Kỳ thi toán OLYMPIC lớp 11

Kỳ thi toán OLYMPIC lớp 11 Câu 1: (4đ) Cho dãy số Tính Lim Câu 2: (4đ) Tìm các chữ số a,b sao cho Câu 3: (4đ) Chứng minh rằng :Trong đó x,y,z là các số thực dương thỏa mãn Câu 4: (4đ) Giải phương trình Câu 5: (4đ) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn

ĐỀ THI KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30-4 LẦN THỨ XX TỔ CHỨC TẠI TP. HỒ CHÍ MINH – NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN – Khối 11 O0O Câu 1: (4đ) Cho dãy số ( , .Tính Lim Câu 2: (4đ) Tìm các chữ số a,b sao cho Câu 3: (4đ) Chứng minh rằng Trong đó x,y,z là các số thực dương thỏa mãn Câu 4: (4đ) Giải phương trình Câu 5: (4đ) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn (1) Câu 1: Cho dãy số ( , .Tính Lim Đáp án Giả sử Ta được: (1đ) (1đ) Thay vào (3): (1đ) (1đ) Câu 2: Tìm các chữ số a,b sao cho Đáp án: Ta có: Để (1đ) Xét Nếu ta có (1đ) Nếu ta có (1đ) Kết luận: (1đ) Câu 3: Chứng minh rằng Trong đó x,y,z là các số thực dướng thõa mãn Đáp án Áp dụng BĐT Cauchy ta có Từ đó suy ra (3) (1đ) Áp dụng BĐT Cauchy ta có (4) (1đ) Biến đổi BĐT (2) như sau (1đ) Thay thế (3),(4) vào vế trái (5) ta thấy (5) đúng nên BĐT (2) đúng Đẳng thức xảy ra ở (2) (1đ) Câu 4: Giải phương trình Đáp án Điều kiện : Ta có : (2đ) Từ (1), (2) dấu “ = ” xảy ra trong (2) xảy ra (1đ) Kết hợp với điều kiện , nghiệm của phương trình là (1đ) Câu 5: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn (1) Đáp án Cho , từ (1) suy ra Cho từ (1) suy ra Cho từ (1) suy ra Chứng tỏ là hàm lẻ . PT hàm đã cho trở thành Lại có Suy ra Tóm lại Tính theo hai cách . Ta có (1.1) (1.2) Từ (1.1) và (1.2) suy ra , a là hằng số. Thử lại ta thấy hàm thỏa mãn PT hàm đã cho . Vậy . . ĐỀ THI KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30-4 LẦN THỨ XX TỔ CHỨC TẠI TP. HỒ CHÍ MINH – NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN – Khối 11 O0O Câu 1: (4đ) Cho dãy số ( , .Tính