CáC dạng bài toán số học và đại số THCS Các bài toán số học và đại số PTCS Chơng I Số NGUYÊN I . KIếN THứC CƠ BảN 1 . Chia có d và chia hết a , Cho hai số nguyên a và b (b 0 ) tất có duy nhất một cặp số nguyên ( , 0 q r ) sao cho a = bq + r ,ở đó 0 r < b , q gọi là thơng , r gọi là số d trong phép chia a cho b . Nếu r = 0 nghĩa là a = b. q thì ta nói a chia hết cho b hay a là bội của b kí hiệu a M b . Ta còn nói b chia hết cho a hay b là ớc của a . b , Một số tính chất cần lu ý : + Nếu a M b và b M a thì a b + Nếu a M b và b M c thì a M c + Nếu a M m và b M m thì a b M m c , Một số dấu hiệu chia hết : - Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là chẵn - Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chỡ số tận cùng là 0 hoặc 5 - Một số chia hét cho 3 ( cho 9 ) khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3 ( cho 9) 2 . Ước chung lớn nhất Bội chung nhỏ nhất a , Số lớn nhất của các ớc chung của 1 2 ; ; ; n a a a là ớc chung lớn nhất của n số Kí hiệu ( 1 2 ; ; ; n a a a ) Ước chung lớn nhất của n số chia hết cho ớc số chung bất kì của n số đó b , Số dơng nhỏ nhất trong các bội số chung của 1 2 ; ; ; n a a a gọi là bội chung nhỏ nhất của n số đó Kí hiệu 1 2 ; ; ; n a a a Bội chung nhỏ nhất của n số là ớc của bội chung bất kì của n số đó c , Các số nguyên 1 2 ; ; ; n a a a gọi là các số nguyên tố cùng nhau nếu ớc chung lớn nhất của chúng bằng 1 d , Một số kết quả cần lu ý : + Nếu ớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của n số bằng phơng pháp phân tích ra thừa số + Nếu .a b cM và ( 1 a ; c ) = 1 thì b M c + Nếu (a ; c ) = 1 thì (ab; c ) = (b ; c) Do đó nếu ( 1 a ; c ) ; ( 2 a ; c ) ; ; ( n a ; c ) = 1 thì ( 1 2 ; ; ; ; n a a a c ) = 1 + ( ) ; ;a b a b ab= + Nếu ; ; ; 1 2 A m A m A m n M M M và ( m ; n ) = 1 ( mọi i j ) thì 1 2 A m m m n M 3 . Số nguyên tố Hợp số a , Số tự nhiên lớn hơn 1 có hai ớc là 1 và chính nó gọi là số nguyên tố . Số tự nhiên lớn hơn 1 không là số nguyên tố gọi là hợp số b , Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích đợc ra số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất ( không kể thứ tự các thừa số ) c , Ước nhỏ nhaqát lớn hơn 1 của một số tự nhiên lớn hơn 1 là một số nguyên tố d , Tích của các thừa số chia hết cho số nguyên tố p thì tất có một thừa số chia hết cho số p II . Một số bài toán và phơng pháp giải : 1 . Chia hết và chia có d : Bài toán 1 : Một số chia hết cho 7 thì d 6 , chia cho 8 d 5 .Hỏi số đó chia cho 56 thì d bao nhiêu ? Phân tích tìm lời giải : Để tìm số d r khi chia số nguyên a cho số nguyên b , ta tìm cách biểu diễn Chu Văn Thuấn Chu Văn Thuấn 1 CáC dạng bài toán số học và đại số THCS a = b.q + r với 0 r < b Giải : Cách 1 : Gọi số bị chia là a Từ giả thiết ta có a = 7.q 1 + 6 và a = 8. q 2 + 5 ( q 1 ; q 2 Z ) Do đó 8. a = 56.q 1 + 48 và 7. a = 56. q 2 + 35 Suy ra a = 56 (q 1 - q 2 ) + 13 Vậy số d là 13 Cách 2 : Từ a = 7.q 1 + 6 = 8. q 2 + 5 ta có 7. q 1 - 7. q 2 = q 2 - 1 M 7 Vậy q 2 - 1 = 7.t ( t Z ) hay q 2 = 7.t + 1 Thay vào ta đợc a = 56.t + 13 Suy ra số d là 13 Bài toán 2 : Khi chia số nguyên a cho 3 d 2 ; chia 8 cho d 4 . Hỏi số d khi chia số a cho 48 ? Giải : Theo giả thiết ta có : a = 3.q 1 + 2 = 8. q 2 + 4 Do đó q 2 - 2 = 9 . q 2 3. q 1 = 3.(3. q 2 - q 1 ) M 3 Vậy q 2 - 2 = 3 .t (( t Z) Hay q 2 = 3 .t + 2 . Thay vào a ta đợc a = 24.t + 20 Vì t Z nên có hai khả năng : t = 2.k hoặc t = 2.k + 1 Với t = 2k thì a = 48 k + 20 . Số d là 20 Với t = 2k + 1 thì a = 48k + 44 . Số d là 44 Vậy số d là 20 hoặc 44 Bài toán 3 : Kí hiệu BSx là một bội số nào đó của số nguyên x . a , Chứng minh rằng : a = Bsb thì n a = Bsb + n r ( a ; r Z ) b , Tìm số d trong phép chia 1992 1993 cho 9 Giải : a , Vì a = BS b + r nên a r = Bs b . Ta lại có : n a - n r = 1 2 ( )( ) n n n a r a a r Bsb + + + = Hay n n a Bsb r= + b , Ta có : 1993 9 4Bs= + Theo ý a ta có : 1992 1992 1993 9 4Bs= + mà 3 4 64 9 1Bs= = + Nên 3 664 664 (4 ) 9 1Bs= + hay 1992 4 9 1Bs= + Do đó 1992 1993 9 1Bs= + Vậy số d cần tìm là 1 Bài toán 4 : Chia số 1993 cho một số tự nhiên a ta đợc thơng là 30 . Tìm số chi a và số d trong phép chia này ? Giải : Gọi r là số d của phép chia . Theo giả thiết ta có : a = 30a + r trong đó 0 < r < a Do đó : 0 < 1993 30a < a nghĩa là 30a < 1993 và 1993 < 31a Hay a < 1993 13 66 30 30 = và a > 1993 9 64 31 31 = Vậy a = 65 hoặc 66 Khi a = 65 ta có r = 43 Khi a = 66 ta có r = 13 Bài toán 5 : Chứng minh rằng nếu hai số nguyên a và b chia cho số nguyên c mà cùng cho một số d r thì hiệu a b chia hết cho c . Giải : Vì a và b chia cho số c cùng có số d r nên ta có : a = c.q + r và b = c. t + r do đó a b = c . ( q t ) M c Bài toán 6 : Chứng minh rằng tồn tại số chỉ gồm chữ số 1 và 0 chia hết cho 1993 . Chu Văn Thuấn Chu Văn Thuấn 2 CáC dạng bài toán số học và đại số THCS Giải : Xét 1994 số sau : 1;11;111; ; { 1994 1 1 1 so Trong 1994 số đó tất cả có hai số có hiệu chia hết cho 1993 Hiệu hai số đó chỉ gồm hai chữ 1 và 0 . Vậy tồn tại số chỉ gồm hai chữ số 1 và 0 chia hết cho 1993 . Khai thác kết quả : Ta thấy hiệu hai số nói trên là số có dạng : { 0 11 00 0 11.1 1.10 k kchuso = Tích hai thừa số 111 và 10 k chia hết cho 1993 mà ( 10 k , 1993 ) = 1 Nên 111 M 1993 Vậy ta có kết quả mạnh hơn : tồn tại số chỉ toàn chữ số 1 chia hết cho 1993 Bài toán 7 : Thêm vào bên trái của số 1986 một chữ số và thêm vào bên phải số ấy một chữ số để đợc số mới chia hết cho 45 Giải : Gọi chữ số thêm vào bên phải là x và số thêm vào bên trái là y , ta có số là : 1986x y M 45 Vì 45 = 5.9 và ƯCLN(5;9) = 1 Nên 1986x y M 45 khi và chỉ khi 1986x y M 5 và 1986x y M 9 Để 1986x y M 5 phải có y =0 hoăc y = 5 Với y = 0 để 1986x y M 9 phải có : x + 1 + 9 + 8 + 6 + 0 M 9 Vậy x = 3 Với y = 5 để 1986x y M 9 phải có : x + 1 + 9 + 8 + 6 + 5 M 9 Vậy x = 7 Do đó số cần tìm là 319860 và 719865 Bài tập tơng tự : Bài tập 1 : Tổng của hai số là 253 . Chia số lớn cho số nhỏ đợc thơng là 5 d 7 . Tìm hai số đó ? Bài 2 : Trong một phép chia , số bị chia bằng 155 , và số d bằng 12 . Tìm số chia và thơng ? Bài 3 : 2 . Ước chung lớn nhất Bội chung nhỏ nhất : Bài toán 8 : Một xí nghiệp có 3 phân xởng . Phân xởng thứ nhất có 99 công nhân , phân xởng thứ hai có 63 công nhân , phân xởng thứ 3 có 72 công nhân . Trong đợt học tập chính trị toàn xí nghiệp , công nhân đợc chia thành từng tổ sao cho mỗi ngời ở mỗi phân xởng đợc chia đều cho mỗi tổ . Có thể chia đợc bao nhiêu tổ ? Giải: Vì số ngời ở mỗi phân xởng đợc chia đều cho mỗi tổ , nên số ngời ở mỗi phân xởng đều chia hết cho số tổ . Do đó số tổ là ƯC (99;63 và 72 ) , Số tổ nhiều nhất tơng ứng với ƯCLN(99;63 và 72 ) Ta có : 99 = 3 2 .11 ; 63 = 3 2 .7 ; 72 = 2 3 . 3 2 Vậy ƯCLN( 63 ; 72 ; 99 ) = 9 Do đó ta có thể chia đợc nhiều nhất là 9 tổ Bài toán 9 : Có ba chiếc thuyền , thuyền thứa nhất cứ 6 ngày cặp bến một lần , thuyền thứ hai cứ 5 ngày cặp bến một lần và thuyền thứ ba 10 ngày . Nếu ba thuyền cùng cặp bến một lần thì sau mấy ngày thuyền thứ nhất cùng cặp bến với thuyền thứ hai , thuyền thứ nhất với thuyền thứ ba , thuyền thứ hai với thuyền thứ ba và cả ba thuyền cùng cặp bến một lần nữa ? Giải: Vì thuyền thứ nhất cứ 6 ngày cặp bến một lần nên số ngày để thuyền thứ nhất cặp bến là B(6) Tơng tự thuyền thứ hai là B(5) , thuyền thứ ba là B( 10) Do đó số ngày thuyền thứ nhất và thuyền thứ hai lại cùng cặp bến là BCNN(6;5) = 30 Số ngày của thuyền thứ hai và thuyền thứ ba lại cùng cặp bến là BCNN( 5;10) = 10 Số ngày thuyền thứ nhất với thuyền thứ ba lại cùng cặp bến là BCNN( 6; 10 ) = 30 Số ngày cả ba thuyền cùng cặp bến lại lần nữa là BCNN( 5;6 Và 10 ) = 30 Chu Văn Thuấn Chu Văn Thuấn 3 CáC dạng bài toán số học và đại số THCS Bài toán 10 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất , biết rằng khi chia số đó cho 3 d 2 , chia cho 4 d 3 , chia cho 5 d 4 Giải : Gọi số cần tìm là x , thì x + 1 chia hết cho 3 ; 4 và 5 Vì x là số tự nhiên nhỏ nhất nên x + 1 là BCNN ( 3; 4 và 5 ) = 60 Vậy số x cần tìm là 60 1 = 59 Bài toán 11 : Chứng minh rằng nếu các số nguyên a ; b ; q ; r thoả mãn a = b . q + r thì ƯCLN(a;b) = ƯCLN ( b ; r ) Giải : Gọi d = ƯCLN(a ; b ) và d = ƯCLN (b ; r ) Ta có a M d và b M d mà a = b . q + r nên r = a b . q Suy ra r M d ( vì a M d và b .q M d ) Do đó d là ớc chung của b và r Suy ra d tơng đơng d Tơng tự ta có d là ớc chung của a và b Suy ra d tơng đơng với d Suy ra d = d Hay ƯCLN( a ; b ) = ƯCLN ( b ; r ) TA Có THể Sử DụNG BàI TOáN TRÊN Để GIảI BàI TOáN SAU : Tìm ƯCLN của hai số a và b theo thuật toán Ơclit : Với a ; b là các số nguyên nếu một hai số là ớc của số kia chẳng hạn a M b thì ƯƠLN ( a;b) = b Nếu trờng hợp trên không xảy ra , ta thực hiên một dãy các phép chia có d 0 1 1 1 1 2 2 1 1 1 . 0 . 0 2 0 n n n n n a b q r r b b r q r r r r r r r r = + < < = + < < = + < < 1 . n n n r r q = ( sau một số hữu hạn phép chia , số d 1 0 n r + = ) Ta có ƯCLN (a ; b ) = ƯCLN ( b ; r ) = = ƯCLN( 1 ; n n r r ) = n r Bài toán 12 : Tìm ƯCLN của hai số a = 2 n + 3 n và b = 2 n+1 + 3 n+1 với n là số tự nhiên Giải: Gọi d = ƯCLN ( a ; b ) ta có a M d và b M d nên b 2a = 2 n+1 + 3 n+1 2 (2 n + 3 n ) = 3 n M d Tơng tự ta có 2 n M d Từ đó suy ra d là ớc chung của 2 n và 3 n mà ƯCLN( 2 n ; 3 n ) = 1 Vậy d = 1 hay ƯCLN ( a ; b ) = 1 Bài toán 13 : Tìm hai số nguyên dơng a và b biết rằng ƯCLN (a ; b ) = 6 . BCNN ( a ;b ) = 36 Giải : Do ƯCLN (a ; b ) = 6 nên ta có a 6 . m ; b = 6 . n với m , n là ccác số nguyên dơng và ƯCLN( m , n ) =1 Mà a . b = ƯCLN ( a ; b ) . BCNN (a ; b ) do đó 6m . 6n = 36 .6 Suy ra m.n =6 ( bài toán đa về tìm hai số nguyên tố cùng nhau biết tích của chúng bằng 1) Ta có 6 = 6 .1 = 2 .3 Bởi vậy , với m < n thì m = 1 ; n = 6 hoặc m = 2 ; n = 3 Vậy hai số cần tìm là 6 và 36 hoặc 12 và 18 . 3 . Số nguyên tố : Bài toán 14 : Số nào gồm 4 chữ số giống nhau mà chỉ có hai ớc nguyên tố Giải : Gọi số có 4 chữ số giống nhau có dạng là aaaa ( 1 a 9 ) Mà aaaa = a . 1111 = a . 101 . 11 Vì 11 và 101 là hai số nguyên tố lớn hơn 9 nên số aaaa chỉ có hai ớc số nguyên tố khi và chỉ khi a = 1 Vậy số cần tìm là 1111 Bài toán 15 : Tìm tất cả các ớc số của 100 Giải : Phân tích số 100 thành tích các thừa số nguyên tố , ta đợc 100 = 2.2.5.5 = 2 2 .5 2 Các ớc của luỹ thừa của 2 là 1;2;2 2 Các ớc của luỹ thừa của 5 là 1 ; 5 ; 5 2 Chu Văn Thuấn Chu Văn Thuấn 4 CáC dạng bài toán số học và đại số THCS Lần lợt lấy tích các số 1;5;25 với các số 1;2;4 ta đợc ớc số của 100 là 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20 ; 25 ; 50 ; 100 Bài toán 16 : Tímố nguyên tố p sao cho p+ 2 ; p + 10 cũng là số nguyên tố Giải : Với p = 3 ta có p + 2 = 5 ; p + 10 = 13 đều là các số nguyên tố Vậy p = 3 là một nghiệm Với p và p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3 Vậy p chia cho 3 d1 hoặc 2 Nếu p cho 3 d 1 thì p + 2 chia hết cho 3 mà p+ 2 > 3 nên p + 2 không là số nguyên tố ( tráI với điều kiện giả thiết ) Nếu p chia cho 3 d 2 thì p + 1 chia hết cho 3 do đó p + 10 chia hết cho 3 và p + 10 > 3 nên p + 10 không là số nguyên tố , không thoả mãn điều kiện Vậy bài toán có một nghiệm duy nhất là p = 3 Bài toán 17 : Chứng minh rằng với n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì số n 4 + 4 là hợp số Giải : Ta có : n 4 + 4 = ( n 4 + 4.n 2 + 4 ) (2.n) 2 = ( n 2 + 2 ) 2 ( 2n) 2 = ( n 2 2 n + 2 )( n 2 + 2n + 2 ) Với n > 1 thì n 2 + 2n + 2 > n 2 2n + 2 > 1` Do đó n 4 + 4 có nhiều hơn hai ớc số ( dơng ) Vậy n 4 + 4 là hợp số Bài toán 18 : Tìm số nguyên tố p sao cho 2p + 1 là lập phơng của một số tự nhiên Giải: Gỉa sử có số nguyên tố p thoả mãn 2p + 1 = n 3 ( n N ) khi đó : 2p = n 3 1 = ( n 1 )( n 2 + n + 1 ) chia hết cho 2 Nếu n chẵn thì n 1 lẻ và n 2 + n + 1 lẻ do đó 2p = ( n 1 )( n 2 + n + 1 ) lẻ ( vô lí ) Vậy n lẻ Suy ra ( n 1 ) chia hết cho 2 Tứ đó ta có p = 2 1 ( )( 1) 2 n n n + + có hai ớc số là 1 2 n và n 2 + n + 1 Vì n 2 + n + 1 > 1 và p là s nguyên tố nên phải có 1 2 n = 1 và p = n 2 + n + 1 Hay n = 3 và p = 13 Với p = 13 ta có 2p + 1 = 3 3 Vậy số nguên tố cần tìm là 13 4 . Phơng pháp tìm nghiệm nguyên : Bài toán 19 :Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 2x + 5y = 48 Giải: Cách 1 : Dựa vào phơng trình bậc nhất và nghiệm nguyên dơng Do x , y nguyên dơng và 2x + 5y = 48 . Suy ra 0< y < 10 (1) Mặt khác 5y = 48 2x = 2 ( 24 x ) . Mà ƯCLN (2 ; 5 ) = 1 nên y chia hết cho 2 Kết hợp với (1) thì y chỉ có thể là 2 ; 4 ; 6 ; 8 Với y = 2 thì 2x + 10 = 48 , ta đợc x = 19 Với y = 4 thì 2x + 20 = 48 , ta đợc x = 14 Với y = 6 thì 2x + 30 = 48 , ta đợc x = 9 Với y = 8 thì 2x + 40 = 48 , ta đợc x = 4 Vậy phơng trình có 4 nghiệm (x ; y ) là (19 ; 2 ) ; ( 14 ; 4 ) ; ( 9 ; 6 ); ( 4 ; 8 ) Cách 2 : Tìm nghiệm nguyên sau đó lấy nghiệm nguyên dơng Phơng trình trên tơng đơng với 2x = 48 5y 48 5 2 y x = 2 24 2 y x y = + để x nguyên dơng phải có 2 y = t với t nguyên , hay y = 2t Thay vào x ta có : x = -4t + 24 t hay x = 24 -5t Chu Văn Thuấn Chu Văn Thuấn 5 CáC dạng bài toán số học và đại số THCS Ta đợc nghiệm nguyên của phơng trình là 24 5 ( ) 2 x t t Z y t = = Để đợc nghiệm nguyên dơng phải có 24 5 0 24 0 2 0 5 t hay t t > > > > Vậy t = 1; 2 ; 3 ; 4 . Tơng ứng với 4 nghiệm là (19 ; 2 ) ; ( 14 ; 4 ) ; ( 9 ; 6 ); ( 4 ; 8 ) Bài toán 20 : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x 2 + 6 = xy y Giải : x 2 + 6 = xy y 2 ( 1) 7 ( 1) ( 1)( 1) 7x y x x y x + = + = Vì 7 là số nguyên tố nên các ớc của 7 là -1 ; 1 ; - 7 ; 7 . Do đó có 4 trờng hợp xảy ra : 1 1 1, 1 7 x y x = + = 1 1 2, 1 7 x y x = + = 1 7 3, 1 1 x y x = + = 1 7 4, 1 1 x y x = + = Giải các hệ phơng trình trênta có 4 nghiệm : ( 2 ; 10 ) ; ( 10 ; -6 ) ; ( 8 ; 10 ) ; ( -6 ; -6 ) Bài toán 21 : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : 4x 2 + 5y 2 = 145 Giải: Từ phơng trình ban đầu ta có : 4x 2 = 145 5y 2 =5( 29 y 2 ) chia hết cho 5 Mà CLN( 4 ; 5 ) = 1 do đó x 2 chia hết cho 5 vì 5 là số nguyên tố nên x chia hết cho 5 Vậy x = 5t ( t Z ) Thay vào phơng trình ban đầu ta đợc 100t 2 + 5y = 145 Suy ra 100t 2 145 do đó t 2 1 Vậy t 2 =0 hoặc t 2 = 1 Với t 2 = 0 thì 5y 2 = 145 hay y 2 = 29 phơngtrình này không có nghiệm nguyên Với t 2 = 1 thì ta đợc x = - 5 và 5 ; y = -3 và 3 Phơng trình trên có 4 nghiệm nguyên : ( 5 ; 3 ) ; ( 5 ; - 3 ) ; ( -5 ; 3 ) ; ( -5 ; - 3 ) Bài toán 22 : Tìm nghiệm nguyên của hệ phơng trình : (1) 2 (2) 2 1 x y xy z + = = Giải: Từ (2) ta có xy = 1+ z 2 > 0 Suy ra x ; y cùng dấu Mà x + y = 2 > 0 nên x > 0 ; y > 0 Do đó x = y = 0 Thay vào (2) ta đợc z 2 = 0 hay z = 0 Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = 1 ; y = 1 ; z = 0 Bài toán 23 : Tră m trâu trăm cỏ ;Trâu đứng ăn năm trâu nằm ăn ba ; lụ khụ trâu già ba con ăn một bó . Hỏi số trâu mỗi loại ? Giải: Gọi x ; y ; z tơng ứng là số trâu nằm , trău đứng , trâu già ( x ; y ;z là nguyên dơng ) , ta có hệ phơng trình sau : (1) (2) 100 5 3 100 3 x y z z x y + + = + + = (1) (2) 100 15 9 300 x y z x y z + + = + + = Từ (1) ta có z = 100 x y , thế vào (1) ta đợc : 14x + 8y = 200 hay 7x + 4y = 100 (3) Bài toán đa về phơng trình nghiệm nguyên dơng của phơng trình (3) Chu Văn Thuấn Chu Văn Thuấn 6 CáC dạng bài toán số học và đại số THCS Từ (3) ta có 7x = 100 4y = 4( 25 y) M 4 Vì ƯCLN (7 ; 4 ) = 1 hay x = 4t ( với t nguyê dơng ) Thay vào (3) ta đợc 28t + 4y = 100 hay y = 25 -7t Để y nguyên dơng thì t =1 ; t = 2 ; t = 3 Tơng ứng có 3 nghiêm ( x ; y ;z ) là ( 4 ; 18 ; 78 ) ; ( 8 ; 11 ; 81 ) ; ( 12 ; 4 ; 84 ) 5 . Một phơng pháp đăc biệt : 5.1 Phơng pháp giả thiết tạm : Bài toán 24 : Vừa gà vừa chó , bó lại cho tròn : ba mơi sáu con , một trăm chân chẵn . Tính số gà , số chó ? Giải: Cách 1 : Gỉa sử tất cả ba mơi sáu con đều là gà thì số chân là 2 .36 = 72 (chân ) Số chân bị thiếu hụt là 100 72 = 28 (chân ) Số chân này là của chó , mỗi con còn thiếu 2 chân Vậy số chó là 28 : 2 = 14 (con ) và số gà là 36 14 = 22 (con ) Cách 2 : Gỉa sử tất cả 36 con đều là chó Thì số chân của 36 con là 36 . 4 = 144 ( chân ) Số chân thừa ra là 144 100 = 44 (chân) Số chân thừa ra là của gà , vì mỗi con tính thừa ra 2 chân Vậy số con gà là 44 : 2 = 22 ( con ) và số con chó là 36 22 = 14 ( con ) Bài toán 25 : Có 40 tờ giấy bạc gồm 4 loại : 10 nghìn ; 5nghìn ; 2 nghìn ; 1 nghìn ; với tổng số tiền là 110 nghìn đồng .Tính số tờ mỗi loại ? Biết rằng số tiền của loại 10 nghìn đồng gấp đôi loại 1 nghì đồng , còn số tiền loại 5 nghìn đồng bằng số tiền loại 2 nghìn đồng . Giải: Vì số tiền loai 10 nghìn đồng gấp số tiền loại 1 nghìn đồng nên số tiền loại 1 nghìn gấp 5 lần loại 10 nghìn . Dođó ta có các nhóm , mỗi nhóm gồm 5 tờ 1nghìn và 1 tờ 10 nghìn ta gọi là nhóm I . Tơng tự có ccá nhóm , mỗi nhóm gồm 2 tờ 5 nghìn và 5 tờ 2 nghìn gọi là nhóm II . Mỗi nhóm I có 6 tờ gồm 15 nghìn và nhóm II Có 7 tờ gồm 20 nghìn trung bình mỗi tờ nhóm I là 16 5 6 2 = nghìn . Ta giả sử mỗi tờ nhóm II là 5 2 nghìn , thế thì 40 tờ ứng với số tiền là 5 .40 100 2 = nghìn . Số tiền thiếu hụt là 1100 nghìn 100 nghìn = 10 nghìn .Số thiếu này là của nhóm II . Mỗi nhóm đợc yính 7 . 5 2 = 35 2 nghìn . Vậy thiếu mỗi nhóm là 20 nghìn - 35 2 nghìn = 5 2 nghìn Do đó số nhóm II là 10 nghìn : 5 2 nghìn = 4 tờ Từ đó số tờ loại 5 nghìn là 4 .2 = 8 tờ Số tờ loại 2 nghìn là 4 .5 = 20 tờ Số tiền nhóm II là 20 . 4 = 80 nghìn Số tiền nhóm I là 30 nghìn Suy ra số tiền loại 10 nghìn là 20 nghìn và của 1 nghìn là 10 nghìn Nên số tờ loại 10 nghìn là 2 , số tờ 1 nghìn là 10 , số tờ loại 5 nghìn là 8 , số tờ loại 2 nghìn là 20 Bài tập t ơng tự : Bài 1 : Khối học sinh lớp 6 gồm 480 em đI tham quan thuỷ điện Sông Đà ,có hai loại xe ôtô : loại 1chở đợc 50 ngời và loại chở đợc 40 ngời . Các em xếp vào 10 xe ôtô thì vừa đủ . Hỏi có bao nhiêu xe ôtô mấy loại ? Bài 2 : Toán cổ : Quýt ngon mỗi quả chia ba Cam ngon mỗi quả chia ra làm mời Chu Văn Thuấn Chu Văn Thuấn 7 CáC dạng bài toán số học và đại số THCS Mỗi ngời một miếng trăm ngời Có mời bảy quả không nhiều đủ chia . Hỏi có bao nhiêu cam ? có bao nhiêu quýt ? Bài 3 : Cùng một lúc một ôtô đi từ A và một xe máy đi từ B ngợc chiều nhau đến một địa điểm C ở giữa AB . C cách A 300 km và cách B 260 km . Vận tốc của ôtô là 60 km/h ;vận tốc của xe máy là 35 km/h . Hỏi sau bao lâu thì : a , Ôtô và xe máy cùng cách C một khoảng nh nhau ? b , Khoảng cách từ xe máy đến C gấp đôI khoảng cáh từ ôtô đến C ? Bài 4 : Một xe ôtô chở 2180 kg gạo đựnh trong 37 bao . Có ba loại bao : 62 kg ; 60 kg ;và 50 kg . Số bao 62 kg nhiều gấp đôI số bao 60 kg . Hỏi số bao mỗi loại ? 5.2 Phơng pháp lựa chọn : Bài toán 26 : Tìm số có hai chữ số , biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp đôI chữ số hàng chục và nếu lấy chữ số đó cộng với 7 thì sẽ đợc số có hai chữ số giống nhau . Giải : Số có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục chỉ gồm 4 số : 12 ; 24 ; 36 ; 48 . Đem số đó cộng với 7 ta đợc : 12 + 7 = 21 ; 24 + 7 = 31 ; 36 + 7 = 43 ; 48 + 7 = 55 Vậy số cần tìm là 48 Bài toán 27 : Điền chữ số thích hợp vào dấu * trong các phép tính sau : 1* . * = **1 Giải: Vì tích có chữ số tận cùng là 1 nên các chữ số đơn vị của hai thừa số chỉ có thể là 1 và 1 hoặc là 3 và 7 hoặc là 9 và 9 ứng với mỗi trờng hợp ta có : 11 . 1 = 11 ; 13 . 7 = 91 ; 17 . 3 = 51 ; 19 . 9 = 171 Do tích là một số có ba chữ số nên chỉ có trờng hợp cuối là thích hợp Bài toán 28 : Có 30 tờ giấy bạc gồm 4 loại : loại tờ 10 nghìn đồng ; loại tờ 5 nghìn đồng ; loại tờ 2 nghìn đồng ; loại tờ 1 nghìn đồng . Biết rằng số tờ loại 1 nghìn đồng gấp đôI số tờ loại 2 nghìn đồng ; số tờ loại 2 nghìn đồng gấp 3 loại tờ 5 nghìn đồng ; và số tờ loại 10 nghìn đồng không nhiều hơn loại 1 nghìn đồng . Hỏi số tờ mỗi loại ? Giải: Theo giả thiết ta có số tờ loại 1 nghìn đồng gấp 6 lần loại 5 nghìn đồng Do đó tổng số tờ 1 nghìn đồng , 2 nghìn đồng , 5 nghìn đồng gấp 10 lần số tờ 5 nghìn đồng ; số này nhỏ hơn 30 Suy ra số tờ 5 nghìn đồng chỉ là 1 hoặc 2 Nếu số tờ 5 nghìn đồng là 1 thì số tờ 2 nghìn đồng là 3 ; số tờ loại 1 nghìn đồng là là 6 ; số tờ 10 nghìn đồng là 30 ( 1 + 3 + 6 ) = 20 nhiều hơn số tờ 1 nghìn đồng ( không thoả mãn ) Nếu số tờ 5 nghìn đồng là 2 thì số tờ 2 nghìn đồng là 6 và số tờ 1 nghìn đồng là 12 ; số tờ 10 nghìn đồng là 30 ( 2 + 6 + 12 ) = 10 ( kết quả này thoả mãn đầu bài ) Vậy : loại 1 nghìn đồng là 12 tờ ; loại 2 nghìn đồng là 6 tờ ; loại 5 nghìn đồng là 2 tờ ; loại 10 nghìn đồng là 10 tờ Bài tập t ơng tự : Bài 1 : Cho một số có hai chữ số . Nếu viết thêm hai chữ số vào bên phải số đó thì đợc số mới lớn hơn số đã cho 1995 đơn vị . Hãy tính số đã cho và hai chữ số viết thêm đó ? Bài 2 : Tìm một số có hai chữ số trong đó chữ số hàng chục gấp đôI chữ số hàng đơn vị và tích của hai số đó chia hết cho tổng của chúng . 5 . 3 Phơng pháp vận dụng nguyên tắc Đi - rích - lê : Bài toán 29 : Chứng minh rằng trong 7 số nguyên bất kì tất cả có 3 số đôi một có hiệu chia hết cho 3 . Giải: Xem 7 số nguyên là 7 chú thỏ Xét 3 cái lồng : lồng { 0 } : dùng để nhốt các chú thỏ chia cho 3 d 0 lồng { 1 } : dùng để nhốt các chú thỏ chia cho 3 d 1 lồng { 2 } : dùng để nhốt các chú thỏ chia cho 3 d 2 Vì một số nguyên chia cho 3 thì số d là một trong ba số : 0 ; 1 ; 2 nên chú thỏ nào cũng bị nhốt Có 7 chú đem chia vào 3 lồng phải có ít nhất 1 lồng chứa 3 chú thỏ tơng ứng có ít nhất ba số chia cho 3 cùng có số d Ba số đôi một chia hết cho 3 Chu Văn Thuấn Chu Văn Thuấn 8 CáC dạng bài toán số học và đại số THCS Bài toán 30 : Chứng minh rằng : trong 52 số nguyên bất kì tất cả có 2 số có hiệu hoặc tổng chia hết cho 100 Giải: Xem 52 số là 52 chú thỏ và xét 51 cái lồng:{0};{1;99};{2;98};;{49;51};{50} Đem nhốt mỗi chú thỏ vào cáI lồng có một số bằng số d của chú thỏ đó chia cho 100 Ví dụ : lòng {0} chứa các số chia hết cho 100 ; {1;99} cha các số chia hết cho 100 d 1 hoặc 99 Ta thấy mỗi số đều đợc nhốt vào 1 lồng Vì có 52 chú thỏ mà chỉ có 51 cái lồng nên phải có ít nhất 2 chú thỏ bị nhốt cùng một lồng . Hai chú thỏ bị nhốt một lồng hay là hai số nguyên tơng ứng khi chia cho 100 có cùng số d hoặc tổng của hai số d bằng 100 . Vậy tổng và hiệu của hai số đó chia hết cho 100 Bài tập t ơng tự : Bài 1 : Năm nay trờng có 1200 sinh viên . Chứng minh rằng có ít nhất 4 bạn cùng một ngày sinh . Bài 2 : Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dơng để cho 2 n 1 chia hết cho 1991 Bài 3 : Viết năm số nguyên bất kì thẳng hàng . Chứng minh rằng có một số hoăc hai số lion nhau có tổng chia hết cho 5 Bài 4 : Chứng minh rằng tồn tại số có 4 chữ số tận cùng là 1992 chia hết cho 1993 5 . 4 Một số phơng pháp khác : Bài toán 31 : Tìm 3 số nguyên dơng sao cho tổng các số nghịch đảo của chúng bằng 2 Giải : Goị 3 số cần tìm là x ; y ; z ; số lớn nhất là x ; số nhỏ nhất là z Ta có : x y z (1) Theo giả thiết : 1 1 1 2 x y z + + = (2) Do (1) nên 1 1 1 3 2 x y z x = + + Vậy x = 1 Thay vào (2) ta đợc : 1 1 2 1 y z y + = Vậy y = 2 từ đó z = 2 Ba số cần tìm là 1 ; 2 ; 2 Bài toán 32 : Chứng minh rằng phơng trình : x 2 + y 2 =3 ( z 2 + t 2 ) không có nghiệm Giải : Gỉa sử phơng trình có nghiệm nguyên dơng khi đó tồn tại nghiệm mà có giá trị của x 2 + y 2 là nhỏ nhất Ta gọi nghiệm đó là ( ) 0 0 0 0 ; ; ;x y z t Vì 2 2 2 2 0 0 0 0 ( ) 3( )(1)x y z t+ = + nên 2 2 0 0 x y+ M 3 Ta thấy nếu 0 x hay 0 y không chia hết cho 3 thì 2 0 x hay 2 0 y chia cho 3 d 1 Do đó 2 2 0 0 x y+ chia cho 3 d 1 hoặc 2 ( không chia hết cho 3 ) Vậy 2 2 0 0 x y+ M 3 thì 0 x M 3 và 0 y M 3 đặt 0 1 3x x= ; 0 1 3y y= thay vào (1) ta đợc : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 0 0 0 1 1 9 9 3( ) 3( )x y z t hayz t x y+ = + + = + Do đó ( ) 0 0 1 1 ; ; ;z t x y là nghiệm dơng của phơng trình Chu Văn Thuấn Chu Văn Thuấn 9 CáC dạng bài toán số học và đại số THCS Nhng 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 1 1 0 0 3( ) 9( ) )z t x y x y x y+ = + < + = + đều này mâu thuẫn với nghiệm ( ) 0 0 0 0 ; ; ;x y z t có 2 2 0 0 x y+ nhỏ nhất Suy ra phơng trình không có nghiệm nguyên dơng Bài toán 33 : Gọi a là tổng các chữ số của số 9 1993 , b là tổng các chữ số của a và c là tổng các chữ số của b. Tìm c ? Giải : Ta có 9 1993 < 10 1993 nên 9 1993 có ít hơn 1994 chữ số Mỗi chữ số không vợt quá 9 nên : a 9 . 1993 = 17937 Vì a 17937 < 19999 nên tổng các chữ số của a là b < 1 + 9 . 4 hay b < 37 Các số nhỏ hơn 37 có tổng các chữ số nhỏ hơn 3 + 9 = 12 do đó c < 12 Vì 9 1993 M 9 nên a M 9 do đó b M 9 kéo theo c M 9 Kết hợp với 0 < c < 12 ta đợc c = 9 Bài tập t ơng tự : Bài 1 : Cho một bàn cờ có những ô vuông bằng nhau , trong các ô vuông ngời ta viết một số tự nhiên sao cho mỗi một số bằng trung bình cộng những số lân cận đợc viết ở ô vuông phía trên , dới , bên phảI , bên tráI . Chứng minh tất cả các số ấy đều bằng nhau . Bài 2 : Tìm 5 số tự nhiên sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng Chu Văn Thuấn Chu Văn Thuấn 10 . Chu Văn Thuấn Chu Văn Thuấn 2 CáC dạng bài toán số học và đại số THCS Giải : Xét 1994 số sau : 1;11;111; ; { 1994 1 1 1 so Trong 1994 số đó tất cả có hai số có hiệu chia hết cho 1993 Hiệu. b , ta tìm cách biểu diễn Chu Văn Thuấn Chu Văn Thuấn 1 CáC dạng bài toán số học và đại số THCS a = b.q + r với 0 r < b Giải : Cách 1 : Gọi số bị chia là a Từ giả thiết ta có a. CáC dạng bài toán số học và đại số THCS Các bài toán số học và đại số PTCS Chơng I Số NGUYÊN I . KIếN THứC CƠ BảN 1 . Chia có d và