn đợc cách giải hay nhất ,ngắn gọn nhất . Vì thế khi giảng dạy cho học sinh ta cần cho học sinh làm toán với nhiều cách khác nhau . Bài toán 1 : Giải phơng trình : 222 += xx (1) Cách 1: PT (1) = = ++= 2 2 0 442.4 0 2 2 x x x xxx x x Vậy nghiệm của phơng trình là x = 2 Cách 2 : Đặt ẩn phụ : Đặt . 2 02 2 t xtx == PT (1) 22220442 2 2 2 2 ====++= xxttt t t Cách 3 : Đánh giá ĐK : x 0 Theo BĐT côsi ta có VP = x+2 VTx = 22 . Dấu bằng xảy ra khi x = 2 Vật nghiệm của phơng trình là : x = 2 Bài toán 2 : Giải phơng trình : 1222 2 = xxx (1) Cách 1: ĐK : 2x PT (1) 112)112(112212 22 +=+=++= xxxxxx vì x 2 += = =+= 22 222 024121 2 x x xxxx Vậy nghiệm của phơng trình là x = 2+ 2 Cách 2 : Đặt 2 1 12012 2 +== xtxtx PT (1) = += =++=+ xt xt xttttx 1 1 0122)1( 2 1 2222 Ta thấy 2 t không thoả mãn += = == 22 )1(12 1 1121 2 1 x xx x xxxt Cách 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về hệ : 10 [...]... sâu có nâng cao và rèn luyện t duy toán học cho học sinh, tạo ra nền tảng tin cậy để các em có vốn kiến thức nhất định làm hành trang cho những năm học ti p theo 2> Kết quả đạt đợc và kiến nghị 11 Với những sai lầm mà HS thờng mắc phải khi giải phơng trình vô tỉ ở dạng đơn giản sau khi đợc trang bị cách giải chính xác HS đã tự tin hơn ,giải toán nhanh hơn và chính xác hơn ít mắc những sai sót cơ bản... với học sinh khá ,giỏi đã vận dụng tốt phơng pháp giải và thực hiện giải tốt các dạng phơng trình vô tỉ ở dạng phức tạp Mặc dù vậy tôi rất mong muốn các đồng chí đóng góp ý kiến để SK này có tính thực ti n và đợc sử dụng rộng rãi Tôi xin trân thành cảm ơn 12 . rèn luyện t duy toán học cho học sinh, tạo ra nền tảng tin cậy để các em có vốn kiến thức nhất định làm hành trang cho những năm học ti p theo. 2> Kết quả đạt đợc và kiến nghị 11 Với những. trình bậc hai . Lên lớp 10 học sinh đợc học phơng trình chứa căn thức bậc hai trong thời gian 1,5 ti t . Chính vì vậy việc trang bị cho học sinh kiến thức về các phép biên đổi để giải phơng trình. hết sức quan trọng . Nó là cơ sở để giải các phơng trình vô tỉ phức tạp hơn và đắc biệt là phơng trinh vô tỉ siêu việt. Khi giải phơng trình vô tỉ ta phải thực hiện các phép biến đổi tách căn thức